圆的方程练习题答案
圆的一般方程高一数学总结练习含答案解析
2.2 圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,配方可化为① .1.当D 2+E 2-4F>0时,它表示以② 为圆心,③ 为半径的圆.2.当D 2+E 2-4F=0时,它表示一个点④ .3.当D 2+E 2-4F<0时,它不表示任何图形.4.我们把⑤ 称为圆的一般方程.圆的性质及其应用1.(2013江西南昌月考,★☆☆)若方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0表示圆,则k 的取值范围是( ) A.14<k<1 B .k<14或k>1 C.k=14或k=1 D .k∈R思路点拨 令D 2+E 2-4F>0即可解得.2.(2014江西,9,5分,★☆☆)在平面直角坐标系中,A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C.(6-2√5)π D.54π思路点拨 求圆C 面积的最小值,只要求出半径的最小值即可.圆过原点,则半径r=|CO|,又圆心到直线2x+y-4=0的距离d=r,∴2r=|OC|+d.问题转化为圆心到直线的距离与到原点的距离和的最小值. 3.(2013福建福州调研,★★☆)动点A 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.(x +32)2+y 2=12思路点拨 设出中点的坐标,找出其满足的关系式即可.4.(2013四川宜宾一模,★☆☆)已知点M(1,0)是圆C:x 2+y 2-4x-2y=0内的一点,那么过点M 的最短弦所在直线的方程是 .思路点拨 弦与CM 垂直时,弦长最小.一、选择题1. 方程x 2+y 2+2x-4y-6=0表示的图形是( ) A.以(1,-2)为圆心,√11为半径的圆 B.以(1,2)为圆心,√11为半径的圆 C.以(-1,-2)为圆心,√11为半径的圆 D.以(-1,2)为圆心,√11为半径的圆2.如果x 2+y 2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(-∞,54) C.(-∞,32) D.(32,+∞)3.原点与圆:x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法确定4.经过圆x 2+2x+y 2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( ) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=05.如果圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点,那么D,E,F 满足( ) A.D≠0,E≠0,F=0 B.D≠0,E=0,F=0 C.D=0,E≠0,F=0D.D=0,E=0,F≠06.已知圆C:x 2+y 2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m 的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定7.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( )A.-2或2B.12或32 C.2或0D.-2或0二、填空题8.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是 . 9.已知点(a+1,a-1)在圆x 2+y 2-x+y-4=0的外部,则a 的取值范围是 . 10.若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a= . 11.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 .三、解答题12.已知圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3). (1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率; (2)若M 为圆C 上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.13.定长为4的线段AB 的两个端点A,B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.一、选择题1.(2015辽宁锦州统测,★☆☆)已知圆x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点O 在( ) A.圆内 B.圆外C.圆上D.圆上或圆外2.(2014贵州四校联考,★☆☆)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )A.2B.1+√2C.2+√22D.1+2√23.(2014福建福州期中,★☆☆)圆C1:x2+y2-4x+2y+4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+28=0关于直线l对称,则直线l的方程为( )A.2x-3y+6=0B.2x-3y-6=0C.3x+2y-4=0D.3x+2y+4=04.(2013河南商丘测试,★☆☆)已知圆的方程是x2+y2-4x+6y+9=0,下列直线中经过圆心的是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y=0C.3x-2y=0D.3x-2y+1=05.(2013河北唐山一模,★☆☆)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.8πC.4πD.9π二、填空题6.(2015合肥金寨段考,★★★)经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的一般方程为.三、解答题7.(2014湖北黄冈中学训练,★★☆)已知方程x2+y2+2x-6y+m=0.(1)若m∈R,试确定方程所表示的曲线;(2)若方程表示的是圆,且圆的圆心到直线2x-y-1=0的距离等于半径,求m的值.知识清单①(x+D2)2+(y+E2)2=14(D2+E2-4F) ②(-D2,-E2)③12√D2+E2-4F④(-D2,-E2)⑤x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)链接高考1.B 由题意知(4k)2+(-2)2-20k>0,所以4k2-5k+1>0,所以k>1或k<14.2.A 由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=√5.∴圆C面积的最小值为π(√5)2=45π.故选A.3.C 设中点为M(x,y),则动点A(2x-3,2y),∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1,故选C.4.答案x+y-1=0解析过点M的最短弦与CM垂直,圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),∵kCM =1-02-1=1,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.基础过关一、选择题1.D 原方程可化为(x+1)2+(y-2)2=11,所以表示以(-1,2)为圆心,√11为半径的圆.2.B 令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k<54.3.C 因为a>1,所以02+02-2a×0-2×0+(a-1)2>0,所以原点在圆外.4.A x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1,∴圆心为C(-1,0).又所求直线与直线x+y=0垂直,∴所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+1, 即x-y+1=0.5.C 配方得(x +D 2)2+(y +E 2)2=D 2+E 2-4F4.∵圆与x 轴相切于原点, ∴{-D2=0,|-E 2|=√D 2+E 2-4F2≠0,∴{D =0,E ≠0,F =0.6.C 圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心(-m2,0),即-m2+3=0,∴m=6. 7.C 配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d=√2=√22,所以a=2或0,故选C.二、填空题 8.答案 x+2y+1=0解析 由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0. 9.答案 a>√2或a<-√2解析 ∵点(a+1,a-1)在圆x 2+y 2-x+y-4=0的外部,∴(a+1)2+(a-1)2-(a+1)+a-1-4>0, ∴a 2>2,即a>√2或a<-√2. 10.答案 ±√22解析 若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是(-a 22,-1-a 22),则-a 22=-1-a 22,解得a=±√22.11.答案 6√2解析 x 2+y 2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3√2)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d=√12+12=5√2>r=3√2,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6√2. 三、解答题12.解析 (1)∵点P(a,a+1)在圆上,∴a 2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,∴a=4, ∴P(4,5),∴|PQ|=√(4+2)2+(5-3)2=2√10,k PQ =3-5-2-4=13.