上海市2016年高考最后冲刺模拟数学文科试题(一)含答案
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x∈R,则不等式|x－3|＜1的解集为.2.(4分)设z＝,其中i为虚数单位,则z的虚部等于.3.(4分)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0,l2：2x＋y＋1＝0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是(米).5.(4分)若函数f(x)＝4sinx＋acosx的最大值为5,则常数a＝.6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C117.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.(14分)双曲线x 2－＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. (1)若l 的倾斜角为,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝,若l 的斜率存在,且|AB|＝4,求l 的斜率.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x ∈R,则不等式|x －3|＜1的解集为 (2,4) .【分析】由含绝对值的性质得－1＜x －3＜1,由此能求出不等式|x －3|＜1的解集. 【解答】解：∵x ∈R,不等式|x －3|＜1, ∴－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4.∴不等式|x －3|＜1的解集为(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.2.(4分)设z ＝,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于 －3 . 【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z ＝＝＝－3i ＋2,则z 的虚部为－3. 故答案为：－3.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(4分)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离 .【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解：平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离：＝.故答案为：.【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).【分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80. 则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76, 故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.5.(4分)若函数f(x)＝4sinx ＋acosx 的最大值为5,则常数a ＝ ±3 . 【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a 的值.【解答】解：由于函数f(x)＝4sinx＋acosx＝sin(x＋θ),其中,cosθ＝,sinθ＝,故f(x)的最大值为＝5,∴a＝±3,故答案为：±3.【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.(x－1)(x 6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝log2＞1) .【分析】由于点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,可得9＝1＋a3,解得a＝2.可得f(x)＝1(y－1),(y＞1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f－1(x). ＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2【解答】解：∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,∴9＝1＋a3,解得a＝2.(y－1),(y＞1).∴f(x)＝1＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2把x与y互换可得：f(x)的反函数f－1(x)＝log(x－1).2(x－1),(x＞1).故答案为：log2【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为－2 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解：画出可行域(如图),设z＝x－2y⇒y＝x－z,由图可知,当直线l经过点A(0,1)时,z最大,且最大值为z＝0－2×1＝－2.max故答案为：－2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为或.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解：方程3sinx＝1＋cos2x,可得3sinx＝2－2sin2x,即2sin2x＋3sinx－2＝0.可得sinx＝－2,(舍去)sinx＝,x∈[0,2π]解得x＝或.故答案为：或.【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于112 . 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256,求得 n＝8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解：∵在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n＝256,解得n＝8,＝＝,∴(－)8中,Tr＋1∴当＝0,即r＝2时,常数项为T＝(－2)2＝112.3故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值. 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,由余弦定理可得,cosC＝＝＝－,可得sinC＝＝＝,可得该三角形的外接圆半径为＝＝.故答案为：.【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数,再求出选法相同的选法种数,利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种,选法种数为,乙同学的选法种数为,则两同学的选法种数为种.两同学相同的选法种数为.由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.故答案为：.【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用,考查了组合及组合数公式,是基础题. 12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是[－1,] .【分析】设出＝(x,y),得到•＝x＋,令x＝cosθ,根据三角函数的性质得到•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),从而求出•的范围即可.【解答】解：设＝(x,y),则＝(x,),由A(1,0),B(0,－1),得：＝(1,1),∴•＝x＋,令x＝cosθ,θ∈[0,π],则•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),θ∈[0,π],故•的范围是[－,1,],故答案为：[－1,].【点评】本题考查了向量的运算性质,考查三角函数问题,是一道基础题.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是(2,＋∞) .【分析】根据方程组无解可知两直线平行,利用斜率得出a,b的关系,再使用基本不等式得出答案.【解答】解：∵关于x,y的方程组无解,∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by－1＝0平行,∴－a＝－,且.即a＝且b≠1.∵a＞0,b＞0.∴a＋b＝b＋＞2.故答案为：(2,＋∞).【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n＝1,2,3,4的情况,归纳可得n＞4后都为0或1或－1,则k的最大个数为4.【解答】解：对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得当n＝1时,a1＝S1＝2或3；若n＝2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,－1；若n＝3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1,－1；或3,0,0；或3,0,－1；或3,1,0；或3,1,－1；若n＝4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1,－1；或2,1,0,0；或2,1,0,－1；或2,1,－1,0；或2,1,－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,－1；或3,0,－1,0；或3,0,－1,1；或3,－1,0,0；或3,－1,0,1；或3,－1,1,0；或3,－1,1,－1；…即有n＞4后一项都为0或1或－1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,－1,或3,0,1,－1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜－1,即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件,故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线EF异面,而由图形即可看出直线B1C1和直线相交,从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线；B 1C1和EF在同一平面内,且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断,平行直线和相交直线的概念及判断,并熟悉正方体的图形形状.17.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解：∵对于任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则函数的周期相同,若a＝3,此时sin(3x－)＝sin(3x＋b),此时b＝－＋2π＝,若a＝－3,则方程等价为sin(3x－)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π), 则－＝－b＋π,则b＝,综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,),(－3,),共有2组,故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),由此得出：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),f(x)＝f(x＋T),即可判断出真假.【解答】解：对于①,举反例说明：f(x)＝2x,g(x)＝－x,h(x)＝3x；f(x)＋g(x)＝x,f(x)＋h(x)＝5x,g(x)＋h(x)＝2x都是定义域R上的增函数,但g(x)＝－x不是增函数,所以①是假命题；对于②,根据周期函数的定义,f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),前两式作差可得：g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T),结合第三式可得：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),同理可得：f(x)＝f(x＋T),所以②是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题目.三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【分析】(1)直接利用圆柱的体积公式,侧面积公式求解即可.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,即可求解所求角的大小.【解答】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为：π•12•1＝π.侧面积为：2π•1＝2π.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,OB,则OB∥O1B,∴∠AOB＝,异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB,大小为：－＝.【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x0,y),则y＝1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x＋1|＝,得y＝2,(0≤x≤1),(2)设M(x0,y),则y＝1,∴x＝＝,∴设所表述的矩形面积为S3,则S3＝2×(＋1)＝2×＝,设五边形EMOGH的面积为S4,则S4＝S3－S△OMP＋S△MGN＝－××1＋＝,S 1－S3＝＝,S4－S1＝－＝＜,∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.21.