圆的标准方程与一般方程(含答案)
圆的标准、一般方程 2
又k AC y y ，且k BC ， 6分 x 1 x 3 y y 且k AC k BC 1 8分 ， x 1 x 3
则 x 0 x a ，y0 y (1)，
2 2
2 因为|AD|=m， 所以（x a） y2 m2 (2). …………………8分 0 0
将（1）式代入（2）式整理得 （x+3a）2+y2=4m2. …………………………………………10分 因为C不能在x轴上,所以y≠0②， …………………………11分 故所求轨迹方程为（x+3a）2+y2=4m2(y≠0). ……………12分
OC AC AO 52 42 3． 6分
2 2
所以圆心C的坐标为（3，0）或(－3，0)②,
所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=25，
或(x+3)2+y2=25. ……………………………………………12分
典例2已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －
对称的圆的标准方程.
【变式训练】若圆(x+1)2+(y-5)2=4与圆(x-3)2+(y+3)2=4关于
直线x+y-a=0对称,求实数a的值.
【解析】由题意知,两圆的圆心关于直线x+y-a=0对称，即两圆
心的中点在该直线上. 因为两圆的圆心分别为（-1，5），（3，-3）,其中点坐标为 （1，1）,所以有1+1-a=0,得a=2.
r | CM | (2 1) 2 (3 1) 2 5
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
1、圆的方程(有答案)
学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：高一 课时数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型T 同步知识梳理 C 相关专题训练 T 能力提高 教学目标 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，能结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．星级★★★ 授课日期及时段2016.教学内容 ：圆的方程一、同步知识梳理1． 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．2． 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2. 5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.二、例题讲解题型一 求圆的方程求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．(1)解析 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(2)如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1， ∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.巩 固 与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程为__________________________________________．答案 (x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9解析 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2， ∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14.① ∵所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.②又∵所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0.③联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9.故所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.题型二 与圆有关的最值问题把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x 的最大值和最小值；(2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则(x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.巩 固1 已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 答案 B解析 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45， 故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1， 又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52. 巩 固2 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为 （ ）A ．1B ．2 2C ．7D ．3 设圆心为C （3,0），P 为直线上一动点，过P 向圆引切线，切点设为N ，所以()()()11min 2min 2min -=-=PC PC PN ， 又()22)1(110322min =-++-=PC ，所以()7min =PN题型三 与圆有关的轨迹问题思维点播 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．例3 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【答案】B例4 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．思维启迪 结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． 巩 固1 如图所示，已知P (4,0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ，y )，连接OR ，PR ，则在Rt △ABP 中，|AR |＝|PR |.又R 是弦AB 的中点，所以在Rt △OAR 中，|AR |2＝|AO |2－|OR |2＝36－(x 2＋y 2)．又|AR |＝|PR |＝(x －4)2＋y 2，所以有(x －4)2＋y 2＝36－(x 2＋y 2)，即x 2＋y 2－4x －10＝0.因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，点Q 即在所求的轨迹上运动．设Q (x ，y )，R (x 1，y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋02，代入方程x 2＋y 2－4x －10＝0， 得(x ＋42)2＋(y 2)2－4×x ＋42－10＝0，整理得x 2＋y 2＝56，此即为所求顶点Q 的轨迹方程．巩 固2 已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=(1) 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ；(2) 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；(3) 若定点P （1，1）满足2PB AP = ，求直线l 的方程。
圆的一般方程及标准方程的转换
圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-提示①：将原方程配方并整理 x ²+Dx+（2D ）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E）²+F=0 （x+2D ）²+（y+2E）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。
