圣彼得堡数学学派的发展
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事 述职报告
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事述职报告切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。
他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。
著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。
19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
马尔可夫与马尔可夫链
第19讲 马尔可夫过程 与马尔可夫链
一、马尔可夫过程
1. 马尔可夫性
过程（或系统）在时刻t0 所处的状态为已知的条件下，
过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前 所处的状态无关,这种性质称为马尔可夫性或无后效 性．
马尔可夫链。同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫
过程的研究。马尔可夫过程在自然科学、工程技术和公用事
第十一章 马尔可夫链
马尔可夫（Markoff）过程是无后效性的随机过程，现 已成为内容十分丰富，理论相当完整，应用十分广泛的 一门数学分支．由于马尔可夫过程的理论在近代物理、 生物学、分子遗传学、自动控制、管理科学、信息处理 以及数字计算方法等方面都有重要应用．使得现代科学 家及工程技术人员越来越重视马尔可夫过程的理论 及应用研究。本章讨论以下五个问题：
P { X m n a j|X t1 a i1 ,X t2 a i2 ,L ,X tr a ir,X m a i}
P { X m n a j|X m a i} ,
(11.1)
则称{Xn, nT1}为一个马尔可夫链．马尔可夫链也简称为
马氏链．
定义11.3 设{Xn, nT1}为马尔可夫链，其状态为a1, a2,… ．则称条件概率
证 根据条件X(a)=0及随机变量相互独立性可知
X(tn) 与X(tn1) X (t，i),i 1 ,2 ,L,n 1
相互独立.
因此对任意的 x1,x2,，,x有n1
P { X ( t n ) x n | X ( t 1 ) x 1 , X ( t 2 ) x 2 , L , X ( t n 1 ) x n 1 ) P { X ( t n ) X ( t n 1 ) x n x n 1 | X ( t 1 ) x 1 , L , X ( t n 1 ) x n 1 } P { X ( tn ) X ( tn 1 ) x n x n 1 } ,
19、20苏联数学家
19世纪、20世纪苏联、俄国数学家（一览）历史上的数学学派——苏联数学学派俄国资本主义的发展，与西欧各国相比发展较晚，科学技术的发展也相应地较慢。
但是，俄国的数学却有相当的基础。
19世纪下半叶，出现了切比雪夫为首的彼比堡学派。
进入20世纪以后，莫斯科学派作出了巨大贡献。
彼得堡学派也称切比雪夫学派。
19世纪下半叶和本世纪前叶的许多著名数学家，如科尔金、马尔科夫、李雅普诺夫、罗诺伊、斯捷克洛夫、克雷洛夫都属于这个学派。
苏联数学家维诺格拉陀夫、伯恩斯坦都是这个学派的直接继承者，他们中的许多人都是学派奠基人切比雪夫的学生。
切比雪夫生于奥卡多沃，1841年毕业于莫斯科大学，1847年任彼得堡大学副教授。
在彼得堡大学一直工作到1882年。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
他不仅重视纯数学，而且十分重视数学的应用。
切比雪夫有两个优秀的学生李雅普诺夫和马尔科夫。
前者以研究微分方程的稳定性理论著称于世，后者以马尔科夫过程扬名世界。
他们发扬光大了切比雪夫理论联系实际的思想。
进入20世纪以后，莫斯科学派发展迅速，在函数论方面作出了巨大贡献，在当今世界上影响很大。
它的创始人是叶戈洛夫和鲁金。
叶戈洛夫在1911年证明的关于可测函数的叶戈洛夫定理是俄国实变函数论的发端，它已列入任何一本实复函数论的教科书。
鲁金是叶戈洛夫的学生，1915年他的博士论文《积分及三角级数》，成为莫斯科学派日后发展的起点。
20年代以来，莫斯科学派取代法国跃居世界首位。
近年来，在解决世界难题方面，苏联数学家人数很多，而且都是年轻人。
1970～1978两届国际数学会议上都有苏联数学家获菲尔兹奖。
苏联数学研究的后备力量很强，在世界数坛上还将继续称雄一个时期。