(14分)双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝,若l的斜率存在,且|AB|＝4,求l的斜率.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标,由△F1AB是等边三角形,可得tan∠AF1F2＝tan＝,从而求得b值,则双曲线的渐近线方程可求；(2)写出直线l的方程y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,与双曲线方程联立,利用弦长公式列式求得k值.【解答】解：(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,把x＝c＝代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan∠AF1F2＝tan＝＝,求得b2＝2,b＝,故双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±x,即双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)设b＝,则双曲线为 x2－＝1,F2(2,0),若l的斜率存在,设l的斜率为k,则l的方程为y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,联立,可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0,由直线与双曲线有两个交点,则3－k2≠0,即k.△＝36(1＋k2)＞0.x 1＋x2＝,x1•x2＝.∵|AB|＝•|x1－x2|＝•＝•＝4,化简可得,5k4＋42k2－27＝0,解得k2＝, 求得k＝.∴l 的斜率为.【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了双曲线的简单性质,考查弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 【分析】(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A ∪B ＝N *,即可判断；(2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,再由新定义可得b 16＝16＋4＝20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d ＝1或2,讨论d ＝1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解：(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列. 理由：由a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,可得4∉A,4∉B,即有4∉A ∪B ＝N *,即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； (2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,由{a n }与{b n }是无穷互补数列,可得b 16＝16＋4＝20, 即有数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋3＋…＋20)－(2＋4＋8＋16)＝×20－30＝180；(3)设{a n }为公差为d(d 为正整数)的等差数列且a 16＝36,则a 1＋15d ＝36, 由a 1＝36－15d ≥1,可得d ＝1或2,若d ＝1,则a 1＝21,a n ＝n ＋20,b n ＝n(1≤n ≤20), 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾,舍去； 若d ＝2,则a 1＝6,a n ＝2n ＋4,b n ＝.综上可得,a n ＝2n ＋4,b n ＝.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查运算和推理能力,属于中档题.23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【分析】(1)当a ＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,因此2,解出并且验证即可得出.(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,对a分类讨论解出即可得出.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,由题意可得－≤1,因此≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当a＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,∴2,化为：,解得0＜x＜1,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,∴(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,若a＝0,化为x－1＝0,解得x＝1,经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.若a≠0,令△＝1＋4a＝0,解得a＝,解得x＝2.经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.综上可得：a＝0或－.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,∴－≤1,∴≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],g′(t)＝＝＝≤＜0,∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t＝时,g(t)取得最大值,＝.∴.∴a的取值范围是.【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (文科)解析版
2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.【答案】(2,4)【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =____________.【答案】3-【解析】试题分析：i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.【答案】5【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得25d 5===考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a =ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质.【名师点睛】三角函数性质研究问题，基本思路是通过化简，得到sin()y A x ωϕ=+，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.6、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)-【解析】试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..本题较为容易.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P时，z 取得最大值，且为2-.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________.【答案】566ππ或【解析】试题分析：3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或.考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n 2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x -+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.OxyP【答案】3【解析】试题分析：由已知3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C =，∴2sin c R C ==考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =OP BA ×uu u r uu r的取值范围是.【答案】[-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα,[0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα= ，又(1,1)BA =,所以cos sin )[4OP BA αααπ⋅=+=+∈- .考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA ×uu u r uu r的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.13.设a >0,b >0.若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是.【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即a b +取值范围是(2,)+∞.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】根据方程表示直线，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.14.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n 时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k 时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1(D)直线B 1C 1【答案】D 【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A，B，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D．考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.17.设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3sin(32)sin(3333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,3πa b =，又4sin(3sin[(3sin(3333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B．考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩,03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩,0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.三、解答题（74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1）312；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．计算体积与侧面积即得.（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，计算C ∠OB 即得．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π，圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ，所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由 11A B 长为3π，可知1113π∠AOB =∠A O B =，由 C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =，所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年高考文科数学上海卷-答案
以12()log (1)f x x -=-.【提示】先将点(3,9)代入函数)(1xf x a =+求出a 值，再将x 与y 互换转化成反函数.【考点】反函数的概念，反函数的求解 7.【答案】2-【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令2z x y =-，当直线1122y x z =-经过点(0,1)P 时，z 取得最大值2-.【提示】根据约束条件，画出相应的封闭区域,通过平移找到最优解. 【考点】线性规划 8.【答案】π5π,66【解析】化简3sin 1cos2x x =+得：23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍去），又[0,2π]x ∈，所以π5π66x =或. 【提示】先通过化简得到角的某种三角函数值，再结合角的范围求解. 【考点】三角方程 9.【答案】112【解析】由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n ，即2256n =，所以8n =，又二项展开式的通项为()8483331882(2)rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-，令84033r -=，所以2r =，所以3112T =，即常数项为112. 【提示】先根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，再综合运用二项展开式的系数的性质求解. 【考点】二项式定理 10.【答案】733【解析】由已知可设357a b c ===，，，∴2221cos =22a b c C ab +-=-，∴3sin 2C =，∴732sin 3c R C ==. OxyP。
