2.矢量分析

第二章矢量分析21矢量及矢量场26矢量场的通量与散度2.1 矢量及矢量场2.2 矢量的代数运算 2.6 矢量场的通量与散度2.7 矢量场的环量、旋度2.3 矢量的标积和矢积24常用坐标系中的矢量场与斯托克斯定理28格林定理2.4 常用坐标系中的矢量场2.5 标量场的方向导数与梯度2.8 格林定理2.9 亥姆霍兹定理2.10 小结2.1 标量和矢量只有大小而无方向的物理量---标量既有大小又有方向的物理量---矢量矢量的表示方法P （x,y,z ）点处的矢量任意一个矢量A 均可借助代表大小的模A 和代表方向的单位矢量表示为A e Ae A=A矢量在直角坐标系的表示法式中位置矢量r和距离矢量R222.2 矢量的代数运算（1）矢量相等A=B Ax =BxAy=ByAz=Bz（2）矢量与标量的乘积则（3）矢量的加法与减法232.3矢量的标积与矢积矢量A 与矢量B 的标量积C 矢量A 与矢量B 的矢量积C C =A ×BC=A ·B =AB cos θC =AB sin θ(0≤θ≤π)在角标系中，不难得出个标单位矢满足下面在直角坐标系中，不难得出三个坐标单位矢量满足下面关系，即例2：12ˆˆˆˆˆˆ2,32ˆˆˆˆˆˆ325x y z x y z r a a a r a a a =−+=+−K KK K设3423,x y z x y z r aa a r a a a =−+−=++求：=++K K K K4123r ar br cr 中的标量a 、b 、c 。

ˆˆˆ325aa a ++解：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(2)(32)(23)x y z x y z x y z x y z a aa ab a a ac a a a =−+++−+−+−ˆˆˆ(22)(3)(23)x y z a b c a a b c a a b c a =+−+−+++−−则：21a b =−=22332a b c a b c +−=−++=3c =−235a b c −−=K K K K K K K K K V = A ⋅ ( B × C ) = C ⋅ ( A × B ) = B ⋅ (C × A)K K K h = B×C K注意：先后轮换次序 注意：先后轮换次序。

推论：三个非零矢量共面的条件。

K K K A ⋅ (B × C) = 0AϕK CθK B在直角坐标系中：G G A.( B × C ) = ( A e + A ex x yyG + A e ). Bz zG exxG ey By CyG ez Bz CzAx K K K A ⋅ ( B × C ) = Bx CxAy By CyAz Bz CzCxK K K K K K K K K b 矢量三重积 b.矢量三重积： A × ( B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B)11例： 已知K K 求 确定垂直于 A 、 求：确定垂直于 所在平面的单位矢量 B 所在平面的单位矢量。

K K K K 所在平面 解：已知 A × B 所得矢量垂直于 A 、 B 所在平面。

K K A× B ˆ an = ± K K A× Bˆx a ˆy a ˆz aK ˆ x − 6a ˆ y − 3a ˆz A = 2aK ˆ x + 3a ˆy − a ˆz B = 4aK K ˆ x − 10a ˆ y + 30a ˆz A × B = 2 − 6 − 3 = 15a 4 3 −1K K | A × B |= 152 + (−10) 2 + 302 = 351 ˆn = ± ( ˆ x − 2a ˆ y + 6a ˆz ) a (3a 712例：K K 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a 和 b ，求 通过A点和B点的直线方程。

求：通过 点的直线方程zK a解：在通过A点和B点的直线方程上， 点的直线方程上 任取一点C，对于原点的位置 矢 为 矢量为AK cK，则 cCK bBK K K K c − a = k (b − a )yxK K K c = (1 − k )a + kb其中：k 为任意实数。

132 标量场和矢量场 2.场是一个标量或一个矢量的位置函数 场是 个标量或 个矢量的位置函数,即场中任一个点都 即场中任 个点都 有一个确定的标量值或矢量。

标量场如温度场,电位场,高度场等。

高度场等矢量场如流速场,电场,涡流场等。

2.5 标量场的方向导数与梯度形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面) ). 其方程为h ( x , y , z ) = const矢量场--矢量线 其方程为 A× dl = 0矢量线在直角坐标下: 二维场等值线Ax Ay = dx dy三维场方向导数 数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿 数 某一方向上的变化率。

