专题12 新定义(解析版)

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘专题12新定义【考点1】明确条件、原理、方法得出结论【例1】（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和Ce，给出如下定义：若Ce上存在点A，使得30APC∠=︒，则称P为Ce的半角关联点．当Oe的半径为1时，（1）在点1(2D，1)2-，(2,0)E，(0,23)F中，Oe的半角关联点是；（2）直线3:2l y=-交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点(,)P m n是Oe的半角关联点，求m的取值范围．【分析】（1）由题意可知在圆上存在点A使30ADO∠=︒和30AEO∠=︒；（2）根据解析式求出M与N的坐标，以O为圆心，ON长为半径画圆，交直线MN于点G，可得0m…；设小圆Oe与y轴负半轴的交点为H，连接OG，HG；由边角关系确定OGN∆是等边三角形，可知GH y⊥轴，点G的纵坐标为1-，代入32y=-，可得，横坐标为3【解析】解：（1）由题意可知在圆上存在点A使30ADO∠=︒和30AEO∠=︒，D∴，E是，Oe的半角关联点，故答案为D，E；（2）由直线解析式可直接求得(23,0),(0,2)M N -，以O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ， 可得0m …，设小圆O e 与y 轴负半轴的交点为H ， 连接OG ，(3HG M -Q 0)，(0,2)N 23OM ∴=2ON =，3tan OMN ∠=30OMN ∴∠=︒，60ONM ∠=︒ OGN ∴∆是等边三角形GH y ∴⊥轴，∴点G 的纵坐标为1-，代入32y =-， 可得，横坐标为3-3m ∴… ∴30m -剟；【点拨】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；【变式1-1】（2018•平谷区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M e ，给出如下定义：若M e 上存在两个点A ，B ，使2AB PM =，则称点P 为M e 的“美好点”．（1）当M e 半径为2，点M 和点O 重合时，1点1(2,0)P -，2(1,1)P ，3(2,2)P 中，O e 的“美好点”是 ；2点P 为直线y x b =+上一动点，点P 为O e 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M e ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为M e 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）根据M e 的“美好点”即可判断，求出直线y x b =+与M e 相切时，b 的值即可解决问题； （2）当直线4y =与M e 相切时，求出点M 的坐标，有两个值，由此即可解决问题； 【解析】解：（1）如图1中，12OP r =+Q ，22OPr =<，322OP r =>， 根据M e 的“美好点”的定义可知，1P ，2P 是M e 的“美好点”． 故答案为1P 和2P当直线y x b =+与O e 相切时，设切点分别为T ，该直线交x 轴于K ，交y 轴于E ． 在Rt OTK ∆中，2OT =，45TKO ∠=︒， 45KEO ∴∠=︒，222OE OT ==22b ∴=，根据对称性可知：22OF OE ==， 22b ∴=-b ∴的取值范围为：2222b -剟．（2）如图2中，当直线4y =与M e 相切时，切点分别为E 或E '，连接ME ，M E ''，2EM E M =''=Q ，(2,2)M ∴'，(6,6)m ，∴满足条件的m 的取值范围为26m 剟．【点拨】本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 【考点2】运用类比、归纳、分类讨论等解决问题【例2】（2018•东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点(0,1)F 的距离与到直线:1l y =-的距离相等．如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH l ⊥于点H ，则PF PH =． 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d 剟时，称点M 为抛物线214y x =的关联点． （1）在点1(2,0)M ，2(1,2)M ，3(4,5)M ，4(0,4)M -中，抛物线214y x =的关联点是 ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(,1)A t ，点(1,3)C t + ①若4t =，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是 ．【分析】（1）（1）根据“关联点”的定义得到：当点M 与F 在抛物线的两侧时，点F 、P 、M 共线时，PF MP +的值最小，且FM 的取值范围为：24FM 剟符合题意．当点M 与F 在抛物线的同侧时，MP PF +的值等于点M 到直线:1l y =-的距离，求出这个距离即可判断；（2）①当点F 、M 、A 共点时，符合题意．