动态规划专题
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划的基本原理和基本概念
)
=
max/
min
n
d
j
(S
j
,
x
j
)
j=k
7)指标递推方程（动态规划的基本方程）：
fk (Sk ) = max/ min{dk (Sk , xk ) + fk+1(Sk+1)}, k = 1,2,..., n
f
n+1
(Sn+1
)
=
0
例 投资金额分配问题．某公司有4百万元资金需要投资，有三个投资 项目可以选择。经市场调查预测，如果向项目 i 投资 j 百万元，则每年
所得到的利润（万元/年）因投资额的不同而有差异，如下表所示。问
应如何投资才能使总的利润最大？
投资额
利润
0
1
2
3
4
项目
项目1
0
16 25 30 32
项目2
0
12 17 21 22
项目3
0
10 14 16 17
解：令每给一个项目考虑投资多少资金为一个决策阶段,则该投资
决策问题可分为三个阶段.决策顺序为:
最优 决策
0 1 1
2 2,3
目标 值
0 12 22
27 31
项目1（阶段1）：
状态 0 4 0+31
决策
1
2
3
16+27 25+22* 30+12
4 32+0
最优 决策
2
目标 值
47
S1
x1 S2
x2
S3
x3
47 4
31 4
动态规划例题
动态规划例题动态规划是一种以最优化原理为基础的问题求解方法，通过拆分问题为若干阶段，每个阶段求解一个子问题，再逐步推导出整个问题的最优解。
例如，有一个背包能够承受一定的重量，现有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。
我们希望将物品放入背包中，使得背包的总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能放入的物品的最大价值。
那么，对于每一个物品，可以选择放入背包或者不放入背包。
如果选择放入背包，最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
如果选择不放入背包，最大价值为dp[i-1][j]。
因此，dp[i][j]的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。
基于这个状态转移方程，可以逐步求解从第1个物品到第n个物品的最大价值。
最终，dp[n][W]即为问题的最优解，其中W 表示背包的容量。
举个简单的例子，假设背包的容量为10，有3个物品，它们的重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6。
此时，可以得到如下的dp矩阵：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4 4 4 4 4 4 4 40 0 0 4 5 5 9 9 9 9 90 0 0 4 5 5 9 10 10 14 14我们可以看到，dp[3][10]的最大价值为14，表示在前3个物品中，容量为10的背包中所能放入的物品的最大价值为14。
通过动态规划，我们可以有效地求解背包问题，得到物品放入背包的最优解。
这个例子只是动态规划的一个简单应用，实际上，动态规划可以解决各种复杂的问题，如最长公共子序列、最大子数组和、最大字段和等。
因此，学习动态规划是非常有意义的。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从
给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选
择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
阶段变量描述当前所处的阶段位置，一 般用下标 k 表示;
(2) 确定状态
每阶段有若干状态(state), 表示某一阶段决策 面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为 状态。反映状态变化的量叫作状态变量。 k 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;
每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk ，并有skSk。每个阶段的状态可分为初始状 态和终止状态，或称输入状态和输出状态， 阶段的初始状态记作sk ，终止状态记为sk+1 ，也是下个阶段的初始状态。
状态转移方程在大多数情况下可以由数学公 式表达, 如: sk+1 = sk + xk；
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
• 2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路
径；-----递推性
• 3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且 与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；----
-无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程
最优路径。-----动态规划
§7.1多阶段决策问题
• 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出;
动态规划习题
动态规划专题分类视图数轴动规题： (1)较复杂的数轴动规 (4)线性动规 (7)区域动规： (14)未知的动规： (20)数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
【输入格式】输入文件box.in有若干行。
第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。
【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有C k个,每个重量均为W k,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。
【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。
表示用这些砝码能秤出的不同重量数。
【输入样例】22 22 3【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。
