2013届高三数学二轮复习课件：2.2基本初等函数
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( )
专题二
函数、导数及其应用
若x≤a，则x＋a≤2a<0， 2 2 由②知f(x)≥2a > a . 3
2
2 2 此时g(a)＝3a . －2a ， a≥0， 2 综上得g(a)＝2a 3 ， a<0.
2
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[分析]
根据一元二次方程根与系数的关系求a，b，c；
)
由导数将三次函数化为二次函数，利用解二次不等式解决 三次函数的极值问题．
专题二
函数、导数及其应用
[解析]
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0，不等
式f(x)>－2x，即ax2＋(b＋2)x＋c>0的解集为(1,3)，则 b＋2 － a ＝4 a<0，且 c＝3 a
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等价转换的两种数学思想．
( )
专题二
函数、导数及其应用
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专题二
函数、导数及其应用
1．指数函数与对数函数的图像与性质 指数函数 定义 对数函数
函数y＝ax(a>0，a≠1， 函数y＝logax(a>0， x∈R)叫指数函数 a≠1，x>0)叫对数函数
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专题二
函数、导数及其应用
[评析]
1.二次不等式ax2＋(b＋2)x＋c>0解集为(1,3)，
可推出a<0，这是解题过程中特别容易被忽略的． 2．画出二次函数的图像，数形结合，可以直观地解决 二次函数、二次方程和二次不等式问题，另外解题时注意
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专题二
函数、导数及其应用
(2)g(x)＝xf(x)＝ax3－(4a＋2)x2＋3ax， g′(x)＝3ax2－(8a＋4)x＋3a. 由函数g(x)无极值，则(8a＋4)2－36a2≤0. 2 整理得－2≤a≤－7. 因此实数a的取值范围是－2≤a<0.
专题二
函数、导数及其应用
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专题二
函数、导数及其应用
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专题二
函数、导数及其应用
1．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌
1 1 f4≥8 ∴ f1≥1 2 8 综上，a＝1.
a 3 1 4－32≥8 ，即 a－3≥1 2 8 8
(
，解得：a≥1.
)
专题二
函数、导数及其应用
[例2]
(2011·湖南长沙)已知二次函数的二项式系数为
a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)． (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，求f(x)的解 析式； (2)若函数g(x)＝xf(x)无极值，求实数a的取值范围．
专题二
函数、导数及其应用
[解析]
3 2 1 ∵f(x)＝ax－ x 的最大值不大于 ， 2 6
a a2 1 ∴f3＝ 6 ≤6，即a2≤1. 1 1 1 ， 时，f(x)≥ ， 又x∈ 8 4 2
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握对数函数图像通过的特殊点．
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数 (a>0且a≠1)．
( )
专题二
函数、导数及其应用
3．幂函数 (1)了解幂函数的概念． 1 1 (2)结合函数y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ ，y＝x 2 的图 x
[评析]
对于给定区间上的二次函数问题，要分析对
称轴与给定区间的相对位置，利用二次函数的图像求解．
专题二
函数、导数及其应用
3 2 1 已知函数f(x)＝ax－ x 的最大值不大于 ，又当x∈ 2 6
1 1 1 ， 时，f(x)≥ ，求a的值． 8 4 2
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一般属中档题．
( )
专题二
函数、导数及其应用
对于幂函数，高考中往往以考查基础知识为主，考查
幂函数的图像和性质，属容易题，掌握好教材中五种常用 的幂函数即可． 二次函数主要考查其性质及应用，尤其是二次函数、 二次方程、二次不等式的综合应用．重点考查数形结合与
R [0，＋ ∞) 偶函数
(
值域 奇偶性
R 奇函数
)
专题二
函数、导数及其应用
函数 y＝x， 特征 y＝x3 性质
y＝x2
y＝ 1 x 2
y＝x－1 x∈(0， ＋∞) 时，减 x∈(－ ∞，0) 时，减
单调性
增
定点
x∈[0， ＋∞) 时，增 增 x∈(－ ∞， 0]时，减 (1,1)
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值域 (0，＋∞)
(－∞，＋∞)
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图像
)
专题二
函数、导数及其应用
指数函数 (1)y>0； (2)图像恒过点(0,1)； (3)a>1， 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1； 性 0<a<1， 质 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1； (4)a>1，在R上y＝ax 为增函数；0<a<1， 在R上y＝ax为减函数
