函数关系的确立
如何理解函数的概念？
如何理解函数的概念？潜近表述函数概念：从数学建模到现实应用函数是数学中至关重要概念，它为我们提供了描述和理解现实世界中某些关系的强大工具。
然而，对于许多学生来说，理解函数的概念并非易事。
本文将从教育专家的角度，探讨如何帮助学生更深入地理解函数的概念。
一、函数概念的本质：映射与对应函数的本质确立了一种“映射”关系，即一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间存在唯一的对应关系。
这种对应关系可以是简单的数值关系，也可以是抽象的关系。
比如，函数f(x)=x^2将实数集合中的每个元素都“映射”到另一个实数集合中的元素，即每个实数x都会对应一个唯一的平方值f(x)。
二、函数概念的教学策略1. 从实际问题入手：将函数概念与现实生活直接联系起来，引导学生从实际问题中抽象出函数模型。
比如，可以用时间和距离的关系来建立速度函数，用商品价格和销售数量的关系来建立利润函数。
2. 图形化表达：借用图像直观地展示函数的概念。
绘制出函数图像，可以帮助学生明白函数的定义域、值域、单调性以及极值等性质。
同时，学生可以通过观察图像，直观地感受到函数对应关系的变化。
3. 语言描述：用语言清晰地解释函数的定义、性质和应用，并帮助和鼓励学生用自己的语言解释和理解函数的概念。
比如，可以用“对于任意输入值，函数都会返回一个唯一的输出值”来解释函数的对应关系。
4. 多样的练习和设计实验活动：系统设置多种形式的练习，包括基础练习、拓展练习和探究性练习，帮助学生培养对函数概念的理解，并增强解决问题的能力。
例如，可以设计一些需要学生通过观察数据、分析规律、建立函数模型来解决的问题。
三、函数概念的重要性：连接数学与现实函数概念是数学研究的基础，也是数学与其他学科之间交流的桥梁。
它不仅为我们提供了描述和理解现实世界中某些关系的工具，更重要的是它培养了学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决问题的能力。
四、总结理解函数概念需要将它与现实世界直接联系起来。
单元整体视角下的初中函数教学内容建构与实施——以“一次函数”为例
单元整体视角下的初中函数教学内容建构与实施——以“一次函数”为例发布时间：2023-07-03T08:00:32.752Z 来源：《基础教育参考》2023年7月作者：巫月峰[导读] 随着课程改革的逐渐推进，教学改革也被一次次的提出与试验，在教学实践中，大多数教师仅仅关注课堂的教学设计实践，更加注重课堂的表现形式，而学生在实际的课堂学习过程中，无法将课堂学习的内容进行整体回顾。
（浙江省杭州市临安区锦城第六初级中学）【摘要】单元教学设计为学生数学核心素养的培养指明了路径。
以“课时”的内在联系为前提，活动驱动问题串，把准学生最近发展区为关键，重构和深度学习为目的，对浙教版八年级数学上册第五章“一次函数”进行了单元教学设计，旨在突出数学学科知识的内在联系，促进学生数学学科核心素养的发展。
【关键词】一次函数；单元教学设计；核心素养；螺旋式中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）7-296-03一、研究缘起随着课程改革的逐渐推进，教学改革也被一次次的提出与试验，在教学实践中，大多数教师仅仅关注课堂的教学设计实践，更加注重课堂的表现形式，而学生在实际的课堂学习过程中，无法将课堂学习的内容进行整体回顾。
以一次函数为例，学生在传统的课堂上知识是碎片化的，在学习每一节知识后，学生无法形成一个系统的知识认知，如何让学生将所学知识融会贯通？如何让知识的生成过程发生迁移？如何使教师的教学形式与学生的学习方法合理对接？因此，教学内容改革、教学形式变革有了新的挑战。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确把单元教学写进“教学建议”，改变之前以课时为单位的教学设计，推进单元整体设计，通过确定单元教学目标，再进行各个小节内容的设计，即通过互动环节的分割，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养[1]。
同时教师以“课时”为教学，使得知识“零碎化”，所以改变传统的教学模式，坚持大单元与一般观念的原则，实现教材、学科内容再建构，这样一来可以有效的培养学生的核心素养，提高教学质量，培养学生的能力，使学生在各个知识板块均能达到深度学习。
第2课时 函数关系的表示法——列表法、解析法
第2课时函数关系的表示法——列表法、解析法【知识与技能】了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.【过程与方法】学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题.【情感与态度】培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值.【教学重点】重点是进一步掌握确定函数关系的方法以及确定自变量的取值范围.【教学难点】难点是确定函数关系.一、提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化，同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容.