【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。
动态规划应用案例
动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。
它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。
本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。
案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。
假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。
要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。
案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。
动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。
假设有一个序列nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。
案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。
动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。
假设有一个数组nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。
它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。
0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。
完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。
3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。
4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。
5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。
以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动态规划专题( 四 )线性动态规划所谓线性动态规划, 意思是问题的状态可以描绘在一条直线上, 通过对直线上的状态选择, 来逐步推导出问题的最优解。
下面我们先来看一个简单问题。
[ 侧门台帽队形N 位同学站成一排, 音乐老师要请其中的(N-K) 位同学出列, 使得剩下的K 位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形: 设K 位同学从左到右依次编号为1,2, …,K, 他们的身高分别为ThTZ' …, 飞, 则他们的身高满足T!<Tz<" ·Ti' Ti>Ti+l> …>Td1 运i:O:::;K) 。
你的任务是, 已知有N 位同学的身高, 计算最少需要几位同学出列, 可以使得剩下的同学排成合唱队形?[ 输入文件]输入文件chorus.in 的第一行是一个整数N(2:O:::;N:O:::;l ∞), 表示同学的总数。
第→行有n 个整数, 用空格分隔, 第i 个整数Ti(130:O:::;Ti:O:::; 230) 是第i 位同学的身高( 厘米) 。
[ 辅出文件]输出文件chorus. out 包括一行, 这一行只包含一个整数, 就是最少需要几位同学出列。
[ 样倒输入]8186 186 150200 160 130 197220[ 样倒骗出]4【撞撞规模]对于500 毛的数据, 保证有n:O:::;20; 对于全部的数据, 保证有n:O:::;l ∞。
[ 分析]本题描述为: 在一条直线上的n 个人, 要找出某个最长的队列, 其中队列中最高的人, 他左边的人的高度呈升序排列, 他右边的人的高度呈降序排列。
例如样例中可以选以下这样的队列, 答案都为4:150 160 197220 或150200 160 130 ,1862 ∞160130一种比较直观的想法: 在队列中枚举那个最高的人, 然后从该人开始对左边求最长的上升序列, 假设长度1en1, 对右边求最长的下降序列, 假设长度为len2, 那么答案就len=len1 +len2-1 0那么问题就转化为, 对于一个直线上的若干个数, 如何求最长上升( 或下降) 序列的长度。
下面我们以求最长上升序列为例进行说明, 求最长下降序列类似。
设f(i) 表示前i 个数的最长上升序列的长度。
f(i) 的数值能否递增, 取决于第i 个数与前面数值的大小关系, 对于j<i, 如果a[j]<a[i], 则表示第j 个数到第i 个数是递增的, 符合题意,f 值也可以递增。
因此有:f(i)=m 叫fO)}+ 1 ,a[j]<a[i] 公式1jd,2,"',i-!初始值:f( 0=1答案: max{f(i)},i=1,2, …,n因为要枚举i 和J, 所以时间复杂度为:0(n 币。
回到原问题, 还需要枚举最高的人, 因此总时间复杂度为O( 的。
进一步分析: 其实在做枚举时, 左边求最长上升序列, 右边求最长下降序列, 也可以这样说, 从左至右求一遍最长上升, 再从右至左也求一次最长上升, 求完后, 任取某个元素作为最高者, 都会符合合唱队形。
因此我们只要对所有这样的合唱队形找一个最大数值即可。
以样倒说明, 假设从左至右求最长上升的序列为t 从右至左求最长上升的序列为g, 显然答案为max{f(i)+g(i)-l },i=l, 2, …,n 。
因此只要分别从左右求出两个最长上升序列后, 最后再去枚举每个转折点即可。
时间复杂度为: O( 的。
样例如下:186 186 150 2 ∞160 130 197 220 _ 1 1 122 1 3 4 g: 3 3 2 3 2 1 1 1f+g: 4 4 3 5 4 2 4 5进一步观察公式1, 求削时, 其实是找所有符合条件均) 的最大值, 假设存在k,j<i,a[k] <a[i], a[j] 芥<a[i 且i] 口,co 位刷()=fi 王吗G ω)显然如果a[ 悻剧k 问]< 也 a 甜[j], 我们需要保存a[ 悻剧k 剖], 舍去a[j], 因为它们两个f 值一样, 那么后面的数x 如何能与a[j]% 成升序? 显然与唯] 也能, 反之则不然。
