§6.1.4(1)数项级数判敛法
数项级数敛散性的判别法毕业论文
数项级数敛散性的判别法毕业论文关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法1引言 设数项级数++++=∑∞=n n na a a a211的n 项部分和为:12n S a a =+++1nni i a a ==∑若n 项部分和数列{}n S 收敛,即存在一个实数S,使lim n n S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则,可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:数项级数1nn a ∞=∑收敛0,N N ε+⇔∀>∃∈,对,n N p N +∀>∀∈有12n n n p a a a ε++++++<.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a ∞=∑为正项级数(na ≥0).则级数的n 项部分和数列{}nS 单调递增,由数列的单调有界公理,有定理2.1[1]正项级数1n n u ∞=∑收敛⇔它的部分和数列{}n S 有上界.由定理2.1可推得 定理2.2[2]：设两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑,存在常数c 0>及正整数N ，当n ＞N 时有n u ≤c n v ,则（i ）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数1n n v ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.一般常及其极限形式:定理2.2’（比较判别法的极限形式）[2]：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数且有limnn nu v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；（ii ）若 λ＝0，级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（iii ）若 λ＝＋∞，级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑也发散.由比较判别法可推得:定理2.3（达朗贝尔判别法也称比值判别法，D ’Alembert ）[3]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，则有（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N 时有1n n u u +≤q ，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1n n u u +≥１，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.3’（达朗贝尔判别法也称比值判别法的极限形式）[3]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，（i ）若lim n →∞1n n u u +＝r ＜１，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若lim n →∞1n nu u +＝r ＞１则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.4（柯西判别法也称根式判别法）[4]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，则有（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N n n u ≤q ，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数列的子列{}i n n n u ≥１，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.4’（根式判别法的极限形式）[5]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，（i ）lim n →∞n n u ＝r ＜１，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）lim n →∞n n u r ＞１，则级数1n n u ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对r=1的情形都未论及.实际上，当lim n →∞1n nu u +=1或lim n →∞n n u 时，无法使用这两个判别法来判别敛散性.如级数11n n ∞=∑和211n n ∞=∑，都有11lim lim 111n n nn n n→∞→∞+==+， 2221(1)lim lim 111n n n n n n→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 1lim 1nn n =，211n n n=.但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中关于收敛的条件1n nu u +≤q n n u ≤q ＜１也不能放宽到1n n u u +n n u ＜１.例如，对调和级数11n n∞=∑，有 1n n u u +=1nn +n n u 1n n但级数却是发散的.对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上（下）极限形式更为方便. 定理2.5[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若∑∞=1n n b 是收敛的严格正项级数,使+∞<∞→nnn b a lim ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若∑∞=1n n b 为发散的严格正项级数,使0lim >∞→nnn b a ,(可取)∞+,则级数∑∞=1n n a 发散. 定理2.6[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若1lim1<=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若1lim1>=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 发散.定理2.7[2]设∑∞=1n n a 为正项级数,且q a n n n =∞→lim ,则10当1<q 时,级数∑∞=1n n a 收敛.20当1>q 时,级数∑∞=1n n a 发散.我们知道,广义调和级数(p-级数)∑∞=11n pn当1>p 时收敛,而当1≤p 时发散.因此,取p-级数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即定理2.8（拉阿贝判别法，Raabe ）[3]：设∑∞=1n n u 是正项级数并记11,n n n u R n u +⎛⎫=- ⎪⎝⎭（i ）若存在1q >及自然数N ，使当n ≥N 时有,n R q ≥则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1,n R ≤则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.8’（拉阿贝判别法的极限形式）[8]：设1n n u ∞=∑是正项级数且有r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1lim 1， 则 (1)当1>r 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1<r 时，则级数1n n u ∞=∑发散.