课件 5.1.2导数的几何意义-高中数学选择性必修2(新教材同步课件)
导数的几何意义
讲师：解老师
情境导入
如何理解导数的几何意义？
问题1：什么是圆的切线？ 在初中直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 在初中定义切线的基础上理解斜率与导数的关系．
y
A
O
x
l1
情境导入
问题2：如图，当点 Pn(xn，f (xn))（n = 1，2，3，4）沿着曲线 f (x) 趋近点 P (x0， f (x0)) 时，割线 PPn 的变化趋势是什么？
x
x 0
由条件可知 f ' (1) ＝2，由点斜式可得，过点 P 的切线方程为：
y 2 2( x 1)，即 y 2x.
应用探究
求曲线 y = f (x) 在 x = x0 处切线的步骤： （1）先求 f ' (x0)，即曲线 y = f (x) 在 P (x0， f (x0)) 处切线的斜率． （2）再求 f (x0) ，则切线过点 (x0， f (x0)； （3）最后由点斜式写出直线方程： y－ f (x0) ＝ f ' (x0) (x－x0) ．
x
如图所示：
当点Q 无限接近于点 P，即 ∆x →0 时，割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线．也就是：当 ∆x →0 时，割线 PQ 斜率 的极限，就是切线的斜率．即：
y k lim
x0 x
lim x 0
f ( x0 x) x
f (x)
f ( x0 ).
应用探究
求曲线的切线方程 【例】求曲线 y＝x2＋1 在点 P (1, 2) 处的切线方程．
当f ( x0 )＞0，切线的倾斜角为锐角， 当f ( x0 )＜0，切线的倾斜角为钝角， 当f ( x0 ) 0，切线与x轴平行或重合。
应用探究
【例】已知曲线 y 1 .
x
（1）求曲线过点 A (1, 0) 的切线方程；
分析：观察一下这个题的点不在曲线上，所以先设切点求切点
f ( x x) f ( x)
【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点 P（1，2）处的切线的 斜率等于函数 y＝x2＋1 在 x＝1 处的导数值，再利用直线的点斜式方程写 出切线方程．
解：先求切线在 x＝1的斜率 f ' (1) ：
lim y lim 1+x2 1 12 1 lim x+2 =2，
x0 x
x 0
知识海洋
导数的几何意义
f ' (x0) 表示曲线 y = f (x) 在 x = x0 处的切线的斜率， 即 f ' (x0)=tanα（α为切线的倾斜角）.
已知点 P (x0，y0) 是曲线 y = f (x) 上一定点，
点 Q (x0＋∆x，y0＋∆y) 是曲线 y = f (x) 上的动点， 我们知道平均变化率 y 表示割线 PQ 的斜率．
应用探究
【例】已知曲线 y 1 .
x
（2）求满足斜率为 1 的曲线的切线方程．
3
解：令
1 x2
1 3
，解得 x
3.
所以斜率为
1 3
的切线的切点为
3,
3 3
或
3,
3 3
.
所以所求的切线方程为 y 1 x 2 3 或 y 1 x 2 3 .
33
33
课堂小结
1. 曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． 2. 关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二： （1）曲线在点 P 处的切线：点 P 在曲线上，在点 P 处作曲线的切线（ P 是切点）， 此时数量唯一．如图1．
（2）曲线经过点 P 处的切线：点 P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点 P 作曲 线上任意位置的切线（只要切线经过点 P 即可），数量不唯一．如图2，无论点 P 在曲线 上还是曲线外，过点 P 都可以作两条直线 l1、l2 与曲线相切．
y l
P
O
x
图1
y
y
l1
P
l2
O
x
O
P 是切点
图2
l2 x P
f
kPPn
xn ) f ( x0 xn x0
.