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第一模拟）一、选择题：共12题1．已知全集为R,集合A={x|x-1≥0},B={x|x2-5x+6≥0},则A∪B=A.[2,3]B.(2,3)C.[1,+∞)D.R【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算.先求出两个集合A,B,再利用集合知识结合数轴求解即可.A={x|x-1≥0}=[1,+∞),B={x|x2-5x+6≥0}={x|x≤2或x≥3},A∪B=R.2．已知复数z满足z+i=(i为虚数单位),则|z|=A. B. C. D.1【答案】A【解析】本题主要考查复数的运算、复数的模.解题时,利用复数的乘、除法运算求出z即可解决.由题意可得z=-i==1-2i,故|z|=,选A.3．已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是A.44,45,56B.44,43,57C.44,43,56D.45,43,57【答案】B【解析】本题主要考查茎叶图, 样本的中位数、众数、极差等,读懂茎叶图是解题的关键.由茎叶图可知全部数据为10,11,20,21,22,24,31,33,35,35,37,38,43,43,43,45,46,47,48,49,50,51,52,52,55,56,58,62,66,67,中位数为=44,众数为43,极差为67-10=57.选B.4．已知直线y=kx+3与圆x2+(y+3)2=16相交于A,B两点,则“k=2 ”是“|AB|=4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆相交、充要关系等知识,考查考生的运算能力与推理能力.易得圆心为(0,-3),半径为4,圆心(0,-3)到直线y=kx+3的距离d=,弦长的一半为=2,故d==2=,解得k2=8,可得k=2或k=-2,故“k=2 ”是“|AB|=4”的充分不必要条件,故选A.5．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(|φ|<,ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P(,1),在原点右侧与x轴的第一个交点为Q(,0),则f()的值为A.1B.C.D.【解析】本题主要考查三角函数的图象、性质,先根据条件求出ω,φ的值,再求出f()的值即可.f(x)=sin(ωx+φ),由题意得-,所以T=π,所以ω=2, 将点P(,1)代入f(x)=sin(2x+φ),得sin(2×+φ)=1,所以φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin(2x+)(x∈R),所以f()=sin(2×+)=sin,选C.6．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为A.89B.82C.27D.24【答案】A【解析】本题考查程序框图的知识,按照程序框图中箭头的方向和每个框的指令要求运行即可求解.因为输入x的值为1,执行循环可知,S=2,x=2;S=7,x=4;S=24,x=8;S=89,此时满足输出条件, 故输出S的值为89.选A.7．已知P(x,y)为平面区域(a>0)内的任意一点,当该区域的面积为3时,z=2x-y的最大值是A.1B.3C.2D.6【解析】本题主要考查线性规划的相关知识.解题的关键是正确作出不等式组表示的平面区域,进而利用图形求解.先作出可行域如图中阴影部分所示,则可行域的面积S=(2a+2a+2)×1=3,解得a=1,平移直线y=2x,得z=2x-y在点(2,-2)处取得最大值6,故选D.8．已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)=A.1B.e+1C.3D.e+3【答案】C【解析】本题考查函数值的计算,利用换元法得到函数f(x)的解析式是解决本题的关键.设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则f[f(x)-e x]=e+1等价于f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,分析可知t=1,∴f(x)=e x+1,即f(ln 2)=e ln 2+1=2+1=3.故选C.9．已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查三视图、几何体的体积等,考查考生的计算能力、空间想象能力.将三视图还原为几何体的直观图是解题的关键.由三视图可知该几何体的直观图如图所示,所以体积为1×1×1-×1×1×1+×1×(1+2)×1=,故选B.10．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,若△ABC的面积为24,c=13,tan A=,则a的值为A.8B.14C.D.12【答案】C【解析】本题主要考查解三角形的知识,考查考生的计算能力,属于中档题.解答时可以先求出sin A与cos A的值,再利用面积公式求出b的值,最后利用余弦定理求出a的值.因为tan A=,0<A<π,所以sin A=,cos A=,由bc sin A=24,得×13×b×=24,得b=4,所以a2=b2+c2-2bc cos A=42+132-2×4×13×=16+169-40=145,所以a=,选C.11．设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=-2,S5=0,S6=3,则nS n的最小值为A.-3B.-5C.-6D.-9【答案】D【解析】本题考查数列的知识.解题时,先求出a5及a6的值,从而确定等差数列{a n}的公差,再利用前n项和公式求出a1的值,最后写出nS n的表达式,利用导数知识求其最小值.由已知得,a5=S5-S4=2,a6=S6-S5=3,因为数列{a n}为等差数列,所以公差d=a6-a5=1.又S5==0,所以a1=-2,故S n=-2n+,即nS n=,令f(x)=(x>0),则f'(x)=x2-5x,令f'(x)>0,得x>,令f'(x)<0,得0<x<.又n为正整数,所以当n=3时,nS n=取得最小值,即nS n的最小值为-9.选D.12．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线经过点(0,2),M为抛物线上的一个动点,则M到直线l1:5x-4y+4=0和l2:x=-的距离之和的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查抛物线的定义、方程,点到直线的距离公式,直线与抛物线的相交弦问题.首先根据题意利用条件得到抛物线的准线方程,然后可设直线AB的方程为y=x-,与抛物线方程联立,结合根与系数的关系求出线段AB的中点,再根据条件求出AB垂直平分线的方程,从而得到p的值,最后根据抛物线的定义求距离之和的最小值.抛物线的焦点为F(,0),准线为x=-,故直线AB的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),由⇒x2-3px+=0,所以x1+x2=3p,y1+y2=2p,故线段AB的中点坐标为(,p),又AB的垂直平分线经过点(0,2),故AB 垂直平分线的方程为y=-x+2,故p=-+2,p=,x=-是抛物线的准线,作MC⊥l1于点C,MD⊥l2于点D,如图所示,由抛物线的定义知|MD|=|MF|,当M,C,F三点共线且点M位于C,F之间时,距离之和最小,其值是F(,0)到l1:5x-4y+4=0的距离,由点到直线的距离公式可得其距离d=.二、填空题：共4题13．已知向量a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2),若(a-2b)⊥c,则实数k的值是.【答案】8【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直等知识,考查考生对向量的运算和向量垂直的充要条件的理解和应用.根据题意可知,向量a-2b=(1,4),又(a-2b)⊥c,则k-8=0,解得k=8.14．已知点P(1,2)在角θ的终边上,则sin(2θ+)+sin(2θ+2π)=.【答案】【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、三角函数的诱导公式和二倍角公式等,考查考生的运算能力.由已知得|OP|==3,则sinθ=,cosθ=,故sin(2θ+)+sin(2θ+2π)=cos 2θ+sin 2θ=2cos2θ-1+2sinθ·cosθ=2×-1+2×.15．如图所示,已知两个圆锥有公共底面,且底面半径r=1,两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为,则球的半径R=.【答案】【解析】本题主要考查圆锥的外接球问题.解题的关键是根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O,且AB⊥O1C,所以OO1=,因此体积较小的圆锥的高AO1=R-,体积较大的圆锥的高BO1=R+,故,化简得R=2,即3R2=4,得R=.16．已知函数f(x)=ln x-mx在(0,+∞)上无零点,则实数m的取值范围为.【答案】(,+∞)【解析】本题主要考查利用导数的知识解决有关函数的零点问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.函数f(x)=ln x-mx在(0,+∞)上无零点,等价于方程=m在(0,+∞)上无解.令h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,得x=e.则h(x),h'(x)随x的变化情况如下表:因为x=e是函数h(x)唯一的极大值点,故h(x)max=h(e)=,故要使方程=m在(0,+∞)上无解,当且仅当m>,故实数m的取值范围为(,+∞).三、解答题：共8题17．已知首项为,公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3,S2,S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=n|a n|,数列{b n}的前n项和为T n,求T n.【答案】(1)通解设数列{a n}的公比为q,由题意得2S2=S3+S4,q≠1,∴2×+.化简得q2+q-2=0,得q=-2,又数列{a n}的首项为,∴a n=×(-2)n-1.优解设数列{a n}的公比为q,由题意得2S2=S3+S4,即(S4-S2)+(S3-S2)=0,即(a4+a3)+a3=0,∴=-2,∴公比q=-2.又数列{a n}的首项为,∴a n=×(-2)n-1.(2)b n=n|a n|=n××2n-1=×n×2n,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=(1×2+2×22+3×23+…+n×2n), ①2T n=(1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1), ②-②得,-T n=×[-n×2n+1],∴T n=+(n-1)×2n.【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等基础知识,考查数列的求和等,考查考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解答第(1)问要充分利用已知条件2S2=S3+S4求出{a n}的通项公式;解答第(2)问要先求出{b n}的通项公式,再利用错位相减法求解即可.【备注】(1)等差数列与等比数列的运算问题主要集中在通项公式与前n项和公式上,通常只要抓住这两种数列的首项与公差(公比)即可完成求解;(2)非等差、等比数列的求和问题,在解答题中通常集中在裂项相消法和错位相减法上,这是在数列备考中必须重视的两种方法.18．某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位:百元)内的手机的利润情况,从2015年度销售的一批手机中随机抽取75部,按其价格分成5组,频数分布表如下:(1)用分层抽样的方法从价格在区间[5,10)、[10,15)和[20,25)内的手机中共抽取6部,其中价格在区间[20,25)内的有几部?(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部,求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率.【答案】(1)因为在区间[5,10)、[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15=1∶2∶3,所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×=3部.(2)设这6部手机中价格在区间[5,10)内的为a,在区间[10,15)内的分别为b1,b2,在区间[20,25)内的分别为c1,c2,c3,从中任取2部,可能的情况有(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种;设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A,则事件A包含的情况有(a,b1),(a,b2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共9种.