8.2 洛仑兹变换
洛伦兹坐标变换公式推导
洛伦兹坐标变换公式推导洛伦兹变换是描述时空间随参考系的运动而发生变化的重要理论，它在爱因斯坦的狭义相对论中起到了关键的作用。
本文将从推导的角度来介绍洛伦兹变换的公式。
首先，我们来考虑一个参考系S和一个相对于S以速度v沿着x轴方向运动的参考系S'。
假设S'参考系的原点在S参考系中的x轴上的位置为x'，两个参考系的时间原点重合。
现在我们要推导出洛伦兹变换的坐标公式。
在S参考系中，假设有一个事件P，它的空间坐标为(x,y,z)，时间坐标为t。
在S'参考系中，事件P的空间坐标为(x',y',z')，时间坐标为t'。
根据狭义相对论原理，我们可以得到以下两个假设：1.时间的间隔在不同参考系中是一致的，即∆t=∆t'。
2.空间的间隔在不同参考系中也是一致的，即∆s^2=(c∆t)^2-(∆x)^2=∆s'^2=(c∆t')^2-(∆x')^2，其中c是光速。
我们将事件P的坐标代入上述的两个假设中，可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2其中，∆x=x2-x1，∆y=y2-y1，∆z=z2-z1，∆x'=x'2-x'1，∆y'=y'2-y'1，∆z'=z'2-z'1接下来，我们假设S'参考系相对于S参考系的速度为v，那么∆x'、∆y'和∆z'可以表示为：∆x'=∆x-v∆t∆y'=∆y∆z'=∆z将上述的式子带入原方程中，我们可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x-v∆t)^2-(∆y)^2-(∆z)^2提取引入速度v的项并进行整理，得到：(c∆t)^2-(∆x-v∆t)^2=(c∆t')^2展开括号可以得到：(c∆t)^2-(∆x^2-2v∆x∆t+v^2∆t^2)=(c∆t')^2继续整理得到：(c^2∆t^2-∆x^2)+2v∆x∆t-v^2∆t^2=(c^2∆t'^2)由于洛伦兹变换要保持事件之间的间隔不变，我们可以进一步简化上述方程：(c^2-v^2)∆t^2-∆x^2=(c^2-v^2)∆t'^2为了使得公式的形式更加简洁，我们可以引入一个名为γ的参数来表示：γ=1/√(1-v^2/c^2)其中，c是光速，γ被称为洛伦兹因子。
(完整版)洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
洛伦兹变换推导过程详细
洛伦兹变换推导过程详细全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中的重要概念，描述了不同惯性参考系之间的时空坐标变换关系。
由荷兰物理学家亨德里克·安杰洛·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）首先提出，并由爱因斯坦在他的狭义相对论中进一步发展。
洛伦兹变换不仅在相对论中有着广泛的应用，而且也成为了后来爱因斯坦提出的广义相对论中的基础之一。
在这篇文章中，我们将详细推导洛伦兹变换的过程，并探讨其物理意义。
我们从狭义相对论的两个基本假设开始。
第一个假设是等效原理，即在加速度为零的惯性参考系中的物理定律是相同的。
第二个假设是光速不变原理，即光在真空中的传播速度对于所有惯性观察者都是相同的，不受光源或观察者的运动状态的影响。
根据这两个假设，我们可以推导出洛伦兹变换。
假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴方向匀速运动。
在S参考系中，事件的时空坐标为(x, y, z, t)，而在S'参考系中为(x', y', z', t')。
我们希望通过洛伦兹变换找到这两个参考系之间的坐标变换关系。
首先考虑S'参考系中的时间坐标t'和空间坐标x'之间的变换。
由光速不变原理可知，在S'参考系中静止的光源发出的光信号在空间中传播的速度是恒定不变的，即光速c。
假设光源在S参考系中坐标为(x, t)，在S'参考系中坐标为(x', t')，那么光信号在S参考系中的传播距离为c(t-t')，在S'参考系中的传播距离为c(t'-t)。
根据光速不变原理，这两个传播距离应该相等，即：c(t-t') = c(t'-t)整理得到：t' = γ(t - vx/c^2)其中γ为洛伦兹因子，定义为1/√(1-v^2/c^2)，即：γ = 1/√(1-v^2/c^2)这个式子描述了S'参考系中事件的时间与S参考系中事件的时间之间的关系。
洛伦茨变换 推导
洛伦茨变换推导
洛伦兹变换是描述狭义相对论中时空关系的重要理论，其推导过程较为复杂，下面是一种基于特殊坐标系运动的推导方法：
首先，在速度有上限的情况下，根据不变量的表达式，要求此表达式在坐标变换下保持不变。
然后，利用虚数单位以及三角函数与双曲函数的关系，求得了保持度规不变的坐标变换公式。
最后，将坐标变换中的参数φ换成坐标系的相对运动速度u，导出了洛伦兹变换。
洛伦兹变换的推导是相对论的重要基础，它对于理解时空关系和物理现象有着重要的作用。
洛仑兹变换PPT学习教案