考虑到级数与无穷积分的关系,可得 定理2.9（积分判别法）[4]：设函数()f x 在区间),1[+∞上非负且递减，)(n f u n =，1,2,n =，则级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.证：由于0)(≥x f ,知⎰=xdt t f x F 1)()(单调递增.因此极限⎰+∞→+∞→=xx x dt t f x F 1)(lim)(lim 存在)(x F ⇔在),1[+∞有界.(充分性)设⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在,则存在0>M ,使M dt t f x x≤+∞∈∀⎰1)(),,1[级数∑∞=1n n u 的部分和)()2()1(21n f f f u u u S n n +++=+++=⎰⎰⎰-++++≤nn dt t f dt t f dt t f f 13221)()()()1(M f dt t f f n+≤+=⎰)1()()1(1.即部分和数列有上界.所以级数∑∞=1n n u 收敛.(必要性)设正项级数∑∞=1n n u 收敛,则它的部分和有上界,即存在+∈∀>N n M ,0有M S n ≤.从而对),1[+∞∈∀x ,令1][+=x n ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰-+++=≤n n nxdt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 1322111)()()()()(M S n f f f n ≤=-+++≤-1)1()2()1( . 故极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.由此我们得到两个重要的结论[6]： （1）p 级数11p n n ∞=∑收敛⇔1;p > （2）级数21ln pn n n∞=∑收敛⇔ 1.p > 证：两个结论的证法是类似的，所以下面只证明结论（1） 在p 级数一般项中，把n 换为x ，得到函数()f x =1(1).p x x≥ 我们知道，这个函数的广义积分收敛⇔ 1.p >因此根据正项级数的广义积分判定法，结论（1）成立.还是以p-级数为比较标准,可得定理2.10（阶的估计法）[3]：设1n n u ∞=∑为正项级数⎪⎭⎫⎝⎛=p n n O u 1)(∞→n ,即n u 与p n 1当∞→n 是同阶无穷小.则(1)当1>p 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1≤p 时,级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合,又可得定理2.11（比值比较判别法）[7]：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数且存在自然数N ，使当n≥N 时有11n n n nu v u v ++≤, 则有（i ）若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；（ii ） 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证：当n ≥N 时，由已知有12121111n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v vv v u u u u v v v v +++++-+-=≤=. 由此可得,.N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤ 再由比较判别法即知定理结论成立. 较比式判别法更为精细的判别法是定理2.12[3]（高斯判别法，Gauss ）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足 11,ln ln n n u u v o u n n n n n λ+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或者1λ=，1u >或者1,1u v λ==>，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ） 若1λ<或者1λ=，1u <或者1,1u v λ==<，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.12’[9]（高斯推论）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足211,n n u uO u n n λ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或1λ=，1u >，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若1λ<或1λ=，1u ≤，则级数1n n u ∞=∑`发散.3 一般项级数敛散性判别法我们经常遇到一些级数，它们并不是都为非负，如交错级数等，对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来判断它们的敛散性了.根据柯西收敛原理，级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>，存在N ，只要n N >，对任意正整数p ，有12.n n n p u u u ε++++++<在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念. 定义[4]：若级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑是绝对收敛的；若级数1n n u ∞=∑收敛，但级数1n n u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑是条件收敛的.由柯西收敛准则,有 定理3.1[4]若级数∑∞=1||n n u 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛.要判别级数∑∞=1||n n u 敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判别方法去判断.定理3.2[6]（分部求和判别法）:对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果极限lim n n n A p →∞存在,那么下面两个级数有相同的收敛性:1,nn n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑这个判别法的特点是:把因子1,2,,,n u u u 分离出来,求出部分和n A ,再研究级数11()n n n n A pp ∞+=-∑的收敛性(前提是极限lim n n n A p →∞存在.)证明：先分析级数1n n n u p ∞=∑的部分和.为此分析乘积k k u p ;用增减项的办法,可以看出,11111()()k k k k k k k k k k k k u p A A p A p A p p A p -----=-=---.由此得到1111()()k k k k k k k k k u p A p A p A p p ----=---.