有理数乘法
有理数的乘法
有理数的乘法有理数的乘法规则对于两个有理数a和b，它们的乘法运算可以表示为a × b。
有理数的乘法遵循以下规则：1. 两个正数相乘得到正数：正数乘以正数的结果仍为正数，如2 ×3 = 6。
2. 两个负数相乘得到正数：负数乘以负数的结果为正数，如-2 × -3 = 6。
3. 正数乘以负数得到负数：正数乘以负数的结果为负数，如2× -3 = -6。
4. 零乘以任何数都等于零：无论乘以任何数，零的乘积都为零，如0 × 5 = 0。
5. 分数的乘法：对于两个分数a/b和c/d相乘，可以先将它们的分子相乘得到新的分子，再将它们的分母相乘得到新的分母，最后求得新的分数，如(2/3) × (4/5) = (8/15)。
有理数乘法的计算方法有理数的乘法运算可以通过多种方法进行计算，包括手算和使用计算器等工具。
以下是一种简单的手算方法：1. 将两个有理数的数值相乘：将它们的数值相乘得到一个新的数值，符号保持不变。
2. 将两个有理数的符号确定：根据规则1~3确定两个有理数的符号。
3. 若其中一个有理数是分数，可以先化简分数，再进行乘法计算。
化简分数是将分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到最简形式的分数。
4. 如果需要，可以将最简形式的分数转化为带分数或小数形式。
有理数的乘法运算也可以通过计算器进行快速计算，但仍需了解乘法规则和转换方法。
通过研究有理数的乘法规则和计算方法，我们可以更好地理解有理数的乘法运算，提高数学计算能力并应用于实际问题中。
总结有理数的乘法是对两个有理数进行乘法运算，根据规则可以得到新的有理数作为结果。
有理数的乘法规则简单明确，计算方法也有多种选择。
通过学习和掌握有理数的乘法规则和计算方法，我们能够更好地应用数学知识解决问题，并提高数学水平。
有理数的乘法数学教案(优秀9篇)
有理数的乘法数学教案（优秀9篇）七年级数学有理数的乘法教案及教学设计篇一一、教材分析有理数的乘法是继有理数的加减法之后的又一种基本运算。
它既是有理数运算的深入，又是进一步学习有理数的除法、乘方的基础。
对后续知识的学习也是至关重要的。
二、学情分析对于初一学生来说，他们虽已通过学习有理数的加减法具备了初步探究问题的能力，对符号问题也有了一定的认识，但是对知识的主动迁移能力还比较弱，因此，只要引导学生确定了“积”的符号，实质上就是小学算术中数的乘法运算了，突破了有理数乘法的符号法则这个难点，则对于有理数乘法的运算学生就不难掌握了。
三、教学目标（核心素养立意）1.使学生理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，并能准确地进行有理数的乘法运算。
2.初步培养学生发现问题、分析问题、和解决问题的能力。
3.通过教学，渗透化归、分类讨论等数学思想方法，激发学生学习数学、应用数学的兴趣，（4）传授知识的同时，注意培养学生良好的学习习惯和勇于探索的精神。
四、教学重、难点重点：有理数的乘法法则。
难点：有理数乘法的符号法则五、教学策略我在本节课的教学中采用诱思探究式教学法，并应用多媒体现代教学手段，以学生为主体，通过引导启发、自主探究、点拨归纳完成教学任务，实现教学目标。
六、教学过程（设计为七个环节）（一）复习导入创设情境我首先出示几个相同负数和的计算题，利用乘法的意义很自然地引出负数与正数相乘的新内容，以形成知识的迁移。
进而引入本节课题，以问题引领来激发学生求知欲。
（二）师生互动探究新知要求学生自主学习课本内容，完成课文中的填空。
我给与学生充足的时间和空间。
通过自主学习，小组合作，教师点拨引导学生从有理数分为正数、零、负数三类的角度，区分出有理数乘法的情况有五种：（正×正、正×0、正×负、负×0、负×负）引导学生根据以上实例的运算结果，从积的符号和绝对值两方面准确地归纳出有理数的乘法的符号法则和有理数乘法的运算法则。
有理数乘除法知识点
有理数的乘除法知识点
一、有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。
二、有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；
（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算）
三、倒数：
（1）乘积为1的两个数互为倒数，若ab=1 a、b互为倒数；（2）注意：0没有倒数
四、有理数除法：
（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
a.
