数列的概念与简单表示法_公开课课件
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(公开课)《数列的概念与简单表示法》课件资料30页PPT
1、 写出下列数列的一个通项公式： （1）1，－1，1，－1； （2）2，0，2，0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999。
答案： （1） a n 1 n 1 （2） a n 1 1 n 1
（3） a n 10 n 1 （4） a n 1 10 n
n
4 1,1,1,(- 1 ) n {(1)n}(nN*) a n (-1)n
5 1,1,1, 1 {1 n } an 1 (nN*)
数列是一种特殊函数！
x
y
1
3
2
4
2.5
5
4
6
4.5
7
n
an
1
a1
2
a2
3
a3
4
a4
5
a5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
28
29
谢谢！
xiexie!
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两 个部分，一是递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
24
三基能力强化
4．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1 ＋an(n∈N*)．若a1＝1，a2＝2.则a5＝ ________.
答案： （1） a n 1 n 1 （2） a n 1 1 n 1
（3） a n 10 n 1 （4） a n 1 10 n
n
4 1,1,1,(- 1 ) n {(1)n}(nN*) a n (-1)n
5 1,1,1, 1 {1 n } an 1 (nN*)
数列是一种特殊函数！
x
y
1
3
2
4
2.5
5
4
6
4.5
7
n
an
1
a1
2
a2
3
a3
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a4
5
a5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
28
29
谢谢！
xiexie!
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两 个部分，一是递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
24
三基能力强化
4．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1 ＋an(n∈N*)．若a1＝1，a2＝2.则a5＝ ________.
数列的概念与简单表示法PPT课件
否有一定的对应关系 项 1， 1， 1， 1， 1，
2345
序号 1 2 3
4
项 2, 4, 6, 8, 10,,,,
5
,,,
序号 1 2 3 4
5
,,,
数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数,
项 1， 1， 1， 1， 1， 2345
序号 1 2 3
4
5
,,,
这说明：数列的项是序号的函数,序号从1 开始依次增加时,对应的函数值按次序排出就是 数列,这就是数列的实质,
1 ， 2 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 63 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
有穷数列 递增数列
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 5
无穷数列 摆动数列
数列的一般形式可以写成
( 3 )已知数列 { an }的通项公式
an
n2 n2
1
,那么 0.98 (
)
A.是这个数列的项 ， 且 n 6 ;
B .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
C .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
D .不是这个数列的项 .
an 30
an 3n1
27
24
21
18
15
12
9
6
3
o
1
2
3
4
5
n
问题：如果一个数列 an 的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1,
即 an = 2 an-1 + 1 n∈N,n>1 , ※ 你能写出这个数列的前三项吗
2345
序号 1 2 3
4
项 2, 4, 6, 8, 10,,,,
5
,,,
序号 1 2 3 4
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数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数,
项 1， 1， 1， 1， 1， 2345
序号 1 2 3
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,,,
这说明：数列的项是序号的函数,序号从1 开始依次增加时,对应的函数值按次序排出就是 数列,这就是数列的实质,
1 ， 2 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 63 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
有穷数列 递增数列
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 5
无穷数列 摆动数列
数列的一般形式可以写成
( 3 )已知数列 { an }的通项公式
an
n2 n2
1
,那么 0.98 (
)
A.是这个数列的项 ， 且 n 6 ;
B .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
C .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
D .不是这个数列的项 .
an 30
an 3n1
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n
问题：如果一个数列 an 的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1,
即 an = 2 an-1 + 1 n∈N,n>1 , ※ 你能写出这个数列的前三项吗
数列的概念与简单表示法 课件
数列的通项公式与递推公式
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_a_n_-1_(或前几项)(n≥2，n∈N*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前 一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
2.(1)由an为负数，得n2-5n+4<0，解得1<n<4.
因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.
(2)因为an=n2-5n+4(=n
5 2
)2
9 ，4 所以对称轴为n=
=2.5.
又因n∈N*，故n=2或3时，an有最小值.
5 2
其最小值为22-5×2+4=-2.