当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kPPn
无限趋近于切线 PT 的斜率 k．
f (x) 在 x = x0 处导数就是切线 PT 的斜率 k．
y y=f (x)
Pn (xn，f(xn))
Pn
T P (x0，f(x0))
P
x y
Pn
∆y
P ∆x x
1
1
y ' = lim x 0
x
lim
x 0
x
x
x
=
x2
解：由于点
A
不在曲线上，设切点坐标为
a，1 a
，则切线的斜率为
1
11
y ' |xa = a2 ，切线方程为 y a a2 ( x a).
将 A (1,
0) 代入得，0 1 a
1 a2
(1
a)，得a
1. 2
所以所求的切线方程为 y＝-4x＋4 .
y
y
P3 T P
P4 T P
O
xO
x
1. 当 Pn 向 P 逐步逼近的时候你发现了什么？归纳出曲线的切线的定义：
情境导入
当 Pn→P 时，割线 PPn→（确定位置）PT，PT 叫做曲线在点 P 处的切线．
2. 割线 PPn 的斜率 kn与切线 PT 的 斜率 k 有什么关系呢？
割线PPn的斜率是：
P 不是切点
课堂小结
讲师：解老师
情境导入
如何理解导数的几何意义？
问题1：什么是圆的切线？ 在初中直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 在初中定义切线的基础上理解斜率与导数的关系．
y
A
O
x
l1
情境导入
问题2：如图，当点 Pn(xn，f (xn))（n = 1，2，3，4）沿着曲线 f (x) 趋近点 P (x0， f (x0)) 时，割线 PPn 的变化趋势是什么？
x
x 0
由条件可知 f ' (1) ＝2，由点斜式可得，过点 P 的切线方程为：
y 2 2( x 1)，即 y 2x.
应用探究
求曲线 y = f (x) 在 x = x0 处切线的步骤： （1）先求 f ' (x0)，即曲线 y = f (x) 在 P (x0， f (x0)) 处切线的斜率． （2）再求 f (x0) ，则切线过点 (x0， f (x0)； （3）最后由点斜式写出直线方程： y－ f (x0) ＝ f ' (x0) (x－x0) ．
x
如图所示：
当点Q 无限接近于点 P，即 ∆x →0 时，割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线．也就是：当 ∆x →0 时，割线 PQ 斜率 的极限，就是切线的斜率．即：
y k lim
x0 x
lim x 0
f ( x0 x) x
f (x)
f ( x0 ).
应用探究
求曲线的切线方程 【例】求曲线 y＝x2＋1 在点 P (1, 2) 处的切线方程．
当f ( x0 )＞0，切线的倾斜角为锐角， 当f ( x0 )＜0，切线的倾斜角为钝角， 当f ( x0 ) 0，切线与x轴平行或重合。
应用探究
【例】已知曲线 y 1 .
x
（1）求曲线过点 A (1, 0) 的切线方程；
分析：观察一下这个题的点不在曲线上，所以先设切点求切点
f ( x x) f ( x)
【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点 P（1，2）处的切线的 斜率等于函数 y＝x2＋1 在 x＝1 处的导数值，再利用直线的点斜式方程写 出切线方程．
解：先求切线在 x＝1的斜率 f ' (1) ：
lim y lim 1+x2 1 12 1 lim x+2 =2，
x0 x
x 0
知识海洋
导数的几何意义
f ' (x0) 表示曲线 y = f (x) 在 x = x0 处的切线的斜率， 即 f ' (x0)=tanα（α为切线的倾斜角）.
已知点 P (x0，y0) 是曲线 y = f (x) 上一定点，
点 Q (x0＋∆x，y0＋∆y) 是曲线 y = f (x) 上的动点， 我们知道平均变化率 y 表示割线 PQ 的斜率．
应用探究
【例】已知曲线 y 1 .
x
（2）求满足斜率为 1 的曲线的切线方程．
3
解：令
1 x2
1 3
，解得 x
3.
所以斜率为
1 3
的切线的切点为
3,
3 3
或
3,
3 3
.
所以所求的切线方程为 y 1 x 2 3 或 y 1 x 2 3 .