让k 从1变到n,对等式的各项求和,110011()(0,0)nnkk n n k k k k k up A p A p p A p --===--==∑∑.这个等式可以改写为1111()nn kk n n k k k k k up A p A p p -+===--∑∑.(这叫做阿贝尔分部求和公式.)现在令n →∞,考察极限1lim nk k n k u p →∞=∑.由阿贝尔分部求和公式可以看出:因为极限lim n n n A p →∞存在,所以1lim n k k n k u p →∞=∑存在111lim ()n k k k n k A p p -+→∞=⇔-∑存在.这个结论的级数语言是:111()k k n n n n n up A p p ∞∞+==⇔-∑∑收敛收敛. 这样就证明完成了证明.对于最特殊的变号级数—交错级数,有定理 3.3[10]（莱布尼兹判别法）:对于交错级数,如果一般项的绝对值组成的数列单调递减趋向于0(当n →∞),那么交错级数收敛.对于一般项级数,则有定理3.4[10]（狄利克雷判别法）: 对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果{}n A 是有界数列,并且数列{}n p 单调递减趋向于0,那么级数1,n n n u p ∞=∑收敛.证明: 由条件可知, lim n n n A p →∞=0.因此根据分部求和判别法, 下面两个级数有相同的收敛性: 1,n n n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑ 以下只需验证:后一个级数是绝对收敛的.实际上,数列{}n A 是有界的,不妨设()n A A n ≤∀.这样一来,11()()n n n n n A p p A p p ++-≤-.另外,1111111()lim ()lim()nn n k k n n n n k pp p p p p p ∞+++→∞→∞==-=-=-=∑∑ 因此根据控制收敛判别法,级数11()n n n n A p p ∞+=-∑收敛.定理3.5(阿贝尔Aebel 判别法)[4]设数列}{n a 单调有界,级数∑∞=1n n b 收敛,则级数∑∞=1n n n b a 收敛.主要参考文献：[1]刘玉琏,傅沛仁等. 数学分析讲义(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2003[2]罗仕乐 . 数学分析续论 . 韶关学院数学系选修课程. 2003.8[3]李成章,黄玉民. 数学分析（上册）.北京: 科学出版社,1999.5[4]邓东皋, 尹小玲. 数学分析简明教程.北京: 高等教育出版社, 2000.6[5]张筑生. 数学分析新讲.北京: 北京大学出版社, 2002.2[6]丁晓庆. 工科数学分析（下册）.北京: 科学出版社,2002.9[7]R.柯朗, F.约翰. 微积分和数学分析引论.北京: 科学出版社, 2002.5[8]朱时. 数学分析札记 .贵州: 贵州教育出版社, 1996.5[9][美] 约翰鲍逊等,邓永录译. 现在数学分析基础.广东:中山大学出版社, 1995.2[10] 王昆扬. 数学分析专题研究.北京: 高等教育出版社, 2001.6The law of differentiating about the fact that several items of progression disappear and dispersingLiu Xianyang(Department of Mathematics，Shaoguan University，00 mathematics and applied mathematics undergraduate course. ,Shaoguan 512005，GuangDong)Abstract:One of the main content while analyzing that progression is mathematics. That the several a item ofprogressions of study disappear and disperse to differentiate law have a lot of kinds we, If Cauchy differentiate law, D'Alembert differentiate law, Raabe differentiate , Gauss differentiate law, Dirichlet differentiate law, Leibniz differentiate law, Abel differentiate law, etc. law. That items of progression disappear and disperse to differentiate law sum up, systematize it logarithm.Keywords：Several items of progression ; A progression ; Turn into number progression ; Hold back the scattered quality ; Differentiate law ization.。
数项级数敛散性判别方法(20210312140148)
华北水利水电大学课题: 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39 班成员组成: 丁哲祥1联系方式:数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重analysis. We learn thissemester the severalseries gathered of the criterion has many scattered metho d, this paper folding a seriesoflogarithmscattered discriminant method is analyzed sum-up, get theproblem solvingmethod.Key words : Several series;Gathered scattered sex; I要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方 法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的 数项级数敛散性判别法有许多， 本文对数项级数敛散性的判别方法进 行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词 ：数项级数 敛散性 判别方法 总结Abstractthe mathematicaldentifying method; analysis summaryof theSeveral seriesgatheredcriterion scattered method (summary)The sequenceseries is one of the main contents in数项级数的定义数项级数的定义设｛a n｝是一个数列，则称表达式a i+a2+a3+…a n+…为(常数项)无穷级数，简称数项级数或级数，记为a n或a n称a n为级数的通项或一般项。
n 1下面举几个例子：(1)1+2+3+4+5+6+…+n+…二n ;(2) 1-111 (1)n1+・・・=2 3 4 n (1)n1n常见的数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。
正项级数的判敛方法
n1
19
第九章 常数项级数
例8. 判别下列级数的敛散性：
1
(1) n1 np (p0)
(p 1 , 发 散 p 1 ,收 敛 )