注意：零不能做除数，无意义
即
（3）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
（4）0除以任何不等于0的数，都得0.
五、有理数除法的运算律：
（1）有理数的除法可以化为乘法，然后利用乘法的运算性质简化运算，求出结果；
六、有理数的加减乘除混合运算：按照“先乘除，后加减”顺序进行。
有理数乘除法法则
有理数乘除法法则有理数乘除法法则是数学中的基本概念和规则，用于解决有理数的乘法和除法运算。
掌握了有理数乘除法法则，可以更加灵活地进行数学运算，解决实际问题。
一、有理数的乘法法则有理数的乘法法则是指在进行有理数的乘法运算时，要遵守以下规则：1. 正数乘以正数等于正数，负数乘以负数等于正数；2. 正数乘以负数等于负数，负数乘以正数等于负数；3. 任何数乘以0等于0。
例如，2乘以3等于6，-2乘以-3等于6，2乘以-3等于-6，-2乘以3等于-6，任何数乘以0都等于0。
二、有理数的除法法则有理数的除法法则是指在进行有理数的除法运算时，要遵守以下规则：1. 两个正数相除，商为正数；两个负数相除，商为正数；一个正数除以一个负数，商为负数；一个负数除以一个正数，商为负数；2. 任何数除以0是无意义的，即不存在结果；3. 一个数除以1等于它本身。
例如，8除以2等于4，-8除以-2等于4，8除以-2等于-4，-8除以2等于-4，任何数除以1都等于它本身。
三、应用举例1. 乘法法则的应用假设小明有3个苹果，小红有4个苹果，那么他们手中共有多少个苹果呢？根据乘法法则，3乘以4等于12，所以小明和小红手中共有12个苹果。
2. 除法法则的应用假设一个车队需要用20升汽油，已经装满了4个汽油罐，每个罐子装有相同的汽油量，那么每个罐子里装有多少升汽油呢？根据除法法则，20除以4等于5，所以每个罐子里装有5升汽油。
四、乘除法法则的综合应用乘除法法则在实际问题中常常需要综合应用。
例如：小明和小红一起做数学作业，他们共用了一本书，小明用了这本书的1/3时间，小红用了这本书的1/4时间，那么小明和小红一共用了这本书的几分之几时间呢？根据除法法则，1除以3等于1/3，1除以4等于1/4。
然后，根据乘法法则，1/3乘以1/4等于1/12。
所以，小明和小红一共用了这本书的1/12时间。
五、结语有理数乘除法法则是数学中的基本概念和规则，通过掌握乘除法法则，可以更加灵活地进行数学运算，解决实际问题。
《有理数的乘法》知识点解读
《有理数的乘法》知识点解读知识点1 有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.任何数与0相乘，积仍为0.几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数而定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；有一个因数为0，积为0.【例1】计算，并说明理由.5(1)(6)(9);(2)1(0.8);125(3)(7.5)0;(4)()(0.4).6-⨯-⨯--⨯-⨯+ 解析：理由有理数的乘法法则解题.答案：(1)(6)(9)(69)54.-⨯-=+⨯=（两数相乘，同号得正，绝对值相乘）5517417(2)1(0.8)(10.8)().121212515⨯-=-⨯=-⨯=-（两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘）(3)(7.5)00.(0-⨯=任何数与相乘，积仍为0） 55521(4)()(0.4)(0.4)().66653-⨯+=-⨯=-⨯=-（两数相乘，异号得负，绝对值相乘） 方法提示：根据法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘.【类题突破】计算： (1)(8)(25)(0.02);13(2)(2)( 1.5)()3717(3)1.25(1)( 3.2)();782014(4)(1) 3.14159(29300)0(0.03).2015-⨯-⨯--⨯-⨯+⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯⨯-； 答案：(1)(8)(25)(0.02)(2000.02)4;13(2)(2)( 1.5)()377333;327217(3)1.25(1)( 3.2)()7858167()4;47582014(4)(1) 3.14159(29300)0(0.03)0.2015-⨯-⨯-=-⨯=--⨯-⨯+=⨯⨯=⨯-⨯-⨯-=-⨯⨯⨯=--⨯⨯-⨯⨯-=知识点2 有理数乘法法则的推广1.几个不等于0的有理数相乘的乘法法则几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.积的绝对值等于各因数的绝对值的积.2.因数中有0的有理数相乘的乘法法则几个数相乘，有一个因数为0，则积为0.【例2】计算650)734()318()113)(2()145(712)2.4()6.5)(1(⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯- 分析：先看算式中是否有因数0，若有0，则积为0；若没有0，则先确定积的符号，再确定积的绝对值.在绝对值相乘时，一般将小数化成分数，目的是便于约分.答案： 0650)734()318()113)(2(181457155215281457122.46.5)145(712)2.4()6.5)(1(=⨯⨯-⨯-⨯--=⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯-=-⨯⨯-⨯-【类型突破】下列各式的计算结果为正数的是（ ）)1(2)5()4()3.()5()4()3()2()1.(1)2(3)4()5.()1()5(43)2.(-⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯--⨯-⨯⨯⨯-D C B A 答案：D知识点3 乘法运算律乘法运算律（1）乘法的交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.即.ab ba =（2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即()().ab c a bc =（3）乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘再把积相加.即().a b c ab ac +=+根据乘法的运算律，在进行乘法运算时，可以任意交换因数的位置，也可以将几个因数结合在一起先相乘，所得积不变.一个数同两个数的和相乘，可以把这个数分别同两个加数相乘，再把所得的积相加.【例3】计算：1(1)(2)(7)(5)();7(2)6.868(5) 6.868(12) 6.868(17);(3)2936(27)36(21)36;25(4)10(23).52-⨯-⨯-⨯-⨯-+⨯-+⨯+⨯+-⨯+-⨯-⨯-+-+ 解析：在进行有理数计算时，应先观察数字特征，尽量使用运算律简化计算过程. 答案：1(1)(2)(7)(5)()71[(2)(5)][(7)()]10110;7(2)6.868(5) 6.868(12) 6.868(17)6.868[(5)(12)(17)]6.86800;(3)2936(27)36(21)3636[29(27)(21)]36(19)684;(4)10(-⨯-⨯-⨯-=-⨯-⨯-⨯-=⨯=⨯-+⨯-+⨯+=⨯-+-++=⨯=⨯+-⨯+-⨯=⨯+-+-=⨯-=--⨯-2523)522510(2)(10)3(10)()(10)52203042531.+-+=-⨯-+-⨯+-⨯-+-⨯=-+-=-点拨：在运用分配律时应注意其逆向应用：().ab ac a b c +=+【变式练习】计算：(84)30263302(20)302.-⨯+⨯--⨯ 答案：原式=302[(84)63(20)]302(1)302.⨯-+--=⨯-=-。
有理数乘法的运算律