口长沙市雅礼中学朱全民这样, 我们只要维护一个f 值和a 值都上升的队列, 运用折半查找方法找到能进行决策转移的最大f 值, 然后进行转移即可。
以样例为例说明:原始序列: 186 186 150 2 ∞160 130 197220队列: 186(f=0, 186(_=1,f 和a 的数值都相同, 舍去)队列: 186(_=1),150(_=1), 此时150<186,仨1, 因此用150 更新186队列: 150(_=1 ),2 ∞(f=2)队列: 150 (_=1 ),2 ∞(f=2),1 ω(f=2), 同样160<2 ∞,f=2, 因此用160 更新2 ∞队列: 150(_=1 ),16O(f= 匀,130 (f=l ), 同样130<150,f=1, 因此用130 更新150队列: 130(_=1 ),16O(f=2),197(_=3)队列: 130(_=0, 16O(f=2), 197(_=3),220(f=4)由此可见, 我们队列始终都是一个 a 和 f的上升序列, 由于队列有序, 因此可以采用折半查找方法找到更新点, 这样查找决策的时间变为logzn, 因此求最长上升序列的时间复杂度为O(n*logzn) 。
【倒2 】过湾在河上有一座独木桥, 一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。
在桥上有一些石子, 青蛙很讨厌踩在这些石子上。
由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数, 我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点:0,1, …,L( 其中L 是桥的长度) 。
坐标为0 的点表示桥的起点, 坐标为L 的点表示桥的终点。
青蛙从桥的起点开始, 不停地向终点方向跳跃。
一次跳跃的距离是S 到T 之间的任意正整数( 包括S,T) 。
当青蛙跳到或跳过坐标为L 的点时, 就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L, 青蛙跳跃的距离范围S 几桥上石子的位置。
你的任务是确定青蛙要想过河, 最少需要踩到的石子数。
【辅λ立件]输入文件river. in 的第一行有一个正整数L(1_ 三L:O:::;109), 表示独木桥的长度。
第二行有三个正整数S,T,M, 分别表示青蛙一次跳跃的最小距离、最大距离及桥上石子的个数, 其投稿信箱:Benami@ _中I:::;S 运T:::;lO,I:::;M:::;loo 。
第三行有M 个不同的正整数, 分别表示这M 个石子在数轴上的位置( 数据保证桥的起点和终点处没有石子) 。
所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
[ 输出文件]输出文件由er.out 只包括一个整数, 表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
[ 样倒辅λ]1023523567[ 样倒辅出]2[ 撞撞规模]对于30l) 毛的数据,L 运10 ∞0; 对于全部的数据,L_ 三109 。
[ 纷析]这个桥可以抽象成为一个数轴, 也就是一条线, 青蛙在线上跳跃方法为决策数, 由于不能往回跳, 符合动态规划的无后效性, 因此可以用线性类动态规划方法解决该题。
同最长上升序列类似, 设f(i) 表示青蛙跳到第i 个点需要踩到的最少石子数, 则有: f(i-k)}+ l,a[i] 险为石子f(i)=min K=S"'T公式 2f(i-k),d[i] 处没有石子初始值:f(O)=O答案:min{fi 剧, 他+1), …,f(L+T-l)} 因为要枚举i 和k, 所以时间复杂度为:O(σ'-S+l)*L) 。
由于本题的L 高达109, 因此当L 比较大时, 肯定不能在规定的时限内出解。
考虑这样一个现实问题: 当长度为k 的一段没有石子的独木桥, 判断是否存在一种跳法从一端正好跳到另一端。
若S<T, 事实上对于某个可跳步长区间[S, T], 必然存在一个MaxK 使得任何k:;;.M 缸K, 都可以从一端正好跳到另一端。
由于题设中青蛙的步长都在10 步以内, 经过简单推导可以验证, 取M 缸K=100 就能满足所有区间。
于是我们可以分两种情况讨论: 1.S=T B 才:这时候由于每一步只能按固定步长跳, 所以若第i 个位置上有石子并且i mod S=O, 那么这个石子就一定要被踩到。
这是我们只需要统计石子的位置中哪些是S 的倍数即可。
复杂度。
(M)2.S<T 时:首先我们作如下处理: 若存在某两个相邻石子之间的空白区域长度大于M 缸K+2*T, 我们就将这段区域缩短成长度为MaxK+2 叮。
可以证明处理之后的最优值和原先的最优值-投稿信箱:Benami@1 日 .∞m相同。
＼/…...0000a …,00900.. …·文件的第一行是两个正整数N 和M(I:::; M_ 三N:::;IOO), 分别表示积木总数和要求摞成的柱子数。
这两个数之间用一个空格符隔开。
接下来的N 行是编号从 1 到N 个积木的尺寸, 每行有三个1 至5 ∞之间的整数, 分别表示该积木三条边的长度。
同一行相邻两个数之间用一个空格符隔开。
[ 辅出搬握]文件只有一行, 是一个整数, 表示所求得的游戏方案中M 根柱子的高度之和。
[ 分析]条件规定:(1) 积水从前往后编了号;(2)后面的柱子中的积木编号必须比前面的柱子中的积木编号大: (3) 对于同一根柱子, 上面的积木的编号必须大于下面的积木的编号。
因此可以将上述条件理解为: 有N 个积木摆放在一条线上, 每次都只能从前往后拿积木, 拿的积木也只能摆放在后面的柱子上的最上层。
可见这道题的无后效性很明显, 对于第i 块积木转移, 它的决策仅仅取决于前i-I 块积木的摆放, 而与后面的积木无关。
这样我们很自然地想到采用线性类的动态规划。
对于取到的当前积木, 有以下几种情况: 1 要么不用;2. 要么摆放在当前柱的最上层;3. 要么作为下一根柱子的第一个积才旦。
而对每块积木, 摆放的方式有3 种, 假设积木的长和宽高分别为:a 、 b 、c; 第 1 种:a,b 面朝上, 高为 c 第2 种:b,c 面朝上, 高为 a 第 3 种:a,c 面朝上, 高为b假设用block [i,k] 表示第i 块积木的第k 条边的长度;k=0,1,2; 这里可以实现对每个积木的三条边进行排序, 使得block[i,O] :::; block[i,1] 运block[i,2] , 便于比较。
我们需要先将任意两块积木是否能叠放进行初始化。
用can(i 木,j,p) 记录第i 块积木的第k 面是否能与第j 块积木的第p 面叠放。