活动一在计算器上按照下面的程序进行操作.下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）.让学生思考后回答（或小组讨论）【教学说明】学生通过思考问题，为掌握新知识函数的表示方法：列表法做铺垫.活动二用10 cm长的绳子围成矩形，设矩形的长度为x cm，面积为Ｓcm2.怎样用含有x的式子表示Ｓ？【教学说明】引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.二、导入新课上述活动一、活动二反应了两个变量间的函数关系，函数关系式的表示方法主要有三种方法：列表法、解析法、图象法.在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数的表达式有意义.例1求下列函数中自变量x的取值范围；（1）y=2x+4; (2)y=-2x2; (3)1; 3.2y y xx==--【分析】在（1）（2）中，x取任何实数时，2x+4与-2x2都有意义；在（3）中，当x=2时，12x-没有意义；在（4）中，当x＜3时，x-3没有意义.【解】（1）x为全体实数.（2）x为全体实数.（3）x≠2.（4）x≥3.注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义.如函数S=πR2中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆面积S与圆半径R 的关系，那么自变量R的取值范围是R＞0.例2当x=3时，求下列函数的函数值：（1）y=2x+4; (2)y=-2x2; (3)1; 3.2y y xx==--【解】（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10. （2）当x=3时，y=-2x2=-2×32=-18.（3）当x=3时，y=12x-=1.（4）当x=3时，y=3x-=0.例3一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每时25 m3排出量排水.（1）写出游泳池内剩余水量Q （m3）与排水时间t（h）间的函数关系式；（2）写出自变量t的取值范围；（3）开始排水后的第5 h末，游泳池中还有多少水？（4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多少时间？【解】（1）排水后的剩水量Q 是排水时间t的函数，有Q=-25t+300（2）由于池中共有300 m3水，每时排25 m3，全部排完只需300÷25=12（h），故自变量t的取值范围是0≤t≤12.（3）当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3），即第5h末池中还有水175 m3.（4）当Q=150时，由150=-25t+300，得t=6，即已经排水6 h.三、运用新知，深化理解1.（广西来宾中考）函数y=3x-中，自变量x的取值范围是（）A.x≠3B.x≥3C.x＞3D.x≤32.（四川遂宁中考）在函数y=11x-中，自变量x的取值范围是（）A.x＞1B.x＜1C.x≠1D.x=13.函数y=21xx+-中，自变量x的取值范围是.4.如图，根据流程图中的程序，当输出数值y=5时，输入数值x是（）5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升.（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；（2）7：55时，水箱内还有多少水？（3）几点几分水箱内的水恰好放完？【参考答案】1.B 2.C 3.x≥-2且x≠1 4.C5.解：（1）∵水箱内存有的水=原有水-放掉的水，∴y=200-2t，∵y≥0，∴200-2t≥0，解得：t≤100，∴0≤t≤100，所以y关于t的函数关系式为：y=200-2t（0≤t≤100）；（2）∵7：55-7：30=25（分钟），∴当t=25时，y=200-2t=200-50=150（升），∴7：55时，水箱内还有水150升；（3）当y=0时，200-2t=0，解得：t=100分钟=1小时40分钟，7：30+1小时40分钟=9点10分，答：故9点10分水箱内的水恰好放完.四、师生互动，课堂小结学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.1.课本第26页练习1、2、3、5.2.完成练习册中相应的作业.通过本节课学习让学生了解函数的表示方法：列表法、解析法，并领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题，培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的构建在实际生活中的应用价值.。
五种类型一次函数解析式的确定
五种种类一次函数分析式确实定确立一次函数的分析式，是一次函数学习的重要内容。
下边就确立一次函数的分析式的题型作以下的概括，供同学们学习时参照。
一、依据直线的分析式和图像上一个点的坐标，确立函数的分析式例1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6 ），求函数的分析式。