类型二 由递推公式求数列的项
an1 an2
a2 a1
an
an a n 1
a n 1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).
两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，
所以an=n·an-1，即 =n(n≥3)，
an a n1
所以 a3 a4 a5 an1 an =3×4a×2 5a×3 …a4 ×(na-n12)×ann1，
所以 an (nn！≥3). 又因为a2a1=21，a2=a1=1，所以an=
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_a_n_-1_(或前几项)(n≥2，n∈N*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前 一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
2.(1)由an为负数，得n2-5n+4<0，解得1<n<4.
因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.
(2)因为an=n2-5n+4(=n
5 2
)2
9 ，4 所以对称轴为n=
=2.5.
又因n∈N*，故n=2或3时，an有最小值.
5 2
其最小值为22-5×2+4=-2.
类型二 由递推公式求数列的项
an1 an2
a2 a1
an
an a n 1
a n 1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).
两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，
所以an=n·an-1，即 =n(n≥3)，
an a n1
所以 a3 a4 a5 an1 an =3×4a×2 5a×3 …a4 ×(na-n12)×ann1，
所以 an (nn！≥3). 又因为a2a1=21，a2=a1=1，所以an=
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项
数列的概念与简单表示 课件
所以f1>f2，
a<2， 即12－1>2a－2.
解得 a<74，故选 C. [答案] C
[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得
a<2， 122－1≥2a－2，
即 a≤183，错选 B. [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的 函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要 忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．
[解析] (1)是常数列且是有穷数列； (2)是无穷摆动数列； (3)是无穷递增数列因为n－n 1＝1－n1； (4)是无穷递减数列； (5)是无穷摆动数列． [答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究二 根据数列的前几项写出通项公式 [典例 2] 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)2,0,2,0,2,0，…； (4)12，14，－58，1136，－2392，6614，….
探究三 数列通项公式的应用 [典例 3] 已知数列 2， 5，2 2， 11，…. (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
[解析] (1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现，“ ” 下 面 的 数 值 后 一 项 比 前 一 项 大 3 ， 故 通 项 公 式 可 写 为 an ＝
2＋n－1×3＝ 3n－1， 即 an＝ 3n－1. 所以 a20＝ 3×20－1＝ 59. (2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝1031∉N*， ∴10 不是该数列的项．
a<2， 即12－1>2a－2.
解得 a<74，故选 C. [答案] C
[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得
a<2， 122－1≥2a－2，
即 a≤183，错选 B. [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的 函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要 忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．
[解析] (1)是常数列且是有穷数列； (2)是无穷摆动数列； (3)是无穷递增数列因为n－n 1＝1－n1； (4)是无穷递减数列； (5)是无穷摆动数列． [答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究二 根据数列的前几项写出通项公式 [典例 2] 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)2,0,2,0,2,0，…； (4)12，14，－58，1136，－2392，6614，….
探究三 数列通项公式的应用 [典例 3] 已知数列 2， 5，2 2， 11，…. (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
[解析] (1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现，“ ” 下 面 的 数 值 后 一 项 比 前 一 项 大 3 ， 故 通 项 公 式 可 写 为 an ＝
2＋n－1×3＝ 3n－1， 即 an＝ 3n－1. 所以 a20＝ 3×20－1＝ 59. (2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝1031∉N*， ∴10 不是该数列的项．
数列的概念与简单表示法 课件
由数列的前几项求通项公式
[典例]
(1)数列
3 5
，
1 2
，
5 11
，
3 7
，…的一个通项公式是