故P(A)=.【解析】本题考查统计中的频数分布表、分层抽样、古典概型等知识.对于第(1)问,要先求出各层抽取的手机数量之比,然后再求出价格在区间[20,25)内的手机的数量;对于第(2)问,要利用列举法写出从(1)中抽出的6部手机中任取2部的总结果数,再写出价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的结果数,利用古典概型的概率计算公式即可求解.【备注】概率问题是近几年新课标高考的热点,利用频率分布直方图解答实际问题是当今命题的新亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命制,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含统计图表的识别、古典概型概率的计算等知识为主的综合题.19．如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AC与BD交于点O,E,F分别是DC,SC 的中点,∠ADC=60°,SA=1,AB=SC=2,SB=,平面SAB⊥底面ABC.(1)求证:平面OEF∥平面SAD;(2)求三棱锥S-ACD的表面积.【答案】(1)在△CSD中,因为E,F分别是DC,SC的中点,所以EF∥DS,又EF⊄平面SAD,DS⊂平面SAD,所以EF∥平面SAD.又O为AC的中点,则OE∥AD,又OE⊄平面SAD,AD⊂平面SAD,所以OE∥平面SAD,又EF∩OE=E,所以平面OEF∥平面SAD.(2)因为SA=1,AB=2,SB=,SA2+AB2=SB2,所以△SAB为直角三角形,且SA⊥AB,又平面SAB⊥底面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,所以SA⊥底面ABCD,SA⊥AC.在Rt△SAC中,由SA=1,SC=2,可得AC=,故S△SAC=×1×,在△ADC中,AC=,CD=2,∠ADC=60°,所以,即,得sin∠DAC=1,故∠DAC=90°,故AD=1,S△DAC=×1×,S△SAD=×1×1=, 因为SC=DC=2,SD=,所以S△SDC=,故三棱锥S-ACD的表面积为S△SAC+S△DAC+S△SAD+S△SDC=++++.【解析】本题主要考查面面平行与几何体表面积的求解.对于第(1)问,要先判断出平面OEF 内两条直线EF与OE分别与平面SAD平行,再进行证明;对于第(2)问,先结合勾股定理证明SA⊥AB,然后利用面面垂直的性质定理得到SA⊥AC,再结合条件求出AC,结合正弦定理得到sin∠DAC=1,求得AD,求出三棱锥各个面的面积即可.【备注】“一证一算”是立体几何考查的主导方向,其中“证”体现了对推理能力的考查,“算”体现了对知识应用能力和运算能力的考查.“证”时需要利用线与线、线与面、面与面的垂直(或平行)之间的转化去解决,“算”时要牢记角度、距离的计算方法.20．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2(2,0),点P(1,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,使得|F1M|=|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【答案】(1)解法一∵椭圆C的右焦点为F2(2,0),∴c=2,椭圆C的左焦点为F1(-2,0).由椭圆的定义可得2a=++=2,解得a=,∴b2=a2-c2=6-4=2.∴椭圆C的标准方程为+=1.解法二∵椭圆C的右焦点为F2(2,0),∴c=2,故a2-b2=4,又点P(1,-)在椭圆C上,则+=1,故+=1,化简得3b4+4b2-20=0,得b2=2,a2=6,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,由得x2+3(-x+t)2-6=0,即4x2-6tx+(3t2-6)=0,Δ=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0,解得-2<t<2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,故=-=1,又F1(-2,0),E(,),即E(,),∴=1,解得t=-4.当t=-4时,不满足-2<t<2,∴不存在满足条件的直线l.【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程,直线与椭圆的位置关系等,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.对于第(1)问,考虑两种方法解决,利用椭圆的定义比较快捷;第(2)问是探究性问题,先假设存在满足条件的直线l,设出直线l的方程,与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程,结合判别式求出t的取值范围,再由|F1M|=|F1N|求出t=-4,与题意不符,则不存在满足条件的直线l.【备注】高考一般从两个方面对圆锥曲线进行考查:一是由圆锥曲线的定义或几何性质求圆锥曲线的标准方程;二是研究直线与圆锥曲线的交点问题、弦的中点问题、直线的方程、几何图形的面积、动点、动直线变化过程中的不变量(即定值)问题等.21．已知函数f(x)=-ln x+t(x-1),t为实数.(1)当t=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若当t=时,--f(x)<0在(1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(1)当t=1时,f(x)=-ln x+x-1,x>0,∴f'(x)=-+1=.由f'(x)<0可得0<x<1,由f'(x)>0可得x>1,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)当t=时,f(x)=-ln x+-,--f(x)=--(-ln x+-)=ln x-+,当x>1时,--f(x)<0恒成立,等价于k<-x ln x在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=-x ln x,则g'(x)=x-(ln x+1)=x-1-ln x.令h(x)=x-1-ln x,则h'(x)=1-.当x>1时,h'(x)>0,函数h(x)=x-1-ln x在(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=0,从而当x>1时,g'(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=,因此当x>1时,k<-x ln x恒成立,则k≤.∴实数k的取值范围是(-∞,].【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式恒成立等,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,先进行求导,再求f(x)的单调区间;第(2)问通过构造函数,利用函数的单调性即可求解实数k的取值范围.【备注】含参不等式中的参数的取值范围问题及函数与导数的综合问题是高考中常见的压轴题型,需要考生积累一些常见的处理函数问题的方法和技巧,如分类讨论如何选取界点问题,处理恒成立问题和存在性问题,函数零点的讨论方法,利用导数证明不等式的常用方法,利用函数性质证明与数列有关的等式和不等式问题等.22．如图,O是圆心,AB是半圆的直径,AB=5,AC是弦,AC=3,∠BAC的平分线交半圆于点D,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E,连接OE交AD于点F.(1)证明:△AEF∽△DOF;(2)求AF∶DF的值.【答案】(1)依题意∠BAC的平分线交半圆于点D,可得∠OAD=∠DAC.又∠OAD=∠ODA,所以∠ODA=∠DAC,又∠DFO=∠AFE,故△AEF∽△DOF.(2)连接BD,BC,过点D作DG⊥AB于G,因为∠DOG=∠CAB,所以cos∠DOG=cos∠CAB=.设OD=5t,则AB=10t,OG=3t,DG=4t,所以AG=8t,AD2=AG2+DG2=80t2,因为∠AED=∠ADB= 90°,∠EAD=∠DAB,所以△ADE∽△ABD.所以AD2=AE×AB=AE·10t,所以AE=8t,又△AEF∽△DOF,所以.【解析】本题考查三角形相似、角平分线等,对于第(1)问,要先根据AD是∠BAC的平分线得到∠DAC=∠OAD,从而得到∠ODA=∠DAC,进而证明三角形相似.对于第(2)问,先过点D作DG⊥AB,得到△ADE∽△ABD,再利用已知条件得到比例关系式,然后求出AF∶DF的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的主要依据,以圆的切线长定理、切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的主要依据,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线去解决问题.23．在平面直角坐标系xOy中,C1:(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0.(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若P,Q分别为C1,C2上的动点,且|PQ|的最小值为2,求k的值.【答案】(1)由可得其普通方程为y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为k的直线.由ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0可得其直角坐标方程为x2+y2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为1的圆.(2)因为圆心(-5,3)到直线y=k(x-1)的距离d=,故|PQ|的最小值为-1,故-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-.【解析】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程,考查点到直线的距离公式等知识,熟记消参方法与是解题的关键.【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法;极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好公式.一般与极坐标方程、参数方程有关的问题多是化为直角坐标方程、普通方程,结合图形,合理转化进行求解.24．已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为t.(1)求t的值;(2)若正实数a,b满足a+b=t,求证:+≥.【答案】(1)通解因为f(x)=,根据函数f(x)的图象分析可得f(x)的最小值为4,故t=4.优解一因为|x+3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|≥|x+3+1-x|=4,可知f(x)min=4,即t=4.优解二|x+3|+|x-1|表示数轴上的动点x到-3和1的距离之和,故|x+3|+|x-1|≥4,当且仅当-3≤x≤1时,取得最小值4,即t=4.(2)由(1)得a+b=4,故+=1,+=(+)(+)=+1++≥+2+1=,当且仅当b=2a,即a=,b=时取等号,故+≥.【解析】第(1)问主要考查函数的最小值的求解,可以利用绝对值不等式的性质进行解答,也可以利用数形结合法,求出最小值;第(2)问主要考查不等式的证明,充分利用a+b=t进行变形是解题的关键.。
(精校版)2016年上海市高考数学(文)试题含答案
2016年高考上海数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.2．设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______.3．已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____.4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.6．已知点（3,9）在函数()1xf x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()fx -=______.7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.8．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____.9．在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P是曲线y =OP BA ×uu u r uu r的取值范围是.13.设a >0,b >0.若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是.14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设a ÎR ,则“a >1”是“a 2>1”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1(D)直线B 1C 117.设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（）(A)1(B)2(C)3(D)418.设f (x )、g (x )、h(x )是定义域为R 的三个函数.对于命题：①若f (x )+g (x )、f (x )+h (x )、g (x )+h (x )均是增函数，则f (x )、g (x )、h(x )均是增函数；②若f (x )+g (x )、f (x )+h (x )、g (x )+h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h(x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为8.