切比雪夫，П．Л．( Чебb Iшев，ПaфHутий Лbвович) 1821年5月16日生于俄国卡卢加; 1894年12月8日逝世于彼得堡.切比雪夫出身于贵族家庭，他母亲也出身名门，切比雪夫的左脚生来有残疾，切比雪夫终身未娶，日常生活十分简朴，他的一点积蓄全部用来买书和制造机器。
圣彼得堡地区科技简况
国有 企业 高校 私人非盈利
图一 按类别划分的科研机构
国有类包括：立法和权利执行机构所属、政府部门所属、பைடு நூலகம்法部 门所属的单位；服务于初等和中等教育的单位；文化、体育部门的单 位、科学院系统的单位等。
企业类包括：政府工业部门、企业集团、股份公司、跨领域联合 体和协会等所属的工业商业组织；以及农业、林业、建筑、交通、通 讯、贸易、日常和公共服务等单位。
科学的发展与教育体系的建立是密不可分的。如果说十八世纪把 建立初等和中等教育机构作为优先方向的话，那么后来高等教育在圣 彼得堡则越来越具有重要意义。
今天在西北联邦区，圣彼得堡继续在科研机构数量、从事科研工 作的人数和研发成果总量发明居领军地位。圣市有超过 350 个各部门 所属的国家级科研机构，其中属俄科院系统的约 70 个，属高校系统 的约 70 个。
高校类包括：高等学校；高校直属科研机构；由高校管理或与高 校联办的科研所；为高校服务的研究机构。
私人非盈利类包括：不以获取利润为目的、自愿结成的学术团体 和专业协会；社团组织、慈善基金会等。
3. 科研活动的主要指标
根据圣彼得堡市的科研经费支出统计，圣彼得堡市的科学研究体 系中，基础科学研究所占比例在 10%强，应用科学研究占 15%，项 目研制占 74%。其中国家基础研究项目所占比例为 67%，企业中应 用研究项目占 3%。应用研究和企业的项目占 97%。
1. 俄罗斯“应用化学”科学中心； 2. “克雷洛夫”中央(船舶)科学研究院； 3. “普罗米修斯”中央结构材料研究院； 4. 中央液压器件科学研究所； 5. 中央电子器件科学研究所； 6. 中央造船工艺科学研究所； 7. 南北极科学研究所(极地所)； 8. “门捷列夫”全俄计量科学研究院； 9. 中央机器人与工程控制论研究院；
俄罗斯数学的崛起
俄罗斯数学的崛起俄罗斯数学⼀直有⾮常好的传统，在苏联时期更是达到了顶峰，虽然随着苏联的解体衰弱了许多，但俄罗斯数学在当今数学界仍然占有相当重要的位置。
早在18世纪，当时著名的伯努利家族中的尼古拉⼆世(1695-1726)和丹尼尔(1700-1782)就曾到俄国⼯作过⼀段时间。
在他们的推荐之下，叶卡捷琳娜⼆世邀请欧拉(1707-1783)到圣彼得堡⼯作，⽽欧拉在这⾥⼀呆就是31年，为俄罗斯的数学发展留下了⼤量珍贵财富。
虽然俄罗斯数学起点不如西欧⽼牌国家⾼，但经过国家改⾰后，⾯貌焕然⼀新，在19世纪迎来了⼤发展。
最先脱颖⽽出的是罗巴切夫斯基(1792-1856)和切⽐雪夫(1821-1894)。
罗巴切夫斯基是⾮欧⼏何的创造者，⽽且⽤⼀辈⼦去捍卫真理，赢得了“⼏何学中的哥⽩尼”的赞誉。
罗巴切夫斯基是在喀⼭⼤学成长起来的，所以他受德国数学的影响⽐较⼤。
⽽切⽐雪夫则是圣彼得堡学派的缔造者和代表⼈物。
切⽐雪夫的主要研究⽅向是分析，他在概率论，数论，函数论⽅⾯成就斐然。
切⽐雪夫真正为俄罗斯数学做出的贡献在于他培养出来许多优秀的继承者，让俄罗斯数学从这时起有了和西欧国家抗衡的资本。
切⽐雪夫的学⽣中最出名的是马尔科夫(1856-1922)和李亚普洛夫(1857-1918)，这两位我想学过概率论和微分⽅程的⼈都应该听说过。
马尔科夫是随机过程论的开创者，他创造的这⼀领域影响了科学多⽅⾯的发展，同时他在统计和数论⽅⾯也有建树。
⽽李亚普洛夫则是微分⽅程稳定性理论的开创者之⼀，和庞加莱共享这⼀荣誉。
同时他引⼊了特征函数这⼀强有⼒的⼯具，简洁地解决了很多问题。
同时他在天体⼒学和数学物理上也建树颇多。
虽然有欧拉的加盟，但俄罗斯数学在切⽐雪夫之前和西欧英法德这些⼤国⽐起来还是很落后。
⾃切⽐雪夫领导的圣彼得堡数学学派崛起后，局⾯⼤为改观，使得俄罗斯数学开始⾛向世界。
在19世纪末20世纪初，俄罗斯数学另⼀⼤学派，莫斯科学派的实⼒还很弱，没有什么太出⾊的数学家坐镇。
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事作者：蒋迅王淑红来源：《科学》2016年第04期切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。
他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。
著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。