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中 国 科 学 技 术 大 学
“以太”理论及其困难
杨
维
纮
“以太”的提出，是为了解释光在真空 中以及 高速的 空间中 都能传 播这一 事实。 当时， 认为光 必须有 一个载 体才能 传播， 而这种 载体当 光在真 空中传 播时更 显得必 要，为 了解释 真空不 空，笛 卡儿（1596~1650）于 十七世 纪第一 个提出 了“以 太”的 假说、 并把“ 以太” 描述为 ：以太 是充满 整个空 间的一 种物质 ，真空 中没有 空气， 但却有 这种无 所不入 的“以 太”。
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中 国 科 学 技
光传播的射击理论的困难
术
大
学
杨
维
纮
2. 双星观测
双星轨道中运动的半周期是
其中T 是双星轨道运动的半周期。设 L 是地球到双星的距离。
T1 T T2 T
L cv
L cv
2vL c2 v2
2vL c2
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光传播的射击理论的困难
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“的工作使这两种假想的介质统 一起来 了。他 指出光 是传播 的电磁 波，并 建立了 一个优 美的数 学理论 ，把所 有涉及 光、电 和磁的 现象结 合在一 起。光 以太也 就是电 磁以太 。这时 “以太 ”的存 在似乎 无可置 疑了。 但是， 如果用 描写气 体、固 体和液 体这类 常见介 质的办 法来描 写以太 那是不 可能的 。这些 都导致 了难以 解决的 矛盾。 不管对 于光以 太还是 电磁以 太，这 些矛盾 都是显 而易见 的。
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光传播的射击理论的困难
洛伦兹变换
洛伦兹变换编辑由于爱因斯坦提出的假说否定了伽利略变换，因此需要寻找一个满足相对论基本原理的变换式。
洛伦兹导出了这个变换式，一般称它为洛伦兹变换式。
中文名洛伦兹变换外文名Lorentz transformation别称洛伦兹变换式提出者亨德里克·洛伦兹提出时间1904年应用学科数学适用领域范围狭义相对论目录1简介2理论3释义4推导▪公设一▪公设二▪过程▪另一种方式5区别6四维矢量改写1简介编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。
洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。
洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。
2理论编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。
设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标系彼此平行，S′系相对于S系沿x 方向运动，速度为v，且当t=t′=0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为式中，；c为真空中的光速。
其逆变换形式为不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。
19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。
然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。
由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。
按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。
其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。
然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。
1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。
洛伦兹坐标变换公式推导
洛伦兹坐标变换公式推导引言：洛伦兹变换是描述时间和空间之间相互转换的重要数学工具，它是狭义相对论的基础之一。
本文将从洛伦兹坐标变换公式的推导出发，介绍洛伦兹变换的基本原理和应用。
一、狭义相对论基本原理狭义相对论是由爱因斯坦于1905年提出的一种描述时间和空间的物理理论。
根据狭义相对论，时间和空间是相对的，取决于观察者的运动状态。
在相对论中，物体的运动速度接近光速时，时间会变慢，长度会缩短，并且质量会增加。
二、洛伦兹变换的定义洛伦兹变换描述了两个参考系之间的坐标变换关系。
设A系和B系为两个相对静止的参考系，其中A系为观察者自身的参考系，B系为运动观察者的参考系。