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3,b =若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B = ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+.（1）当1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.参考答案1.)4,2(2.3-3.5524.76.15.3±6.)1(log 2-x 7.2-8.65,6ππ9.11210.33711.1612.⎡-⎣13.()2,+∞14.415.A 16.D 17.B 18.D 19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l πππ==⨯⨯=，圆柱的侧面积22112S rl πππ==⨯⨯=．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ，所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由 11A B 长为π，可知111π∠AOB =∠A O B =，由 C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =，所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．20.解：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭．所求的矩形面积为5，而所求的五边形面积为11．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为118143-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．21.解：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c，c =，()22241y b c b A =-=，因为1F ∆AB是等边三角形，所以2c A =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =．（2）由已知，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-，故()21226143k x k +AB ==-==-，解得235k=，故l 的斜率为5±．22.解：（1）因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以1616420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+⨯--=．（3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或2．若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．23.解：（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得()0,1x ∈．（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于211a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解．当0a =时，1x =，符合题意；当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-．综上，0a =或14-．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
上海市新疆班2016届高考模拟测试数学(文科)试卷 含答案
上海市新疆班2016届高考模拟测试数学（文科）试卷(考试时间120分钟,满分150分)一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1。
方程21log 2x =-的解为 ．2。
若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩,则12c c -= ．3.设全集为U 实数集R , {|||2}M x x =≥ ，2{|430}N x xx =-+< ，则图中阴影部分所表示的集合是 ．4. 若3:52sin :sin =θθ，则=θcos．5。
把三阶行列式xax 0125473+中元素7的代数余子式记为()x f ,若关于x 的不等式()0>x f 的解集为()b ,1-，则实数=+b a ；6.已知点在不等式组表示的平面区域上运动， 则的取值范围是 ．7. 执行如图2所示的程序框图,若输入数据5n =，12a=-，2 2.6a =-，3 3.2a =,4 2.5a =,5 1.4a =，则输出的结果为. 8.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练， 则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结果用最简分数表示）。
开始输出结束是否输入12,,,,nn a a a 0,1S i ==()1ii S a S i -⋅+=1i i =+?i n >S 图29。
在平面直角坐标系中，A ,B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是 ． 10。
已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数1()y f x x=-的图像 经过点(1,2),则函数11()y fx x-=+的图像必过点 .11。
已知()f x 是R 上的奇函数,对R x ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2015)f 等于 。
2016年上海市徐汇区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．4．（4分）函数的单调递增区间是．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝．6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）在△ABC中，边BC＝2，AB＝，则角C的取值范围是．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．12．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有个．13．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．14．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；．（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC20．（14分）已知函数f（x）＝sin22x﹣sin2x cos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且，求点A 的坐标．21．（14分）已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．22．（16分）数列{a n}满足a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n＝，求数列{b n}的最大值与最小值．23．（18分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC 是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）若t＝20、a＝，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a＝，求AD的最大值．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是y2＝8x．【解答】解：由题意可知：＝2，∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为：y2＝8x．2．（4分）方程的解是x＝2．【解答】解：由方程可得3x﹣5＝4，即3x＝32，解得x＝2，故答案为x＝2．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．【解答】解：∵＝，∴＝，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴＝所以数列的各项和S＝＝故答案为4．（4分）函数的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：对于函数，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝y＝﹣4﹣x．【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y＝0的对称点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象由题意知，解得x'＝﹣y，y'＝﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象∴﹣x＝log4（﹣y）∴﹣y＝4﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为：y＝﹣4﹣x6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【解答】解：∵函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y＝a和函数y＝|4x ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵＝1，x、y∈R+，∴x+y＝（x+y）•（）＝＝10+≥10+2＝16（当且仅当，x＝4，y＝12时取“＝”）．故答案为：16．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为1．【解答】解：联立，得x＝﹣1，y＝﹣1，∵三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，∴直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），∴﹣a﹣1+3＝0，解得a＝2，∴＝a﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．9．（4分）在△ABC中，边BC＝2，AB＝，则角C的取值范围是（0，]．【解答】解：由题意，设AC＝b，3＝b2+4﹣4b cos C∴b2﹣4b cos C+1＝0∴△＝16cos2C﹣4≥0∵AB＜BC∴C不可能是钝角∴∴角C的取值范围是（0，]故答案为：（0，]10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB＝，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB＝＝﹣，则∠AOB＝，则弧AB＝•1＝．故答案为：．11．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x＝1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）＝28．故答案为：28．12．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有9个．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1，∴f（±1）＝0，f（±）＝1，因此，定义域D有：{1，}，{﹣1，﹣}，{﹣1，}，{1，﹣}，{﹣1，1，}，{﹣1，1，﹣}，{1，，﹣}，{﹣1，，﹣}，{﹣1，1，，﹣}共9种情况．故答案为：9．13．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n＝4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p＝．故答案为：．14．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝﹣2．【解答】解：设x1＝s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2＝s﹣ti．则x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∵＝＝+i是实数，∴3s2t﹣t3＝0，∴3s2＝t2．∴x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∴4s2＝＝+2x1x2＝x1x2，∴+1＝0，取＝ω，则ω2+ω+1＝0，∴ω3＝1．则S＝1+＝1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32＝0+ω+ω2+ω+ω2＝﹣2．故答案为：﹣2．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）＝＝0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•＝﹣＝﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵＝＝+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062【解答】解：∵f（x）＝x+sinπx﹣3，∴当x＝1时，f（1）＝1+sinπ﹣3＝﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2＝2时，恒有f（x1）+f（x2）＝﹣4，∴＝2015[f（）+f（）]+f（）＝2015×（﹣4）﹣2＝﹣8062．