(2)∵圆心C 的坐标为(2,7),∴|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2,又圆的半径是2√2,∴点Q 在圆外,∴|MQ|max =4√2+2√2=6√2,|MQ|min =4√2-2√2=2√2.13.解析 解法一:设线段AB 的中点M 的坐标为(x,y),则A(2x,0),B(0,2y). 由|AB|=4,得√(2x )2+(-2y )2=4, 化简得x 2+y 2=4,所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2+y 2=4. 解法二:设M(x,y),A(x 0,0),B(0,y 0),则{x 0=2x ,y 0=2y .|AB|=√x 02+(-y 0)2=4,即(2x)2+(2y)2=16,化简得x 2+y 2=4,所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2+y 2=4.三年模拟一、选择题1.B 将O(0,0)代入x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2可得(a-1)2,因为0<a<1,所以(a-1)2>0,即原点O 在圆外.2.B 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1. 圆心到直线x-y-2=0的距离为√2=√2>1,∴圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为1+√2. 3.A 圆C 1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=1, 圆C 2的方程可化为(x+2)2+(y-5)2=1,则C 1(2,-1),C 2(-2,5),所以线段C 1C 2的中点为(0,2),k C 1C 2=-32.由题意知直线l 是线段C 1C 2的中垂线,所以直线l 的方程为y-2=23x,即2x-3y+6=0. 4.B 根据题意知该圆的圆心坐标为(2,-3).各选项中只有3x+2y=0过点(2,-3),故选B.5.C 设P(x,y),由|PA|=2|PB|得√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,整理得x 2+y 2-4x=0,即(x-2)2+y 2=4,表示圆心为(2,0),半径为2的圆.圆的面积为π×22=4π.二、填空题6.答案 x 2+y 2-3x-5y+2=0解析 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在x 轴上的两个截距为x 1,x 2,在y 轴上的两个截距为y 1,y 2. 当x=0时,y 2+Ey+F=0,则y 1+y 2=-E2;当y=0时,x 2+Dx+F=0,则x 1+x 2=-D2. 则{16+4+4D +2E +F =0,1+9-D +3E +F =0,(-D2)+(-E2)=4,解得{D =-3,E =-5,F =2,∴圆的方程为x 2+y 2-3x-5y+2=0.三、解答题7.解析 (1)原方程可变形为 (x+1)2+(y-3)2=10-m.当m<10时,方程表示的曲线是以(-1,3)为圆心、√10-m 为半径的圆; 当m=10时,方程表示的图形是点(-1,3); 当m>10时,方程不表示任何曲线.(2)当m<10时,圆心(-1,3)到直线的距离等于圆的半径√10-m . 即√22+(-1)=√10-m ,∴m=145.。
高二数学圆的方程练习-(附答案)
高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米 二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。
高考数学圆的方程练习题附答案
高考数学圆的方程练习题附答案1.若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[分析]将圆心设为Ca，Ba>0，b>0，从问题的意义中得出b=1又圆心c到直线4x-3y=0的距离d==1，解决方案是a=2或a=-四舍五入所以该圆的标准方程为x-22+y-12=1.[答：]x-22+Y-12=12.2021·南京质检已知点p2,1在圆c：x2+y2+ax-2y+b=0上，点p关于直线x+y-1=0的对称点也在圆c上，则圆c的圆心坐标为________.【分析】因为点P相对于直线x+Y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解为a=0，所以中心坐标为0,1[答案] 0,13.如果已知圆的中心位于直线y=-4x上，且圆在点P3，-2处与直线L:x+y-1=0相切，则圆的方程式为：___[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为1，-4.半径r=2，圆的方程式为X-12+y+42=8[答案] x-12+y+42=84.2022·江苏常州模拟知道实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，那么| 2x-y |的最小值为___[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得x-22+y+32=1，令x=2+cosα，y=-3+sinα，然后| 2x-y |=|4+2cosα+3-sinα|=|7-sinα-φ|≥7-tanφ=2.[答：]7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0a>0，b>0对称，则+的最小值是________.【分析】从圆的对称性来看，直线2aX by+8=0必须穿过圆的中心-2,4，因此a+B=2，+=+=++5≥ 2+5=9，from=，然后A2=4B2，再从a+B=2，所以当且仅当a=，B时取等号=[答案] 96.2022. 南京市和盐城市的第三次模拟考试是在平面直角坐标系xoy中进行的。
圆的方程 习题含答案
圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程； （2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
高中数学例题：圆的一般方程
高中数学例题：圆的一般方程例3．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t -<<（2）（t+3，4t 2－1） （3）7 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t ―1＜0117t ⇔-<<．（2）圆的方程化为[x ―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t ―7t 2．∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1）．（3）由7r ===≤．∴r 的最大值为7，此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】 在本例中，当t 在1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x ―3)2―1，再由117t -<<，知2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的圆系方程．举一反三：【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．【答案】（1）()224(1)5x y -+-= （4，1）（2）22113300x y x y +-+-= 【解析】（1）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为：228220x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1）法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为（4，1），半径r ==所以()224(1)5x y -+-=．（2）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由两点间距离公式得半径21252r =， 所以圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x+4y=0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．【答案】表示圆，圆心坐标2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径||r a = 【变式3】方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<<【答案】D【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，所以若方程表示圆，则有23104a a --+>，∴ 23440a a +-<，∴ 223a -<<．例4．（1）△ABC 的三个顶点分别为A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程；（2）圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C 的方程．【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．【答案】（1）x 2+y 2―4x ―2y ―20=0（2）(x+1)2+(y ―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x ―2y ―20=0．