若点A 与点M 重合时，d 取最小值；若点M 与点C 重合时，d 取最大值；③根据题意知：当矩形ABCD 落在矩形EFGH 内部时，矩形ABCD 上所有的点都是抛物线214y x =的关联点，由此即可解决问题．【解析】解：（1）由题意知，当点M 与F 在抛物线的两侧时，点F 、P 、M 共点时，PF MP +的值最小，且FM 的取值范围为：24FM 剟符合题意． (0,1)F Q ，1(2,0)M ，2212(01)5FM ∴+-=，符合题意．454FM =>．不符合题意；当点M 与F 在抛物线的同侧时，MP PF +的值等于点M 到直线:1l y =-的距离， Q 点2M 到直线1y =-的距离为3，234<<， 2M ∴是抛物线214y x =的关联点， Q 点3M 到直线1y =-的距离为6，64>，不符合题意，综上所述，抛物线214y x =的关联点是1M ，2M ； 故答案是：1M ，2M ；（2）①当4t =时，(4,1)A ，(5,3)C ．(5,1)B ，(4,3)D ． (0,1)F Q ，∴当点A 与点M 重合时，22(40)(11)4d =-+-=；当点C 与点M 重合时，22(50)(31)29d -+- 当点D 与点M 重合时，254d =， 当点B 与点M 重合时，5d =，∴点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围是：429d 剟．②Q 在矩形ABCD 中，点(,1)A t ，点(1,3)C t +， (1,1)B t ∴+，点(,3)D t ．当矩形ABCD 落在矩形EFGH 内部时，矩形ABCD 上所有的点都是抛物线214y x =的关联点， 当点D 与(23E -3)重合时，23t =- 当点C 与点(23F 3)重合时，231t =，∴满足条件的t 的取值范围是：2331t -剟． 故答案是：2331t -剟．【点拨】考查了二次函数综合题．需要熟练运用二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，解题时，需要分类讨论，解题的关键是掌握“点M 为抛物线214y x =的关联点”的定义，难度较大． 【变式2-1】（2019•东城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P 、Q 两点为“等距点”，如图中的P 、Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为(3,1)-①在点(0,3)E 、(3,3)F -、(2,5)G -中，点A 的“等距点”是 ；②若点B 在直线6y x =+上，且A 、B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为 ； （2）直线:3(0)l y kx k =->与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．①若11(1,)T t -、22(4,)T t 是直线l 上的两点，且1T 、2T 为“等距点”，求k 的值；②当1k =时，半径为r 的O e 上存在一点M ，线段CD 上存在一点N ，使得M 、N 两点为“等距点”，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①找到x 、y 轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x 、y 轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；（2）先求出C 、D 点坐标以及CD 长度，分析出N 点到坐标轴距离中最小距离为32，从而确定r 的最小值，根据CD 长度确定r 的最大值．【解析】解：（1）①Q 点(3,1)A -到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ．②点B 在直线6y x =+上，当点B 坐标中到x 、y 轴距离其中至少有一个为3的点有(3,9)、(3,3)-、(9,3)--， 这些点中与A 符合“等距点”的是(3,3)-． 故答案为①E 、F ；②(3,3)-；（2）11(1,)T t -Q 、22(4,)T t 是直线l 上的两点， 13t k ∴=--，43t k =-．0k >Q ，|3|33k k ∴--=+>，433k ->-．依据“等距点”定义可得：当3434k -<-<时，34k +=，解得1k =； 当434k -…时，343k k +=-，解得2k =． 综上所述，k 的值为1或2． ②1k =Q ，3y x ∴=-与坐标轴交点(0,3)C -、(3,0)D ，线段32CD = N 点在CD 上，则N 点到x 、y 轴的距离最大值中最小数为32， 若半径为r 的O e 上存在一点M 与N 是“等距点”，则r 最小值为32， r 的最大值为CD 长度32所以r 的取值范围为3322r 剟故答案为E 、F ；(3,3)-【点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质以及圆的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．1．