试谈圣彼得堡概率学派：从切比雪夫到马尔科夫
赌博产生的数学——概率论的起源和发展
TECHNOLOGY WIND“统计与概率”观念已经作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一。
所以即将成为中小学数学教师和在职的中小学数学教师都应该对概率论的历史背景有所了解。
因为了解一门数学课题的历史会为讲解这一课题提供非常好的思路。
概率论是以“概率”概念为核心形成的一门数学分科。
一般认为，概率是偶然性事件出现的可能性大小的数值。
实践表明，偶然性事件在个别的试验中毫无规律可言，但是在大量的试验中却呈现某种规律性。
概率论就是研究大量偶然性事件的规律的数学。
由于偶然性事件是客观世界中广泛存在的现象，所以概率论的应用非常广泛。
正如Ｗ．Ｓ．Ｊｅｖｏｎｓ所说的“概率论是‘生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难移，无所作为。
’”一、概率论的酝酿概率和统计在其发展的初期是难以区分的。
它们的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前２０００年的埃及古墓中已有正立方体的骰子，虽然人们并不能确定这些骰子的用途，但它们非常可能用于预测未来以及用于赌博。
所以在古代游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。
但是概率论作为一门学科，则酝酿于１６世纪前后的两百余年之间，产生于１７世纪中期前后。
它产生的原因主要原因是由于当时保险行业的产生与发展以及赌博的盛行。
赌博的盛行，为研究概率论提供了优良的模型（如掷骰子的等概性明显，又可作重复试验），对概率论产生起了催化剂的作用。
１６世纪前后，相当多的数学家对赌博中的问题有浓厚的兴趣。
意大利的帕奇奥里、塔塔利亚和卡尔丹都曾经研究过镀金如何分配的问题。
尽管他们三人都没有得出赌徒分配赌金的正确方法，也没有建立概率论基本原理，但他们毕竟研究了概率论早期的重要问题，为概率论的产生作了准备。
二、古典概率论概率论的产生是同费马、帕斯卡和惠更斯的工作分不开的。
帕斯卡的朋友德．默勒向帕斯卡提出这样一个问题：甲、乙两人相约赌若干局，谁先赢ｓ局谁就是胜者，就可得全部赌金，现在甲赢１７６赌金？帕斯卡将这个问题转告给了费马。
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率引言在概率论中，切比雪夫不等式是一种用于估计随机变量偏离其均值的可能程度的工具。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫在19世纪末提出的，被广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
切比雪夫不等式的核心思想是通过测量随机变量与其均值之间的差异，来估计随机变量落在某个范围内的概率。
该不等式提供了一个上界，使我们能够以较小的信息量对概率进行估计。
本文将详细介绍切比雪夫不等式的原理和应用，并通过实例演示如何使用切比雪夫不等式来估计概率。
切比雪夫不等式原理假设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望值（均值），Var(X)表示X的方差。
根据切比雪夫不等式，对于任意正数ε（ε > 0），有以下不等式成立：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^2换句话说，随机变量X偏离其期望值E(X)超过ε的概率不会超过Var(X)/ε^2。
切比雪夫不等式的推导过程相对简单，这里不再详述。
需要注意的是，切比雪夫不等式是一个上界估计，给出了随机变量落在某个范围内的概率的最大可能值。
切比雪夫不等式应用切比雪夫不等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据分析与异常检测在数据分析中，我们经常需要评估数据点与其均值之间的偏差程度。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计数据点落在某个范围内的概率，并进一步判断是否存在异常值。
例如，假设我们有一组电子商务网站用户的购物金额数据。
我们可以计算该数据集的均值和方差，并使用切比雪夫不等式来估计购物金额高于平均值两倍标准差的概率。
如果这个概率很小，我们可以将这些高额购物金额视为异常值。
2. 统计推断与抽样在统计推断中，我们经常需要对总体参数进行估计。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计总体参数落在某个范围内的概率，并计算置信区间。
例如，假设我们想要估计一组学生的平均身高。
我们可以从这组学生中随机抽取一部分样本，并通过样本均值和样本方差来估计总体均值和总体方差。
概率论的起源和发展
概率论的起源和发展2011111159 宁柯琳概率论是一门既古老又年轻的学科。
