自动控制原理第2章习题解
自动控制原理习题及其解答 第二章
自动控制原理习题及其解答第一章（略） 第二章例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。
解：(1) 设输入为y r ，输出为y 0。
弹簧与阻尼器并联平行移动。
(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足∑=0F ，则对于A 点有021=-+K K f F F F其中，F f 为阻尼摩擦力，F K 1，F K 2为弹性恢复力。
(3) 写中间变量关系式220110)()(y K F Y Y K F dty y d f F K r K r f =-=-⋅=(4) 消中间变量得 020110y K y K y K dtdy f dt dy f r r=-+- (5) 化标准形 r r Ky dtdyT y dt dy T +=+00 其中:215K K T +=为时间常数，单位[秒]。
211K K K K +=为传递函数，无量纲。
例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。
(1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角θ ，摆球质量为m 。
（2）由牛顿定律写原始方程。
h mg dtd l m --=θθsin )(22其中，l 为摆长，l θ 为运动弧长，h 为空气阻力。
（3）写中间变量关系式)(dtd lh θα= 式中，α为空气阻力系数dtd l θ为运动线速度。
（4）消中间变量得运动方程式0s i n 22=++θθθmg dt d al dtd ml （2-1) 此方程为二阶非线性齐次方程。
（5）线性化由前可知，在θ ＝0的附近，非线性函数sin θ ≈θ ，故代入式（2-1）可得线性化方程为022=++θθθmg dt d al dtd ml 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。
解：（1）设输入量作用力矩M f ，输出为旋转角速度ω 。
（2）列写运动方程式f M f dtd J+-=ωω式中， f ω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。
自动控制原理C作业(第二章)答案
4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
黄家英自动控制原理第二版第二章习题答案
6 s
部分分式展开 5 1 −4 Y(s) = + + s+3 s+2 s
∴ y (t ) = −4e −3 t + 5e −2t + 1 , t ≥ 0
已知控制系统的微分方程(或微分方程组) B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量， (t)、 (t)和 式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t) r(t)为输入量 为输出量 为中间变量， 均为常数。 为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。 试求： a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 各系统的传递函数Y(s)/R(s) 试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 有哪些典型环节? 有哪些典型环节?
在图B2.4所示的电路中电压u (t)为输入量 B2.4所示的电路中电压 为输入量， B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电 (t)或 (t)作为输出量 分别列写该系统的微分方程。 作为输出量， 压u2(t)或uC2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
B 2.4解： u 2作为输出，应用网络的 复阻抗法： 作为输出， 复阻抗法： Q U 2 (s ) = U 1 (s ) 1 R1 1 C1s + R2 + 1 C 2s R1 + C1s 1 (R 2 + ) C 2s
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。 试用拉氏变换法进行求解。
B 2.8解： 进行拉氏变换 & s 2 Y(s) - (sy(0) + y(0)) + 5sY(s) - 5y(0) + 6Y(s) =
胡寿松自控习题答案 第二章习题解答
（2）
iC 2
=
uC1
+ iC1R R
K 2 x0 = f (x& − x&0 )
消去中间变量 x，可得系统微分方程
f (K1
+
K
2
)
dx0 dt
+
K1K2 x0
=
K1 f
dxi dt
对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为
X 0 (s) =
fK1s
X i (s) f (K1 + K2 )s + K1K2
③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
u0
= (iC
+ iR1 )R2
=
C
duC dt
+
uC R1
R2
=
C
d
(ui −
dt
u0
)
+
ui
− u0 R1
R2
整理得：
CR2
du0 dt
+ C
R2 R1
+ 1u0
= CR2
dui dt
+C
R2 R1ui − u0 = uC1 （1）
iC1
=
C1
duC1 dt
K
=
1
K2
( f1 s + 1)( f 2 s + 1) + f1
K 1
K2
K2
所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。
解：（a） :列写电压平衡方程：
孙亮版《自动控制原理》课后习题答案
t
F ( s ) = F1 ( s) + F2 ( s ) =
− s Aω ⋅ (1 + e ω ) 2 2 s +ω
π
（c） 由于信号 f (t ) 为周期信号，第一周期的信号如图所示， 其拉氏变换为
F1 ( s ) =
M 2 M −ηTs M −Ts M − e + e = (1 − 2e −ηTs + e −Ts ) s s s s F (s) = 1 ⋅ F1 ( s ) 1 − e −Ts
