浙江省三门县珠岙中学九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数复习同步测试 (新版)新人教版

浙江省三门县珠岙中学九年级数学下册本章复习同步测试4 类型之一 锐角三角函数的定义
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝1，则cos A 的值是( A ) A.154 B.14
C.15 D ．4 【解析】 在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝1，由勾股定理可知AC ＝15，则cos A ＝AC AB ＝154
. 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45
，则tan B ＝( B ) A.43 B.34 C.35 D. 45
【解析】 根据sin A ＝45
，可设三角形的两边长分别为4k ，5k ，则第三边长为3k ，故tan B ＝3k 4k ＝34
. 类型之二 特殊三角函数值的计算
3．tan 60°的值等于( C )
A ．1 B. 2
C. 3 D ．2
4．计算tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是( C )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
【解析】 原式＝3＋2×
22－2×32
＝ 2. 类型之三 解直角三角形
图28－1
5. 如图28－1，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1 m ，3≈1.73)( D )
A ．3.5 m
B ．3.6 m
C ．4.3 m
D ．5.1 m
图28－2
6． 如图28－2，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2 m ，CD ＝5.4 m ，∠DCF ＝30°，请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米．(3≈1.73，结果保留两个有效数字)
解：∵∠DCF ＝30°，CD ＝5.4 m ，
∴在Rt △CDF 中，DF ＝12
CD ＝2.7 m. 又∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ＝BC ＝2 m ，∠ADC ＝90°，
∴∠ADE ＋∠CDF ＝90°.
∵∠DCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°，
∴在Rt △AED 中，DE ＝AD ×cos ∠ADE ＝2×
32
＝3(m)，∴EF ＝2.7＋3≈4.4 (m)． 答：车位所占的宽度EF 约为4.4米．
7．一副直角三角板如图28－3放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．
解：过点B作FC的垂线，垂足为点P.
∵在Rt△ACB中，∠A＝45°，AC＝122，∴∠ABC＝∠A＝45°，BC＝AC＝12 2.
∵AB∥CF，∴∠BCP＝∠ABC＝45°，
∴在Rt△BCP中，CP＝BP＝
2
2
BC＝12.
∵∠F＝90°，∠E＝30°，则∠BDP＝60°，
∴在Rt△BDP中，tan60°＝BP
DP
，
∴DP＝12
3
＝43，∴CD＝CP－DP＝12－4 3.
图28－3
类型之四仰角、俯角问题
图28－4
8．如图28－4，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( D ) A．200米 B．200 3 米
C．220 3 米 D．100(3＋1)米
9. 宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一(如图甲)，喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代(一说是唐代韦皋所建)，后毁于兵火，乾隆乙酉年
(1765 年)重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度，如图乙，他利用测角仪站在 B 处测得大观楼最高点 P 的仰角为 45°，又前进 12 米到达 A 处，在 A 处测得 P 的仰角为 60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度．(测角仪高度忽略不计，3≈ 1.7，结果保留整数)．
图28－5
解：设 OP ＝x 米，由题意得：
∠ POB ＝90°.∠B ＝45°，AB ＝ 12，
∴∠OPB ＝∠B ＝45°，
∴OP ＝OB ＝x ，
∴OA ＝ x －12，
在Rt △POA 中，
tan60°＝OP OA ＝x
x －12＝3，
∴x ＝18＋63，
∴x ≈28.
答： 大观楼的高度约为28米．
类型之五 方位角问题
图28－6
10. 如图28－6，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
(参考数据：cos 37°≈0.8，sin 37°≈0.6，sin 66°≈
0．9，cos 66°≈0.4)
解：作AD⊥BC的延长线于点D，在Rt△ADB中，
AD＝AB·cos ∠BAD＝72×c os 66°＝72×0.4＝28.8(海里)
BD＝AB·sin ∠BAD＝72×sin 66°＝72×0.9＝64.8(海里)．
在Rt△ADC中，AC＝
AD
cos ∠DAC
＝
28.8
cos 37°
＝
28.8
0.8
＝36(海里)．
CD＝AC·sin ∠CAD＝36×sin 37°＝36×0.6＝21.6(海里)．BC＝BD－CD＝64.8－21.6＝43.2(海里)．
A岛上维修船需要时间t A＝AC
20＝
36
20
＝1.8(小时)．
B岛上维修船需要时间t B＝BC
28.8＝
43.2
28.8
＝1.5(小时)．
∵t A>t B，∴调度中心应该派遣B岛上的维修船．
类型之六坡度问题
11．如图28－7所示，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin74°≈0.961 3，cos74°
≈0.275 6，tan55°≈1.428 1)．
图28－7
第11题答图
解：如图，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F. 在Rt△ABE中，∠ABC＝74°，AB＝6 m，
∴BE＝AB·cos∠ABE＝6×cos74°≈6×0.275 6≈1.65，
AE＝AB·sin∠ABE＝6×sin74°≈6×0.961 3≈5.77，
∴DF＝AE≈5.77.
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝DF
BF
，
∴BF＝
DF
tan∠DBF
≈
5.77
tan55°
≈4.04，
∴AD＝EF＝BF－BE≈4.04－1.65＝2.39≈2.4(m)．
类型之七解直角三角形与圆的综合
12．如图28－8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝26，CD＝24，那么
sin∠OCE＝__5
13
__．
图28－8
图28－9
13．如图28－9，已知⊙O 的弦CD 与直径AB 垂直于F ，点E 在CD 上，且AE ＝CE . 求证：(1)CA 2＝CE ·CD ；
(2)已知CA ＝5，EA ＝3，求sin ∠EAF .
解：(1)在△CEA 和△CAD 中，
∵弦CD 垂直于直径AB ，
∴弧AC ＝弧AD ，∴∠D ＝∠C .
又∵AE ＝EC ，∴∠CAE ＝∠C ＝∠D .
又∵∠C ＝∠C ，∴△CEA ∽△CAD ，
∴CA CD ＝CE CA ，即CA 2＝CE ·CD .
(2)∵CA 2＝CE ·CD ，AC ＝5，EC ＝EA ＝3，
∴52＝CD ·3，CD ＝253.
又∵CF ＝FD ，∴CF ＝12CD ＝12×253＝256，
∴EF ＝CF －CE ＝256－3＝76，
∴在Rt △AFE 中，sin ∠EAF ＝EF AE ＝763＝718.。