剖析：由于，函数 y=3x+b 经过点（ 2，-6 ），所以，点的坐标必定知足函数的关系式，所以，只要把 x=2，y=-6 代入分析式中，就能够求出 b 的值。
函数的分析式就确立出来了。
解：由于，函数y=3x+b 经过点（2，-6 ），所以，把 x=2，y=-6 代入分析式中，得： -6=3 ×2+b，解得： b=-12，所以，函数的分析式是： y=3x-12.二、依据直线经过两个点的坐标，确立函数的分析式例 2、直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（2，7），求函数的表达式。
剖析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含 k 的代数式分别表示 b，由于 b 是同一个，这样成立起一个对于 k 的一元一次方程，这样就能够把 k 的值求出来，而后，就转变成例 1 的问题了。
解：由于，直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（ 2，7），所以， 4=3k+b，7=2k+b，解得： k=-3 ，b=13，所以，一次函数的分析式为：y=-3x+13 。
三、依据函数的图像，确立函数的分析式例 3、如图 1 表示一辆汽车油箱里节余油量y（升）与行驶时间 x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油 y（升）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，而且确立自变量x 的取值范围。
剖析：依据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们能够确立油箱里所剩油 y（升）是行驶时间 x（小时）的一次函数，理解这些后，就能够利用设函数分析式的方法去求函数的分析式。
解：由于，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，由于，图像经过点A（0，40）， B（8，0）所以，把 x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入 y=kx+b 中，得： 40=k×0+b， 0=8k+b解得： k=-5 ，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40 。
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数概念的萌芽时期函数思想是随着人们开始运用数学知识研究事物的运动变化情况而出现的，16世纪，由于实践的需要，自然科学界开始转向对运动的量进行研究，各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家们关注的对象。
17世纪意大利数学家、科学家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究这方面的科学家，伽俐略在《两门新科学》一书中多处使用比例关系和文字表述了量与量之间的依赖关系，例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这实际上就运用了函数思想，与此同时，英国著名的物理学家、数学家、天文学家牛顿（Newton，1642-1727）在对微积分的讨论中，使用了“流量”一词来表示变量间的关系，1673年，法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650）在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，引进了变量思想，并在他的《几何学》一书中指出：所谓变量是指“不知的和未定的量”，这成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了基础。
直到17世纪后期，在德国数学家莱布尼兹（Leib-niz，1646-1716）、牛顿建立微积分学时，还没有人明确函数的一般意义，大部分的函数是被当作研究曲线的工具，最早把“函数”（function）一词用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，从这个定义，我们可以看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
函数概念的初步形成18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展，瑞士著名数学家约翰·贝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究积分计算问题时提出，积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系，而要用莱布尼兹定义的函数表示出变量本身之间的关系是很困难的，于是，1718年贝努利从解析的角度，把函数定义为：变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量，其意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，并且贝努利强调，函数要用公式来表示才行。