19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
数学人物传记——欧拉
数学人物传记—欧拉人物生平莱昂哈德·欧拉欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。
他生于牧师家庭。
15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。
1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。
1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。
他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。
1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。
在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。
欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。
1766年他又回到了圣彼得堡。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。
他又是一个多产作者。
他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。
除了教科书外，他的全集有74卷。
18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。
值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》。
欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。
复平面上的Gamma 函数[4]欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。
1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。
这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。
欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。
如他引入了Γ函数和B 函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。
数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。
他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。
在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
圣彼得堡数学学派
圣彼得堡数学学派圣彼得堡数学学派是俄罗斯在数学领域创建最早、实力最强、影响最大的学派，是推动19世纪概率论发展的重要生力军。
该学派在数论、概率论、函数逼近论、微分方程、数学物理方程、代数、群论、复变函数等数学分支大显身手，推动了俄罗斯乃至世界的数学发展，使俄罗斯数学在19世纪末大体跟上了世界先进潮流，某些领域的优势则一直保留到今日。
切比雪夫是该学派的创始人，他自1847年起在圣彼得堡大学任教达35年之久，培养了大批优秀学生，不断创造新的成果。
他本人在数论方面从本质上推进了对素数分布问题的研究，在概率论中的多项成果使这一学科的发展进人新的阶段，在函数逼近论中建立切比雪夫多项式，由此开始创立函数构造理论。
他还在积分学等方面有所建树。
马尔可夫早年在圣彼得堡受教于切比雪夫，后任该校教授。
他研究数论中连分数和二次不等式理论，解决了许多难题。
1906—1912年间开创的马尔可夫过程研究在自然科学、工程技术和公用事业中有着广泛的应用。
他写的《有限差分学》和《概率演算》已成为学科经典著作。
李亚普诺夫也是切比雪夫的学生，他在概率论中得到中心极限定理的简洁证明，被广泛采用。
他的最大贡献是奠定常微分方程稳定性理论的基础，提出许多新方法。
这一方向的发展成为以后原苏联数学的一大特点。