（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F +-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
圆的一般方程及标准方程的转换（含每步提示及答案——原创材料）
圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F+-提示①：将原方程配方并整理x ²+Dx+（2D）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E ）²+F=0（x+2D ）²+（y+2E ）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。
（x+2D ）²+（y+2E ）²=2244D E F+-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】.【解析】由题意，得所求圆的半径，则所求圆的标准方程为.【考点】圆的标准方程.2.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由直线与以为圆心的圆相切得到该圆的半径，然后根据圆心的坐标与半径即可写出圆的标准方程；（2）先由弦的长与圆的半径得到圆心到直线的距离，进而设出直线的方程（注意检验直线斜率不存在的情况），由点到直线的距离公式即可算出的取值，从而可写出直线的方程.试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆半径圆的方程为（2）设线段的中点为，连结，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然满足题意；当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：由到动直线的距离为1得或为所求方程.【考点】1.圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.直线与圆的位置关系.3.已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，求圆的方程．【答案】.【解析】先设点，根据对称的特征，直线的斜率与直线的斜率互为负倒数，且线段的中点在直线上，列出方程组，求解可得圆心，接着计算圆心到直线的距离，最后由弦长、圆心到直线的距离及的平方关系：计算出半径，根据圆心的坐标与半径即可写出圆的标准方程.试题解析：设点关于直线的对称点为则由 4分故圆心到直线的距离 6分所以圆的半径的平方 8分故圆的方程为 10分.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.4.圆心为，且经过点的圆的标准方程为．【答案】.【解析】由题得半径r=，根据圆的标准方程公式可得圆的标准方程为：.【考点】圆的标准方程.5.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上.（2）该小题是直线与圆的位置关系问题，特别要先判断直线的斜率不存在的时候的情况，通过画图可知符合条件，其次是斜率存在时，通过重点三角形（弦心距，半弦长，半径）的关系可以求出弦心距的长，从而再用圆心到直线的距离公式求出直线的斜率，又过已知点即可写出直线方程.试题解析：（1）设圆的圆心坐标为，依题意，有，即，解得，所以圆的方程为.（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，所以直线符合题意.另，设直线方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【考点】1.直线与圆的关系.2.圆的标准方程.3.分类归纳思想.4.运算能力的锻炼.6.圆关于A(1,2)对称的圆的方程为【答案】【解析】圆关于点对称圆,先找圆心关于点的对称点,半径不变,可以得到对称圆的方程【考点】圆关于点对称7.已知圆过直线和圆的交点，且原点在圆上．则圆的方程为．【答案】【解析】根据题意可设圆的方程为：，因为原点在圆上，故.所以所求圆的方程为.【考点】直线与圆的位置关系，圆的标准方程.8.已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【解析】由两圆关于直线对称可知两圆心与关于直线对称，且半径相等，因（-1，1）关于直线的对称点（2，-2），故圆：+=1，选B.【考点】圆的标准方程.9.已知圆方程为．（1）求圆心轨迹的参数方程C；（2）点是（1）中曲线C上的动点，求的取值范围．【答案】（1）（2）-≤2x+y≤。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.圆心为点，且经过原点的圆的方程为【答案】【解析】由于圆过原点，，所以圆的标准方程.【考点】圆的标准方程2.圆的圆心和半径分别（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将圆配方得：，故知圆心为（2，-1），半径为，所以选A【考点】圆的一般方程.3.圆的面积为；【答案】【解析】写成标准方程,所以,那么圆的面积公式等于.【考点】圆的标准方程与圆的一般方程4.圆的方程过点和原点，则圆的方程为；【答案】【解析】设圆的一般方程为,将三点代入得：,解得,所以圆的方程为.【考点】求圆的方程5.已知，则以线段为直径的圆的方程为；【答案】【解析】,,圆心为中点，圆心，所以圆的方程为.【考点】求圆的标准方程6.已知圆方程.（1）若圆与直线相交于M，N两点，且（为坐标原点）求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】首先确定方程表示圆时应满足的条件；设，，利用韦达定理，建设立关于的方程,解方程可得的值.在（1）的条件下,以为直径的圆过原点,利用韦达定理求出的中点,从而也就易于求出半径,得到圆的方程.试题解析：解：（1）由得:2分于是由题意把代入得 3分， 4分∵得出： 5分∴∴ 8分（2）设圆心为.9分半径 12分圆的方程 13分【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；3、韦达定理的应用；4、向量垂直的条件．7.已知，则以为直径的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心为AB的中点，为。
直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。
故选A。
【考点】圆的标准方程点评：要得到圆的标准方程，需求出圆的圆心和半径。
8.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点9.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程10.已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程____.【答案】【解析】根据圆的几何性质可知圆心是AB的垂直平分线与直线x-y+1=0的交点.因为AB的垂直平分线方程为,即.由得,所以圆心坐标为(-3,-2),半径为5,所以所求圆的方程为.11.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）A．．B．．C．D．【答案】B【解析】解：因为表示圆，则说明，解得，选B12.( 本小题满分14)已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值2.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．3.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是() A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定【答案】B【解析】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．4.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.5.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.6.