高中数学专项复习——二面角大小的几种求法(归类总结分析)

二面角大小的几种求法
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。

I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、
射影面积法)
一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。

例空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。

解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.
∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴
EF=，
∴∠EDF=
31
328332
222=⋅-+a a a a P
B α
C A
E F
D
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。

例
在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

解：如图，PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。

在Rt △ABH 中，AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2
a ；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22
a
a =，则∠PHA=arctan2.
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。

解：（垂面法）如图，PA ⊥平面BD BD ⊥AC BD ⊥BC
过BD 作平面BDH ⊥PC 于H
PC ⊥DH 、
∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角。

因a,
12PB·BC=S △PBC=1
2PC·BH 则BH=3
=DH ，又在△BHD 中由余弦定理，得：
cos ∠BHD ＝)
2
2
2
222
66331
22
66
33
a a BH DH BD BH BD ⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪+-=-
，又0＜∠BHD
P
Q
M
N
＜π，则
∠BHD=
23π，二面角B-PC-D 的大小是23
π。

II.寻找无棱二面角的平面角的方法(射影面积法、平移或延长(展)
线(面)法)
四、射影面积法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。

例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

解：（面积法）如图，AD PA AD AB AD PBA A PA AB A ⊥⎫
⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭
于，
同时，BC ⊥平面BPA 于B ，故△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影
设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则cosθ=
2
2
PBA PCD s S ∆∆=θ=45°
五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

（补形化为定义法）
解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD 补形得正方体ABCD-PQMN ，
l A C
D
P
则PQ ⊥PA 、PD ，于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。

在Rt △PAD 中，PA=AD ，则∠APD=45°。

即平面BAP 与平面PDC 所成二面角的大小为45°
六、向量法
解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD,AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，
M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=1
2
AD 。

(I)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(II)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(III)求二面角A-CD-E 的余弦值。

解：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A 为坐标原点。

设，1=AB 依题意得
()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，
，，100F .21121M ⎪⎭
⎫
⎝⎛，，
（I ）()，，，解：101BF -=()，
，，110DE -=
.
2
1
2
2100DE BF =∙++==
于是所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为060.
（II ）证明：，，由⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21121AM ()，
，，101CE -=()0AM CE 020AD =∙=，可得，，，
.
AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=∙
.
CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂（III ）
⎪⎩⎪⎨
⎧=∙=∙=.
0D 0)(CDE E u CE u z y x u ，
，则，，的法向量为解：设平面.
111(1.00），，，可得令，
于是==⎩
⎨⎧=+-=+-u x z y z x 又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，
=v 18.（2008湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB .(I)求证：AB BC ⊥；
(II)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.
分析：由已知条件可知：平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1⊥平面ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：2
2
arcsin
c
a a +=φ
2
2
2
2
b a c
a c
++）
由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：
分析：所求二面角与底面ABC 所在的位置无关，故不妨利用定义求解。

略解：在二面角的棱PB 上任取一点Q，在半平面PBA 和半平面PBC 上作
QM ⊥PB，QN ⊥PB，则由定义可得∠MQN 即为二面角的平面角。

设PM=a,则在Rt ∆PQM 和Rt ∆PQN 中可求得QM=QN=
2
3
a；又由∆PQN ≅∆PQM 得PN=a,故在正三角形PMN 中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=3
1，即二面角的余弦值为3
1。

因为AB=AD=a ，PA AB PA AD PB PD AB AD a ⊥⎫⎪⊥⇒=⎬⎪==⎭，PB PD BC DC PBD PDC PC PC =⎫
⎪
=⇒∆≅∆⎬⎪=⎭。

过B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH DH ⊥PC 故∠BHD 为二面角B-PC-D
的平面角。

因
a,BC=a,PC=a,1
2PB·BC=S △PBC=12PC·BH ，则
BH=3
=DH 又。

在△BHD 中由余弦定理，得：
cos ∠BHD
＝)
2
2
2
222
331
22
66
33
a a BH DH BD
BH BD ⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪+-=-
，又0＜∠BHD ＜π则∠BHD=
23π，二面角B-PC-D 的大小是23
π。