2015-2016年广东省汕头市金山中学高三(上)期末数学试卷和答案(文科)

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6}B．{1，4，5，6}C．{2，3，4}D．{1，6}3．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120° D．150°4．（5分）如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？5．（5分）用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．A．①②B．②③C．①④D．③④6．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值7．（5分）在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3 B．C．±3D．以上皆非8．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣9．（5分）函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．+112．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是．14．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和学为3，则项数n 的值为．15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣8x+1）+f（x﹣6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值的和为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．18．（12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．19．（12分）平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=PD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出DQ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=﹣3+i，z2=1﹣i，∴z1z2=（﹣3+i）（1﹣i）=﹣2+4i，对应点的坐标为（﹣2，4），位于第二象限，故选：B．2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6}B．{1，4，5，6}C．{2，3，4}D．{1，6}【解答】解：集合B中的不等式x2﹣6x+5＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3，4}，∵A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∵集合U={1，2，3，4，5，6}，∴∁（A∪B）={1，5，6}．∪故选：A．3．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120° D．150°【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc，∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选：D．4．（5分）如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 否故退出循环的条件应为k＞4？故选：B．5．（5分）用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．A．①②B．②③C．①④D．③④【解答】解：根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；③中a、b还可以相交；④是真命题，故选：C．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选：B．7．（5分）在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3 B．C．±3D．以上皆非【解答】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=，a3+a9=＞0，∵a3a9=（a6）2，则a6=±则a5a6a7=（a6）2a6=±3，故选：C．8．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选：A．9．（5分）函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=﹣cosx•l g|x|，∴f（﹣x）=﹣cos（﹣x）•lg|﹣x|=﹣cosx•lg|x|=f（x），故函数f（x）是偶函数，排除B，D；又当x→0时，lg|x|→﹣∞，cosx→1，∴f（x）→+∞，故排除C，故选：A．10．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选：B．11．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．+1【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），∴N与F重合．过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1=3．故选：A．12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x ﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是4．【解答】解：由题意，=1.5，=，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x﹣，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．14．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和学为3，则项数n 的值为15．【解答】解：由，得=，由，得，n=15．故答案为：15．15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π．【解答】解：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=1，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×12=4π．故答案为：4π．16．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣8x+1）+f（x﹣6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值的和为62．【解答】解：易知f（x）=x+sinx（x∈R），f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，又f′（x）=1+cosx≥0，则f（x）在R上为增函数．所以f（y2﹣8x+1）+f（x2﹣6y+10）≤0，即为f（y2﹣8x+1）≤﹣f（x2﹣6y+10）=f（﹣x2+6y﹣10），则有y2﹣8x+11≤﹣x2+6y﹣10即x2+y2﹣8x﹣6y+21≤0，即为（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4，又y≥3，则（x，y）对应可行域是以（4，3）为圆心，2为半径的上半圆面，函数F（x，y）=x2+y2的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方．连接点（2，3）和（0，0）的距离为，连接原点和圆心（4，3）延长交半圆于P，则PO的距离为+2=7，即有F（x，y）min=13，F（x，y）max=49，其和为62．故答案为：62．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴=sin2x﹣（1+cos2x）+m=sin2x﹣cos2x﹣+m=sin（2x﹣）﹣+m∵函数y=fx）图象过点M（，0），∴sin（2•﹣）﹣+m=0，解之得m=（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB∵B+C=π﹣A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA∴sinA=2sinAcosB∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=，得B=由（1），得f（x）=sin（2x﹣），所以f（A）=sin（2A﹣），其中A∈（0，）∵﹣＜2A﹣＜，∴sin（2A﹣）＞sin（﹣）=﹣，sin（2A﹣）≤sin=1因此f（A）的取值范围是（﹣，1]18．（12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．【解答】解：（1）如果x=7，则乙组同学去图书馆学习次数的平均数为=9，方差为S2==3.5．（2）如果x=9，则所有的基本事件共有=15个，满足这两名同学的去图书馆学习次数大于20的基本事件有：（9，12），（11，12），（12，9），（12，9），（12，12），共有5个，故两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率为=．19．（12分）平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=PD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出DQ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）取AB中点H，连接EH，HG，如图示：E、F、G、H分别是PA、PD、CD、AB中点⇒EF∥AD，AD∥GH⇒EF∥GH⇒E、F、G、H四点共面又E、H分别为PA、AB的中点⇒EH∥PB，而EH⊂平面EFG所以PB∥平面EFG…（6分）（2）在线段AB上取AQ′=DQ=a，=×1×1=，则S△AEFS△EFQ=S△EFQ′=×1×a=，=V A﹣EFQ由V Q﹣AEF⇒S△AEF•HE=•⇒ו=××⇒a=．即存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，此时DQ=…（12分）20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i ）若直线AB 的斜率为，求APBQ 面积的最大值；（ii ）当点A ，B 运动时，满足∠APQ=∠BPQ ，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（I ）设椭圆C 的方程为 +=1（a ＞b ＞0）， 由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4y 的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C 的方程为+=1．（Ⅱ）（i ）设A （ x 1，y 1 ），B （ x 2，y 2），AB 的方程为y=x +t ， 代入椭圆C 的方程化简可得 x 2+2tx +2t 2﹣4=0， 由△=4t 2﹣4（2t 2﹣4）＞0，求得﹣2＜t ＜2． 利用韦达定理可得 x 1+x 2=﹣2t ，x 1 •x 2=2t 2﹣4．在+=1中，令x=2求得P （2，1），Q （2，﹣1），∴APBQ 的面积S=S △APQ +S △BPQ =•PQ•|x 1﹣x 2|=×2×|x 1﹣x 2|=|x 1﹣x 2|===，故当t=0时，APBQ 的面积S 取得最大值为4．（ii ）当∠APQ=∠BPQ 时，PA 、PB 的斜率之和等于零，设PA 的斜率为k ，则 PB 的斜率为﹣k ，PA 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），把它代入椭圆C 的方程化简可得（1+4k 2）x 2+8k （1﹣2k ）x +4（1﹣2k ）2﹣8=0，∴x1+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BD，因为AB为⊙O的直径，所以BD⊥AC，又∠B=90°，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，所以∠CDE=∠C，得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是R t△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AAFB，于是有，即AB2=AE•AF，同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设A（x，y），又A点的直角坐标为，∴，把两式移项平方作和得：；（2）由，得，即，如图，要使曲线C上存在四个点到直线的距离为1，则圆C的圆心C（）到直线的距离小于1．即＜1，解得0＜m＜4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．。