• •
忽略二次以上各项有
F ( x, i ) = F0 ( x0 , i0 ) + F x ( x, i ) x = x0 ⋅ ( x − x0 ) + F i ( x, i ) x = x0 ⋅ (i − i0 )
i =i0 i =i0
令
ΔF = F ( x, i ) − F0 ( x0 , i0 ) K x = F x ( x , i ) x = x0
→ F2 ( s ) = −
t0 f3(t)
f2(t)
1 1 −t 0 s 1 −t0 s 1 − e − t0 s (1 + t0 s ) F ( s ) = F1 ( s ) + F2 ( s ) + F3 ( s ) = 2 − 2 ⋅ e − t0 ⋅ ⋅ e = s s s s2 （b） 由于信号 f (t ) 可以分解为信号的组合如图所示， f(t) f1(t) f2(t) A Aω f1 (t ) = A sin ωt → F1 ( s ) = 2 2 s +ω 0 π π − s Aω π ω → F2 ( s ) = 2 ⋅e f 2 (t ) = sin ωt ⋅1(t − ) 2 ω s +ω ω
自动控制原理课后习题答案第二章
解:由图可得
联立上式消去中间变量U1与U2,可得:
2-8某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度,功率放大级放大系数为K3,要求:
(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级与第二级放大器得比例系数K1与K2;
(2) 画出系统结构图;
(3) 简化结构图,求系统传递函数。
证明:(a)根据复阻抗概念可得:
即 取A、B两点进行受力分析,可得:
整理可得:
经比较可以瞧出,电网络(a)与机械系统(b)两者参数得相似关系为
2-5 设初始条件均为零,试用拉氏变换法求解下列微分方程式,并概略绘制x(t)曲线,指出各方程式得模态。
(1)
(２)
2-7由运算放大器组成得控制系统模拟电路如图2-6所示,试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。
2-10试简化图2-9中得系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s )与C(s)/N(s)。
图2-9 题2-10系统结构图
分析:分别假定R(s)=0与N(s)=0,画出各自得结构图,然后对系统结构图进行等效ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ换,将其化成最简单得形式,从而求解系统得传递函数。
解:(a)令N(s)＝0,简化结构图如图所示:
可求出:
令R(s)＝0,简化结构图如图所示:
所以:
(b)令N(s)＝0,简化结构图如下图所示:
所以:
令R(s)＝0,简化结构图如下图所示:
2-12 试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图得传递函 数C(s)/R(s)。
图2-11 题2-12系统信号流图
解:
（a）存在三个回路:
存在两条前向通路:
所以:
(3)简化后可得系统得传递函数为
自动控制原理第 章课后习题及解答
dt 2
- 12 -
对 B 点有
k(x
−
y)
=
m
d2y dt 2
联立式（3）、（4）消去中间变量 x 可得
（4）
d4y dt 4
+
2K m
d2y dt 2
= mK2 F (t)
图解 2-1(c)
2-2 应用复数阻抗方法求图 2-33 所示各无源网络的传递函数。
C
C
R1
L
R1
ur(t)
R2 uc(t)
（2） 画出系统的结构图；
（3） 求系统的闭环传递函数 Qc (s) Qr (s) 。
图 2-39 系统原理框图
解 (1) 电位器的传递函数
= k0
= E Qm
33003×018π0=0
180 11π
根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为
k1 = − 1300××110033 = −3 ， k2 = − 1200××110033 = −2
，
试求系统在输入 r(t) = 1(t) 作用下的输出 c(t) 。
解 系统的微分方程为
d 2c(t) + 3 dc(t) + 2c(t) = 2r(t)
dt 2
dt
考虑初始条件，对式（1）进行拉普拉斯变换，得
s 2C(s) + s + 3sC(s) + 3 + 2C(s) = 2 s
C(s) = − s 2 + 3s − 2 = 1 − 4 + 2 s(s 2 + 3s + 2) s s + 1 s + 2
h=
h0 +
第2章-自动控制原理习题答案
习题2-1 试证明图2-1(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
1C 1f 1(a)电网络(b)机械系统图2-1解：对于电网络系统有：电路中的总电流：dtu u d C R u u i o i o i )(11-+-=对o u ：)()()(1211121222o i o i o i o i to u u C C R t u u C dt u u d C R R u u R idt C i R u -+-+-+-=+=⎰综上得：dtdu C R u R tC C C R R dt du C R u R t C C C R R i i o o 1211211212112112)()1(+++=++++对机械系统：并联部分受力：dtx x d f x x k F )()(211211-+-= 对串联部分的位移：)()()()(21212121212121212x x f f t x x f k dt x x d k f x x k k x -+-+-+-=整理得：dtdx k f x f f t f k k k dt dx k f x f f t f k k k 12122121212211212121)()1(+++=++++所以，两系统具有相同的数学模型2-5求图2-2中RC 电路和运算放大器的传递函数c ()/()i U s U s 。
