武汉理工大学网络教育学院大学入学考试复习资料高等数学B 答案 2010-6-3 10：26

武汉理工大学网络学院试卷参考答案
课程名称：高等数学 专业班级：
一、选择题（5×3分 = 15分）
C;C;B;A;A;
二、填空题（5×3分 = 15分）
1、29
2、x e 2
3、0
4、32y
5、[1,1]-
三、计算题（5×8分 = 40分）
1、22221)1)(1(ln
)1ln()(x x x x x x x x x y ++++-++=++-=- )()1ln(11
ln 2
2x y x x x x -=++-=++=； 故)(x y 为奇函数. 2、（1）10x -≥即 1x ≥时，(1)1f x x -=-；
10x -<即1x <时，(1)1f x -=；
11
(1)11x x f x x -≥⎧∴-=⎨<⎩．
（2）()()211
1101 2 0x x f x f x x x x -≥⎧⎪+-=+≤<⎨⎪<⎩
．
3、21f y f x u
'+'=∂∂；()v xg x xy y ∂'=+∂.
4、)
1(1
,1z y z z x
x z
-=∂∂-=∂∂，)(11dy xdx z dz +-=. 5、⎰⎰=D xydxdy I ⎰⎰=22
1x xydy dx =⎰-213)22(dx x x =9
8．
四、应用题（2×10分 = 20分）
1、设用来作圆的一段长为x ，另一段就是x -24，所考虑的两块面积之和记作y .则有函数关系
240,)424()2(22≤≤-+=x x
x
y ππ
于是 )24(812x x y --=
'π， 令0='y ，得驻点ππ
+=424x . 端点和驻点的函数值：224
144(0)(
)44y ==，144(24)y π=，24144()44y πππ=++，比较知，当长为ππ
+424的一段作圆，余下一段作正方形时，两个图形的面积之和最小.
2、先求区域D 的面积A 02t π≤≤ ，02x a π∴≤≤ 20()a A y x dx π=
⎰ 20(1cos )[(sin )]a t d a t t π=--⎰
222
0(1cos )a t dt π=-⎰23a π=. 由于区域关于直线x a π=对称，所以形心在x a π=上，即x a π=, 1D y ydxdy A =⎰⎰2()001a y x dx ydy A π=
⎰⎰ 22201[()]6a
y x dx a ππ=⎰230[1cos ]6a t dt ππ=-⎰ 56π
=. 故所求形心坐标为5
6
(,)a ππ 五、证明题（1×10分 = 10分）
1、设()()F x xf x =，显然()F x 在[0,1]上连续，在（0，1）可导.
因为(1)0f =，故(0)(1)0F F ==， 由罗尔定理知存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=， 即()()f f ξξξ'=-。