已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【答案】（1）(x－1)2＋y2＝13. （2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解析】(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为4，知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即·＝0，x 1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0，将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13，可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，Δ＝－4(m2－2m－25)>0，∴m＝4或m＝－3，满足Δ>0，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.7.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M 的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系8.曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )A．(x＋)2＋(y－)2＝B．(x＋1)2＋(y－1)2＝C．(x－)2＋(y＋)2＝D．(x－1)2＋(y＋1)2＝【答案】C【解析】曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)2＋(y＋)2＝，选C.9.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D10.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.11.求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．【答案】(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42【解析】由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.12.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.13.已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．【答案】x2＋【解析】由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋.14.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2+y2=2B．x2+y2=4C．x2+y2=2(x≠±2)D．x2+y2=4(x≠±2)【答案】D【解析】设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2,所以x2+y2=4(x≠±2).【误区警示】本题易误选B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2. 15.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为.【答案】(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x0,y),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x0,y)在圆上,所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).16.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2+(y-2)2=1B．x2+(y+2)2=1C．(x-1)2+(y-3)2=1D．x2+(y-3)2=1【答案】A【解析】设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.17.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A．x2+y2-2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x-4y=0D．x2+y2-2x-4y=0【解析】由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,∴该直线恒过点(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.18.设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是.【答案】(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8【解析】由题意可设圆心A(a,a),如图,则22+a2=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.19.已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝10【解析】由圆C：x2＋y2－6x－2y＝0得，圆心坐标为(3,1)，半径r＝，所以对称圆C′的圆心为(1＋1,3－1)即(2,2)，所以(x－2)2＋(y－2)2＝10.20.过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是 ()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【答案】C【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，∴a＝1，b＝1，∴r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.21.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】【解析】由题意得圆心与点连线垂直于，所以而直线过点，所以直线的方程为【考点】点斜式，圆的几何性质.22.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】只有D答案是偶函数，这个圆的圆心是，则奇函数会是该圆的“和谐函数”.【考点】1.对称性；2.奇偶性.23.已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则，以为原点，为轴建系，则，，即，，设，，，∵，∴，∴，圆心，，，即圆外点与圆上任一点的距离的最小值问题，∴.【考点】1.夹角公式；2.圆的标准方程；3.两点间距离公式.24.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.(1)求的取值范围;(2)设是线段上的点,且.请将表示为的函数.【答案】(1); (2) ()．【解析】(1)根据题意要使直线和圆有两个交点，可转化为直线和圆的方程联立方程，即消去，可得关于的一元二次方程，通过可得方程有两解，即直线和圆有两个交点; (2)由题中条件，即先要求出，进而得出，结合(1)中所求的一元二次方程运用韦达定理即可求出与的关系式，最后由点在直线上，即可将转化为，这样即可得出，注意要由(1)中所求，得到的范围．试题解析：(1)将代入得则,(*) 由得. 所以的取值范围是(2)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则,,又,由得,,所以由(*)知,, 所以,因为点Q在直线l上,所以,代入可得,由及得,即.依题意,点Q在圆C内,则,所以,于是, n与m的函数关系为 ()【考点】1.直线和圆的位置关系;2.韦达定理的运用;3.点与圆的位置关系25.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情形都有可能【答案】A【解析】，则，则，由的两根为，则有，，而，∴在圆内.【考点】1.韦达定理；2.利用圆方程判断点与圆的位置关系.26.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西方向行走13米至点处，再沿正南方向行走14米至点处，最后沿正东方向行走至点处，点、都在圆上．则在以圆心为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向的直角坐标系中圆的方程为 .【答案】【解析】如图所示：设OA与正北方向的夹角为θ，则由题意可得sinθ=，OA=13，∴cos∠AOD=sinθ=，OD=OA•cos∠AOD=13×=12，AD=OA•sin∠AOD=13×=5，∴BD=14-AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225，故圆O的方程为 x2+y2=225，即为所求。