函数概念的起源、演变与发展
函数概念的起源、演变与发展李孟芹【摘要】按照时间的推进,先后论述了函数概念的起源、诞生、严密化、飞跃及其扩展.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2011(027)003【总页数】5页(P179-183)【关键词】函数;概念;起源;演变;发展【作者】李孟芹【作者单位】天津工业大学理学院,天津,300160【正文语种】中文【中图分类】O1-0今日的数学大厦是历经数千年、数代数学家不断建设完善的结果.其中函数概念从它于17世纪被引入以来,也伴随着数学思想的发展,经历了数次演变,逐渐从模糊走向严密.对于数学和科学来说,函数是一个最重要、最有意义的数学概念,是人类心智发展的一个重要标志[1].俄罗斯数学家亚历山大洛夫将数学分为四个基本的、本质上不同的阶段：第一阶段是萌芽时期;第二阶段是常量数学时期;第三阶段是变量数学时期.随着笛卡儿对坐标的引入,解析几何被广为接受;第四阶段是现代数学时期,集合论的诞生,为数学发展开创了一个新时代,集合成为数学的新语言[2].随着数学的发展,函数概念也经历了演变,并随之有了全新的定义,又扩展到数学的各个古老的、新兴的分支领域之中,拓扑、泛函分析、函数空间、解析数论等都是运用函数开拓出的新的数学领域.作为最能深刻刻画现代数学发展的一个数学概念,认真地考察函数概念的起源、演变及其发展,不仅能够进一步加深对函数概念的认识与把握,也是深入了解数学思想和整个数学理论发展的重要途径.对过去科学概念的确立认识,应当采用历时的方法,按照历史实际存在的境遇和观点,来研究过去的科学[3].从历史上看,函数概念的产生有以下三个来源.2.1 科学的数学化,为函数概念刻画奠定了基础.物理学的定量研究与描述,兴起了科学的数学化,为函数概念刻画奠定了基础.自文艺复兴以来,科学研究以认识和解释自然现象和规律为宗旨,人们在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏移而还要垂直下落到地球上?还有,斜抛物体的射程、高度及轨迹是什么?科学家的兴趣也集中在能够解释这些规律的公式上.伽利略等一大批科学家对运动和一些几何内容作了定量研究,得出了一些规律性的变量之间关系,但都是文字关系描述,如“从静止状态开始的以定常加速度下降的物体,其经过的距离与所用的时间的平方成正比”,“两个等体积圆柱体的侧面积之比等于它们高度之比的平方根”,这标志科学数学化的开始.他虽然没有采用字母和运算符号的表示,但已经明确出量与量之间的关系,为函数概念的内涵确定奠定了基础.2.2 代数符号化为函数概念奠定了重要的形式基础.从丢番图到韦达,代数学逐步走出了文字叙述式表述,已经广为接受用阿拉伯数字和字母进行运算、书写代数式和代数方程.韦达用字母表示未知量的乘幂,成为算术与代数的分界,即代数是施行于事物的类或形式的运算方式.韦达力图把代数学隐藏在几何形式下的代数恒等式建立起来[4].笛卡儿对韦达使用的字母符号作了改进,将已知量和未知量的符号作了分区：他用字母表前面的字母,如a,b,c等表示已知量,用字母表末的字母,如x,y,z等表示未知量.这已成为现今的习惯用法.数学量、运算符号等的引入,逐步使代数摆脱了文字叙述,形成了鲜明、直观、简洁的表示和运算,为函数概念的表示和形式化打下了良好的基础.2.3 解析几何的变量概念,为函数概念的诞生提供了前提.1637年,笛卡儿在他的《几何》中用字母表示几何作图中已知和未知的线段,并确定这些线段之间的相互关系,使同一个量能用两种方式表示出来,从而得到一个代数方程.他引入坐标系和坐标变量x,y,这样几何中的一个曲线,就对应于x,y描述的一个代数方程.这标志,笛卡儿将数学的结构从几何转到了代数,也为函数概念的诞生提供了前提[5].函数一词是由莱布尼兹于1673年引入的,但不是后来意义上的函数,仅仅用于表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的纵坐标、切线、法线等长度[1].1697年,约翰·伯努利给出了函数的第一个定义：一个按照任何方式用变量和常量构成的量.1698年,他采用了莱布尼兹的说法,称这个量为“x的函数”,表示为X.1718年,他又明确定义了一个变量的函数：由这个变量和常量的任意一种方式构成的量,表示为Φx.伯努利强调的是函数要用公式来表示[4].1734年,欧拉引入现在的函数表示形式：.1748年,欧拉在《无穷小分析引论》中,首次将函数作为明确而主要的内容,而不是将曲线作为主要的研究对象,促进了几何的算术化.书中定义一个变量的函数：是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式.在这一定义中,欧拉用“解析表达式”代替了伯努利的“任意一种方式”,更加明确地表达了变量之间的相互依赖的变化关系.1755年,欧拉在《微分学原理》中给出函数另一个定义：如果某些量以如下方式依赖于另一些量,即当后者变化时,前者本身也变化,则称前一些量是后一些量的函数[6].在此定义中,变量间的依赖关系叙述得更加明了,且已经隐含了自变量和因变量的概念,也不再强调函数一定要用公式来表示,但仍没有明确函数是某种对应关系,也没有提出函数可以不用解析式来表示.1797年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为：自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式[4].