关系
( )
专题二
函数、导数及其应用
①Δ<0⇒f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点⇔ax2＋bx ＋c＝0无实根⇔ax2＋bx＋c>0(<0)的解集为∅或R； ②Δ＝0⇔f(x)＝ax2 ＋bx＋c的图像与x轴相切⇔ax2 ＋bx ＋c＝0有两个相等的实根； ③Δ>0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个不同的交
专题二
函数、导数及其应用
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专题二
函数、导数及其应用
在历届高考数学试题中，考查指数函数和对数函数方
面的有关内容居多数，这些试题同时考查了指数和对数方 面的运算及性质，然而更多地将考查重点放在了指、对数 函数的相关性质及其它知识点的交汇地方，这一类试题出 现在选择、填空中，难度属于较易题，而出现在解答题中
专题二
函数、导数及其应用
(2)记f(x)的最小值为g(a)．我们有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| a 2a 3x－ 2＋ ，x>a， ① 3 3 ＝ x＋a2－2a2，x≤a. ②
2
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(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此 时g(a)＝－2a2. a 2 2 (ⅱ)当a<0时，f(3)＝3a . 2 若x>a，则由①知f(x)≥3a2.
专题二
函数、导数及其应用
2.幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 y＝x， y＝x3 R
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y＝x2
y＝ [0，＋ ∞) [0，＋ ∞) 非奇非 偶
y＝x－1 (－∞， 0)∪(0， ＋∞) (－∞， 0)∪(0， ＋∞) 奇函数
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解．
)
专题二
函数、导数及其应用
[解析] (1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，
所以－a>0，即a<0. 由a2≥1知，a≤－1. 因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
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专题二
函数、导数及其应用
(2)二次函数的图像与性质 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)， ①当a>0时，抛物线开口向上，且向上无限伸展，在
b b －∞，－ 上是减函数，在 － ，＋∞ 上是增函数；顶 2a 2a
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4ac－b2 b 点最低，当x＝－ 时，y有最小值y最小＝ . 2a 4a
)
专题二
函数、导数及其应用
②当a<0时，抛物线开口向下，且向下无限伸展；
b b 在 －∞，－ 上是增函数，在 － ，＋∞ 上是减函 2a 2a
b 数；顶点最高，当x＝－ 时，y有最大值，且y最大＝ 2a 4ac－b . 4a
，因此b＝－4a－2，c＝3a，
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第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
1
3x
2 .
例4.比较下列各组中两个值的大小：
1 log6 7, log7 6; 2 log3 , log2 0.8.
例5.设 f x 4x a 2x1 b, 当x=2时，f(x)有最小值10.
求a,b的值。
解： f x 4 x a 2 x1 b 2 x 2 2a 2 x b 2 x a 2 b a 2
质 (3)a>1 时，a 越大越靠近 y 轴，0<a<1 时，a 越小越靠近 y 轴，
(4)在 R 上是增函数
(4)在 R 上是减函数
11．对数的定义:如果 ab N（ a 0且a 1）,那么数 b 就叫做以 a 为底 的 N 的对数，记作 log a N b ,其中 N 0,b R 12．指数式与对数式的互化
若a≤0,则f(x)不存在最值。若a>0，由题
意可知，要取最小值，需 a 2 x a 4
此时，最小值为b a 2 b 16 10,b 26
综上：a=4,b=26
例6.设0<x<1,a>0且a≠1,比较 log a 1 x和log a 1 x
的大小。
解：
log
a
1
x
log
a
1
x
log
对数与对数函数
对数换底公式
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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— 13 —
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
— 11 —
— 返回 —
高三数学 二轮专题复习精讲课件：1-3基本初等函数ⅰ
(2012·武汉调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式 f(x)<－1 的解集是 ________．
(2)二次函数的图象与性质 对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)， ①当 a>0 时，抛物线开口向上，且向上无限伸展，在 －∞，－2ba上是减函数，在－2ba，＋∞上是增函数；顶点最 低，当 x＝－2ba时，y 有最小值 y 最小＝4ac4－a b2.