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颜，问表 的安。”乐韵似嗅着猫的老鼠，一声都不敢发，至宝音足边跪下，攥着宝音裙角，不断叩头，是真心急了。宝音就着邱妈妈手里的帕 子印了印眼睛，抬起头来，对乐韵极低道：“去。”乐韵退开一点点。满地都是瓷碴，再退就要跪到瓷碴上了，她只好站起来。宝音方对洛月 轻声道：“请进来罢。”嘉颜迈进屋内，但觉表 这儿一屋子药味、一屋子萧然，举目，见地上滚着铜镜、碎着瓷碴、还湿了一大滩水，表 头 发蓬乱，满面泪痕，不由得大大生出“太过分了”的心情，口中问洛月：“姑娘这儿是怎么了？”眼睛已经剜到乐韵身上。乐韵只觉一股冷气 从脊骨往头盖骨上冒。宝音却赶在洛月开口前，小声道：“我碰掉了杯子。”乐韵低着头，还不敢抬起来，眼睛却瞪大了：碰掉？才不是！明 明摔掉！由摔到碰，一言超生，分明在维护她了。为什么忽的勃然大怒、推她到悬崖边上，为什么忽而又轻言温语，维护于她？乐韵心里乱如 一团麻，分毫也看不清 路数。她只知道一件事：识相的，她还是老实闭嘴别说话罢，否则，恐怕 真有法子叫她死无全尸。今日 ，已绝非从前 的 。嘉颜仍盯着乐韵，看出乐韵藏着忐忑，知道今日之事，怎会是“失手摔了杯子”这么简单。看表 有意息事宁人，她也乐得大事化小，小 事化了，冲乐韵冷冷道：“还不替姑娘扫地？这般躲懒，且扣去半月的月银。”宝音目光微妙的顿了一顿。乐韵连忙行动。这辈子她拿笤帚都 没这么快过。宝音亲手开了妆盒，替表 理妆，看着韩玉笙消瘦的脸、湿漉漉低垂的长睫毛，还有虽然苍白干裂了、但弧度仍然可爱的唇线。这 两片嘴唇里喘气低微、似乎无意的逸出一句问候：“宝音姐姐侍候老太太登高去了么？”嘉颜唇边那训练有素的笑意顿时一僵，几乎碎得比地 上的瓷碴儿还要碎。宝音在镜子里看她，只看了一眼。一眼之后，嘉颜重新微笑，宝音也错开眼睛。这一眼，宝音读出来的信息已经太多。而 嘉颜甚至没有发现宝音曾经抬起眼睛。妆盒中拿起一把掠子，嘉颜替宝音整理发鬓，口中夸道：“表 发质真好，又柔又润。”真的，大病经年， 未损青丝，也算得上天垂怜。嘉颜手不停，道：“表 ，这些婢子不懂事，您尽快同我讲，切莫宠惯她们，损了您的千金体。”乐韵扫着地，大 气都不敢出。韩玉笙原梳的是垂挂髻，未嫁女孩儿的双分辫儿，折上去成两鬟，鬟底留出盘平的、小小的髻，似花萼，不失少女的俏皮，而下 头温婉的双鬟，又显得宁静大方，嘉颜拆下照原样重盘，插上玳瑁如意錾花短簪，退后一步看看，不错了，转头对乐韵道：“呆站着做什么？ 没看见你姑娘裙脚都打湿了？”乐韵连忙上来，蹲下去替 擦抹。嘉颜又斥道：“湿成这样，怎么擦？你还不给你姑娘拿裙子来换？”第十四章
有理数的乘法教案人教版有理数的乘法教案优秀6篇
【有理数的乘法教案人教版】有理数的乘法教案优秀6篇初中数学《有理数的乘法》教学设计篇一掌握有理数乘法以及乘法运算律，熟练进行有理数乘除运算，发展观察，归纳等方面的能力，用相关知识解决实际问题的能力经历归纳，总结有理数乘法，除法法则及乘法运算律的过程，会观察，选择适当的、较简便的方法进行有理数乘除运算培养学生学习的自信心，上进心，通过用乘除运算解决简单的实际问题，让学生明确学习教学的目的是学以致用，从而培养学生的主动性、积极性一、重点：熟练进行有理数的乘除运算二、难点：正确进行有理数的乘除运算预习导学通过看课本§1.4的内容，归纳有理数的乘法法则以及乘法运算律一、创设情景，谈话导入我们已经学习了有理数的乘除法，同学们归纳，总结一下有理数的乘法法则以及乘法运算律二、精讲点拨质疑问难根据预习内容，同学们回答以下问题：1、有理数的乘法法则：（1）同号两数相乘___________________________________（2）异号两数相乘___________________________________(3)0与任何自然数相乘，得____2、有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：ab=_________（2）乘法结合律：(ab)c=_______（3）乘法分配律：(a+b)c=________3、有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的__________比较有理数的乘法，除法法则，发现_________可能转化为__________初中数学《有理数的乘法》教学设计篇二1、知识与技能使学生经历探索有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能灵活运用乘法运算律进行有理数的乘法运算，使之计算简便。