说它古老，是因为产生概率的重要因素---赌博游戏已经存在了几千年，概率思想早在文明早期就己经开始萌芽了。
而说它年轻，则是因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢，现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史，他们更愿意把1654年帕斯卡(Pasac)l和费马(Fomrat)之间的七封通信看作是概率论的开端。
这样，概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。
一般认为，概率论的历史只有短短的三百多年时间。
虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后，由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。
在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。
无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。
概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。
1、机会的早期计算古希腊人从航海实践中发现了许多概率经验规律, 古犹太人在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录。
但是由于结果不确定的特点, 人们一直认为随机现象好似运气都由天神决定, 其规则是世俗不可想象的。
能够刺激人们思考概率的事情很多, 但最终孕育概率论的却是庸俗的骰子赌博。
公元 960 年左右, 怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时不计次序所能出现的不同组合有 56 种。
十三世纪左右拉丁诗歌《维图拉》指出这 56 种组合出现的机会不是相同的: 3 枚骰子点数一样, 每个点数只有一种方式; 2 枚骰子点数一样而另一枚不一样, 则有 3 种方式; 如果 3 枚都不一样就有 6 种方式。
但是这些经验并没有引起更多的思考, 机会的计算仍处于直觉的、散乱的经验水平上。
叙述切比雪夫不等式
叙述切比雪夫不等式
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目录
1.切比雪夫不等式的定义和背景
2.切比雪夫不等式的基本形式
3.切比雪夫不等式的应用举例
4.切比雪夫不等式的推广和发展
正文
1.切比雪夫不等式的定义和背景
切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，由俄国数学家切比雪夫（Chebyshev）在 19 世纪末提出。
切比雪夫不等式用于估计一个随机变量偏离其数学期望的概率，为研究随机变量的分布和性质提供了一种有效的方法。
2.切比雪夫不等式的基本形式
切比雪夫不等式的基本形式如下：
对于任意实数 k > 0，随机变量 X 的数学期望为μ，方差为σ^2，则有
P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k^2
其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率。
3.切比雪夫不等式的应用举例
假设我们要估计一个袋子里面装有 n 个红球和 k 个蓝球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率。
我们可以用切比雪夫不等式来估计这个概率。
设红球的概率为 p，蓝球的概率为 1-p，根据切比雪夫不等式，我们
可以得到：
P(抽到红球) ≥ 1 - 1/n^2
这意味着，当我们从袋子中抽取的次数越多，我们估计抽到红球的概率会越来越接近真实的概率。
4.切比雪夫不等式的推广和发展
切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
随着研究领域的不断拓展，切比雪夫不等式也得到了不断的推广和发展。
例如，在多元随机变量的情况下，切比雪夫不等式可以推广到切比雪夫 - 马尔可夫不等式（Chebyshev-Markov inequality）等。
概率论发展简史
概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。
16世纪意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷二个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。
