高考典型例习题：等效重力场

欢迎共阅运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。

中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比? 为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相? 等效重力场 ? 等效重力加速度? 等效“最低点”? 等效“最高点”? 等效重力势能（1例1运场力两力作用对与细线单摆模等点时所规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

针对训练：1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重欢迎共阅 力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，确的是A ．小球所受电场力的大小为mg tan θB ．小球到B 点的速度最大C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大 答案：AB2、用长为l 的细线悬挂一质量为m ，带电荷量为+Q 的小球，将其置于水平方向向右且大小为E 的匀强电场中，如下图所示。

现将小球固定于悬点的正下方且OA l =的位置A 处，然后释放小球。

已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。

，则g 'mg 3这里的αcos 'gg =可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。

这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。

图3（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A 点由静止开始摆至B 点的速度为零。

根据重力场中单摆摆动的特点，可知αϕ2=。

（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为gL g L T αππcos 2'2==，从A →B 的时间为单摆做简谐运动的半周期。

即gL T t απcos 2==。

4、在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运A 且从B 到C 从C 到D 5、如图L ，然后（（解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为AB 弧的中点且电场力qE 水平向左、重力mg 竖直向下，合力的方向由O 指向AB 弧中点，即O 点左向下45° 则qE=mg ，E=U/d 得q=mgd/U⑵从上一问分析可知小球将在AB 弧中点达到最大速度V m ，由B 静止运动到AB 弧中点的过程，根据动能定理得+-212m mV(1则V m⑶小球圆周运动的等效最高点为O 点右向上45°距离为L 处，设在B 点时具有竖直向下的速度为V B ，由动能定理得21122B mV -=()2L L +解得B V =6、（12+q 的小（1（2a ； （3B 无初解析：（1Eq F ==?（2（3）根据动能定理有：0212-=-mv Eql mgl ·············4分解得：22glv =·················2分（2）类平抛运动例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt 2，带电后，应根据极板电性不同分两种情况讨论（1）若上极板带正电，下极板带负电（如图a ）微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t ，竖直方向受重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md)t 2，要使 微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q. （2）若上极板带负电，下极板带正电（如图b ） 分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 s=1/2(qU/md-g)t 2，要使微粒不再射出电场，则解得U>3mgd/q.O 点的g m '，“重解得：33100gR v =针对训练：1、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V 0至少应为多大？ 解析：静止时对球受力分析如右图且F=mgtg370=43mg,B + (a)“等效”场力G ’=22)(F mg +=45mg 与T 反向 “等效”场加速度g ’=45g 与重力场相类比可知:小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO 连线B 处,且最小的V B =R g '从B 到A 运用动能定理:G ’2R=21mV 02--21mV B 2 45mg2R=21mV 02--21m 45gR V 0kg 04，g '12v 03、半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图11所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：（1）小球最小动能等于多少？图11.B(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 0.04s 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少？解析（1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F （F 即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B 处（该点必在A 点的对称位置），此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心力公式可得：2AN v F F m R-=，从A 到B ，由动能定理得：2kB kA F R E E -⋅=-，可解得：40kA E J =，8kB E J =，20F N =（24、（07环，AB =水平（（1（2（3答案：（机械相应大小为N C 2.qE 在C RC C ②解得：s m gR mqERV C /224=-=………③ N mg qE N C 325=-=…………………………④（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B 、C 点的连线BC∴合场势能最低的点在BC 的中点D 如图：……………………⑤∴小球的最大能动E KM ：⌒)45cos 1(.)45sin 1(min ︒-+︒+===R mg qER Ep Ep E D KM J 52=…………⑥ 例2：“最低点”类问题如图1-1所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。

现在该平面内，将一带正电的粒子从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c 点时粒子的动能最大。

已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与ac 间的夹角θ。

（2同图所示，图1图（2x v t =0而x R =解得1、（09海淀反馈）如图15所示，BD 是竖直平面上圆的一条竖直直径，AC 是该圆的任意一条直径，已知AC 和BD 不重合，且该圆处于匀强电场中，场强大小为E ，方向在圆周平面内。

将一带负电的粒子Q 从O 点以相同的动能射出，射出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达A 点时粒子的动量总是最小。

如果不考虑重力作用的影响，则关于电场强度的下列说法中正确的是（）A ．一定由C 点指向A 点B ．一定由A 点指向C 点C ．可能由B 点指向D 点．可能由D 点指向B 点 答案：A2、(09海淀)如图9所示，BD 是竖直平面内圆上的一条竖直直径，AC 是该圆的另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周平面。

将带等量AB 图9负电荷的相同小球从O 点以相同的动能射出，射出方向不同时，小球会经过圆 周上不同的点，在这些所有的点中，到达A 点时小球的动量总是最小。

忽略空 气阻力，则下列说法中正确的是（）A ．可以断定电场方向由O 点指向圆弧AEB 上的某一点 B ．到达B 点时小球的动能和电势能之和总是最小C ．到达C点时小球的电势能和重力势能之和总是最小D ．对到达圆上的所有小球中，机械能最小的小球应落在圆弧CFD 上的某一点 答案：BC（4）、斜面类问题如图4-1所示，一根对称的“Λ”型玻璃管ABC 置于竖直平面内，管与水平面夹角为θ＝300,一侧管长为L=2m ，管对称线OO ′的左侧的空间存在竖直向上的匀强电场E 1，管对称线OO ′q 1mg ，速度为零时，到B 点的距离为：32422-==a s m针对训练：1、如图1所示，在离坡顶为l 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L 。

杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角30=θ。

若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。

（2/10s m g =，60.037sin = ，80.037cos = ）解析因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。

建立“等效重力场”如图2所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”，（5-kg ，运：运动。

对应联想：在重力场中物体只受重力，具有初速度的运动，对应有平抛、斜抛。

等效分析：如图5-2所示仍把重力与电场力等效成一个重力，mg mg qE g m 2)()(22=+='，等效重力加速度g g 2='，等效重力与初速度不垂直，于是可等效为重力场中斜抛运动。