2、过程与方法通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力。
3、情感、态度与价值观能面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心。
重点：熟练运用运算律进行计算。
难点：灵活运用运算律。
（一）创设情境，导入新课想一想上一节课大家一起学习了有理数的乘法运算法则，掌握得较好。
有理数的乘法
有理数的乘法有理数是指可以表示为两个整数的比例形式的数。
有理数的乘法是数学中的基本运算之一，本文将介绍有理数的乘法规则，并通过实例进行演示。
有理数乘法的定义：设有理数a和b，我们可以用实数的乘法规则定义有理数的乘法。
有理数a与b的乘积，记作a*b，可以表示为：a *b = a×b1. 有理数乘法的性质有理数乘法满足以下性质：（1）交换律：a * b = b * a即乘法运算满足交换律，两个有理数的乘积与它们的顺序无关。
（2）结合律：(a * b) * c = a * (b * c)即乘法运算满足结合律，多个有理数相乘时，可以改变计算顺序。
（3）分配律：a * (b + c) = a * b + a * c即乘法运算对加法具有分配律，一个有理数与括号内的和相乘，等于该有理数与括号内的每个加数相乘的和。
（4）零乘法：a * 0 = 0即任何一个有理数与0相乘，结果都是0。
（5）乘法的逆元：对于除0以外的有理数a，存在一个有理数b，使得a * b = 1，称b为a的乘法逆元。
通常将a的乘法逆元记作1/a，即1/a = b。
2. 有理数乘法的计算方法有理数乘法的计算方法可以通过实例进行说明。
例题1：计算(-2/3) * (1/4)的结果。
解：根据有理数乘法的定义，我们可以将分子与分母分别相乘，得到结果。
(-2/3) * (1/4) = (-2 * 1) / (3 * 4) = -2/12 = -1/6例题2：计算(3/5) * (-2)的结果。
解：当有理数与整数相乘时，我们可以先将整数转化为分数的形式，然后按照有理数乘法的定义计算。
(3/5) * (-2) = (3/5) * (-2/1) = (3 * -2) / (5 * 1) = -6/5通过上述例题，我们可以看出有理数乘法的计算方法与实数乘法的计算方法类似，只需将分子与分母分别相乘即可。
总结：有理数的乘法是基础的数学运算之一，乘法的定义规定了有理数相乘的方式。
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②积的绝对值与两个因数的绝对值又有什么样的关系？
（学生活动时间2分钟）
学生回答，老师完善，得出有理数乘法的法则：
有理数乘法法则
同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；
归纳（乘法分配律）：一个数和两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加，
即：（a＋b）c＝ac＋bc．
巩固练习：
计算（1） ;
（2）
（3）
（4）
在探索新知这部分里，应将这些例子加以改正，与书中的举例一致更好。
板 书 设 计
有理数乘法法则
同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；
在数轴上，向东运动2米，记作2米，向西运动2米应记作什么？（-2米）看下面的例子：
（1）
其中2看作向东运动2米， 看作沿此方向运动3次．用数轴表示如下：
结果怎样呢？（向东运动了6米），所以有： ．
ห้องสมุดไป่ตู้（2）
其中-2看作向西运动2米， 看作沿此方向运动3次．用数轴表示如下：
结果怎样？（向西运动了6米），所以有： ．
七年级数学教案
学科_数学__主备教师使用教师授课时间__2017年__9_月____日
课题
有理数的乘法
课型
新授课
课时序号
第1课时
教学内容
有理数的乘法
教
学
目
标
知识与能力（1）使学生掌握有理数乘法法则，并初步了解有理数乘法法则的合理性；
（2）学生能够熟练地进行有理数乘法运算.