17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡，P.de.费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合的方法研究了一些比较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”（即历史上有名的“得分问题”）“输光问题”等等，其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今成为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。
概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利。
他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，这个结果发表于他死后八年(1713)出版的遗著《推测术》。
1716年前后，A.棣莫弗用他导出的斯特林公式（即：）进一步证明了渐进地服从正态分布（德国数学家C.F.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，故亦称为高斯分布），这里，后来法国数学家P.S.拉普拉斯将棣莫弗的这一结果推广到一般的的情形，后世称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理的原始形式。
拉普拉斯对概率论的发展贡献很大，他在系统总结前人工作的基础上写出了《概率的分析理论》（1812年出版后又再版6次），在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。
拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤感兴趣。
继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数定律及棣莫弗—拉普拉斯极限定理，在这方面俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用自己创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数定律，次年又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机序列的中心极限定理。
1901年，A.M.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理，他利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
概率论的起源
概率论的起源及公理化概率论起源于博奕问题。
15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。
1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。
他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。
惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。
一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有P {|nm - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。
伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。
其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。
特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。
正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。
概率论思想的历史演变
概率论思想的历史演变一、概述概率论，作为研究随机现象的数学学科，其思想的历史演变跨越了数千年，从古希腊和罗马时期的哲学思考，到中世纪文艺复兴时期的理论探索，再到19世纪的数学化进程，直至20和21世纪的科技应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
概率论的起源可以追溯到古希腊和罗马时期，当时哲学家们开始从哲学的角度探讨可能性和偶然性的问题。
例如，亚里士多德提出了两种判断事件可能性的方法：一是基于结论的推导，二是基于实验观测。
在罗马时期，概率理论被应用于实际工程中，如托勒密在巨大工程中应用概率理论进行估算。
进入中世纪，文艺复兴时期的哲学家们将概率的概念引入了哲学论点中，如但丁对可能事件发生概率的探讨，以及随机离散数组的建立。
这一时期，概率理论还发展到了骰子投掷和算术遗传学等领域。
18世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段，罗伯特李和耶稣等学者提出了主观概率论和超确定性等思想，为研究不同可能性的情况提供了新的视角。