（2019•门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的动点P 和图形N ，给出如下定义：如果Q 为图形N 上一个动点，P ，Q 两点间距离的最大值为max d ，P ，Q 两点间距离的最小值为min d ，我们把max min d d +的值叫点P 和图形N 间的“和距离”，记作(,)d P N ． （1）如图1，正方形ABCD 的中心为点O ，(3,3)A ． ①点O 到线段AB 的“和距离” (,)d O AB = ；②设该正方形与y 轴交于点E 和F ，点P 在线段EF 上，(,)7d P ABCD =，求点P 的坐标．（2）如图2，在（1）的条件下，过C ，D 两点作射线CD ，连接AC ，点M 是射线CD 上的一个动点，如果62(,)632d M AC <+M 点横坐标t 取值范围．【分析】（1）①根据“和距离“的定义计算：OE 是两点间距离的最小值，OA 是两点间的最大值，相加可得结论；②分两种情况：P 在y 轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离“的定义，并由(,)7d P ABCD =，列方程计算即可得；（2）分M 在线段CD 上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论． 【解析】解：（1）①如图1，连接OA ， Q 四边形ABCD 是正方形，且(3,3)A ，332max min d d OE OA ∴+=+=+(,)332d O AB =+，故答案为：332+ ②设(0,)P y ， (,)7d P ABCD =Q ， 7max min d d ∴+=，分两种情况：(0,3)E Q ，(0,3)F -，且P 是线段EF 上一个动点， )i 当P 在x 轴上方时，如图2，连接PC ，7max min d d PE PC ∴+=+=，2233(3)7y y -++=，解得：1y =，经检验，1y =是原方程的解， (0,1)P ∴，)ii 当P 在x 轴的下方时，同理可得(0,1)P -；综上，点P 的坐标为(0,1)或(0,1)-； （2）分两种情况：①当33t -<…时，如图3，M 在线段CD 上，过M 作MN AC ⊥于N ，连接AM ，M Q 点横坐标是t ，3CM t ∴=+，Q 四边形ABCD 是正方形，45ACD ∴∠=︒，CMN ∴∆是等腰直角三角形， 23)2MN t ∴==+， (d M ∴，线段222)3)6(3)AC MN MA t t =+=+++-， ②当3t …时，如图4，M 在线段CD 的延长线上，过M 作MN AC ⊥于N ，同理23)2MN t +， (d M ∴，线段2)3)3AC MN CM t t =+=+++， Q 在动点M 从C 到D 方向上运动时，MN MA +越来越大，∴2223)6(3)62t t ++-3t =-， 23)3632t t +++=+3t =， M ∴点横坐标t 取值范围是33t -<<．2．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得ABC ∆是以BC 为斜边且2BC =的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系(,)M N ϕ．（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系(,)X Y ϕ，则点12)P ，2(1,1)P ，3(2,2)P -中可以是图形X 的是 ；（2）已知点(2,0)P ，点(0,2)Q ，记线段PQ 为图形X ．①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系(,)X Y ϕ又具有关系(,)Y X ϕ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y 为以(,0)T t 为圆心，5为半径的T e 时，若图形X 与图形Y 具有关系(,)X Y ϕ，求t 的取值范围． 【分析】（1）逐个点进行验证判断是否符合新定义的要求，要紧扣“使得ABC ∆是以BC 为斜边且2BC =的等腰直角三角形”；（2）①按照新定义和条件正确画出图形，结合图形进行求解；②分别找出t 的最大值和最小值． 【解析】解：（1）1P ；如图1，过1P 作1I PC y ⊥轴交直线y x =于点1C ，作11PB x ⊥轴于11(B B 与O 重合）， 12)P Q ， 12PO ∴= 将2y =代入y x =中，得2x =2C ∴2)，即：11112C P B P ==∴2222111111(2)(2)2B C B P C P ++=12)P ∴与图形Y （直线)y x =具有关系(,)X Y ϕ； 2(1,1)P Q 在直线y x =上，2(1,1)P ∴与图形Y （直线)y x =不具有关系(,)X Y ϕ； 3(2,2)P -Q3(2,2)B ∴--，3(2,2)C ， 22334422B C ∴=+=≠3(2,2)P ∴-与图形Y （直线)y x =不具有关系(,)X Y ϕ；故答案为12)P （2）①是，如图2，在直线y x =上取点B ，C ，且2BC =，则满足ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A ，在到直线y x =距离为1的两条平行直线上．这两条平行直线与PQ 分别交于1A ，2A 两点．故图形X 与图形Y 满足(,)X Y ϕ．直线y x =与线段PQ 交于点(1,1)M ，过点M 作MH y ⊥轴于H ，与1A B 交于点N ，则11MA =，22MN =，可得12(1A -21．