换句话说,他认为,函数是运算的一个组合.由以上史料分析可以看出,从函数概念的引入到18世纪末,人们对函数概念的定义在不断改进,到18世纪末,函数概念的“变量说”：“函数是一些量依赖于另一些量的变化而变化的量,并且必须能用一些解析式或公式表示出来”得到了大家的普遍认可和应用.虽然此时的函数概念中已经蕴含了对应关系的意思,但仍没有明确提出函数是某种对应关系,并且函数必须能用解析式表示出来的提法也使函数概念的内涵受到了约束,因为它只是函数概念的外延.解析表达式的函数定义占据了18世纪的统治地位,也受到欧拉等当时一大批大科学家的推崇.从数学的角度看,用确定的解析式来表达函数是正当的要求,但问题也正出于此,函数是否必须有解析式子?是否真如有些数学家所抱怨的：能用解析式子表达的函数是“真函数”,不能用解析式子表达的函数就是“假函数”呢?函数的解析表达式及莱布尼兹引入的关于函数、导数、微分和积分等符号具有代数化和简洁明朗的运算性,显现出比几何和其他表示的显著优越性.在以欧拉为代表的代数表达式的形式演算推动下,欧洲大陆上的拉格朗日、拉普拉斯、欧拉、柯西、伯努利家族等迅速将形式演算方法拓展到物理、力学等科学研究之中,促进了常微分方程、偏微分方程、复变函数等新领域的形成与发展,这个过程反过来也刺激了函数概念的发展,促使人们从更加严密的角度来考察它,数学分析也得到向严密化的推进.对函数的形式演算,需要将复杂的、超越的函数展成级数.由于对振动弦的研究,提出了函数整体性质刻画的问题,而不一定都将函数表示成解析表达式,函数的概念可以描述随意画出的任意曲线(不规则函数、不连续函数等).对于过去以较简单的代数函数性质直接推广到所有函数上去的做法,引起广泛争论,引起了数学分析严密化问题,也开始了对函数概念的进一步探讨.1797年,拉格朗日在《解析函数》中,力图重建微积分的基础.他的代数分析的实质,就是把函数归结为无穷级数.他希望任何函数都能表示成1807年,傅立叶在研究热传导方程时,得到了现在称为傅立叶级数的三角函数无穷级数.他称,任意函数可以用正弦函数和余弦函数的无穷和来表示.这就引起了关于周期函数、连续性、可导性、收敛性等涉及数学分析的严密性问题.1811年,傅里叶谈到了级数的收敛性.后来狄里克莱证明了：一个三角级数可以收敛于不连续函数.从此以后,函数概念不再强调纯解析表达式,为函数概念向前迈进一步奠定了基础.在此基础上,傅立叶给出一个函数的一般定义：函数表示一个完全任意的函数,即给定一系列值,按共同规律或不按共同规律,对于在0与任意大的X之间的一切x值做出回答[4].这一定义不仅终于脱离开保持了一个多世纪的函数必须能用解析式表示的约束,而且这一定义已经含有“对应关系”的内涵了.比傅立叶更进一步,狄里克莱1837年给出了一个函数定义：假定a和b是两个确定的值,x是一个变量,它顺序变化取遍a和b之间的值,于是,如果对于每个x,有唯一的一个有限的y以如下方式与之对应：即当x从a连续地通过区间到达b时,y=f也类似地顺序变化,那么y称为该区间中x的连续函数.而且完全不必要要求y在整个区间中按同一规律依赖于x[5].按照这个定义,即使像下面定义的f,仍可说是函数：f在x为有理数时为1,当x为无理数时为0.这就是著名的狄里克莱函数.从此,人们普遍接受：没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系.这个函数的定义比傅立叶的定义有了根本性的发展,引入了现代函数概念中的两个要素：区间(即定义域)和对应.1870年,Hankel也给出了函数定义：f称为x的一个函数,如果对于某个区间内的每个x值,都有唯一和确定的f的一个值与之对应.而且f(x)从何而来,如何确定,是否由量的解析运算或其它方式得到,这些都无关紧要,所需的只是f(x)的值在各处都是唯一确定的[5].1876年,狄里克莱的学生黎曼给出了一个一般性的函数概念：如果设z为可以取一切实数的变量,对于它的每个值对应到未定量w的唯一值,那么称w是z的函数.这个定义已经很趋于现代的函数定义了.1879年,Frege的定义：如果在一个表达式(其含义无需探究)中,一次或多次出现一个简单或复合的符号,并且,我们认为这个符号在某些或所有出现的地方可以用其它事物代替(但各处要用同一事物代替),那么,我们称表达式中保持不变的成分为函数,可替代的部分则是这个函数的自变量[5].在这一定义中,也已隐含了现代函数概念的两个要素：定义域即定义中的可替代的部分;对应关系即定义中所说的表达式中保持不变的成分.此后,又有许多数学家给出了函数的定义,都在强调：函数是变量间的某种“对应”关系,并且没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系.由以上史料分析可以看出,从18世纪末到19世纪后半叶,随着数学的发展,函数概念也逐渐严密化,明确了函数不只是一个变量依赖于另一个变量的变化而变化的量,能否用解析式表示也无关紧要,重要的是：变量间必须存在“对应”关系,即对于每一个x值,一定对应于一个且仅对应于一个y的值.但对于“对应”的真正含义仍不够明确,而且对于函数的概念,当时还没有一个通用的定义.从19世纪70年代开始,康托尔发表了一系列文章,系统地分析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质,出现了连续统等问题的研究,逐步形成并诞生了集合理论.