19世纪，概率论得到了更大的发展，统计学家和数学家如费马、贝尔、马克斯及高斯等人，将概率理论的概念分解为可能性、随机估计及测度论三个基本层次。
这一时期，概率论逐渐形成了完整的理论体系，并被广泛应用于各个领域。
进入20世纪后半叶，随着科技的飞速发展，概率论与统计学的结合越来越紧密，被广泛应用于模拟计算、逻辑思维等领域，实现了高效率的实证分析及预测性研究。
这使得概率论在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为了现代科学研究中不可或缺的一部分。
概率论思想的历史演变是一个漫长而不断深化的过程，从早期的哲学思考到现代的数学化、科技化应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
这一过程不仅展现了人类对于随机现象认识的不断深化，也体现了科学技术的发展对于概率论思想的推动和影响。
1. 概率论思想的起源和背景概率论，作为数学的一个分支，其思想的形成和演变跨越了数百年，与人类对随机现象的探索和理解紧密相连。
其起源可以追溯到古希腊和古罗马时期，当时机会主义盛行，但由于数字系统和科学思想的限制，概率论并未得到显著发展。
历史上的数学学派彼得堡学派
历史上的数学学派——彼得堡学派俄国圣彼得堡（原苏联列宁格勒）19世纪下半叶至20世纪初兴起的数学学派。
以切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人为代表，主要特征是数学理论紧密与实际相结合，在应用数学中做出较大贡献。
切比雪夫是该学派的创始人，他自1847年起在圣彼得堡大学任教达35年之久，培养了大批优秀学生，不断创造新的成果。
他本人在数论方面从本质上推进了对素数分布问题的研究，在概率论中的多项成果使这一学科的发展进人新的阶段，在函数逼近论中建立切比雪夫多项式，由此开始创立函数构造理论。
他还在积分学等方面有所建树。
马尔可夫早年在圣彼得堡受教于切比雪夫，后任该校教授。
他研究数论中连分数和二次不等式理论，解决了许多难题。
1906—1912年间开创的马尔可夫过程研究在自然科学、工程技术和公用事业中有着广泛的应用。
他写的《有限差分学》和《概率演算》已成为学科经典著作。
李亚普诺夫也是切比雪夫的学生，他在概率论中得到中心极限定理的简洁证明，被广泛采用。
他的最大贡献是奠定常微分方程稳定性理论的基础，提出许多新方法。
这一方向的发展成为以后原苏联数学的一大特点。
彼得堡学派是原苏联最早的数学学派，它的成员和成果对原
苏联近代数学的发展产生巨大影响。
20世纪中叶，列宁格勒大学又出现了坎托罗维奇等现代数学家，他们在继承和发展彼得堡学派的理论及传统方面做出新的贡献。
（。
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试谈圣彼得堡概率学派：从切比雪夫到马尔科夫
斯嘉琪
（湖南大学金融与统计学院）
摘要：
圣彼得堡概率学派对概率论的发展中有着着承上启下的地位，对极限定理的创立发挥了至关重要的作用。
本文选取圣彼得堡概率学派最重要的两位人物进行介绍。
切比雪夫作为学派奠基人是切比雪夫不等式与切比雪夫大数定律的提出者；马尔科夫作为学派的中坚力量推广了切比雪夫大数定律，提出了马尔科夫大数定律，并提出了马尔科夫链。
本文旨在从历史背景与数学理论两方面介绍圣彼得堡概率学派与极限定理的提出背景。
关键词：概率论圣彼得堡概率学派切比雪夫大数定律
1 概述
概率论是一门研究随机现象数量规律的科学。
其中，极限定理在概率论的发展中占有重要地位，其至今仍是概率论的重要研究方向之一。
而圣彼得堡概率学派在极限定理的创立中发挥了至关重要的作用。
圣彼得堡概率学派洞察了这一概率论的基础问题，对概率论中两类基础极限定理——大数定理和中心极限定理进行了较为严格的论证和最大限度的拓广，这不仅把概率论从濒临衰亡境地挽救出来并将其推进到现代化门槛，还使俄罗斯数学从极端落后的境地走向世界前列。
本文选取圣彼得堡概率学派最重要的两位人物进行介绍。
其中，切比雪夫是学派的奠基人，其创立的切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，也是概率论成为严密数学分支的标志。
马尔科夫是学派的中坚力量，其秉承切比雪夫的研究风范，但不满足于切比雪夫所要求随机变量方差值一致有界之条件，于是进一步改进了切比雪夫的结果并于1907年得到了更一般的马尔可夫大数定理。
本文旨在将历史分析与理论阐述的结合介绍圣彼得堡概率学派并指出其历史地位，使读者从历史背景与数学理论两方面对概率极限定理形成更深的认识。
2 切比雪夫：学派的奠基人
2.1 硕士论文与伯努利大数定理
在1841年6月17日莫斯科大学的纪念仪式上，布拉斯曼教授作了题为“数学科学对人类智力发展的影响”的演讲，他悲观地认为在俄国无论是大学还是研究机构都对概率论这门学科重视不够。
当时，切比雪夫已经完成了莫斯科大学的哲学系数学物理专业的大学课程，正在准备硕士考试。