同理可求得22(1A 21)-． 如图3，在线段PQ 上取点B ，C ，且2BC =，则满足ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A 在图中的两条线段上，这两条线段与直线y x =交于3A ，4A 两点．故图形X 与图形Y 满足(,)Y X ϕ． 同上可求得32(1A ，21，42(1A +21．②如图3，当△11QB C 为等腰直角三角形，且斜边112B C =时，连接1QT 交11B C 于S ， 则111QS B S C S ===，115B T = 12T S ∴=，1213T Q =+= 221325T O ∴=-=1(5T ∴-，0)，同理可求得：2(1,0)T -，3(22T -0)，4(5,0)T ，∴51t --剟或225t 剟．3．（2019•西城区二模）对于平面内的MAN ∠及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为1d ，2d ，称12d d 和21dd 这两个数中较大的一个为点P 关于MAN ∠的“偏率”．在平面直角坐标系xOy 中， （1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点． ①若点P 的坐标为(1,5)，则点P 关于MON ∠的“偏率”为 ；②若第一象限内点(,)Q a b 关于MON ∠的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为 ；（2）已知点(4,0)A ，(2B ，23)，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）．若点C 关于AOB ∠的“偏率”为2，求点C 的坐标；（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为(,4)t ，T e 是以点T 为圆心，半径为1的圆．若T e 上的所有点都在第一象限，且关于EOF ∠3t 的取值范围．【分析】（1）①根据“偏率”的定义，求点P 到OM （即x 轴）的距离和点P 到ON （即y 轴）的距离，用较大的数除以较小的数即为“偏率”．②根据“偏率”定义，可知点Q 到OM 、ON 距离相等，且Q 在第一象限，所以其横纵坐标相等．（2）由点A 、B 坐标计算可得OA OB AB ==，即OAB ∆为等边三角形．由“点C 关于AOB ∠的“偏率”为2”联想到过点C 作OA 、OB 的垂线段CD 、CH ，即2CD CH =或2CHCD=．易证CDA CHB ∆∆∽，所以CD CACH CB=，得到2CA CB =或2CB CA =．分情况讨论计算CA 的长，再由60︒的三角函数计算CD 、DA 的长，即求得点C 坐标．（3）设T e 上的点R 坐标为(x ，)(0y x >，0)y >由题意得点R 关于EOF ∠的“偏率”3即3yx>或3x y >，分两种情况讨论．当3yx>3y x >，即点R 在直线3y x =的上方，T e 在直线3y x =左侧且与其相离．求T e 与直线3y x =相切时t 的值，画出图形利用相切的性质和三角函数计算可得，则t 小于相切时的值即为相离的取值范围．当若3xy>时解题思路相同． 【解析】解：（1）①Q 点M ，N 分别在x 轴正半轴，y 轴正半轴上∴点(1,5)P 到OM 距离15d =，到ON 距离21d = ∴点P 关于MON ∠的“偏率”为：125d d = 故答案为：5．②Q 点(,)Q a b 在第一象限，到OM 距离1d b =，到ON 距离2d a =∴点Q 关于MON ∠的“偏率”为：1a b =或1b a= a b ∴=故答案为：a b =．（2）过点C 作CD OA ⊥于点D ，CH OB ⊥于点H ，如图1，90CDA CHB ∴∠=∠=︒ Q 点(4,0)A ，(2B ，23)4OA ∴=，222(23)4OB +，22(42)(23)4AB =-+= OA OB AB ∴== OAB ∴∆是等边三角形60OAB OBA ∴∠=∠=︒ 90CDA CHB ∠=∠=︒QCDA CHB ∴∆∆∽∴CD CACH CB=Q 点C 关于AOB ∠的“偏率”为2∴2CD CH =或2CHCD = ①当2CDCH =，则2CA CB = 2833CA AB ∴== 814cos60323DA CA ∴=︒=⨯=g ，8343sin 603CD CA =︒=g48433OD OA DA ∴=-=-=8(3C ∴43 ②当2CHCD =，则2CB CA = 1433CA AB ∴== 412cos60323DA CA ∴=︒=⨯=g ，4323sin 603CD CA =︒==g210433OD OA DA ∴=-=-=10(3C ∴23) 综上所述，点C 的坐标为8(343或10(323．