故选：C．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC【解答】解：（1）∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC＝A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB＝，∴SA＝＝2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，＝××AC×BC×SA＝×2××＝．∴V S﹣ABC20．（14分）已知函数f（x）＝sin22x﹣sin2x cos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且，求点A 的坐标．【解答】解：（1）＝，所以f（x）的最小正周期．（2）∵点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，∴sin（4x0+）＝0，∴4x0+＝kπ，x0＝﹣．k∈Z．∵x0∈[0，]，∴，解得k＝1或k＝2，∴x0＝或x0＝．∴点A的坐标为或．21．（14分）已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）由，得32x﹣4﹣10•3x﹣2+9≤0，即（3x﹣2﹣1）（3x﹣2﹣9）≤0，∴1≤3x﹣2≤9，2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当log2x＝1或log2x＝2，即x＝2或x＝4时，y max＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（16分）数列{a n}满足a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n＝，求数列{b n}的最大值与最小值．【解答】解：（1）∵a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．分别令n＝2，3，4，可得：．（2）设数列的前n项和为S n，则，∴，得即，∴{a n}从第二项起成等比数列，又a2＝10，∴．（3），由，得，所以当n＝3时，，当n＝4时，但，综上所述，，（b n）max＝b1＝5．23．（18分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC 是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）若t＝20、a＝，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a＝，求AD的最大值．【解答】解：（1）因为圆E的半径为OB﹣OE＝50﹣t＝30，所以CD＝30．在中令y＝30，得．在圆E：x2+（y﹣20）2＝302，中令y＝0，得，所以．（2）由圆E的半径为OB﹣OE＝50﹣t，得CD＝50﹣t．在y＝﹣ax2+50中令y＝50﹣t，得．．由题意知，对t∈（0，25]恒成立，所以恒成立．当，即t＝25时，取得最小值10，故，解得．（3）当时，．又圆E的方程为x2+（y﹣t）2＝（50﹣t）2，令y＝0，得，所以，从而．下求的最大值．方法一：令，则＝，其中φ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值．方法二：令，则题意相当于：已知x2+y2＝25（x≥0，y≥0），求z＝AD＝5（2x+y）的最大值．当直线与圆弧x2+y2＝25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值．答：当t＝5米时，AD的最大值为米．。
2016年上海市闵行区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t＝．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，}的前n项和为．则数列{a2n﹣1二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：∵，∴﹣z＝i+1，∴z＝﹣1﹣i，∴|z|＝＝2，故答案为：2．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝（﹣∞，0）．【解答】解：函数y＝x≥0，得到A＝[0，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．4．（4分）函数的最小正周期t＝π．【解答】解：函数＝cos（π﹣x）cos x﹣sin（π+x）sin x＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期t＝＝π．5．（4分）不等式的解集是（0，2）．【解答】解：∵＞，∴﹣＞0，通分得＞0，即＜0；等价于2x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．故答案为：（0，2）．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，得：＝（4，3），＝（﹣3，4），∴＝﹣＝（﹣7，1），∴2＝42+32＝25，2＝（﹣3）2+42＝25，2＝（﹣7）2+12＝50；∴||2＝||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S＝×5×5＝．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：＝9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有＝1种选法；共有选法：9+1＝10种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由可得＝+5，解得d＝10，故＝＝＝5+，∴＝（5+）＝5故答案为：510．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【解答】解：∵＝2，∴＝＝2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（8，10）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c），不妨设a＜b＜c，根据余弦函数的对称性可得a+b＝4．且4＜c＜6．∴a+b+c＝4+c．∴8＜a+b+c＜10．故答案为（8，10）．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2n﹣1}的前n项和为﹣﹣3+2n．【解答】解：∵，∴a1＝﹣a1++1﹣3，解得a1＝．当n＝2k﹣1≥3，k∈N*时，a2k﹣1＝S2k﹣1﹣S2k﹣3＝﹣a2k﹣1++（2k﹣1）﹣3﹣化为：2a2k﹣1＝a2k﹣3﹣+2．变形为﹣2＝，∴数列{﹣2}是等比数列，公比为，首项为﹣2．∴﹣2＝，∴a2k﹣1＝﹣+2．∴数列{a2n}的前n项和＝﹣+2n﹣1＝﹣﹣3+2n．故答案为：﹣﹣3+2n．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a＝b，则+＝1+1＝2，此时等号成立，+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选：A．16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y＝f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5＝1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]＝1+（1+x）5，即y＝1+（1+x）5，所以，1+x＝，因此，x＝﹣1+，再交换x，y得，y＝﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）＝﹣1+，x∈R，故选：C．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A∈（0，）．故选：B．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由图象可知，若f（g（x））＝0，则g（x）＝0或g（x）＝1，由图2知，g（x）＝0时，x＝0，或x＝2，g（x）＝1时，x＝1或x＝﹣1故A＝{﹣1，0，1，2}，若g（f（x））＝0，由图1知，f（x）＝0，或f（x）＝2（舍去），当f（x）＝0时，x＝﹣1或0或1，故B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB＝1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB＝2，BC＝1，∠ACB＝，∴AC＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝＝．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝﹣，∵，∴cos（﹣2β）＝﹣，∴sin2β＝．（2）由题意可得，||＝||＝1，且与的夹角为α﹣β，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），＝cosαcosβ+sinαsinβ＝1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ成立．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a＝8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2）由（1）知P（2，4），设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立方程，得kx2+2（2﹣k）x﹣8＝0，由判别式△＝0得4（2﹣k）2+32k＝4（k+2）2＝0，得k＝﹣2，即直线AB的方程为y＝﹣2x+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝4，即A（0，8），B（4，0），则AB＝＝4≈8944米．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题设，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则|AB|＝•＝，P（﹣1，k）到l的距离d＝，又，∴•＝4，即4k2＝3k2+3，解得k＝．（3）设直线l：y＝kx﹣1，由，得（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0，M（0，﹣1）在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，由成等差数列，得＝＝＝＝＝＝＝，解得k＝，∴直线l的方程为y＝．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6＝a1+5，a5＝a1+4，且＝＝2，解得a1＝﹣3，∴．（2）由（1）得，{a n}：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，22，23，24，25，…，{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6＝﹣6，证明：a n S n＝，列举法知当n≤5时，（a n S n）min＝a5S5＝﹣5；当n≥6时，a n S n＝2•（2n﹣5）2﹣7•2n﹣5，n≥6，设t＝2n﹣5，则a n S n＝2t2﹣7t＝2（t﹣）2﹣7t＝2（t﹣）2﹣≥2•22﹣7•2＝﹣6．（3）由（1）知，当n≥6时，，∵a n+1＝a n+（n+2﹣1）d n，2n﹣4＝2n﹣5+（n+1）d n，∴．假设在数列{d n}中存在d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列），则（d k）2＝d m d p，∴（）2＝，，（*）∵m，p，k成等差数列，∴m+p＝2k，（*）式可化简为（k+1）2＝（m+1）（p+1），即k2＝mp，∴k＝m＝p，这与题设矛盾．∴在数列{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．。
[上海卷]2016年上海卷文科数学(全解析)
下,三个函数必为周期为T 的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(本小题满分 14 分)
将边长为1的正方形 AA1O1O (及其内部)绕的 OO1 旋转一周形成圆柱,
如图,
» AC
66
2
为 p 或 5p . 66
9.
在
æ ç
3
è
x-
2 x
n
ö ÷ ø
的二项式中,所有项的二项式系数之和为
256
,则常数项等于_______.
( ) ( ) 【解析】112 ；由题意得 2n = 256 ,所以 n = 8 ,故Tr+1 = C8r
3
x
8-r
æ çè
-
2 x
r
ö ÷ ø
=
-2
r
C8r
的中位数是1.75 与1.77 的平均数,显然为1.76 .
5. 若函数 f ( x) = 4 sin x + a cos x 的最大值为 5 ,则常数 a = ______.
【解析】 ±3 ；依题意可得 16 + a2 = 5 ,解得 a = ±3 .
6. 已知点 (3, 9) 在函数 f ( x) = 1+ ax 的图像上,则 f ( x) 的反函数 f -1 ( x) = ___________.
【解析】 (2, 4) ；由题意得 -1 < x - 3 < 1 ,解得 2 < x < 4 .