在康托尔开创了集合论理论后,由于其对于数学的基础性,成为现代数学描述的基础语言.因此,函数概念的定义再一次面临着新变化.1887年,戴德金的关于函数的定义：系统S上的一个映射蕴涵了一种规则,按照这种规则,S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象,它成为s的映象,记作φ(s).我们也可以说,φ(s)对应于元素s,φ(s)由映射φ作用于s而产生或导出;s经映射φ变换成φ(s)[5].在这个定义中,首次用映射来描述函数,而且明确了映射中所蕴含的“规则”即对应“关系”才是函数概念的内涵,已非常接近函数的现代定义了. 1936年,布尔巴基给出了函数的现代定义：设E和F是两个集合,它们可以不同,也可以相同,E中的一个变元x和F中的变元y之间一个关系成为一个函数关系,如果对每个x∈E,都存在唯一的y∈F,它满足跟x的给定关系,表示为f:E→F[8].这就是用映射来表达的现代的函数概念.现在的大部分数学教材中函数的定义：设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中的每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为定义在X上的函数,记作f:X→Y, 通常也简记作y=f(x),x∈X,其中x称为自变量,y称为因变量,X称为定义域.现代函数定义中,强调对应“法则”或对应“关系”f才是函数概念的内涵,而在先前的“对应说”中,没有明确“对应”的含义,它强调的是值与值之间的对应.函数的现代定义与经典定义从表述形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志.另外,值得关注的是：现代的教材或数学书中,为什么在涉及到函数的记号时,往往y=f(x)与f:X→Y仍然同时并用?这既有沿用历史的习惯用法,但更深层地原因是,记号y=f(x)使用起来更方便,仍然用它充分体现了数学语言的工具性.从变量与变量之间的解析式表示、变量与变量之间存在着对应到两个集合间的映射,不仅成为函数概念演变中的一个里程碑,而且是人类思维发展史上的一座金光闪闪的纪念碑.用集合论的语言定义函数的概念,可称为函数,也可以叫做映射.主要表示式为f:X→Y,也可以表示为f.在不同的领域或情况下,变换、算子、对应等与函数概念等价.那么,从这个意义上讲,变换、算子可以看作是函数概念在不同方面的扩展,而这些扩展,使函数概念深刻地渗入到最古老的数论、几何等领域,也拓展出一些新领域.6.1 函数的拓展：广义函数.20世纪二三十年代,英国物理学家狄拉克在发展与完善量子力学理论时,引入了一个δ函数[7]：它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1.他系统地使用了δ函数及其导数的概念.这一函数概念与当时的标准分析格格不入,引起数学家的很大困惑.有人声称尽管狄拉克总能得到一致和有用的结果,但狄拉克是错的[8].但由于描述质点、点电荷、瞬时源等物理中重要的理想化概念的需要,物理学家不顾批评,仍坚持对δ函数的各种运用.到1945-1948年间,在前人的基础上,施瓦兹将δ以及类似函数发展成完全严密的和有用的理论,出版了两卷本的《分布理论》,他称之为广义函数,也因此获得了菲尔兹奖.从那时起人们知道了如何对待δ,它们实质上是分布.广义函数论现已广泛地成为数学(微分方程理论)、物理学和工程领域研究的重要工具.6.2 空间的拓展：函数空间与拓扑、泛函分析.将函数作为空间的“点”,定义两个函数之差的测度为空间中两点的距离,就构成了函数空间,使空间拓展到抽象空间,为数学开拓出许多新疆域,如希尔伯特空间、巴拿赫空间,成为拓扑学、泛函分析等发展的基础[9].变换、同胚、算子等与函数意义相同的概念成为这些领域的重要而基本的概念.函数空间中的不动点定理成为证明微分方程解存在的重要工具.1922年,Birkhoff 和Kellogg将拓扑学中不动点定理推广到无穷维的函数空间.20世纪30年代Schauder和Ceray将函数空间的不动点定理用于微分方程解的存在的证明取得极大成功[5].函数空间的引入,也促进了泛函分析的兴起与发展.算子可以看作是函数概念在函数空间的拓展.目前算子理论已得到了极大发展,是线性和非线性泛函分析的重要内容,成为数学中动力系统理论、群和代数的表示理论以及数学物理、量子力学、统计力学中的重要工具.6.3 数论的拓展：解析数论.欧拉首先提出用数学分析方法解决数论问题.在研究过程中黎曼[7]引进了著名的(x)函数,将其推广应用于素数分布,成为解析数论的重要基础.目前,由于函数等分析概念在数论中的应用,已经在数论领域中形成了素数理论及代数数论等重要的数学独立分支.许多数学概念是在数学的整体演变与发展过程中,逐渐被认可、被完善的,都有一个从模糊、不严密到严谨的发展历程.从概念的追本溯源中、从概念的演变中、从过去和现代人的看法中来研究,有助于人们对数学思想和概念的认识和掌握,有助于数学观念的形成.历史分析表明,函数概念是数学发展之途中标志数学内容和形式分界性的一个基本概念和重要概念,促进了代数在数学中地位的提高,也推动了几何学的新发展.函数概念历经数百年来的演变发展,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善和严密了,不过科学和数学的发展是无止境的,函数的概念也会随之继续扩展.