圆的标准方程与一般方程(含参考答案)
圆的标准方程与一般方程知识要点：1. 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。
2.以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程是： 。
3. 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+。
4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；5.点与圆的位置关系：点在圆上： 圆内： 圆外：例1. 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程. ()()253522=-+-y x例2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.()()102122=+++y x例3、求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.0108422=+--+y x y x一、选择题1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2=3，则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),32、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b )A.π13B. π132C. π2D. π323、圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ）A.-4、-6、3B.-4、6、3C.-4、6、–3D. 4、-6、-34、已知圆的方程是122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c)A 、02=+-y xB 、02=-+y xC 、02=+-y x 与02=-+y xD 、02=++y x 与02=-+y x5.点)5,(2m 与圆2422=+y x 的位置关系是(A) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知圆:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么(C) A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上8．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A)A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-= D. 22(3)(3)2x y +++=二、填空题1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。
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圆的标准方程与一般方程
知识要点：
1. 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。
2.以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程是： 。
3. 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+。
4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；
5.点与圆的位置关系：
点在圆上： 圆内： 圆外：
例1. 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8， 求此圆的标准方程. ()()25352
2=-+-y x 例2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.
例3、求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.010842
2=+--+y x y x 一、选择题
1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2
=3，则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
2、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b ) A.π13 B. π132 C. π2 D. π32
3、圆x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ）
A.-4、-6、3
B.-4、6、3
C.-4、6、–3
D. 4、-6、-3
4、已知圆的方程是122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c)
A 、02=+-y x
B 、02=-+y x
C 、02=+-y x 与02=-+y x
D 、02=++y x 与02=-+y x 5.点)5,(2m 与圆
2422=+y x 的位置关系是(A) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定
6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.已知圆
:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么(C) A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上
C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上
D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上
8．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A)
A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-=
D. 22(3)(3)2x y +++= 二、填空题
1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。
圆3)2()1(22=-++y x 的圆心坐标是 ，半径是 .
2、方程0222
2=--+b ax y x 表示的图形是 。
3、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .
4、圆02222=--+by ax y x 在x 轴上截得的弦长为 .
1、a ，()a a 3,；
2、一个点或一个圆；
3、04=-+y x ；
4、||2a 。
5、经过原点，圆心在x 轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是 .
6、圆心在x y -=上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的方程是 .
7、圆心在02=+y x 上，且与直线01=-+y x 切于点（2，-1）圆的方程是 .
5、()25522=+-y x ；
6、()()103322=++-y x ；
7、()()2212
2=++-y x ； 8. 圆1)4()3(22=++-y x 关于直线0=-y x 对称的圆的方程是 .
9.圆()()9332
2=-+-y x 上，到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 3 个。
三、解答题
1、求圆心在原点，且与直线07034=-+y x 相切的圆的标准方程.1962
2=+y x
2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.
2、()()102122=+++y x 。