2. 设 z = 3 + 2i ,其中 i 为虚数单位,则 Im z = _______. i
2016年上海市嘉定区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）＝．2．（4分）设集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B ＝．3．（4分）若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a＝．4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．（4分）已知，则sin2α＝．8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2＝4相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则实数a的值为．10．（4分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．11．（4分）设，，，则k＝时，点A，B，C共线．12．（4分）已知，则n＝．13．（4分）设数列{a n}满足a1＝2，，记数列前n项的积为P n，则P2016的值为．14．（4分）对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f （x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭，如果函数f（x）＝﹣在R上封闭，则b﹣a＝．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．417．（5分）若椭圆x2+my2＝1的焦距为2，则m的值是（）A．B．1C．2D．418．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，，2a2成等差数列，则等于（）A．6B．7C．8D．9三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α＝60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．（14分）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，，a+b＝3，求△ABC的面积S．21．（14分）设函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）设a＞1，试判断函数y＝f（x）在R上的单调性，并解关于x的不等式f （x2）+f（2x﹣1）＜0．22．（16分）已知抛物线x2＝2py，准线方程为y+1＝0，直线l过定点T（0，t）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当t＝1时，设，记|AB|＝f（λ），求f（λ）的解析式．23．（18分）设复数z n＝x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）证明：当n＝4k+1（k∈N*）时，∥；（3）求数列{x n•y n}的前100项之和．2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）＝．【解答】解：＝＝．故答案为：．2．（4分）设集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B ＝{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}＝{x|x＜0或x＞2，x∈R}，＝{x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．3．（4分）若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a＝．【解答】解：∵函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3＝a﹣1，解得a＝．故答案为：．4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m＝10，∴这组数据的方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2．故答案为：2．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），＝（0，1，2），＝（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ＝＝＝．∴θ＝．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r＝1，设圆锥母线为l，则πrl＝2π，∴l＝2，∴圆锥的高h＝＝．∴圆锥的体积V＝πr2h＝．故答案为：．7．（4分）已知，则sin2α＝．【解答】解：∵，∴sinα﹣2cosα＝0，∴sin2α+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝，当cosα＝﹣时，sinα＝2cosα＝﹣，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（﹣）×（﹣）＝，当cosα＝时，sinα＝2cosα＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，故sin2α＝．故答案为：．8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【解答】解：模拟执行程序，可得k＝1，S＝0满足条件k≤2015，S＝，k＝2满足条件k≤2015，S＝+，k＝3…满足条件k≤2015，S＝++…+，k＝2015满足条件k≤2015，S＝++…++，k＝2016不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．由于S＝++…++＝1﹣﹣…+＝1﹣＝．故答案为：．9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2＝4相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则实数a的值为．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为原点O（0，0），半径等于2，显然点P（1，2）在圆的外部．过点P能做2条圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，根据圆心O到kx﹣y+2﹣k＝0的距离等于半径2，可得＝2，求得k＝0，或k＝﹣．当k＝0时，过点P（1，2）的直线斜率为零，故与之垂直的直线ax﹣y+1＝0的斜率不存在；当k＝﹣时，过点P（1，2）的直线斜率为﹣，故与之垂直的直线ax﹣y+1＝0的斜率为，故答案为：．10．（4分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n＝＝10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p＝1﹣＝．故答案为：．11．（4分）设，，，则k＝﹣2或11时，点A，B，C共线．【解答】解：∵，，，∴＝（4﹣k，﹣7），＝（6，k﹣5）；又与共线，∴（4﹣k）（k﹣5）﹣（﹣7）×6＝0，即k2﹣9k﹣22＝0，解得k＝﹣2或k＝11；∴当k＝﹣2或11时，点A，B，C共线．故答案为：﹣2或11．12．（4分）已知，则n＝4．【解答】解：因为＝（1+2）n＝80+1＝81，所以3n＝81，∴n＝4．故答案为：4．13．（4分）设数列{a n}满足a1＝2，，记数列前n项的积为P n，则P2016的值为1．【解答】解：∵a1＝2，，∴a2＝，a3＝﹣1，a4＝2，…，∴a n+3＝a n．a1a2a3＝﹣1．∴数列前2016项的积P2016＝（﹣1）672＝1．故答案为：1．14．（4分）对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f （x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭，如果函数f（x）＝﹣在R上封闭，则b﹣a＝6．x2，【解答】解：∵f（x）＝﹣＝，设0≤x1＜则f（x1）﹣f（x2）＝＞0，故f（x）在[0，+∞）上是单调递减函数，又∵f（x）＝，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是单调递减函数，而x∈[0，+∞）时，f（x）值域为（﹣4，0]，x∈（﹣∞.0）时，f（x）值域为（0，4）要使得y＝f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则a＜0＜b由，得，得，∴b﹣a＝6故答案为：6二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若φ＝时，y＝sin（x+φ）＝cos x为偶函数；若y＝sin（x+φ）为偶函数，则φ＝+kπ，k∈Z；∴“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，16．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．17．（5分）若椭圆x2+my2＝1的焦距为2，则m的值是（）A．B．1C．2D．4【解答】解：∵椭圆x2+my2＝1的焦距为2，∴2＝2，故选：A．18．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，，2a2成等差数列，则等于（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵3a1，，2a2成等差数列，∴a3＝3a1+2a2，∴q2﹣2q﹣3＝0，∴q＝3，q＝﹣1（舍去）．∴＝＝＝q2＝32＝9．故选：D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α＝60°时，能实现要求吗？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，在Rt△CDF中，∠FCD＝α，CD＝20cm，DF＝20tanα，且点F在线段AD上，AF＝30﹣20tanα，此时容器内能容纳的溶液量为：S梯形ABCF•20＝•20＝（30﹣20tanα+30）•20•10＝2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量为20×20×20＝8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当α＝60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，在Rt△CBF中，BC＝30cm，∠BCF＝30°，BF＝10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，＝BC•BF＝150cm2，∵S△ABF容器内溶液量为150×20＝3000cm3，倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能实现要求．20．（14分）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，，a+b＝3，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵＝．…（3分）∴f（x）的最小正周期是T＝π．…（4分）由，k∈Z，…（6分）得函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…（7分）（2）由f（C）＝2，得，…（1分）∵0＜C＜π，所以，∴，．…（3分）在△ABC中，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，…（4分）得3＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，即ab＝2，…（5分）∴△ABC的面积．…（7分）21．（14分）设函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）设a＞1，试判断函数y＝f（x）在R上的单调性，并解关于x的不等式f （x2）+f（2x﹣1）＜0．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f（x）是奇函数；∴f（0）＝k﹣1＝0；∴k＝1；（2）由（1），f（x）＝a x﹣a﹣x，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：；∵a＞1，x1＜x2；，又；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；即f（x1）＜f（x2）；∴函数f（x）在R上是单调递增函数；由f（x2）+f（2x﹣1）＜0，得f（x2）＜﹣f（2x﹣1）；即f（x2）＜f（1﹣2x）；f（x）在R上单调递增；∴x2＜1﹣2x，即x2+2x﹣1＜0；解得；∴原不等式的解为．22．（16分）已知抛物线x2＝2py，准线方程为y+1＝0，直线l过定点T（0，t）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当t＝1时，设，记|AB|＝f（λ），求f（λ）的解析式．【解答】解：（1）由题意，，p＝2；∴抛物线方程为x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y＝kx+t，则：由得，x2﹣4kx﹣4t＝0；∴；∴y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝＝﹣4k2t+4k2t+t2＝t2；∴；因为点T（0，t）是定点，所以t是定值，所以是定值，此定值为t2﹣4t；（3）T（0，1），设，则：，，故；因为点A在抛物线x2＝4y上，所以，得；又T为抛物线的焦点，故＝；即（λ＞0）．23．（18分）设复数z n＝x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）证明：当n＝4k+1（k∈N*）时，∥；（3）求数列{x n•y n}的前100项之和．【解答】（1）解：∵z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，∴z2＝（1+i）（3+4i）＝﹣1+7i，z3＝﹣8+6i，z4＝﹣14﹣2i．（2）证明：由已知z n+1＝（1+i）•z n，得，当n＝4k+1时，（1+i）n﹣1＝（1+i）4k＝（﹣4）k，令λ＝（﹣4）k，则z n＝λ•z1，即则存在非零实数λ＝（﹣4）k（k∈N*），使得．∴当n＝4k+1（k∈N*）时，∥．（3）解：∵，故x n+4＝﹣4x n，y n+4＝﹣4y n，∴x n+4y n+4＝16x n y n，又x1y1＝12，x2y2＝﹣7，x3y3＝﹣48，x4y4＝28，∴x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100＝（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）＝，∴数列{x n y n}的前100项之和为1﹣2100．。