1R1R(a) RC 电路 (b) RC 电路1R(c) RC 电路 (d) 运算放大器图2-2解：21212)()()R sCR R R R s u s u a r c ++=οο1)()()()()()()3122112322121121211231212112++++++++=S R C R C R C S R R C C R R C C SR C R C S R R C C R R C C s u s u b rc οο2121212)()()()R R S CR CR R R CS R s u s u c r c +++=οο21212112)()()()S LCR R R S CR R LR R LS s u s u d r c ++++=οο2-6求图2-3所示系统的传递函数C(s)/D(s)和E(s)/D(s)。
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习 题 22-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2-77习题2-1图证明：首先看题2-1图中(a)()()()s U s U s U C R R -=()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R RR ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=11 ()()s I s C R s U C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=221()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1122112211111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C11122211122211111+⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯+2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。
图2-78 习题2-2图解： (a)()()()t u R t u R dt t du Co r r 211-=+ (b)()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111(c) ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=tudttduCRtuR r cc2112-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。
在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。
解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。
于是有，在x0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：1）()()35.5625.2805.175.040402.1==----=-=xdxdf2）20240=--==xdxdf3）65.2155.0320355.2==--==xdxdf2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。
试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。
解：根据系统传动机构图可列动态如下：()()()tuKdttdiLtRire=++ω(1)iKTTem=(2)dtdJTiKTTLTLemω=-=-(3) 将方程(3)整理后得：dtdKJTKiTLTω+=1(4) 将方程(4)代入方程(1)后得：()tuKdtdKLJdtdTKLdtdKRJTKRreTLTTLT=++++ωωω22(5)将方程(5)整理后得：()dtdT K L T K R t u K dt d K RJ dt d K LJ LT LT r e T T --=++ωωω22 (6) 2-5 系统的微分方程组如下式中，r ，K-，K2，K 。
，Kn ，Kj ，T 均为常数。
试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。
解：首先画系统结构图，根据动态方程有：然后，根据梅逊公式得：()()()()()()()()()()()()()()11111111111543314321432543343214321++++++++++++=++++++++=Ts s K K K Ts s Ts K Ts s K s K K K Ts s Ts s Ts s K s K K K Ts s K K K s K Ts K s K K K s Ts K s K K K s s R s C ττττ()()()()()543343213432214321K K K K K K K K s T K K K K Ts K s K K K s R s C +++++++=ττ 2 6 图2-8l 是一个模拟调节器的电路示意图。
X 1(s)X 2(s)X 2(s)X 3(s)X 4(s)X 5(s)C (s)τs+K 1K 2K 3/sK 4/(Ts+1)K 5① 写出输入u i ，与输出u o 之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数U o (s)／U r (s)。
解：根据电路分析需要，引入中间变量v o1(t )，v o2(t )，然后，由电路图可知：()()()s U s C R R s U R s U i o1121o 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+ （1） ()()s sU C R s U o223o1-= （2） ()()s U R R s U o245o -= （3） 采用代入法，将上述3个方程联立求解得：()()()[]()()()[]s U s U s C R s C R R R R R s U s U R s C R R s C R R R s U o i 12243152o i 11222345o 1111++-=++⨯⨯-= ()()()s U sC R R s C R s C R R R R R s U i 15212243152o 1++-=()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⨯=++-=12243115224311243151522431212243152i o 1C R C R R R C R R C R R R s s C C R R R R s C R R s C R R R s C R C R R R R R s U s U 2-7某机械系统如图2-82所示。