（3）(,4)T t Q∴点T 在直线4y =上T Q e 上的所有点都在第一象限，且半径为1T ∴e 与y 轴相离 1t ∴>设T e 上的点R 坐标为(x ，)(0y x >，0)y > Q 点R 关于EOF ∠3∴3yx>3x y >①若3yx>3y x > ∴点R 在直线3y x =的上方，即T e 在直线3y x =左侧且与其相离当T e 与直线3y x =相切于点I ，如图2，设直线4y =与y 轴交于点G ，与直线3y x =交于点J GT t ∴=，4J OG y ==，4333J GJ x ∴====tan 343OG OJG GJ ∴∠===60OJG ∴∠=︒1TI =Q ，TI OJ ⊥Rt TIJ ∴∆中，3sin TI OJG TJ ∠=233TJ ∴==23GT GJ TJ ∴=-=∴当T e 在直线3y x =左侧与其相离时，231t <<②若3x y ，则3y x < ∴点R 在直线3y =的下方，即T e 在直线3y x =右侧且与其相离 当T e 与直线3y =相切于点K ，如图3，设直线4y =与y 轴交于点G ，与直线3y =交于点L 33L L GL x ∴===3tan 43OG OLG GL ∴∠=== 30KLT OJG ∴∠=∠=︒1TK =Q ，TK OK ⊥Rt TKL ∴∆中，1sin 2TK KLT LT ∠== 22LT TK ∴==432GT GL LT ∴=+=+∴当T e 在直线3y x =右侧与其相离时，432t > 综上所述，t 的取值范围为231t <<432． 4．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形P 和直线AB ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为直线AB 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P 和直线AB 之间的“确定距离”，记作(,)d P AB ． 已知(2,0)A ，(0,2)B ．（1）求d （点O ，直线)AB ；（2）T e 的圆心为(,0)T t ，半径为1，若(,)1d T AB e …，直接写出t 的取值范围； （3）记函数y kx =，(11,0)x k -≠剟的图象为图形Q ．若(,)1d Q AB =，直接写出k 的值． 【分析】（1）如图1中，作OH AB ⊥于H ．求出OH 即可解决问题．（2）如图2中，作TH AB ⊥于H ，交T e 于D ．分两种情形求出(,)1d T AB =e 时，点T 的坐标即可． （3）当直线经过点(22D -，0)与直线AB 平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为22y x =-+-y kx =经过点E ，点F 时，k 的值即可．【解析】解：（1）如图1中，作OH AB ⊥于H ．(2,0)A Q ，(0,2)B ， 2OA OB ∴==，22AB = Q1122OA OB AB OH ⨯⨯=⨯⨯， 2OH ∴d ∴（点O ，直线)AB ；（2）如图2中，作TH AB ⊥于H ，交T e 于D ．当(,)1d T AB =e 时，1DH =，2TH ∴=，22AT =222OT ∴=，(222T ∴-0)，根据对称性可知，当T e 在直线AB 的右边，满足(,)1d T AB =e 时，(22T +0)，∴满足条件的t 的值为222222t -+剟．（3）如图3中，当直线经过点(22D -，0)与直线AB 平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为22y x =-+-当直线y kx =经过(1,12)E 时，12k = 当直线y kx =经过(1,32)F -，32k =- 综上所述，满足条件的k 的值为32-125．（2019•石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h PQ =，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”． （1）已知点(4,0)A ；①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt ABC ∆是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线25y x =-上，则点B 的坐标为 ；（2）T e 的圆心为点(2,0)T ，半径为2，点M 的坐标为(2,6)，N 为直线4y x =+上一点，若存在Rt MND ∆，是点M ，N 的“生成三角形”，且边ND 与T e 有公共点，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．【分析】（1）①画图，不妨设满足条件的三角形为等腰OAR⊥于点H，∆，则OR AR=．过点R作RH OA由勾股定理可求得其腰长；②分点A为直角顶点和点B为直角顶点两种情况，结合图形可得结论；（2）分点NN为直角顶点和点M为直角顶点，由图形可得答案．【解析】解：（1）①如图，不妨设满足条件的三角形为等腰OAR⊥于点H，=．过点R作RH OA∆，则OR AR∴=，OH HAQ以线段OA为底的等腰OAR∆恰好是点O，A的“生成三角形”，∴==．RH OA4OR∴=25答：该三角形的腰长为25（2）②如图所示：若A为直角顶点时，点B的坐标为(1,0)或(7,0)；若B为直角顶点时，点B的坐标为(1,0)或(3,0)综上，点B的坐标为(1,0)，(3,0)或(7,0)．（2）由图可得：若N 为直角顶点：120N x --剟；若M 为直角顶点：62N x --剟；综上，60N x -剟．答：点N 的横坐标N x 的取值范围为：60N x -剟．6．（2019•平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是C e 外一点，连接CP 交C e 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P '，当点P '在线段CQ 上时，称点P 为C e “友好点”．