洛伦兹变换公式根据A系和B系之间的相对运动关系，将B系的坐标表示为A系的坐标。
三、洛伦兹坐标变换公式的推导1. 以A系为基准，设B系相对于A系沿x轴方向运动，速度为v。
2. 在A系中，设事件P的坐标为(x, y, z, t)，在B系中，设事件P'的坐标为(x', y', z', t')。
3. 由于相对论中时间和空间是相对的，事件P和P'在A系和B系中的时间和空间坐标之间存在一定的关系。
4. 根据狭义相对论的原理，洛伦兹变换应满足以下条件：(1) 在A系中，事件P和P'的时间间隔应相等，即t = t'；(2) 在A系中，事件P和P'的空间间隔应满足勾股定理，即x^2 + y^2 + z^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2；(3) 在A系中，B系相对于A系的速度为v，因此有x = x' - vt。
5. 根据以上条件，可以推导出洛伦兹坐标变换公式：x' = γ(x - vt)y' = yz' = zt' = γ(t - vx/c^2)其中，γ = 1 / √(1 - v^2/c^2)，c为光速。
四、洛伦兹变换的应用洛伦兹变换在狭义相对论中具有广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1. 时间膨胀和长度收缩效应：根据洛伦兹变换，当物体的速度接近光速时，时间会变慢，长度会缩短。
8.2洛伦兹变换
推导时间 t ' 与 t 之间的变换关系：
x
( x ut)
t
1 u
x
x
把 x ( x ut) 代入，得
t
1 u
x源自(xut)
u
1
2
1 x
ut
把 1 2 (1 u2 c2 ) 代入，得：
t
t
u c2
x
1 u2 c2
【例】一宇宙飞船相对地面以 0.8c 的 速度飞行，飞船上的观察者测得飞船的长 度为100m。一光脉冲从船尾传到船头， 求地面上的观察者测量，光脉冲 “从船尾 发出” 和 “到达船头” 这两个事件的空间间 隔是多少？
解 只涉及时空变换的问题称为运动学 问题，一般按以下步骤求解：
只需推导：
( x, t) ~ ( x, t) 之间的变换关系
伽利略变换 x x ut
注意：( x ut) 是同一参考系 S 中长度的合成，
只能整体地随 u 变化，所以新变换可表示为：
x ( x ut)
x ( x ut)
, 待定参量
根据爱因斯坦相对性原理：
（3）洛伦兹变换，求两事件在S系中的空间间隔。
已知：x2 x1 100m, t2 t1 ( x2 x1 ) c
x2
x1
( x2
x1 ) u(t2 1 u2 c2
t1 )
100 0.8 100
m 300 m
1 0.82
编者：陈信义
新变换可简单地写成：
x ( x ut) x ( x ut)
洛伦兹变换速度公式推导
洛伦兹变换速度公式推导洛伦兹变换速度公式是狭义相对论中的重要公式，它可以描述不同惯性系之间速度的变换关系。
其推导过程如下：首先，考虑两个惯性系S和S'，它们之间的相对速度为v。
设S 系中的一个事件在S系中的坐标为(x, y, z, t)，在S'系中的坐标为(x', y', z', t')，则根据洛伦兹变换的公式有：x' = γ(x - vt)y' = yz' = zt' = γ(t - vx/c^2)其中，γ = 1/√(1 - v^2/c^2)为洛伦兹因子。
现在，考虑事件在S系中的两个时刻t1和t2之间的运动情况。
假设在t1时刻，事件在S系中的坐标为(x1, y1, z1, t1)，在t2时刻，事件在S系中的坐标为(x2, y2, z2, t2)。
则在S'系中的相应坐标为：x1' = γ(x1 - vt1)y1' = y1z1' = z1t1' = γ(t1 - vx1/c^2)x2' = γ(x2 - vt2)y2' = y2z2' = z2t2' = γ(t2 - vx2/c^2)现在我们来计算事件在S'系中的速度。
根据速度的定义，事件在S'系中的速度为：v' = r'/t' = [(x2' - x1')/(t2' - t1')] + (y2' - y1')/(t2' - t1') + (z2' - z1')/(t2' - t1')k将上面的式子代入到速度公式中，得到：v' = [(γ(x2 - vt2) - γ(x1 - vt1))/γ(t2 - t1) - v] + (y2 - y1)/(γ(t2 - t1)) + (z2 - z1)/(γ(t2 - t1))k化简后得到：v' = [(v - vcosθ)/γ - vsinθ] + [y2 - y1 - (v/γ^2)(x2 - x1)]/(γ(t2 - t1)) + [z2 - z1]/(γ(t2 - t1))k其中，θ为S'系相对于S系的运动方向与x轴的夹角。
洛伦兹变换
b. 在洛仑兹速度变换下，光速不变。 例 题 4-2 在 地 面 上 测 到 有 两 个 飞 船 A 、 B 分 别 以
+0.9c和-0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。
求飞船A相对于飞船B 的 速度有多大。
y y