33
33
课堂小结
1. 曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． 2. 关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二： （1）曲线在点 P 处的切线：点 P 在曲线上，在点 P 处作曲线的切线（ P 是切点）， 此时数量唯一．如图1．
（2）曲线经过点 P 处的切线：点 P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点 P 作曲 线上任意位置的切线（只要切线经过点 P 即可），数量不唯一．如图2，无论点 P 在曲线 上还是曲线外，过点 P 都可以作两条直线 l1、l2 与曲线相切．
y l
P
O
x
图1
y
y
l1
P
l2
O
x
O
P 是切点
图2
l2 x P
f
kPPn
xn ) f ( x0 xn x0
.
当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kPPn
无限趋近于切线 PT 的斜率 k．
f (x) 在 x = x0 处导数就是切线 PT 的斜率 k．
y y=f (x)
Pn (xn，f(xn))
Pn
T P (x0，f(x0))
P
x y
Pn
∆y
P ∆x x
1
1
y ' = lim x 0
x
lim
x 0
x
x
x
=
x2
解：由于点
A
不在曲线上，设切点坐标为
a，1 a
，则切线的斜率为
1
11
y ' |xa = a2 ，切线方程为 y a a2 ( x a).
将 A (1,
0) 代入得，0 1 a
1 a2
(1
a)，得a
1. 2
所以所求的切线方程为 y＝-4x＋4 .
y
y
P3 T P
P4 T P
O
xO
x
1. 当 Pn 向 P 逐步逼近的时候你发现了什么？归纳出曲线的切线的定义：
情境导入
当 Pn→P 时，割线 PPn→（确定位置）PT，PT 叫做曲线在点 P 处的切线．
2. 割线 PPn 的斜率 kn与切线 PT 的 斜率 k 有什么关系呢？
割线PPn的斜率是：
P 不是切点
课堂小结
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高二下学期数学人教A版选择性必修第二册5.1.2第二课时导数的几何意义课件
1．导数的概念
如果当Δx→0
时，平均变化率Δy无限趋近于一个确定的值，即Δy有极限，则称
Δx
Δx
y＝
f (x)在 x ＝ x0 处 _可_导__ ， 并 把 这个 _确__定_的__值__ 叫 做 y＝ f (x) 在 x＝ x0 处 的 导数 ( 也 称 为
_瞬__时_变__化_率___)，记作 f
′(x0)或__y_′|x_＝__x_0 _，即 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy
Δx ＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
问题2：导数f ′(x0)表示函数y＝f (x)在x＝x0处
的瞬时变化率，反应函数y＝f (x)在x＝x0附近的 变化情况.那么导数的几何意义是什么？
二、 新课讲授
5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)
学科版本：人教A版202X新课标 教材版本：人教A版（202X） 教材章节：选择性必修第二册5.1.2 学段学科：高中数学 年级学期：高二上学期
一、 新课引入
引导语：
问题1：根据平均变化率的概念回顾导数的概念.
二、 新课讲授
[新知初探]
知识点一 导数的几何意义
四、 知识点二
知识点二 导函数的概念 1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们称
它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)． lim fx＋Δx－fx
2．记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝_Δ_x→__0______Δ_x_____.
五、 例题练习，巩固新知
求曲线的切线方程 [例 1] 已知曲线 C：y＝x2，求曲线 C 上的横坐标为 2 的 点处的切线方程．
已知曲线上一点 P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个 步骤
5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第1课时)【课件】
题型一 平均变化率
例 1 求函数 y＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率，若Δx 都取13，哪一点 附近的平均变化率最大？
【解析】
在
x＝1
附近的平均变化率为
k1
＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝
（1＋ΔΔxx）2－1＝2＋Δx；
在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔΔx）x－f（2）＝（2＋ΔΔxx）2－22＝4 ＋Δx；
5．1.2 导数的概念及其几何意义(第1课时) 导数的概念
要点 1 平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为Δx，y 的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－ f(x0)．我们把比值Δ Δyx，即Δ Δyx＝_f_（__x0_＋__Δ__xΔ_）_x－__f_（__x0_）__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0 ＋Δx 的平均变化率．
要点 2 导数(瞬时变化率)
如果当Δx→0 时，平均变化率Δ Δyx无限趋近于一个确定的值，即Δ Δyx有极限，
则称 y＝f(x)在 x＝x0 处__可_导___，并把这个确定的值叫做 y＝f(x)在___x＝__x_0 __处的
__导__数___ (也称为瞬时变化率)，记作__f_′(_x0_) ___或__y_′|_x＝__x0_____，即 f′(x0)＝ lim
【解析】 ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔΔx x，
∴Δ Δyx＝Δx＋Δ1＋xΔΔx x＝1＋1＋1Δx，
∴ lim
Δx→0
Δ Δyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
5.1.2导数的概念及其几何意义 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：
4
4
Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx
2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx
2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0
从而 y′|x＝2＝2.