质量为m 、半径为R 的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，求出其运动方程。
解：首先，对圆辊进行受力分析；根据分析结果可知：-K x 1mg sin α-Bd x /dtmgmg cos αN21211sin dt x d m dt dx B Kx mg =--ααsin 11212mg Kx dtdxB dt x d m =++ 2 8 图2-83是一种地震仪的原理图。
地震仪的壳体固定在地基上，重锤M 由弹簧K 支撑。
当地基上下震动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。
活塞B 提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。
①写出以指针位移y 为输出量的微分方程； ②核对方程的量纲。
解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：22dt yd m dt dy B Ky mg =--mg Kx dt dxB dtx d m =++112122 9 试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)／R(s)。
图2-84习题2-9图解：(a)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()s G s G P 211=；()()s G s G P 232=回路通道传递函数L i ：()()()s H s G s G L 2211-=；()()s H s G L 122-=特征方程△：()()()()()s H s G s H s G s G L i 1222111++=∑-=∆由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。
余子式：121=∆=∆ 系统传递函数为：()()()()()()()()()()()()s H s G s H s G s G s G s G s G s G s R s C s 1222132211+++==Φ (b)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()s G s G P 211=；回路通道传递函数L i ：()()s H s G L 111-=；()()s H s H L 212-= 特征方程△：()()()()s H s H s H s G L i 211111++=∑-=∆由于回路传递函数L 2与前向通路相“不接触”，所以。
余子式：()()s H s H 2111+=∆ 系统传递函数为：()()()()()()()()()()()()s G s H s H s H s G s H s H s G s R s C s 2211121111+++==Φ(c)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()()()s G s G s G s G P 43211=； 回路通道传递函数L i ：()()()()()s H s G s G s G s G L 143211=；()()()()s H s G s G s G L 23212-= ()()()s H s G s G L 3323-= ()()()s H s G s G L 4434-=特征方程△：()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s H s G s G s G s G L i 44333223211432111+++-=∑-=∆ 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。
余子式：11=∆系统传递函数为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G s G s R s C s 44333223211432143211+++-==Φ2-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)／R(s)。
2-11 系统的结构如图2-85所示。
① 求传递函数C 1(s)/R I (s)，C 1(s)/R 2(s)，C 2(s)/R I (s)，C 2(s) R 2(s)，② 求传递函数阵G (s)C (s)= G (s)R (s)，其中()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s G s G s 21G ，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s R s R s 21R 。
解：C 1(s)/R I (s)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()()s G s G s G P 3211=；()()()()()s G s G s G s G s G P 385712=；回路通道传递函数∑L i ：()()s G s G L 331-=；()()()s G s G s G L 8572= ()()s H s G L 253-=相互“不接触”回路∑L i L j ：()()()()()s G s G s G s G s G L L 8573321-= ()()()()s H s G s G s G L L 253331=特征方程△：ji i L L L ∑+∑-=∆1()()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s G s G s G s G s G s G s H s G s G s G s G s G s G 25338573325857331--++-+=由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。