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上海市高考最后冲刺模拟卷（文一）数学文2016.5.18一、填空题(本大题满分56分)1.函数y =的定义域为 .(0 1]，2.已知直线1 210l x y +-=：和2 20l x ay a --=：，若12//l l ，则a = .1-3.若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -= . 1-4.已知z 为复数，若12z i =+，则(1)i z +=．5.在411)(1)x x++（的展开式中的常数项是 ．5 6.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=7．地球的半径为R ,在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ，则坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离是 ．(飞机的飞行高度忽略不计)3R π8．将sin ()cos xf x x=的图像按( 0)(0)n a a =-> ，平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .π659．高三(1)班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)313510．在平面直角坐标系中，不等式组 1010310x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨-+≥⎪⎩11. 若框图所给的程序运行的结果为90S =，那么判断框中应填入的 关于k 的判断条件是 . 8(8)k k ≤=或12.已知)(x f y =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图像关于点(6,0)对称．若实数y x ,满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22y x +的取值范围是 [16,36]．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3( 1.2]2π=-=-，，有下列命题：①若函数()(] f x x x x R =-∈，，则()f x 的值域为[1 0)-，；②若(1 4)x ∈，，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{(]}n a 也是等差数列；④若57 { 3 }32x y ∈，，，，则(](]2x y ⋅=的概率为29P =.则所有正确命题的序号是 .①②④ 14. 设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈， a b c R ∈，，且为常数.若存在一公差大于0的等差数列{}()n x n N *∈，使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组 a b c ，，的值 .(答案不唯一，一组即可)0 0 0a b c ≠=>，， 二、选择题：(每题只有一个正确答案，多选、错选、漏选都不得分)(各5分，共20分)15．若直线l 的一个法向量(3 1)n =，，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为( )DA.(1 3)arctan(3)d α==- ，；B.(1 3)arctan(3)d α=-=- ，；C.(1 3)arctan3d απ==- ，；D.(1 3)arctan3d απ=-=- ，；16．在△ABC 中，“cos cos cos 0A B C ⋅⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件17. 定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 ( ) AA. 1个B. 2个C. 3个D. 0个 18.已知数据123 n x x x x ，，，，是上海普通职工n (3)n ≥个人的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是( )BA.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变.三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：19.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. (1)求a 的值；(2)求三棱锥BC A B 11-的体积.解：(1) 11//C B BC ，∴BC A 1∠就是异面直线B A 1与11C B 所成的角，即0160=∠BC A ， ………………(2分) 又连接C A 1，AC AB =，则C A B A 11=∴BC A 1∆为等边三角形， ………………(4分)由1==AC AB ，090=∠BAC 2=⇒BC ，∴121221=⇒=+⇒=a a B A .…………(6分)(2)依题意，111111*********B A BC C A B B C AA B AA B V V V S AC ---∆===⋅=⨯⨯= 所以6111=-BC A B V ………(12分)C 120.(本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分) 已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. (1)求动点A 的轨迹方程； (2)记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.解：(1)由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p ，即4=p所以动点A 的轨迹方程为x y 82=(2)过A 作l AB ⊥，垂足为B ，根据抛物线定义， 可得||||AF AB = 由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形其中4||=KF ，所以84421=⨯⨯=∆AFK S21. (本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 解(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为53)(+=x kx C ， 由,5340)(,40,8)0(+===x x C k C 因此得……2分 而建造费用为.6)(1x x C = ……4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 )100(6538006534020)()(20)(1≤≤++=++⨯=+=x x x x x x C x C x f ……6分(2)800()6(010)35f x x x x =+≤≤+，令35 [5 35]t x t =+∈，，，则6210,x t =- 所以800800()2(5)21070f x t t t t=+-=+-≥，……8分 (当且仅当20t =，即5x =时，不等式等式成立)……10分故5x =是)(x f 的取得最小值，对应的最小值为.7051580056)5(=++⨯=f ……13分 答：当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元. ……14分22.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)一青蛙从点000( )A x y ，开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是( )()i i i A x y i N *∈，，(如图，000( )A x y ，的坐标以已知条件为准)，n S 表示青蛙从点0A 到点n A 所经过的路程.(1)点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >准线上一点，点1A ，2A 均在该抛物线上，并且直线1A 2A经过该抛物线的焦点，证明23S p =；(2)若点*( )()n n n A x y n N ∈，要么落在y x =所表示的曲线上，要么落在2y x =所表示的曲线上，并且011( )22A ，,试写出lim n n S →+∞(不需证明)； (3)若点( )n n n A x y ，要么落在1y =落在1y =所表示的曲线上，并且0(0 4)A ，，求2011S 解：(1)设00( )2p A y -，，由于青蛙依次向右向上跳动，所以10( )2p A y ，，20( )2pA y -，，由抛物线定义知：23S = 分 (2)依题意，*2122122121 ()n n n n n n x x x y y x n N +-+-====∈， 011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→∞=+++++++1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+随着n 的增大，点n A 无限接近点1 1（，） 6 分 横向路程之和无限接近11122-=，纵向路程之和无限接近11122-=∴11lim 122n n S →+∞=+= 10 分 (3)由题意知244668123456(12)(1 2)(3 2)(3 2)(6 2)(6 2)A A A A A A ，，，，，，，，，，，， 其中24681357(12)(3 2)(6 2)(10 2)A A A A ，，，，，，，， 468102468(1 2)(3 2)(6 2)(10 2) A A A A ，，，，，，，， 12 分方法一：观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标是首项为22，公比为4的等比数列.相邻横坐标之差是首项为2，公差为1的等差数列.并可用数学归纳法证明. 14 分所以，当n 为奇数时，214328n n n n n x y +++==， 2011011223342010200920102011||||||||||||S A A A A A A A A A A A A =++++++10213243542010200920112010()()()()()()()x x y y x x y y x x y y x x =-+-+-+-+-++-+- 10203142532011201020112010()()()()()()()x x y y x x y y x x y y x x =-+-+-+-+-++-+- 220111201220112011002011420113()()(2)(04)50651728x y x y ++⨯+=+-+=+-+=+所以，201220115065172S =+ 18 分方法二参照理科22题方法一.23.(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，)已知{}{}n n b a ,为两非零有理数列（即对任意的*∈N i ,i i b a ,均为有理数），{}n d 为一无理数列（即对任意的*∈N i ,i d 为无理数）.（1）已知n n a b 2-=，并且0)1)((22=+-+n n n n n n d d a d b a 对任意的*∈N n 恒成立，试求{}n d 的通项公式。