解： an
1 np
，取
f (x)
1 xp
，
则 f ( x) 在[1, ) 上非负，连续，单减。
∵
1
1 x p dx
p p
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
4
n3
n
而
1 收敛，
∴原级数收敛。
4
n n1
3
11
第九章 常数项级数
ln n
1
0
，
n n 4
5
n4
而
1 收敛，故 ln n 收敛。
5
3
n n1 4
n n1 2
12
第九章 常数项级数
例6. 判别下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n
tan3n
5 n
(2) n1 n 5
(3) 258(3n1) n1159(4n3)
n1
n1
（3）当 时，且 vn 发散，则 un 发散。
n1
n1
5
第九章 常数项级数
说明：极限形式的比较判别法其实是将两个正项级数的 通项作为无穷小量，来比较它们的阶。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
级数
级 数1. 数项级数⑴ 定义 设给定一个无穷数列 ,,,,21n u u u ，则++++=∑∞=n n n u u u u 211称为数项级数，简称级数.其中第n 项n u 称为级数的通项或一般项.该级数的前n 项和 ∑==+++=nk knnuu u u S 121称为级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和,并称数列{}n S 为级数∑∞=1n nu的部分和数列.⑵ 级数的收敛、发散与级数和 若级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 的极限存在，即S S n n =∞→lim，则称级数∑∞=1n nu 收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数∑∞=1n nu发散.当级数∑∞=1n nu收敛时，称其部分和数列的极限S 为级数∑∞=1n nu的和，记为S un n=∑∞=1.⑶ 数项级数的性质①若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nυ分别收敛于S 与T ,则级数∑∞=+1)(n n nuυ收敛于T S +，即 ∑∞=+1)(n n n u υ=∑∞=1n n u +∑∞=1n n υ．②级数∑∞=1n nu和∑∞=1n ncuc (为任一常数，)0≠c 有相同的敛散性，且若∑∞=1n n u 收敛于S ，则∑∞=1n n cu 收敛于cS ，即∑∞=1n n cu =∑∞=1n n u c .③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变.④(级数收敛的必要条件) 若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim=∞→n n u .⑷ 正项级数及其收敛判别法若),2,1(0 =≥n u n，则称级数∑∞=1n n u 为正项级数.①比较判别法设∑∞=1n nu和∑∞=1n nυ是两个正项级数，且),2,1( =≤n u n n υ，那么有若级数∑∞=1n nυ收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛； 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nυ也发散.②比值判别法设∑∞=1n n u 是正项级数，且ρ=+∞→nn n u u 1lim，则 当1<ρ时，级数收敛； 当1>ρ时，级数发散； 当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散.⑸ 交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数设),2,1(0 =>n u n，级数∑∞=--11)1(n n n u 称为交错级数.②莱布尼茨判别法如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u ),2,1,0( =>n u n 满足莱布尼茨(Leibniz)条件：),2,1(1 =≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u ,则该级数收敛,且其和1u S≤,其余项n r 的绝对值1+≤n n u r .⑹ 绝对收敛与条件收敛如果级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 是绝对收敛的；如果级数∑∞=1n n u 收敛而级数∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 是条件收敛的.对于绝对收敛的级数∑∞=1n nu，有如下结论：如果级数∑∞=1n nu是绝对收敛的，则级数∑∞=1n nu也收敛.⑺ 两个重要级数①几何级数 形如+++++=-∞=∑120n n naqaq aq a aq的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论：当1<q 时，几何级数∑∞=0n naq收敛于qa -1；当1≥q时，几何级数∑∞=0n naq 发散.②p -级数形如∑∞=+++++=11312111n ppppnn的级数称为p -级数．p -级数的敛散性有如下结论：当1>p 时，p -级数∑∞=11n pn收敛；当1≤p 时，p -级数∑∞=11n pn发散.特殊地, 1=p 时的p -级数∑∞=11n n称为调和级数, 调和级数是发散的.2．幂级数 ⑴ 函数项级数 如果级数+++)()()(21x f x f x f n 的各项都是定义在某个区间I 上的函数，则称该级数为函数项级数，)(x f n 称为通项或一般项.当x在区间I 中取定某个常数0x 时，该级数是数项级数.如果数项级数)(01x f n n ∑∞=收敛，则称0x 为函数项级数)(1x f n n ∑∞=的一个收敛点；如果发散，则称0x 为函数项级数的一个发散点，函数项级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数为该收敛域内的一个数项级数，于是有一个确定的和S .这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数)(x S ，通常称)(x S 为函数项级数和函数，即 +++=)()()()(21x f x f x f x S n ，其中x 是收敛域内的任意一个点．⑵ 幂级数的定义形如+++++=∑∞=nn nn n x a x a x a a xa 22100的函数项级数称为x 的幂级数，其中),2,1,0( =n a n 称为该幂级数的第n 项系数.⑶ 幂级数的收敛半径幂级数的系数满足 λ=+∞→nn n a a 1lim，当+∞<<λ0时，称λ1=R 为幂级数的收敛半径；当0=λ时，规定收敛半径为+∞=R ；当+∞=λ时，规定收敛半径0=R .⑷ 幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间如果幂级数的收敛半径为R ，则称区间),(R R -为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.②收敛域把收敛区间的端点R x ±=代入幂级数中，判断数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域. ⑸ 幂级数的性质设),min( , ),( , )( , ),( , )(21022110R R R R R x x T xb R R x x S xan nn n nn=-∈=-∈=∑∑∞=∞=,①幂级数的和函数在收敛区间内连续．