= lim
.
→0
→0
巩固练习．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝(
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
)
－3x＋Δx－1－－3x－1
解析：k＝li
m
＝－3.
Δx
Δx→0
练习．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，
则 f(5)＋f′(5)＝________.
2
f (1 x) f (1)
则，k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
＝li m
Δx
Δx→0
＝li m (4x0＋2Δx＋4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2.2导数的几何意义【同步教学课件】
B.f′(xA)<f′(xB)
C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜 率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).
(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图
象可能是( A )
解析 如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三 处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2， k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝ k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故选A.
4.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则( D )
A.1 解析
B.12
C.－12
D.－1
因为
f′(1)＝
lim
x0
a（1＋Δx
2aΔx＋Δax（Δx）2＝
lim
x0
(2a＋aΔx)＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1.
4.已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2，则 f(1)＋f′(1)
lim
x0
(－3x0Δx－3x20－(Δx)2)＝－3x20.
由 k1＝k2，得 2x0＝－3x20，∴x0＝0 或 x0＝－23.
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
【例3】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( B )
A.f′(xA)>f′(xB)
整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得 x0＝1 或 x0＝－12. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当 x0＝－12时，切点坐标为－12，－18，相应的切线方程为 y＋18＝34x＋12，
高二数学课件(人教A版选择性必修第二册)5.1.2导数的概念及其几何意义(2课时)
l
数 = ()在 = 0 附近的变化情况.那么导数 ’ (0 )的几何意义是什么？
l
思考1：观察函数 = ()的图象，平均变化率
∆
∆
=
(0 +∆)−(0 )
∆
∆
∆→0 ∆
’ (0 ) =
表示什么？瞬时变化率
(0 +∆)−(0 )
表示什么？
=
(0 +∆)−(0 )
叫做函数∆=新知探索源自如果当∆∆∆
→l 0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称
∆
∆
= ()在 = 0 处可导，并把这个确定的值叫做
= ()在 = 0 处的导数(也
l
称为瞬时变化率)，记作 ’ (0 )或 ’ |=0 ，即 ’ (0 )
瞬时变化率(精确到0.1).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线()在此点处的切线的斜率.
例析
l
l
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此
时药物浓度瞬时变化率的近似值.
作 = 0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则该切线的
l
l
对原油进行冷却和加热.已知在 ℎ 第时，原油的温度(单位：
℃)为 = () = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8).计算第2 ℎ与第
6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
同理可得 ’ (6) = 5.
在第2 ℎ和第6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/ℎ和5℃/ℎ.说明在第
这样，当变化时， = ’ ()就是的函数，我们称它为 = ()的导函数
数 = ()在 = 0 附近的变化情况.那么导数 ’ (0 )的几何意义是什么？
l
思考1：观察函数 = ()的图象，平均变化率
∆
∆
=
(0 +∆)−(0 )
∆
∆
∆→0 ∆
’ (0 ) =
表示什么？瞬时变化率
(0 +∆)−(0 )
表示什么？
=
(0 +∆)−(0 )
叫做函数∆=新知探索源自如果当∆∆∆
→l 0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称
∆
∆
= ()在 = 0 处可导，并把这个确定的值叫做
= ()在 = 0 处的导数(也
l
称为瞬时变化率)，记作 ’ (0 )或 ’ |=0 ，即 ’ (0 )
瞬时变化率(精确到0.1).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线()在此点处的切线的斜率.