解法二：由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2，BC 的中垂线方程为x+y ―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径5r ==，∴所求的圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=25，即x 2+y 2―4x ―2y ―20=0．（2）解法一：如右图所示，由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ，∴|BC|=|FC|．设C （a ，b ），则|a|=|b|． ①又圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），∴圆心在PQ 的垂直平分线上， 即51322y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即y=3x+4，∴b=3a+4． ② 由①知a=±b ，代入②得11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩．∴r ==5．故所求的圆的方程为(x+1)2+(y ―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．即x 2+y 2+2x ―2y ―3=0或x 2+y 2+4x+4y ―17=0．解法二：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．∵圆C 过点P （1，2）和Q （－2，3），∴22122049230D E F D E F ⎧++++=⎨+-++=⎩，解得38117E D F D =-⎧⎨=-⎩． ∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D ―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0．∴圆C 在x 轴上截得的弦长为12||x x -=x=0代入得y 2+(3D ―8)y+11―7D=0，∴圆C 在y 轴上截得的弦长为12||y y -=由题意有=，即D 2―4(11―7D)=(3D ―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y ―7=0或x 2+y 2+2x ―2y ―3=0．【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．举一反三：【变式1】如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．【答案】⎛ ⎝⎭2243x y ⎛+= ⎝⎭。
(完整版)圆的参数方程练习题有答案
圆的参数方程1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝⎛⎭⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.4.(1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝π2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，所以32＝±a .又a >0，所以a ＝32.答案：325.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t 4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1. 答案：16.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．解析：令x ＋12＝cos θ，y －12＝sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)(注本题答案不唯一)7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θy ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)∴圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数)9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)10.已知圆P ：⎩⎨⎧x ＝1＋10cos θy ＝－3＋10sin θ，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )A ．P (1，3)，r ＝10B ．P (1，3)，r ＝10C ．P (1，－3)，r ＝10D ．P (1，－3)，r ＝10解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.11.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ得(x －2)2＋y 2＝4，其圆心为(2，0)，半径r ＝2.12.直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：选 D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选 D.13.已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θy ＝2cos θ，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5，故|AB |＝|－1＋5|＝4.答案：414.已知动圆x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0.求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0得： (x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ这就是所求的轨迹方程．15.P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6，0)，M 是PQ 中点， (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6，0)， ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 16.已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设Q (cos θ，sin θ)，PQ 中点M (x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝2＋cos θ2＝12cos θ＋1，y ＝0＋sin θ2＝12sin θ.∴所求轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ＋1y ＝12sin θ(θ为参数)消去θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝14，它表示以(1，0)为圆心、半径为12的圆．17.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是____________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ18.已知P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －1)2＋(y ＋1)2的最大值为________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α代入(x －1)2＋(y ＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋2cos α＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋3， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时有最大值为3＋2 2. 答案：3＋2219.已知点P (x ，y )在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5解析：选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－5⎝⎛⎭⎫25sin θ－15cos θ＝1－5sin ()θ－φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12， 所以x －2y 的最大值为1＋ 5.20.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，求曲线C 上的点到直线l ：x－y ＋1＝0的距离的最大值．解：点C (1＋cos θ，sin θ)到直线l 的距离 d ＝|1＋cos θ－sin θ＋1|12＋12＝|2＋cos θ－sin θ|2＝⎪⎪⎪⎪2＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42≤2＋22＝2＋1，即曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2＋1.21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.22.若P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A.依题意P (2＋cos α，sin α)，∴(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝45，sin φ＝35)∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )时，有最大值为36.23.