x
b a 0.09c
0.09c
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x
解: 设K系被固定在飞船B上，则飞船B在其中为静止， 而地面对此参考系以v=0.9c 的速度运动。以地面为参考 系K’，则飞船A相对于K’系的速度按题意为u’x=0.9c ， 可求得飞船A对K系的速度，亦即相对于飞船B的速度：
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由洛仑兹坐标变换
dx
dt
上面两式之比
1 1
1 1
' x
2
(dx vdt )
v dt 2 dx c
2
ux v dx vdt u v v dt 2 dx 1 2 ux c c
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同样得可导出
变换无意义
伽利略变换
速度有极限
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在实际应用时常用相对量的变换
{
x u t x = 2 1β 或 t u x c 2 t = 2 1β
{
x + ut x = 2 1β t +u x c 2 t = 2 1β
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思考题：
1. 在某一惯性系中同时同地发生的事件，在所有其他惯性 系中是否也是同时同地发生？ 0 0
①
M1
c
v
c
c v
2 2
v
以太风
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一、间隔不变性
相对于 在 x 轴 以 v 运动，O与 O重合 时从坐标原点发出一 光讯号。
P
v
P2
O O
P1
P1
P2
, 系
(0,0,0,0)
系： ( x, y, z, t ) '系： ( x' , y' , z ' , t ' ) 系：x2 y2 z 2 c2t 2 ' 系： x2 y2 z2 c2t2
v
(7)
(8)
将(6)式(3)代入，并考虑(7)式得：
2 ( x vt )2 c2 ( t x)2 x2 c2t 2
(8)对任意 x , t 均成立，比较系数得：
2 c 2 2 1 2 2 2 2 2 v c c 2 v c 2 0
x x t ' y y (6) ' z z t ' t x
'
y
y
v
x, x
, , , 是与时间空间、坐标无关的待定常数
z
z
O, O重合 t 0 时，
4
§8.2 洛仑兹变换
O 的位置 x vt 系看， O 的位置 x' 0 系看， vt t 0 代入(6)式第一式得：
② ห้องสมุดไป่ตู้间、空间是均匀的 、各向同性的。
A 只能与 v 有关。 S 2 A(v)S '2 反过来 S 2 A(v)S 2 取 A 1 A2 1
2
§8.2 洛仑兹变换
S 2 S '2 (3) 即两事件的间隔在不同惯性系中有相同的值，称为间隔 不变性，它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。 一般两事件的间隔 S 2 c2 (t2 t1 )2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 (4)
结论：
1. S , S 是绝对的；r , t 是相对的。
2 '2
2.当 v c 时 洛仑兹变换 伽利略变换，这时经典力学结论 仍可适用，狭义相对论是对经典力学的修改和发展。 v 3.真空中光速最大 ( 1) 。 c 4.一切物理规律在洛仑兹变换下具有洛伦兹协变性 8 （Lorentz covariance)。
所以：
讨论：
① 同一地点，相继发生 S 2 c 2 t 2 间隔是光速乘以时间间隔的平方。 ② 同时不同地点
2 S (x )
2
3
§8.2 洛仑兹变换
间隔是两事件的空间距离平方的负值。 由此可见，间隔概念是把时间与空间距离统一起来 的一个概念。
二、洛伦兹变换(Lorentz transformation)
洛仑兹变换式
x vt x 2 v 1 2 c y y z z t v x t c2 v2 1 2 c
洛仑兹逆变换
7
§8.2 洛仑兹变换
(9),(10)是同一事件在两个不同参考系上观察的时空坐标 之间的关系，洛仑兹变换反映相对论的时空观。
5
§8.2 洛仑兹变换
求得：
1 2 v 1 2 c 1 v2 1 2 c
v 2 v 1 2 c 2 v / c v2 1 2 c
6
§8.2 洛仑兹变换
代入(6)式得：
x vt x 2 v 1 2 c y y z z v t 2 x t c v2 1 2 c
1
§8.2 洛仑兹变换
令 S 2 c 2t 2 ( x 2 y 2 z 2 ) (1)
两事件的间隔
S 2 c 2t 2 ( x2 y2 z2 )
1.特殊事件，用光讯号联系 S 2 S '2 0 2.一般情况，可能用其它方式联系，或者根本没有联系。 假定 S 2 AS 2 条件： ① 变换时线性的； (2)