lΔlPP′Φ例如标量场 Φ 在 P 点沿 l 方向上的方向导数∂Φ ∂lP定义为∂Φ ∂l= limPΦ ( P′) − Φ ( P)ΔlΔl → 0du =∂u ∂u ∂u dx + dy + d z ∂x ∂y ∂z⎡ ∂u K ∂u K ∂u K ⎤ K K K = ⎢ e x + e y + ez ⎥ ⋅ ⎡ d xe + d ye + d ze x y z⎤ ⎣ ⎦ ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂xK K K K dl = dxex + dye y + dzezdu = ∂u ∂u ∂u dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z⎡ ∂u K ∂u K ∂u K ⎤ K = ⎢ e x + e y + e z ⎥ ⋅ dl ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂xdu dlmaxK ∂u K ∂u K ∂u K = ex + ey + ez = G ∂x ∂y ∂zK du ⎡ ∂u K ∂u K ∂u K ⎤ dl = ⎢ ex + ey + ez ⎥ ⋅ ∂y ∂z ⎦ dl dl ⎣ ∂x K K = G ⋅ el17梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。

梯度是一个 矢量。

在直角坐标系中，标量场 Φ 的梯度可表示为∂Φ ∂Φ ∂Φ grad Φ = e x + ey + ez ∂x ∂y ∂z式中grad 是英文 gradient 的缩写。

若引入算符∇，它在直角坐标系中可表示为∂ ∂ ∂ ∇ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z则梯度可表示为grad Φ = ∇ Φ g梯度的物理意义• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;ϕ 的最大变化率，即该点最大 • 梯度的大小为该点标量函数 方向 数; 方向导数• 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向.例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度电 电位场的梯度 的梯度 三维高度场的梯度高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直； • 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。

指向地势升高的方向电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数 • 数值等于该点的最大方向导数； • 指 指向电位增加的方向。

位增加 方202.6 矢量场的通量与散度通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该 有向曲 S 的通量，以标量 有向曲面 的 以 Ψ 表示，即 表Ψ = ∫ A ⋅ dSS通量可为正 或为负 或为零 通量可为正、或为负、或为零。

当矢量穿出某个闭合面时---存在产生该矢量场的源----通量为正 当矢量进入这个闭合面时---存在汇聚该矢量场的洞（或汇）--通量为负。

通量为负 前述的源称为正源，而洞称为负源。

矢量 E 沿有向曲面S 的面积分Φ = ∫ E ⋅ dSS若S 为闭合曲面 φ = ∫s E ⋅ ds ，可 以根据净通量的大小判断闭合面中源 的性质:矢量场的通量Φ = 0 (无源)Φ < 0 (有负源)Φ > 0 (有正源)矢量场的通量由物 得知 真空中的电场 度 E 通过任一闭合曲面的 由物理得知，真空中的电场强度 通过任 闭合曲 的 通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 ε 0 之比，即，∫SE ⋅ dS =qε0通量 正 负 零 源 正源 负源 无源闭合面中存在的电荷 正电荷 负电荷 无电荷散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 向某点无限收缩时 矢量 A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即解释：如果包围点P的闭合面∫ divA = limΔV →0SA ⋅ dS ΔVdS所围区域ΔV以任意方式缩 小为点P时, 通量与体积之比 的极限存在div 是英文 divergence 的缩写， ΔV 为闭合面 S 包围的体积。

散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通 量。

直角坐标系中散度可表示为:∂Ax ∂Ay ∂Az + + divA = ∂x ∂y ∂z散度可用算符 ∇ 表示为:divA = ∇ ⋅ A散度的物理意义• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性 ∇• A= 0 (无源） ∇• A= ρ ρ>0 ∇• A= −ρ< ρ 0 (负 负源)(正源 源)在矢量场中，若∇• A= ρ≠0，称之为有源场，ρ 称为(通量)源密 度；若矢量场中处处∇• A A=0 0，称之为无源场。

高斯定理或者写为∫ ∫VdivA dV = ∫ A ⋅ dSSV∇ ⋅ Ad V = ∫ A ⋅ dSS从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关 系。

从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和 包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。

因此，如果已知 区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 中的场 根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反 上的场 反 之亦然。

2.7 矢量场的环量与旋度环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该 曲线的环量 以 Γ 表示，即 曲线的环量，以 表示 即Γ = ∫ A ⋅ dll可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方向保持 的方向保持一致 致，则环量 则环量 Γ > 0；若处处相反，则 ；若处处相反 则 Γ < 0 。

可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。