布拉斯曼的演讲对他产生了很大的影响，切比雪夫对概率论开始了研究，并选题“试论概率论中的基础分析”做硕士论文。
这篇硕士论文应用初等数学工具，对伯努利大数定律作了精细的研究和严格的证明，并指导读者应用标准正态分布表来计算有关概率。
这篇文章在当时没有产生很大的影响力，但在此基础上切比雪夫撰写出的“概率论中基本定理的初等证明”，发表在克雷尔《纯粹与应用数学杂志》上。
文中给出了泊松大数定律的证明。
当时，法国数学家认为概率论还是一个有争议的课题, 故在当时没有得到应有的重视。
从现在来看，切比雪夫的这两篇论文都是在概率论的新方向——极限定理上迈出了重要的一步。
2.2 切比雪夫不等式
众所周知的切比雪夫不等式，确切来说应为比埃奈梅-切比雪夫不等式。
1867年，切比雪夫将这篇论文同时以俄语刊登在圣彼得堡和以法语发表在刘维尔《纯粹与应用数学杂志》上。
直到发表后，切比雪夫才知道比埃奈梅早在1853年就给出了相关证明。
刘维尔将比埃奈梅的论文刊登在切比雪夫的论文前面。
他们当时所给的不等式如下：
其中是相互独立的，且。
这一不等式实质上为弱大数定律的一般表达式。
切比雪夫所证明的是不同分布的离散型随机变量序列,比埃奈梅所证明的是独立同分布的随机变量序列。
但从本质看,证明思路是相同的。
2.3 切比雪夫大数定律
第一个大数定律是伯努利提出的。
伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河。
1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。
之后，由于概率论陷入伦理学与精密科学的争论，逐渐门庭冷落。
切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。
在 1866年发表的论文《论均值》中，切比雪夫提出了著名的切比雪夫大数定律。
该论文给出如下定理：
定理若随机变量和其平方的均值皆不超过某给定数值，
则n个随机变量的算术平均值和其均值的算术平均值之差不小于某给定概率，而且随着随机变量个数的无限增加，其值逐渐趋于1。
其证明由切比雪夫不等式容易得出。
若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等, 则为伯努利大数定律。
又因相互独立的随机变量列必定两两无关, 故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。
切比雪夫大数定理表明：当随机变量的个数足够多时，其算术平均值非常“接近于”其平均值的数学期望，而这种“接近”是概率意义下的接近。
3 马尔科夫：学派的中坚力量
1874年，马尔科夫考入彼得堡大学数学系。
脱离了令人感到压抑东正教传统中学后，早已显露数学才能的马尔科夫更加大放异彩。
1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年系里的金质奖。
两年后他完成了《关于双正定二次型》的硕士论文，并正式给学生开课。
又过了两年，他开始考虑《关于连分数的某些应用》的博士论文，于1884年通过正式答辩。
马尔科夫从此正式在数学领域展开了工作。
从他的工作来看，马尔科夫可以说是切比雪夫忠实的追随者，是圣彼得堡概率学派的中坚力量。
马尔科夫不仅秉承了切比雪夫的学术风格，而且最大限度地拓展了切比雪夫相关理论的应用范围。
但马尔科夫不满足于切比雪夫大数定理所要求随机变量方差值一致有界之条件，于1907年发表论文“大数定理对相依随机变量的推广”，找到了更弱的定理条件，改进了切比雪夫的研究结果。
马尔科夫推广道：在其定理论证过程中，切比雪夫仅仅讨论了相互独立随机变量序列情形，而且严格限制在这种最简情形。
⋯⋯实际上其研究结果可拓展到更为一般情形，即相依随机变量序列之情形。
随后马尔科夫证明，若随机变量序列满足条件
则大数定理就能成立，此即马尔科夫大数定理。
1928年，柯尔莫戈罗夫证得，马尔科夫大数定理的条件已十分接近于大数定理的必要条件。
同时，马尔科夫得出相依随机变量序列满足大数定理的条件，并得到一个重要理论——马尔科夫链，其特性就是对过去历史没有记忆性。
即对于将来事物的态势，一般取决于当前事物态势的累积量，而若对于将来进行预测，仅需知道当前状态即可。
4 总结与评价
圣彼得堡概率学派的风格主要可以归纳为以下四点：第一，重视基础理论、善于以经典课题为突破口；第二，理论联系实际；第三，搜长运用初等工具建立高深的结果；第四，以大学为阵地，科研与教学密切结合。
19世纪后半叶，圣彼得堡概率学派对大数定理的研究窥破了平均数的经验稳定性，找到了平均数统计稳定性的一般条件，更重要的是所研究课题引发了概率论研究转向近现代概率论，推进了概率论的发展进程。
而这一学派将俄罗斯数学从极端落后的境地推向世界前列的巨大贡献，对于我国在数学领域选择突破口、充分发挥自己的优势及数学学科的建设无疑是有意义的。
参考文献：
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