②(加法运算） 当∈x),(R R -时，有 ∑∑∑∞=∞=∞=±=±=±)()()(n nn n nnnn nn x T x S xb axbx a ．③(逐项微分运算） 当∈x ),(R R -时，有 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='110)()(n n nn nnn n n xnax ax a x S ，且收敛半径仍为R .④(逐项积分运算） 当∈x ),(R R -时，有 ⎰⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞=xxn n n x x a x x S 000d d )(=∑⎰∞=00d n x nn x x a =∑∞=++011n n n x n a ， 且收敛半径仍为R .(6) 泰勒级数与麦克劳林级数 ①泰勒公式 如果函数)(x f 在开区间),(b a 内具有直至1+n 阶导数,且),(0b a x ∈,则对任意点),(b a x ∈,有)(x f 在0x x =处的n 阶泰勒公式),()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x fx x x f x x x f x f x f n nn +-++-''+-'+= 其中)(x R n称为n 阶泰勒公式的余项，当0x x →时，它是比nx x )(0-高阶的无穷小，故一般可写成)()(0nn x x o x R -=.余项)(x R n 有多种形式，一种常用的形式为拉格朗日型余项，其表达式为) ( )(!)1()()(010)1(之间与在x x x x n fx R n n nξξ++-+= .②泰勒级数 +-++-''+-'+nn x x n x fx x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称为)(x f 在0x x =处的泰勒级数.③麦克劳林级数 +++''+'+nn x n fx f x f f !)0(!2)0()0()0()(2 称为)(x f 的麦克劳林级数.④函数展开成泰勒级数的充要条件 设函数)(x f 在0x x =的某个邻域内有任意阶导数，则函数)(x f 的泰勒级数在该邻域内收敛于)(x f 的充要条件是：0)(lim =∞→x R n n （其中)(x R n 是泰勒余项）. 如果)(x f 在0x x =处的泰勒级数收敛于)(x f ,则)(x f 在0x x =处可展开成泰勒级数,即nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=，称其为)(x f 在0x x =处的泰勒展开式，也称为)(x f 关于0x x -的幂级数.当00=x 时，有 nn n x n f x f ∑∞==)(!)0()(称为函数)(x f 的麦克劳林展开式.(7) 常用初等函数的麦克劳林展开式 ①∑∞=+∞<<-∞+++++==2)( !!21!1 n nnx x n xxx xn e②++-+++-=+-=+∞=+∑!)12()1(!5!3!)12(1)1(sin 1205312n xxxx xn x n nn n n )( +∞<<-∞x ③ +-+++-=-=∑∞=!)2()1(!4!21!)2(1)1(cos 2422n xxxxn x nnn nn)( +∞<<-∞x④∑∞=++++-++-+-=+-=+0143211)1(43211)1()1ln( n n nn nn xxxxx xn x )11( ≤<-x⑤ ++--++-++=+nx n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα)11( <<-x 其中α为任意实常数⑥∑∞=+-+-+-=-=+032)1(1)1(11n nn nnx x x x xx)11(<<-x3. 傅里叶级数 ⑴ 以π2为周期的函数)(x f 展开成傅里叶级数①设)(x f 是周期为π2的函数，则)(x f 的傅里叶系数的公式为),2,1,0( d cos )(π1ππ==⎰-n x nx x f a n ，),2,1( d sin )(π1ππ==⎰-n x nx x f b n ，由)(x f 的傅里叶系数所确定的三角级数∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa 称为)(x f 的傅里叶级数.②当)(x f 是周期为π2的奇函数时，)(x f 的傅里叶级数是正弦级数∑∞=1sin n n nx b ，其中系数),3,2,1( d sin )(π2π0==⎰n x nx x f b n.③当)(x f 是周期为π2的偶函数时，)(x f 的傅里叶级数是余弦级数∑∞=+10cos 2n nnx aa ，其中系数),2,1,0( d cos )(π2π0==⎰n x nx x f a n.⑵ 狄利克雷（Dirichlet ）收敛定理 设以π2为周期的函数)(x f 在[]ππ,-上满足狄利克雷条件：①连续或仅有有限个第一类间断点；②至多只有有限个极值点， 则)(x f 的傅里叶级数收敛，且有①当x 是)(x f 的连续点时，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ；②当x 是)(x f 的间断点时，)(x f 的傅里叶级数收敛于这一点左、右极限的算术平均数[])0()0(21++-x f x f .⑶[]ππ,-或[]π,0上的函数)(x f 展开成傅里叶级数如果函数)(x f 只在区间[]ππ,-上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们可以在[)π,π-或(]π,π-外，补充函数的定义，使它拓广成周期为π2的周期函数)(x F (按这种方式拓广函数的定义的过程称为周期延拓).再将)(x F 展开成傅里叶级数,并且该傅里叶级数在()π,π-∈x时,就是函数)(x f 的傅里叶级数,在π±=x 处，傅里叶级数收敛于))0π()0π((21+-+-f f .类似地，如果)(x f 只在[]π,0上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们在()0,π-内补充)(x f 的定义,得到定义在(]π,π-上的函数)(x F ,使它在)ππ,(-上成为奇函数(偶函数)( 按这种方式拓广函数的定义的过程称为奇延拓(偶延拓)).然后把奇延拓(偶延拓)后的函数)(x F 展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).⑷ 以l 2为周期的函数，且在[]l l ,-上满足狄利克雷收敛定理的条件，得到)(x f 的傅里叶级数展开式为∑∞=++=10)πsinπcos(2)(n n nlx n b lx n aa x f ，当x 是)(x f 的连续点时，上式成立.其中),2,1,0( d cos)(1 ==⎰-n x l n ππx f la l ln，),3,2,1( d πsin )(1 ==⎰-n x lxn x f l b l l n .二 、主要解题方法1． 判断数项级数的敛散性的方法例1 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(1)∑∞=-2ln )1(n n n， (2)∑∞=+-11)1(n nn a)0(>a ．解 (1)先判断级数∑∞=-2ln )1(n nn=∑∞=2ln 1n n的敛散性，显然级数∑∞=2ln 1n n是正项级数，因为nln 1>n1 ，而级数∑∞=21n n发散，由比较判别法知级数∑∞=2ln 1n n 发散．