________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：35，48，151，164，…，分子满足：3 ＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的 项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整 数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且 为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如 果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是 不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不 同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－ 1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的分类
分类标准 名称
含义
按项的 个数
按项的变 化趋势
有穷数列 无穷数列 递增数列
递减数列 常数列 摆动数列
项数_有__限__的数列 项数_无__限__的数列
从第_2_项起，每一项都_大__于__它的前 一项的数列
从第_2_项起，每一项都_小__于__它的前 一项的数列
_各__项__相__等__的数列 从第_2_项起，有些项_大__于__它的前一 项，有些项小__于__它的前一项的数列
《数列的概念与简单表示法》课件
公式
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。
数列的概念和简单表示法ppt
递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质
第七章 第一节 数列的概念与简单表示法 课件(共48张PPT)
1．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{an}，令 bn＝an－a1n ，则下 列说法正确的是( )
A．若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列 B．若数列{an}是单调递减数列，则数列{bn}也是单调递减数列 C．若 an＝3n－1，则数列{bn}有最小值 D．若 an＝1－－12 n ，则数列{bn}有最大值
3．已知 an＝nn－ ＋11 ，那么数列{an}是(
)
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
A [因 an＋1－an＝nn－ ＋11 －n＋n 2 ＝（n＋1）－（2 n＋2） <0，则 an＋1<an，
∴数列{an}是递减数列．]
4．(必修 5P67T2 改编)数列{an}的前几项为12 ，3，121 ，8，221 ，…， 则此数列的通项公式为________．
当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3， 所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
经检验 a1＝4 不适合 an＝2n＋1，
故 an＝42n＋1
由递推关系式求数列的通项公式
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，则 a5＝________； (2)若 a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式 an＝________； (3)已知数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．
解析： (1)依题意得 an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2
数列的概念与简单表示法 课件
____每__一__项__都_大__于__它__的__前_一__项_________________的数列． • 递减数列：从第2项起，
____每__一_项__都__小__于__它_的__前__一__项________________的数列．
• 常数列：各项都__相_等_____的数列．
• 摆动数列：从第2项起，________________ 有__些__项_大__于__它__的__前_一__项__，__有__些_项__小__于__它__的_前__一__项__________ 的数列．
• (2)数列的通项公式具有双重身份，它既表示了数 列的第___n_____项，又是这个数列中所有各项的 _一_般__表_示___．通项公式反映了一个数列项与序号的 __函__数__关系，给了数列的通项公式，这个数列便 确定了，代入项数n就可求出数列的_每_一__项____．
• [思考] 数列的通项公式与函数关系式有什 么关系？
79(10n－1)，故 an＝79(10n－1)． (2)分开观察，正负号由(－1)n＋1 确定，分子是偶数 2n，分母
是 1×3，3×5，5×7，…，(2n－1)(2n＋1)，故数列的通项公式可
写成 an＝(－1)n＋1（2n－1）2n（2n＋1）. (3)将已知数列变为 1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，
• (3)数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…， 或简记为，其中an是数列的第n项．
• 3．数列可看成是定义域为_N_*______或__N_*_____的子集 (子集中的自然数必须连续)的特殊函数，研究数列可联系函 数的相关知识给予解答．
• • [思考] 数列与集合对比有什么区别？
• 解：数列与集合的区别
____每__一_项__都__小__于__它_的__前__一__项________________的数列．
• 常数列：各项都__相_等_____的数列．
• 摆动数列：从第2项起，________________ 有__些__项_大__于__它__的__前_一__项__，__有__些_项__小__于__它__的_前__一__项__________ 的数列．
• (2)数列的通项公式具有双重身份，它既表示了数 列的第___n_____项，又是这个数列中所有各项的 _一_般__表_示___．通项公式反映了一个数列项与序号的 __函__数__关系，给了数列的通项公式，这个数列便 确定了，代入项数n就可求出数列的_每_一__项____．
• [思考] 数列的通项公式与函数关系式有什 么关系？
79(10n－1)，故 an＝79(10n－1)． (2)分开观察，正负号由(－1)n＋1 确定，分子是偶数 2n，分母
是 1×3，3×5，5×7，…，(2n－1)(2n＋1)，故数列的通项公式可
写成 an＝(－1)n＋1（2n－1）2n（2n＋1）. (3)将已知数列变为 1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，
• (3)数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…， 或简记为，其中an是数列的第n项．
• 3．数列可看成是定义域为_N_*______或__N_*_____的子集 (子集中的自然数必须连续)的特殊函数，研究数列可联系函 数的相关知识给予解答．
• • [思考] 数列与集合对比有什么区别？
• 解：数列与集合的区别