②当 a<0 时，抛物线开口向下，且向下无限伸展；在 －∞，－2ba上是增函数，在－2ba，＋∞上是减函数；顶点最 高，当 x＝－2ba时，y 有最大值，且 y 最大＝4ac4－a b2.
已知函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3 是幂函 数，且当 x∈(0，＋∞)上是减函数，若(a＋1)－m6 ＜(3－2a)－m6 ， 试求 a 的取值范围．
[分析] 利用幂函数的定义及性质先确定 m 的值，然后再 解关于 a 的不等式．
[解析] 解法 1：∵f(x)是幂函数，则 m2－m－1＝1， ∴m＝2 或 m＝－1， 又 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3，∴m＝2. 原不等式可化为(a＋1)－13＜(3－2a)－13⇔(a＋1)－1＜(3－ 2a)－1⇔a＋1 1－3－12a＜0⇔a＋31a－2a2－3＜0， 解得 a＜－1 或23＜a＜32， 故 a 的取值范围为{a|a＜－1 或32＜a＜32}．
新课标版数学理高三总复习之2-5函数与基本初等函数
答案 D
解析 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题 意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
第31页
第二章
函数与基本初等函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
【讲评】
上述四个题目相同但所给的区间不同，最后
得到的值域也不同，主要是由于二次函数在不同区间上的单 调性不同而产生的，因此在求二次函数值域时一定要考虑函 数是针对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子．
第32页
第二章
函数与基本初等函数
段长应为|x1－x2|＝
(3)当时 f(x)<0.
第 9页
b2－4ac |a|
.
a<0， Δ<0 时
a>0， Δ<0
，恒有 f(x)>0；当
， 恒 有
第二章
函数与基本初等函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n] 上的最大、最小值的分布情况 b ，f(x) f m ， f n (1)若－ ∈[m，n]，则 f(x)max＝max min 2a
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
探究2
用配方法．
配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本
方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使
高考二轮复习 2.2 函数的定义域、值域课件
（B）
A.
B.［a,1-a］
C.［-a,1+a］
D.［0,1］
解析 ∵f(x)的定义域为［0，1］， ∴要使f(x+a)·f(x-a)有意义，
须 0 0 x x a a 1 1 aa x x a1 1a,
且 0a1,a1a, ax1a. 2
h
24
3.求下列函数的值域：
（1）y 1 x ;
f(3)25 ,又 f(0)4,
24
故由二次函数图象可知
解得 3 m 3.
3
2
m
m
3 2
3 2
. 0
2 h
25 4
，
4，
（B ）
7
题型一 求函数的定义域
求下列函数的定义域
（1）y ( x 1)0 ;
x x
(2) y3 1 5x2;
x23
(3) y x1·x1.
【思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零；
基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常
考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的
定义域和值域都有必然的联系.
h
18
方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且
它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义 域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或 不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意 对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际 问题有意义.
2x 5
（2） y x 1x2.
解 （1）（分离常数法）
y1 7 2 2(2x5)
7 0,y1.
2(2x5)
高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第6节-课件
1 高考目标导航
3 课堂典例讲练
2 课前自主导学
4 课时作业
第二章 函数与基本初等函数
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高考目标导航
第二章 函数与基本初等函数
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考纲要求
1.理解对数的概念及其 运算性质，会用换底公式将 一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数在简化 运算中的作用．
∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.
第二章 函数与基本初等函数
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[方法总结] 对数式化简求值的基本思路： (1)利用换底公式及 logamNn＝mn logaN 尽量地转化为同底的 和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转 化为对数真数的积、商、幂再运算； (3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值． 提醒：对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有 对数符号有意义的前提下才成立．
第二章 函数与基本初等函数
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(理)设 f(x)＝2lo－gx8，1xx，∈x∈－∞1，，＋1]∞，， 则满足 f(x)＝14的 x 值为__________．
[答案] 3 [解析] 当 x≤1 时，令 2－x＝14，则 x＝2，不合题意；
当
x>1
时，令
log81x＝14，则
第二章 函数与基本初等函数
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[规范解答]
2×5 5
(1)lgl2g＋50l－g5l－g4l0g8＝lglg54800
＝lg45＝1. lg4
(2)由 3a＝36,4b＝36 得 a＝log336，b＝log436.