例析
l
l
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此
时药物浓度瞬时变化率的近似值.
作 = 0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则该切线的
l
l
对原油进行冷却和加热.已知在 ℎ 第时，原油的温度(单位：
℃)为 = () = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8).计算第2 ℎ与第
6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
同理可得 ’ (6) = 5.
在第2 ℎ和第6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/ℎ和5℃/ℎ.说明在第
这样，当变化时， = ’ ()就是的函数，我们称它为 = ()的导函数
5.1.2导数的几何意义高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)
01 复习导入
复习导入
导数的概念
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
复习导入 求某点处导数值的步骤
一差、二比、三极限
02 导数的几何意义
新知探究
新知探究
平均变化率的 几何意义
新知探究
问题2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 f (x)
P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
新知探究
问题：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？
l
（1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变 量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，
A.f′(x1)>f′(x2) C.f′(x1)＝f′(x2)
B.f′(x1)<f′(x2) D.不能确定
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解：如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线 f(x)在点 A 处切线的斜率，设该 斜率为 k1，f′(x2l)为曲线 f(x)在点 B 处切线的斜率，设该斜率为 k2，由图象可得
3 即 12x－3y－16＝0.
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方法总结 求曲线上一点处的切线方程可按以下步骤进行：(1)求出该点的坐标.(2)求出 函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率.(3)利用点斜式写出切 线方程.
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例 2.过点(1，－1)且与曲线 y＝x3－2x 相切的直线方程为 ( A )
(D )
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(1)由导数的l 几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随 x 增 大而变大，因此应选 A. (2)从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同，可以排除 B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明 显看出 y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢 变小，排除 A.
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第2课时)【课件】
要点 3 导函数
从求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看出，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个 唯一确定的数．这样，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)
的___导__函_数____ (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__f′(_x_) ___或___y_′ __，即 f′(x)＝y
要点 2 函数的单调性与导数的关系 若 f′(x0)＝0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k＝__0___； 若 f′(x0)>0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k__>__0，且函数在 x＝x0 附近 _单__调_递__增_且 f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若 f′(x0)<0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k_<__0，且函数在 x＝x0 附近 ___单_调__递_减____，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
f（x＋Δx）－f（x） Δx
＝
lim
Δx→0
（x＋ΔΔxx）2－x2＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
设点 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，所以
y0＝4，即满足条件的点的坐标为 P(2，4)．
(2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－6y＋5＝0 的斜 率为13，所以 2x0·13＝－1，解得 x0＝－32，所以 y0＝94，即满足条件的点的坐标为 P－32，94.
如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，我们就说这个函数在
区间(a，b)上是可导函数．
课时学案
题型一 已知点在曲线上的切线问题
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【课件】
问题的答案也有一样的表示形式.
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
新知导入
平均速度
平均变化率
缩短时间间隔
缩短时间间隔
瞬时速度 0
瞬时变化率
新知讲解
平均变化率
函数 y=f(x)，从 到 的平均变化率：
（1）自变量的改变量：∆ = −
（2）函数值的改变量：∆ = ( ) − ( )
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/ℎ 与 5 ℃/ℎ .
说明在第2h附近，原油温度大约以3 ℃/ℎ的速率下降，在第6h附近，原油温度
大约以5 ℃/ℎ的速率上升.
一般地，′ ( ≤ ≤ )反映了原油温度在时刻 附近的变化情况.
合作探究
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 t s时汽车的速度（单位：m/s）
数值有关，与∆无关．
(2)
′
限接近．
0 是一个常数，即当∆ → 0时，存在一个常数与
+∆ −( )
∆
无
合作探究
例1 设 =
，求′
解：
′
+ ∆ −
=
∆→
∆
−
+
∆
=
= −
= −
∆→
∆→
∆
+ ∆
合作探究
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = − + ( ≤ ≤ ) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.