已知(1,0)A ，(0,2)B ，(3,3)C （1）当O e 的半径为1时，①点A ，B ，C 中是O e “友好点”的是 ； ②已知点M 在直线32y =+ 上，且点M 是O e “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围； （2）已知点(23,0)D ，连接BC ，BD ，CD ，T e 的圆心为(,1)T t -，半径为1，若在BCD ∆上存在一点N ，使点N 是T e “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．【分析】（1）)①根据“友好点”的定义，22OB r =<=，所以点B 是O e “友好点”；②设(M m ，32+)，根据“友好点”的定义，223(2)22OM m m =+-+…，解得03m 剟（2）(0,2)B ，(3,3)C ，(23,0)D ，T e 的圆心为(,1)T t -，点N 是T e “友好点”， 22NT r =…，所以点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN BD ⊥于N ，作//TH y 轴，与BD 交于点H ．易知30BDO ∠=︒，60OBD ∠=︒，3NT =，直线3:2BD y =+，(H t ，32+ 上），332(1)3HT =+--=+，333133)322NT t =+=-+t 的范围． 【解析】解：（1）①1r =Q ，∴根据“友好点”的定义，22OB r =<=，∴点B 是O e “友好点”，3222OC r ==，不是O e “友好点”， (1,0)A 在O e 上，不是O e “友好点”， 故答案为B ； ②如图，设(M m ，32+)，根据“友好点”的定义， 223(2)22OM m m ∴=+-+…， 整理，得22230m m -…，解得03m 剟∴点M 的横坐标m 的取值范围：03m 剟（2）(0,2)B Q ，(3,3)C ，(23,0)D ，T e 的圆心为(,1)T t -，点N 是T e “友好点”，22NT r ∴=…，∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN BD ⊥于N ，作//TH y 轴，与BD 交于点H ．易知30BDO ∠=︒， 60OBD ∴∠=︒，3NT ∴， (0,2)B Q ，(23,0)D ，∴直线3:2BD y =+，(H t ，32+ 上）， 332(1)3HT ∴=+--=+， 333133)322NT t ∴==+=-+ 133222t ∴-…，433t ∴-+…，当H 与点D 重合时，点T 的横坐标等于点D 的横坐标，即33t =， 此时点N 不是“友好点”， 33t ∴<故圆心T 的横坐标t 的取值范围：43333t -+<…7．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，(Q P ，Q 可以重合），使得2AP BQ =，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知O e 的半径为1，点(0,3)B ． （1）①点B 到O e 的最大值，最小值；②在1(5,0)A ，2(0,10)A ，3(2A 2)这三个点中，与点B 是O e 的一对“倍点”的是 ； （2）在直线3y x b =+上存在点A 与点B 是O e 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点(,1)M m ，(1,1)N m +，若正方形上的所有点与点B 都是O e 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）①点B 到O e 的最大值是314BO r +=+=；点B 到O e 的最小值是312BO r -=-=； （2）1A 到圆O 的最大值6，最小值4；2A 到圆O 的最大值11，最小值9；3A 到圆O 的最大值3，最小值1；点B 到O e 的最大值是4，最小值是2；在圆O 上存在点P ，Q ，使得2AP BQ =，则1A 与B 是O e 的一对“倍点”；（3）当0m >时，14m +…，(1,0)S m +，(,0)T m ，可得3m …；(1,2)S m +，(,2)T m 22(1)29m ++…，可得771m …；当0m <时，(1,0)S m +，(,0)T m ，则4m -…，(1,2)S m +，(,2)T m ，则9OT …，则77m … 【解析】解：（1）①点B 到O e 的最大值是314BO r +=+=； 点B 到O e 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到圆O 的最大值6，最小值4；2A 到圆O 的最大值11，最小值9；3A 到圆O 的最大值3，最小值1； 点B 到O e 的最大值是4，最小值是2；在圆O 上存在点P ，Q ，使得2AP BQ =，则1A 与B 是O e 的一对“倍点”， 故答案为1A ；（2）Q 点B 到O e 的最大值是4，最小值是2 428BQ ∴剟， O Q 到直线3y x b =+的最大距离是9，即9OD =， 60DCO ∠=︒Q ， 63CO ∴=∴63b =±∴6363b -剟（3）当0m >时，(1,0)S m +，(,0)T m ，则14m +…， 3m ∴…，(1,2)S m +，(,2)T m ，则9OS …，∴22(1)29m ++…，771m ∴…； 3771m∴剟；当0m <时，(1,0)S m +，(,0)T m ，则4m -…， (1,2)S m +，(,2)T m ，则9OT …，∴2229m +…，77m ∴-…774m ∴--剟； 综上所述：3771m 剟或774m --剟；8．