目录序前言第1章圣彼得堡数学学派的创建和发展1.1近代俄罗斯科学文化发展概述1.1.1俄罗斯数学先驱者1.1.2圣彼得堡科学院的建立1.1.3俄罗斯第一位本土院士1.1.4莫斯科大学的建立1.1.5俄罗斯挤进世界列强1.1.6圣彼得堡大学的建立1.1.7艰难的教育制度改革1.2圣彼得堡数学学派的应运而生1.2.1数学学派有关概念1.2.2欧拉科学思想的深刻影响1.2.3罗巴切夫斯基科学精神的激励1.2.4拉普拉斯概率思想的传播1.2.5切比雪夫的非凡影响力1.3圣彼得堡数学学派的学术风格1.3.1经典和基础相互发展1.3.2初等和高深相互推演1.3.3精确和近似相互转化1.3.4理论与实践相互结合1.3.5科研与教学相互促进1.3.6圣彼得堡数学学派的不足之处1.4圣彼得堡数学学派的内部争论1.4.1“无神论者”和“有神论者”的辩驳1.4.2“截尾术”和“特征函数法”的抗争1.5圣彼得堡数学学派的联袂对外1.5.1缘起：宗教信仰和学术研究1.5.2相对：哲学理念、教育观念和治学态度1.5.3交锋：中心极限定理的论证第2章圣彼得堡数学学派的元宿——奥斯特罗格拉茨基2.1从无神论者到机械唯物主义者2.2重振圣彼得堡科学院雄风2.2.1沟通三重积分与曲面积分2.2.2拓展傅里叶热传导理论2.2.3求解重积分极值问题2.2.4揭示微分方程的积分性质2.2.5研究有理函数积分2.2.6研究分析力学和理论力学2.2.7推进俄罗斯数学教育改革2.3芮夫考乌斯基和奥斯特罗格拉茨基2.4主观概率哲学和本能唯物主义2.5概率论与法律科学的联盟2.6概率论和产品抽样检验2.7概率论应用于社会福利问题2.8奥斯特罗格拉茨基和布尼亚科夫斯基现代应用成果赏析概率思想在刑事案件中的应用采撷第3章圣彼得堡数学学派的宿儒——布尼亚科夫斯基3.1从睿智少年到科学院副院长3.2构建俄文数学专业术语3.3数学概率观的发展3.4关于大数定理的研究3.5概率论应用于自然科学3.6概率论应用于社会科学3.7概率论应用于伦理科学3.8对概率论发展史的研究附录布尼亚科夫斯基的有关概率论文献目录第4章圣彼得堡数学学派的领袖——切比雪夫4.1从聪慧少年到学派领袖4.1.1善于思考的少年时代4.1.2崭露头角的求学时代4.1.3硕果累累的创新时代4.2追求数学真理4.3创建圣彼得堡数学学派4.4西方科学文化的影响4.4.1切比雪夫与法国数学家4.4.2切比雪夫和德国数学家4.4.3切比雪夫国际学术交流的分期4.5试论概率论基础4.6概率论基本定理的初等证明4.7初证中心极限定理4.8论均值4.9概率论的两个极限定理4.10其他科学研究4.10.1数论4.10.2代数函数积分4.10.3函数逼近理论现代应用成果赏析数学文化的力量第5章圣彼得堡数学学派的中坚——马尔可夫5.1从“叛逆少年”到数学大师5.1.1桀骜不驯求自由5.1.2风华正茂才华溢5.1.3三代概率论教师的比较5.1.4不惧强权伸正义5.1.5老马伏枥志千里5.2《概率演算＞概要5.2.1马尔可夫和伯恩斯坦的概率著作比较5.2.2《概率演算》的主要框架5.2.3《概率演算》的主要特色5.3矩方法研究5.4完善切比雪夫定理5.5马尔可夫“截尾术”5.6拓广大数定理理论5.7型理论研究5.8创立马尔可夫链5.9马尔可夫链的语言学模型5.10马尔可夫链的渐近性5.11马尔可夫链的发展5.11.1Q过程理论的发展5.11.2轨道连续的马尔可夫过程5.11.3柯尔莫戈洛夫方程5.11.4强马尔可夫方程5.11.5其他主要研究方向现代应用成果赏析华罗庚和钟开莱的马尔可夫链情结第6章圣彼得堡数学学派的砥柱——李雅普诺夫6.1“切比雪夫问题”研究6.1.1颠沛流离启蒙路6.1.2转益多师是汝师6.1.3不畏浮云遮望眼6.1.4梅花香自苦寒来6.1.5在天愿作比翼鸟6.2创立特征函数方法6.3李雅普诺夫定理的论证6.3.1李雅普诺夫定理的提出6.3.2马尔可夫定理和李雅普诺夫定理的比较6.3.3李雅普诺夫定理的现代证明6.4李雅普诺夫定理的拓广6.4.1林德伯格条件6.4.2费勒条件6.5李雅普诺夫定理的引申6.5.1克拉美的渐近展开6.5.2贝莱的改进结果现代应用成果赏析《红楼梦》与概率论第7章圣彼得堡数学学派的新秀——伯恩斯坦7.1“希尔伯特问题”研究7.2圣彼得堡数学学派主要成员学缘关系比较7.3第一个概率论公理化体系7.4协方差大数定理7.5中心极限定理的充要条件7.6伯恩斯坦概率观7.7圣彼得堡数学学派的主要构建因素现代应用成果赏析圣彼得堡“数学鬼才”第8章圣彼得堡数学学派的统计思想研究8.1关于社会学统计的研究8.1.1布尼亚科夫斯基的研究8.1.2马尔可夫的研究8.2关于数学观察理论的研究8.2.1切比雪夫的极小极大方法8.2.2马尔可夫的统计思想8.3切比雪夫最小二乘法插值理论8.3.1切比雪夫正交多项式8.3.2最小二乘法插值8.3.3对等距变量正交多项式的求解现代应用成果赏析统计学的产生和发展参考文献转自：青大数学与统计。