【相关文献】[1] 博克纳·萨洛蒙[美].数学在科学起源中的作用[M].长沙：湖南教育出版社,1992.[2] 亚历山大洛夫[俄].数学它的内容、方法和意义[M].北京：科学出版社,2001.[3] 赫尔奇·克拉夫[丹].科学史导论[M].北京：北京大学出版社,2005.[4] 克莱因M[美].古今数学思想(1-4卷)[M].上海：上海科学技术出版社,1985.[5] Dieter Ruthing.函数概念的一些定义[J].数学译林,1986,15(3)：260-263.[6] 徐品方.数学符号史[M].北京：科学出版社,2006.[7] 数学百科全书(1-5卷)[M].北京：科学出版社,1997.[8] 舒茨B F[英].数学物理中的几何方法[M].上海：上海科学技术出版社,1986.[9] 克莱因M[美].现代世界中的数学[M].上海：上海教育出版社,2004.。
几何图形中函数关系式的确立与求解
中学数学杂志 （ 中） ２０ 初 ０ ６年第 １ 期
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中学数学 杂志（ 中） ２ ０ 初 ０ ６年第 １ 期
几何图形 中函数关系式的确 立与求 解
河北省 宁晋 县 中曹 中学
通 过分 析几何 图形 ， 据 相 关 性 质定 理 根 建立 变量 间 函数关 系式 的 中考 数 学 试 题 ， 是
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函数概念的演变
函数概念的演变作者：欧婷婷来源：《世纪之星·交流版》2017年第07期[摘要]函数是数学中最基本，应用范围最广的一个概念，从初等数学到高等数学都离不开函数这一概念，函数的概念并不是一开始就确立，而是经历了由片面到全面的一个发展过程，最终形成现代函数的概念，从函数概念演变的过程，我们可以更加全面的理解现代函数的概念。
[关键词]函数；概念；发展；演变函数概念的产生距今只有三百多年，产生时间与微积分这门学科差不多，实际上函数概念得以迅速发展是在16世纪以后，特别是随着微积分这一学科的建立，函数概念逐步发展和完善。
现代函数概念的确立经历了以下几个阶段一、常量数学下的函数在16世纪之前，数学主要研究的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物，具体函数比比皆是，但没有一般的函数概念。
比如代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，这些研究中已经涉及到函数的概念，只是还没有人意识到要将这一概念提炼出来。
二、变量思想下的函数到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题，数学研究也从常量数学转向了变量数学。
17世纪伽利略的《两门新科学》一书中，处处包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系，如：两个等体积圆柱体的面积之比，等于他们高度之比的平方根。
两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于他们高度之比的反比。
从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
这些表述非常清楚的表明伽利略已涉及并讨论变量和函数。
1673年法国数学家笛卡尔在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为”未知和未定的量”，同时注意到两个变量之间的相依关系。
这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
但并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
三、解析几何下的函数概念17世纪中叶，微积分的创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用函数（function）这个名词。
函数发展历程
函数发展历程函数作为一种数学概念和计算机编程的核心概念，经历了长期的发展历程。
本文将从函数的起源、确立、扩展和应用等方面，依次介绍函数的发展历程。
函数的起源可以追溯到古希腊时期。
数学家欧几里得就曾经研究直线上的某一点与其它点之间的关系，这种对抽象关系的研究正是函数学的起源。
而其他古代数学家如阿基米德、欧拉等人也都在他们自己的研究中使用了类似函数的概念，但这些早期的函数概念尚未明确并没有统一的定义。
17世纪，数学家伯努利兄弟为数学函数确立了更加明确的定义。
他们认为，函数是一个可见量与适当的自变量之间的依赖关系，从而引入了函数的图像和变化率的概念。
这个定义为后来函数的发展奠定了基础。
18世纪，数学分析学的奠基人牛顿、莱布尼茨进一步推动了函数的发展。
他们发明了微积分学，不仅完善了函数的定义和性质，还研究了函数的极限、导数和积分等重要概念，且提出了函数的泰勒级数展开理论。
这些成果使函数概念在数学领域得到广泛应用，并为物理学、工程学等学科提供了重要工具。
随着计算机的发展，函数得到了更广泛的应用。
20世纪50年代，计算机语言FORTRAN的出现为函数在计算机编程中的应用奠定了基础。