（2019•朝阳区二模）1(1,)2M --，1(1,)2N -是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：4590MPN ︒∠︒剟，则称点P 为线段MN 的可视点．（1）在点11(0,)2A ，21(,0)2A ，32)A ，4(2,2)A 中，线段MN 的可视点为 ；（2）若点B 是直线12y x =+上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； （3）直线(0)y x b b =+≠与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围．【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN 的可视点在以MN 为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN 的可视点在以E 为圆心，EM 长为半径的E e 的内部或E e 上，根据坐标可以判断哪些点符合要求． （2）点B 既要在直线12y x =+上，又要E e 的内部或圆上，且在G e 的外部或圆上，故应该在直线12y x =+与G e 、E e 的交点E 、F 为端点的线段上，求出E 、F 的横坐标即可． （3）考虑0b >进行讨论．【解析】解：（1）如图1，以MN 为直径的半圆交y 轴于点E ，以E 为圆心，EM 长为半径的E e 交y 轴于点F ，MN Q 是G e 的直径， 190MA N ∴∠=︒，1(1,)2M --Q ，1(1,)2N -MN EG ∴⊥，1EG =，2MN = 2EM EF ∴==1452MFN MEN ∴∠=∠=︒，4590MPN ︒∠︒Q 剟，∴点P 应落在E e 内部，且落在G e 外部∴线段MN 的可视点为1A ，3A ；故答案为1A ，3A ；（2）如图2，以1(0,)2-为圆心，1为半径作圆，以1(0,)22MN 上方的部分与直线12y x =+分别交于点E ，F ．过点F 作FH x ⊥轴，过点E 作EH FH ⊥于点H ， FH x ⊥Q 轴，//FH y ∴轴，45EFH MEG ∴∠=∠=︒，90EHF ∠=︒Q ，2EF ，1EH FH ∴==，1(0,)2E ∴，3(1,)2F ．只有当点B 在线段EF 上时，满足4590MBN ︒∠︒剟，点B 是线段MN 的可视点．∴点B 的横坐标t 的取值范围是01t 剟．（3）如图3，G e 与x 轴交于H ，与y 轴交于E ，连接GH ，12OG =，1GH =，2222131()2OH GH OG ∴--=， 3(H ∴0)，1(0,)2E ，当直线(0)y x b b =+≠与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直线y x b =+与y 轴交点在y 正半轴上 将1(0,)2E 代入得12b =，当直线y x b =+与E e 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET TQ ⊥， 45EQT ∠=︒Q ， 2TQ ET EM ∴===2222(2)(2)2EQ ET TQ ∴=++= 15222OQ OE EQ ∴=+=+= ∴1522b剟， 综上所述：1522b剟． 9．（2019•顺义区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，给出如下定义：点M 与点N 的“折线距离”为：1212(,)||||d M N x x y y =-+-．例如：若点(1,1)M -，点N (2,2)-，则点M 与点N 的“折线距离”为：(d M ，)|12||1(2)|336N =--+--=+=． 根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点P (3,2)-．①若点(2,1)A --，则(,)d P A = ； ②若点(,2)B b ，且(,)5d P B =，则b = ；③已知点(,)C m n 是直线y x =-上的一个动点，且(,)3d P C <，求m 的取值范围．（2）F e 的半径为1，圆心F 的坐标为(0,)t ，若F e 上存在点E ，使(,)2d E O =，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）①由折线距离的定义，代入点P 和点A 坐标即可算出； ②由折线距离的定义，将点(,2)B b 代入(,)5d P B =，即可解出b 值；③先将C 点坐标代入y x =-，得出m 和n 的关系，再由(,)3d P C <得关于m 的绝对值不等式，结合其几何意义，可得m 的取值范围；（2）作正方形ABCD ，顶点坐标分别为：(2,0)A -，(0,2)B -，(2,0)C ，(0,2)D ，由F e 在y 轴上运动所处的临界位置，结合图象可得结论．【解析】解：（1）①由折线距离的定义式：1212(,)||||d M N x x y y =-+-，及点(3,2)P -，(2,1)A --得： d (P ，)|3(2)||2(1)|6A =--+---=．