已知点P ⎝⎛⎭⎫12，32，Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最大值是________．解析：由题意，设点Q (cos θ，sin θ)， 则|PQ |＝⎝⎛⎭⎫cos θ－122＋⎝⎛⎭⎫sin θ－322＝2－3sin θ－cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6 故|PQ |max ＝2＋2＝2. 答案：224.已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|P A |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 故|P A |min ＝9－42＝22－1. 答案：22－125.已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程， 得cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.26.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点．①求2x ＋y 的取值范围；②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ，(θ为参数)．①2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 成立．且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1的最大值是2－1，则当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．27.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0， 得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α，(α为参数)6分(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，9分 又－1≤sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分28.圆的直径AB 上有两点C ，D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值．解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)．易知点C (－1，0)，D (1，0)．因为点P 在圆上，所以可设P (5cos θ，5sin θ)． 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2θ.当cos θ＝0时，|PC |＋|PD |有最大值为226.29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.。
圆练习题及答案
圆练习题及答案【练习题一】题目：已知圆的半径为5厘米，求圆的周长和面积。
【答案】圆的周长公式为：C = 2πr将半径r = 5厘米代入公式，得：C = 2π * 5 = 10π ≈ 31.42厘米圆的面积公式为：A = πr²将半径r = 5厘米代入公式，得：A = π * 5² = 25π ≈ 78.54平方厘米【练习题二】题目：一个圆的直径是10厘米，求这个圆的半径和周长。
【答案】已知圆的直径d = 10厘米，半径r是直径的一半，所以：r = d / 2 = 10 / 2 = 5厘米圆的周长公式为：C = πd将直径d = 10厘米代入公式，得：C = π * 10 ≈ 31.42厘米【练习题三】题目：在一个圆中，弦AB的长度为8厘米，弦AB的圆心距为3厘米，求圆的半径。
【答案】设圆的半径为r厘米，弦AB的圆心距为3厘米，根据勾股定理，我们有：r² = (r - 3)² + 4²解这个方程，得：r² = r² - 6r + 9 + 166r = 25r = 25 / 6 ≈ 4.17厘米【练习题四】题目：一个圆的面积是78.54平方厘米，求圆的半径。
【答案】根据圆的面积公式：A = πr²已知面积A = 78.54平方厘米，我们可以求出半径r：78.54 = πr²r² = 78.54 / π ≈ 25r = √25 = 5厘米【练习题五】题目：已知圆的周长是31.42厘米，求圆的半径。
【答案】根据圆的周长公式：C = 2πr已知周长C = 31.42厘米，我们可以求出半径r：31.42 = 2πrr = 31.42 / (2π) ≈ 5厘米【练习题六】题目：在一个圆中，有一条弧长为5π厘米，圆心角为60度，求圆的半径。
【答案】已知弧长L = 5π厘米，圆心角θ = 60度，根据弧长公式：L = rθ / 180 * π将已知数值代入公式，得：5π = r * 60 / 180 * π5 = r * 60 / 180r = 5 * 180 / 60r = 15厘米以上是六道关于圆的练习题及其答案，希望对你有所帮助。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
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圆的方程练习题答案
A级基础演练
一、选择题
1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为
( )．A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－
1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案 B
2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是 ( )．
A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
解析将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
答案 B
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( )．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
答案 D
4．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )．
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析设P(x，y)，则由题意可得：2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
答案 B
二、填空题
5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
解析 由中点坐标公式得AB 的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为
4－3
2
＋
2－1
2
＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2
＝2.
答案 (x －2)2
＋(y －4)2
＝2
6．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．
解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.
答案
2
三、解答题
7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4a ，
3－a 2
＋－2－b 2
＝r 2
，
|a ＋b －1|
2＝r ，
解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r ＝
1－3
2
＋－4＋2
2
＝22，
∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
(2)法一 设圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.
解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.
∴所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x －4y －95＝0. 法二 由A (1,12)，B (7,10)， 得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，
则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0.
同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，
即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝
1－12
＋2－12
2
＝10.
∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝100.
8．(13分)已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①
又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2
＋b 2
＝40，
②
由①②解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝6或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40
P。