又因为级数∑∞=-2ln )1(n nn是一交错级数，nn ln 1lim∞→=0且nln 1>)1ln(1+n ，由莱布尼茨判别法知，级数∑∞=-2ln )1(n nn收敛，故此级数条件收敛．(2) 当0<1≤a 时，≠+∞→nn a11lim0，由级数收敛的必要条件知级数∑∞=+-11)1(n nn a发散．当1>a 时,先判断级数∑∞=+-11)1(n nn a=∑∞=+111n na的敛散性，因为111lim+∞→++n nn aa =n nn aa a111lim++∞→=a1<1 ，由比值判别法知，级数∑∞=+-11)1(n nn a绝对收敛．小结 对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性．当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑用其他方法． 2． 幂级数收敛区间或收敛域的方法 例2 求下列幂级数的收敛域(1)n n x n )3(11∑∞= ， (2)∑∞=+0)21(n n x ， (3) ∑∞=-02)!2()1(n nn n x ．解 (1) 因为nn n a a 1lim+∞→=13)1(3lim+∞→+n n n n n =3)1(lim+∞→n n n =31，所以收敛半径R =3，收敛区间为 （-3，3）．当x =-3时，级数为∑∞=-1)1(n nn，收敛，当x =3时，级数为∑∞=11n n，显然发散．故收敛域为 [-3，3)．(2) 因为nn n a a 1lim+∞→=122lim+∞→n nn =21，所以收敛半径R =2，由1x +<2得，收敛区间为（-3，1），当3-=x 时，级数为nn )1(0∑∞=-，发散，当x =1时，级数为∑∞=01n ，发散，故级数的收敛域为（-3，1）．(3)幂级数∑∞=-02)!2()1(n nn n x 缺少奇次项，直接用比值判别法有nn n xn n x222)!22()!2(lim++∞→=)12)(22(lim2++∞→n n xn =0，收敛半径R =∞+，收敛域为（∞+∞-,）． 小结 如果幂级数属于∑∞=0n nnxa或∑∞=-00)(n nnx x a形式，其收敛半径可按公式R1=nn n a a 1lim+∞→求得．若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得．3． 求幂级数的和函数的方法例3 利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数(1)∑∞=-11n n nx， (2)∑∞=-2)1(2n nn n x．解 （1）由于幂级数的系数含有幂指数加1的因子，所以采用“先积后微”的方法，设)(x s =∑∞=-11n n nx，⎰x x x s 0d )(=⎰∑∞=-x n n x nx11d =∑∞=1n n x =xx -1 ，1<x ，于是)(x s = ]d )([0'⎰xx x s =]1['-xx =2)1(1x - ，即∑∞=-11n n nx=2)1(1x - ，1<x .(2) 由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法设)(x s =∑∞=-2)1(2n n n n x，则)(x s '=∑∞=--21)1(2n n n x，)(x s ''=∑∞=-222n n x=)1(21x - ，)(x s '=⎰''xx x s 0d )(=⎰-x x x 0d )1(21=-21)1ln(x -，)(x s =⎰'x x x s 0d )(=21[)1ln()1ln(x x x x ---+]，即∑∞=-2)1(2n nn n x=21[)1ln()1ln(x x x x ---+]．小结 掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数．4． 把函数展开成幂级数的方法 例4 把下列函数展开为（0x x-）的幂级数(1))(x f =11+x ，0x =-4 ； (2) )(x f = 223xx x --，00=x ．解 (1) 利用等比级数求和公式11+x =341-+x =)341(31+--x ， 因为x-11=∑∞=0n nx（-1<x <1），所以3411+-x =∑∞=+0)34(n nx ，这里 -1<34+x <1 ，得 -7<x <-1 ，于是11+x =-∑∞=++013)4(n nn x （-7<x <-1 ）．(2)223xx x --=x-1122x-+=x-11112x -+=（1+x +2x +nx + ）-[-2x +(2)2x + +(nx )2-+ ]=23x +243x +389x +41615x + （-1<x <1）． 由x-11的收敛区间为 （-1，1）可知211x +的幂级数收敛区间为（-2，2），223xx x --的麦克劳林级数的收敛区间取（-1，1）与（-2，2）中较小的一个，即（-1，1）．小结 把函数)(x f 展开为（0x x -）的幂级数的方法有二：(1) 直接展开法（泰勒展开） 此方法计算量大，)()(x fn 的一般表达式不易求出，并且讨论余项)(x R n 当∞→n 时是否趋于0也困难．为了避免这些缺点，常用间接展开法．(2) 间接展开法 利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把)(x f 展开成幂级数．5．傅里叶级数的展开法 例5 设)(x f 是以2π为周期的函数，它在[-π，π]上的表达式为)(x f =⎩⎨⎧<≤<≤-,π0,,0π,x x x将)(x f 展开成傅里叶级数．解()f x 满足收敛定理条件，()f x 的图形如图所示因此0a =π1⎰-ππd )(x x f =π1⎰-0πd x x =-2π，n a =π1⎰-ππd cos )(x nx x f =π1⎰-0πd cos x nx x =π1(nnx x sin +2cos nnx )0π-=⎪⎩⎪⎨⎧==,...6,4,2,0,...5,3,1,π22n n nn b =π1⎰-ππd sin )(x nx x f =π⎰-0πd sin x nx x =π1(nnxx cos -+2sin nnx )0π-=21)1(nn +- ．又)(x f 在除)12(+=k x π外处处连续，故)(x f 的傅里叶级数展开式为)(x f =-4π+(π2cos sin x x +)-21sin 2x +(π322cos 3x +31sin 3x )-41sin 4x +(π522cos 5x +1sin 5)5x -(∞<<∞-x 且≠x (12+k ) π)，当 )12(+=k x π时，级数收敛于-2π．小结 把)(x f （满足收敛定理条件）展开成傅里叶级数主要工作是计算傅里叶系数．因此要根据函数的特点尽量用适当的恒等变形或适当变量代换，把函数转化成求具有奇偶性的函数的傅里叶系数，这样可以简化运算．π2ππ3π -π-2π -π xyO第八章 幂级数1． 判断下列幂级数的收敛域（1）1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑（2）213nn n x∞+=∑解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。
《高等数学》第6章1 数项级数