故答案为：6．②(d P ，)|3||(2)2||3|45B b b =-+--=-+= |3|1b ∴-=， 2b ∴=或4．故答案为：2或4．③Q 点(,)C m n 是直线y x =-上的一个动点， n m ∴=-，(d P ∴，)|3||(2)||3||2||3||2|3C m n m m m m =-+--=-+-+=-+-<即数轴上表示数m 的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3，所以14m <<． 答：m 的取值范围为14m <<．（2）)F Q e 的半径为1，圆心F 的坐标为(0,)t ，∴如图所示，当点F 位于(0,3)或(0,3)-时，刚好存在唯一一个点E ，使得(,)2d E O =；作正方形ABCD ，顶点坐标分别为：(2,0)A -，(0,2)B -，(2,0)C ，(0,2)D当F e 在y 轴正半轴与AD ，CD 相切时，连接圆心F 和切点H ，则FH AD ⊥，1FH DH ==， 2DF ∴(0,22)F ∴-∴当F e 在y 轴正半轴时，223t -剟，符合要求； 同理可得，当F e 在y 轴负半轴时，322t -剟，符合要求． 答：t 的取值范围为223t 剟或322t -剟．10．（2019•北京）在ABC ∆中，D ，E 分别是ABC ∆两边的中点，如果¶DE 上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称¶DE为ABC ∆的中内弧．例如，图1中¶DE 是ABC ∆的一条中内弧．（1）如图2，在Rt ABC ∆中，22AB AC ==D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出ABC ∆的最长的中内弧¶DE，并直接写出此时¶DE 的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A ，(0,0)B ，(4C t ，0)(0)t >，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若2t =，求ABC ∆的中内弧¶DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在ABC ∆中存在一条中内弧¶DE，使得¶DE 所在圆的圆心P 在ABC ∆的内部或边上，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得2DE =，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，¶DE的长即以DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，①当12t =时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角AEP ∠满足90135AEP ︒∠<︒…；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．【解析】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧¶DE，就是ABC ∆的最长的中内弧¶DE ，连接DE ，90A ∠=︒Q ，22AB AC ==D ，E 分别是AB ，AC 的中点，224sin sin 45AC BC B ∴===︒，114222DE BC ==⨯=， ∴弧¶122DEππ=⨯=； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG AC ⊥交FP 于G ，①当12t =时，(2,0)C ，(0,1)D ∴，(1,1)E ，1(2F ，1)，设(2P ，)m 由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE 上方射线FP 上均可，1m ∴…，OA OC =Q ，90AOC ∠=︒ 45ACO ∴∠=︒，//DE OC Q45AED ACO ∴∠=∠=︒作EG AC ⊥交直线FP 于G ，12FG EF ==根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点)G 直线FP 上时也符合要求； 12m ∴…综上所述，12m …或1m …． ②如图4，设圆心P 在AC 上，P Q 在DE 中垂线上，P ∴为AE 中点，作PM OC ⊥于M ，则32PM =，3(,)2P t ∴，//DE BC Q90ADE AOB ∴∠=∠=︒222221(2)41AE AD DE t t ∴+++，PD PE =Q ， AED PDE ∴∠=∠90AED DAE PDE ADP ∠+∠=∠+∠=︒Q ，DAE ADP ∴∠=∠12AP PD PE AE ∴===由三角形中内弧定义知，PD PM …∴1322AE …，3AE …2413t +…，解得：2t … 0t >Q02t ∴<…如图5，设圆心P 在BC 上，则(,0)P t2221PD PE OD OP t ==+=+ 3PC t =，222114122CE AC OA OC t =++由三角形中内弧定义知，90PEC ∠︒…， 222PE CE PC ∴+…即22222(1)(41)(3)t t t +++…，0t >Q 20t ∴<…综上所述，t 的取值范围为：02t <…．。