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。
高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第1节-课件
(理)(2015·荆门调研)设 f：x→x2 是集合 M 到集合 N 的映射，
若 N＝{1,2}，则 M 不可能是( )
A．{－1}
B．{－ 2， 2}
C．{1， 2，2}
D．{－ 2，－1,1， 2}
[答案] C [解析] 由映射的定义，集合M中的每一个元素在集合N中 必须有唯一的元素与它对应，对选项C,22＝4∉N，故选C．
C中x∈R，D中x∈R.
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
( 理 ) 已 知 f(x) 的 图 像 恒 过 点 (1,1) ， 则 f(x － 4) 的 图 像 恒 过
()
A．(－3,1)
B．(5,1)
C．(1，－3)
D．(1,5)
[答案] B [解析] 解法1：由f(x)的图像恒过点(1,1)知f(1)＝1， 即f(5－4)＝1，故f(x－4)的图像恒过点(5,1)．
应为从A到B的__映__射____，记作f：A→B．
4．映射与函数的关系 由映射的定义可以看出，映射是___函__数___概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是 _非__空__数__集_．
第二章 函数与基本初等函数
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5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因_对__应__法__则_不同而分别 用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数 虽由几个部分组成，但它表示的是___一__个___函数．
1.函数的基本概念 (1)函数定义 设A，B是非空的__数__集__，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的__任__何__一个数x，在集合B中都有_唯__一__确__定_ 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个 函数，记作_y_＝__f(_x_)_，__x∈__A_．
高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第5节-课件
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[规范解答] (1)定义域为 R.因为－|x＋1|≤0， 所以 y＝23－|x＋1|≥230＝1， 所以值域为[1，＋∞)． (2)因为 2x＋1>0 恒成立，所以定义域为 R. 又因为 y＝2x2＋x 1＝1－2x＋1 1，而 0<2x＋1 1<1， 所以－1<－2x＋1 1<0，解得 0<y<1， 所以值域为(0,1)．
3．理解指数函数的 概念，理解指数函数的 单调性，掌握指数函数 图像通过的特殊点．
4．知道指数函数是 一类重要的函数模型.
命题分析
通过对近三年高考试题的统计分 析可以看出，本节内容在高考中地位 并不非常突出，主要以选择题形式出 现(多以指数与指数函数为载体)，考 查指数函数的图像和性质，尤以单调 性为主，如比较函数值的大小、解简 单的指数不等式求参数的取值范围 等．
第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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2．有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是
m
an
＝__n__a_m___(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
②正数的负分数指数幂是
1
1
m
a－ n
＝____a_mn ___＝____n_a_m__(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
第二章 函数与基本初等函数
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3．指数函数的图像和性质
函数
y＝ax(a>0，且 a≠1)
0<a<1
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 函数的奇偶性和周期性
第二章
第3课时
高考调研
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(2)∵f(x)为奇函数，且在[0,1]上为增函数， ∴f(x)在[－1,0]上也是增函数， ∴f(x)在(－1,1)上为增函数， 1 f(x)＋f(x－2)＜0， 1 1 ⇔f(x)＜－f(x－ )＝f( －x)， 2 2
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1＋x ＝(x－1) 1－x
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
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(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}， 其定义域关于原点对称，并且有 1 1 1 1 f(－x)＝ －x ＋2＝ 1 ＋2 a －1 －1 ax ax 1 ＝ x＋ 1－a 2 1－ax－1 1 ＝－ ＋2 1－ax
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题型二
奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时， f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为___________________________． (2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增 1 函数，则不等式f(x)＋f(x－2)＜0的解集为__________． (3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程 为__________．
已知f(x)的定义域为(－1,1)， 其定义域关于原点对称，
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又f(－x)＝(－x－1) ＝－(x＋1)
1－x 1＋x 1＋x21－x 1＋x 1＋x1－x2 1－x 1＋x ＝f(x)， 1－x