过程与方法能够利用有理数的乘法法则进行简单计算；能够利用有理数的运算律进行简便计算.
确定下列积的符号，你能从中发现什么？
① ②
④
学生归纳结论：
结论1：有一个因数为0，则积为0；
结论2：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．
巩固练习：判断下列积的符号（口答）
① ②
③ ④
四、主体活动，探索乘法运算律
探索1：任意选择两个有理数（至少有一个是负数）填入下式的□和○中，并比较结果：□×○ ○×□．
1． 等于多少？表示什么？答案是： ，表示3个2相加，
即： ．
2．请将 写成乘法算式？
它怎么计算呢？这就是我们今天要研究的有理数的乘法．
二、探索新知，归纳法则
以下各个问题由学生自主进行探索研究，发现有理数乘法的合理性，进而归纳出有理数的乘法法则，注意其中的关键――对含有负因数的两个有理数相乘的含义的理解要让学生进行解释．
0与任何有理数相乘仍得0．
三、应用法则、巩固法则
我们已经探索出了有理数的乘法法则，下面我们来应用其解决一些问题
1．尝试训练，巩固练习（出示投影）
（1）确定下列两个有理数积的符号：
① ② ③ ④
（学生口答，解释原因）
（2）计算：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
（学生自主完成，查漏补缺）
2．例题1
计算：① ②
0与任何有理数相乘仍得0．
课 后 反 思 补 救
归纳（乘法交换律）：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变，
即：ab＝ba．
探索2：任意选择三个有理数（至少有一个是负数）填入下式的□、○和◇中，并比较结果：(□×○)×◇ □×（○×◇）．
归纳（乘法结合律）：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，
即：（ab）c＝a（bc）．
探索3：任意选择三个有理数（至少有一个是负数）填入下式的□、○和◇中，并比较结果：(□＋○)×◇□×◇＋○×◇）．
情感与态度培养学生积极思考和勇于探索的精神，使他们形成良好的学习习惯.
重点
难点
能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
对含有负因数的乘法法则的理解和运算。
教案 性质
独立备课
修改
材料出版
http://
中文域名
修改、调整
教
学
设
计
一、创设情景，引入本节课要研究的问题――有理数的乘法
前面学习了有理数的加减法，接下来就应该学习有理数的乘除法．同学们先看下面的问题：
（3）
其中2看作向东运动2米， 看作沿与此相反的方向运动3次，即向西运动了3次，共向西运动了6米．所以有： ．
（4）
请同学们说出对此式的理解，并说出结论．
其中－2看作向西运动2米，×（－3）看作沿与此方向相反的方向运动了3次，即向东运动了3次，共向东运动了6米．
（5） ， ， ，
请同学们说说对这四个式子的理解，并得出结论．（都等于0）
（由学生口述，教师板书，共同归纳出有理数乘法得解题步骤：
（1）确定积的符号；（2）计算积的绝对值）
巩固练习（出示投影）
① ② ③ ④
3．例题2
计算：① ② ③
教师活动设计：通过这几个题是想让同学们体会在绝对值的计算过程中怎样处理假分数．
4．从有理数的乘法法则可以看出，有理数的乘法关键是符号的确定，那么三个以上的有理数相乘积的符号怎么确定呢？下面我们就来研究这个问题．