FORTRAN语言支持用户定义函数，并且强调了函数的重复利用性。
这为以后编程语言的函数概念提供了一个先例。
从20世纪60年代开始，函数在计算机编程中的应用逐渐得到重视。
ALGOL语言提供了一种新的函数定义和调用方式，引入了块结构和局部变量的概念。
这些特性使函数的使用得到进一步简化，并使函数模块化成为可能。
在20世纪70年代，C语言的出现进一步推动了函数的发展。
C语言引入了参数传递和返回值的机制，使得函数的调用和返回更加灵活。
此外，C语言还支持递归调用，这使得函数能够实现更加复杂的功能。
随着计算机科学的不断发展，函数的应用领域也不断扩展。
从科学计算到图形学、数据库、人工智能等领域，函数都发挥着不可替代的作用。
同时，函数式编程的兴起也推动了函数的进一步发展。
课题函数关系的建立(1)
课题：函数关系的建立（1）教学目标：能够在解决简单的实际问题时建立两个变量间的函数关系式，并学会如何确定函数的定义域；初步掌握建立数学模型的方法和步骤；通过函数关系建立的过程，提高分析问题、解决问题的能力，培养化归、分类讨论、建模等数学思想运用的意识；在师生互动、生生互动的合作与交流活动过程中，提高数学学习兴趣，树立解决实际问题的自信心，培养合作精神和创新意识。
教学重点：函数关系的建立教学难点：实际问题转化为数学问题；确定函数的定义域。
教学方法：独立自主式、启发探究式、合作交流式；教学过程：引入：数学是一门工具学科，可以用来解决实际生活中的许多问题，在解决实际问题时，我们首先要把实际问题转化成为数学问题，这个过程叫做建模。
实际生活中的许多问题都是变量之间的关系问题，因此我们常常需要建立变量之间的函数关系。
下面我们解决几个实际生活中的问题，看看如何建立函数关系：问题１：如图，有一个边长为a米、b米(a<b)的长方形草坪，被平行于为x米的正方形，求鲜花的种植面积S。
师生共同分析，得到S关于x的函数。
引出课题《函数关系的建立（1）》回顾建立S关于x函数的过程，总结建立函数关系的一般步骤：1、审题明确变量；2、找变量关系列式；3、化简整理得函数解析式；4、确定定义域。
问题２：有一个圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是100cm2，试用解析式将杯子的容积V(cm3)表示成底面内半径x(cm)的函数。
x 外，还要注意高也应大于０.点评：本例中求定义域中除了注意0因此，在确定函数定义域时，除了自变量本身的范围外，还因注意相关变量的取值范围；问题３：如图，正方形ABCD，AB=1,已知正方形上有一点M沿着正方形从A出发，经过B,C,D，最后回到A点，设此时M走过的路程为x，M点到AC的距离为y，求此时y 与x的函数关系式y＝f(x),并画出函数图像。
点评：Ｍ在的边不同，所得的函数解析式不同，因此这样的函数在不同区间就用不同的解析式，即分段函数表示。
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函数关系的确立
教学目的：
1.借助简单的实际问题，掌握建立函数关系解决问题的方法;初步会用函数的观点观察和
分析一些自然现象和社会现象。
教学重点：
1.会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并确定函数的定义域；
2.通过函数关系式的建立，培养学生把现实问题转化为数学问题的能力；
教学难点：
1实际问题中函数的定义域；
第一部分函数关系的建立
知识点1 建立函数关系的一般步骤
（1）审题：分析题意，设出两个变量；（2）建模
（3）得出函数关系式，根据实际情况写出函数定义域
点拨：函数有三要素，其中函数关系f和定义域决定了函数的
值域，因此建立函数关系式时，必须求出自变量的范围。
在实
际问题中定义域的确定应考虑变量的实际意义。
知识点2 建立数学模型解决实际问题
(1)确定自变量；
(2)寻找等量关系；
(3)建立目标函数，根据实际意义确定函数的定义域；
(4)根据目标函数解析式的具体形式，用相应的求法求最值。
例1.某商店经营一种品牌的彩电，每台售价2880元，成本价为销售价的75%，为了扩大经营，拟定出新售价，使商品按新售价的八折优惠销售时，仍能获利。
试写出每台彩电获利y元与新销售价x 元之间的函数关系。
例2.一个圆柱形容器的底面直径为d厘米，高为h厘米，现以每秒p 立方厘米的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y厘米与注入时间x秒的函数关系
例3.上海的出租车收费标准是：起步费（3千米内，含3千米）11元，从3千米到10千米（含10千米）每千米2.1
元，10千米以上每千米3.15元，假设忽略因交通原因而等待的时间以及夜间附加费等所增加的费用，试建立车费y（元）与行程x（千米）的函数关系（注：这里所讲的车费不是计价器显示的车费，计价器显示的是单位为元的整数部分）
例4.设函数y=x2-4x+k的图像与x轴交于P、Q两点，与y轴交于点R，三角形PQR的面积为S，求S=f(k)的解析式。
例5.飞机每飞行1小时的耗费由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分为p元，它与飞机飞行速度v（千米/小时）的函数关系是p=0.01v2,已知甲乙两地相距a千米，试写出飞机从甲地飞到乙地的总耗费y（元）关于飞机飞行速度v的函数关系式，并求出当飞机飞行的速度为多少时，耗费最小。