请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章 无穷级数第一节 数项级数 第二节 反常积分判敛法 第三节 幂级数 第四节 傅里叶级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数§6.1 数项级数 一. 无穷级数的概念 1.引例1 − 2 1 − 41 − 8(3) 无法实施的奖赏(摘自/Blog/181498.aspx)国际象棋起源于印度. 棋盘上共有64个格子. 传说国王要奖赏国际象棋的发明者—— 他的大宰相西萨·班·达伊尔, 问他有什么要求, 这位大宰相跪在国王面前说: “… …”. 1+2+22 +23 +...+263 = 264−1 = 18 446 744 073 709 551 615(粒) 1000粒小麦的质量 ≈ 40g, 18 446 744 073 709 551 615粒小麦的质量大于 7000亿吨! 2008/09年度全球小麦产量: 6.56 亿吨, 7000 ÷ 6.56 ≈ 1067(年) 要用23 300 000 000辆载重量为30吨的大卡车拉1 1 1 (1) − + − + − + … 2 4 8(2) 乒乓球跳动的时间2H 2n+1H H 4 2H g + 4 3g + − g + … + 2 3ng + … 3第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数2. 定义 u1, u2, …, un, … ——无穷数列 数项级数(简称级数):n=1 nn=1 n ∞ n=1 nΣ u = u1 + u2 + … + un + …n∞Σ u 前n项部分和(简称部分和): Sn = u1 + u2 + … + un = k=1 uk Σ∞Σ u = u1 + u2 + … + un + … 项 通项(一般项)∞n=1 nΣ u 收敛: lim Sn 存在 n→∞n=1 nΣ u 的和: S = n→∞ Sn lim∞∞Σ 记为: n=1un = Sn=1 nΣ u 发散: lim Sn 不存在 n→∞∞272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例1. n=1 2n . Σ1 1 Sn = − + − + … + 2n = 1 − 2n . 2 4n→∞∞1例2. 等比级数(几何级数)1 1Σ aqn−1 (a ≠ 0). n=1 Sn = a + aq + aq2 + … + aqn−1 = 1 − q . (1) |q| < 1时, n→∞ Sn = 1 − q , 即 limn=1∞a − aqnlim Sn = 1, 故 n=1 2n = 1. Σ1 − 2 1 − 41 − 8∞1aΣ aqn−1 = 1 − q .∞∞alim (2) |q| > 1时, n→∞ Sn = ∞, 记为n=1Σ aqn−1 = ∞.第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数(2) |q| = 1时, lim lim ① 若q = 1, 则 n→∞ Sn = n→∞ na = ∞. a, n为奇数; ② 若q = −1, 则Sn = 0, n为偶数, lim S 不存在. n→∞ n 综上所述, 当|q| < 1时等比级数 n=1 aqn−1 (a ≠ 0) Σ 收敛, 且 Σ aqn−1 = a . n=1 1−q Σ 当|q| ≥ 1时等比级数 n=1 aqn−1 (a ≠ 0)发散.∞ ∞ ∞Σ 例3. 证明: n=11∞1 = 1. n(n+1) 1 1证明: Sn = 1×2 + 2×3 + … + n(n+1)2 2 3 1 = 1 − n+1 → 1 (n→∞), 1 1 1 = (1 − −) + (− − −) + … + (− − n+1) n 1 1即 n=1 Σ∞1 = 1. n(n+1)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数Σ 例4. 证明: n=1∞1 收敛. n21例5. 调和级数 ,n=1证明: ∀ε >0, ∃N = [−] + 1, 当n > N时, ∀p ∈ ε |Sn+p − Sn| = (n+1)2 + (n+2)2 + … + (n+p)2 = n(n+1) + … +1 1 1 1 1 (n+p−1)(n+p) 1 1 11 1 Σ −=1+−+−+…+−+… 2 3∞1 n1 n对于ε0 = 1/2, 取m = 2n, 则 |Sm − Sn| = 1 + 1 + … + 1 n+1 n+2 2n ≥ 2n = ε0 . 由Cauchy收敛准则可知{Sn}发散, 即调和级数是发散的.n= − − n+p < − < ε . n n∞ 即 n=1 12 收敛. Σ由Cauchy收敛准则可知{Sn}收敛,n272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数二. 数项级数收敛的条件 定理1 (级数收敛的必要条件).n=1 n ∞Σ 注① n=1 un 收敛 ⇒ lim un = 0. ——原命题 n→∞n→∞ n ∞∞Σ u 收敛 ⇒ lim un = 0. n→∞∞∞limu ∃ 或 limun = a ≠ 0 ——逆否命题证明: 设 n=1un 收敛, 且 n=1 un = S, Σ Σ 则 n→∞ un = n→∞ (Sn − Sn−1) lim lim = n→∞ n − n→∞ n−1 limS limS = S − S = 0.⇒ n=1 un 发散. Σ例6. 判别下列级数的敛散性. (1) n=1 (−1)n; Σπ (3) n=1 nsin− ; Σ n∞ ∞(2) n=1 n+1 n ; Σ (4) n=1 (n − √n2 − n). Σ∞∞n第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数Σ 注② n=1 un 收敛 ⇒ lim un = 0. ——原命题 n→∞n→∞∞定理2 (Cauchy收敛准则).n=1 nlim un = 0 ⇒ n=1 un 收敛. ——逆命题 Σ 该命题不成立!∞Σ u 收敛 ⇔ 数列{Sn}收敛 ,当 n > N时,n+p∞⇔ ∀ε > 0, ∃N∈∀p∈ , 有 Σ uk = |Sn+p − Sn| < ε. k=n+1例如 n→∞ − = 0, 但 n=1 − 发散. lim n Σ n1∞1第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数∞ (−1)n−1 例7. 证明级数 n=1 n Σ 收敛.例8. 已知级数 n=1un收敛, 其中un > 0 (∀n). Σ(−1)n+p−1 n+p∞证明: |Sn+p − Sn| = n+1 + n+2 +…+ ≤1 n+1(−1)n(−1)n+1证明: 级数u1 + u3 +…+ u2k−1 + …也收敛. 证明: 记Sn = u1 + u2 +…+ un, Tn = u1 + u3 +…+ u2n−1, 由条件及Cauchy收敛准则可知 ∀ε > 0, ∃N ∈ , 当 n > N时, ∀p∈ +, 有 |Tn+p − Tn| = |u2n+1 + u2n+3 +…+ u2n+2p−1| ≤ |u2n+1 + u2n+2 +…+ u2n+2p−1| = |S2n+2p−1 − S2n| < ε . 所以级数u1 + u3 +…+ u2k−1 + …也收敛.<1 − n, ,= ε, 故 ∀ε > 0, ∃N ∈ [−] ∈1当 n > N时, ∀p∈ , 有 1 |Sn+p − Sn| < −. < ε . ε n 由Cauchy收敛准则可知该级数收敛.272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数三. 数项级数的基本性质 性质1. 设级数 n=1 un 收敛, 且 n=1un = S, Σ Σ 则对任意常数k, 级数 n=1kun也收敛, Σ 且 n=1kun = kS. Σ 证明: 记Sn = u1 + u2 +…+ un, Tn = ku1 + ku2 +…+ kun, 则 n→∞ n = limkSn = klimSn = kS. limT n→∞ n→∞ 推论. 若k≠0, 则 n=1un 与n=1 kun 的收敛性相同. Σ Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞性质2. 设 n=1 un 与 n=1vn 都收敛, 且 Σ Σn=1 n ∞∞∞Σ u = S, n=1vn = T, Σ∞∞∞则 n=1(un ± vn)也收敛, 且 Σn=1 ∞Σ (un ± vn) = S ± T.∞ ∞例9. n=1un收敛, n=1vn 发散 ⇒ n=1(un + vn) _____. Σ Σ Σ第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数Σ Σ Σ 注① n=1(un + vn)收敛 ⇒ n=1 un 与 n=1 vn 都收敛.−1 例如, un = 1 , vn = n+1 , n∞∞∞Σ Σ Σ 注① n=1(un + vn)收敛 ⇒ n=1 un 与 n=1 vn 都收敛. Σ Σ Σ Σ 注② n=1un , n=1vn , n=1(un + vn), n=1(un − vn)中, 任意两个收敛, 则另外两个也收敛.上述四个级数的敛散性, 可能出现的情形: (A) 都收敛; (B) 都发散; (C) 一个收敛, 另外三个发散.∞ ∞ ∞ ∞∞∞∞则n=1 (un + vn)收敛, Σ 但 n=1un 与 n=1vn 都发散. Σ Σ1 1 1 1 1 (1− −) + (− − −) + … + (− − n+1) 2 2 3 n∞ ∞∞=1− 1n+1→ 1 (n→∞).第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数性质3. 在级数中去掉或添加有限多项, 得到的 级数与原来的级数敛散性相同.∞ 例如: (1) n=1 12 收敛 ⇒ Σ1 1 1 1 1 1 1+−+−+−+−+−+…+−+… n 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 −+−+−+−+…+−+… n 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1+−+−+−+−+−+…+−+… n 4 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + − + 5 + − + − + − + −… + − + … n 6 7 8 9 4n 1 1 1 1 + 25 + 36 + … + n2 + …收敛; 16 1 1 1 9 + 4 + 1 + − + − + … + n2 + …收敛. 4 9 ∞ 1 (2) Σ − 发散 ⇒ n=1 n 1 1 1 − + − + … + − + …发散; n 5 6 1 1 1 1 1 − + − + 1 + − + − + … + − + …发散. n 9 4 2 3272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数性质4. 设级数 n=1un 收敛, 则不改变它的各项 Σ 次序而任意添加括号后构成的新级数n=1 n∞n=1 nΣ u = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + …∞Σ u′ 仍然收敛, 而且和不变.∞∞部分和数列: S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 , …n=1 n证明: 注意到 n=1un 的部分和数列 {Sn} 是 Σ ′ ′ Σ u 的部分和数列 {Sn} 的子列即可. n=1 n∞Σ u′ = (u1 + u2) + u3 + (u4 + u5 + u6) + u7 + … = u1 ′ + u2 + ′ u3 + ′ S3′ , u4 + … ′ S4′ , …∞部分和数列: S1′ , S2′ ,n→∞lim Sn 存在 ⇒ n→∞ Sn = lim Sn . lim ′ n→∞第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数注: 级数(1−1) + (1−1) + (1−1) + ... 收敛, 但 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1)n+1 + … 发散. 性质5. n=1 cn 收敛 ⇒ n→∞ k=n+1ck = 0. Σ lim Σ 证明: 设 n=1cn 收敛, 且 n=1 cn = S. Σ Σ 令 Rn = k=n+1ck , 称为 n=1cn的n阶余项. Σ Σ 于是 S = n→∞ Sn ⇒ n→∞ Rn = n→∞ (S − Sn) = 0. lim lim lim∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞四. 数项级数判敛法 1. 正项级数 (1) 定义 正项级数 n=1un : ∀un ≥ 0 Σ (2) 性质 ∀un ≥ 0 ⇒ {Sn}单调递增. (3) 判敛法 Σ 定理3. 正项级数 n=1un 收敛 ⇔ {Sn}有界.∞ ∞第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例10. u1 = 1, un = ∫ n−1 xp dx (n ≥ 2, p >1), 证明 Σ un 收敛.n=1 ∞n1定理4 (比较判别法). 设0 ≤ un ≤ vn (∀n), 则 (1) n=1 vn 收敛 ⇒ n=1un 收敛. Σ Σ Σ (2) n=1 un 发散 ⇒ n=1 vn 发散. Σ∞ ∞ ∞ ∞可 改 ∃N∈ , s.t. 为 当n > N时,证明: 因为un > 0, 而且 Sn = 1 + ∫ 1 xp dx + … + ∫n−1 xp dx = 1 + ∫ 1 xp dx = 1 + 1−p x1−p1 1 1∞ n 2un ≤ vn1n111n 1Σ 证明: (1) n=1vn 收敛 ⇒ 其部分和数列{Tn}有界 ⇒ n=1un 的部分和数列{Sn}有界 Σ ⇒ Σ un 收敛.n=1 ∞ ∞∞= 1 + p−1 (1 − n p−1 ) < 1 + p−1 . 所以 Σ un 收敛.n=1(2) 由(1)立得.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例11. p级数 n=1 Σ1 当p > 1时收敛, p ≤ 1时发散. . np ∞ 1 1 (1) 当 p < 0时, lim np = +∞ ⇒ n=1 np 发散. Σ n→∞ 1 1∞1 n 1 1 1 证明: 因为 lim[(1−cos−) n2] = − , n→∞ n 2例12. 证明 Σ (1 − cos−)收敛.n=1∞(2) 当0 ≤ p ≤ 1时, np ≥ − , n Σ − 发散 ⇒ n=1 np 发散. Σ n=1 n1 n 1 (3) 当 p>1时, np < ∫ n−1 p dx (n ≥ 2), x ∞ 由例10可知 Σ 1p 收敛. n=1 n∞所以 ∃N∈, s.t. 当n > N时, 有1 11∞11 1 [(1−cos−) n2 ] − − < −, n 2 4从而1 1 3 < 1−cos− < 4n2 . 4n2 n ∞ 3 又因为 Σ 4n2 收敛, n=1∞故由比较判别法可知 n=1(1 − cos−) 收敛. Σ n1第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数1 发散. n1+1/n 1 1 证明: 因为 lim( 1+1/n −) = n→∞ 1 = 1, lim 1/n n→∞ n n n例13. 证明 Σ∞推论 (比较判别法的极限形式) 设 n=1un 和 n=1 vn 均为正项级数, 且 Σ Σ 则 (1) 当0 < l < +∞时,∞ ∞ ∞ ∞ ∞n=1所以 ∃N∈1, s.t. 当n > N时, 有lim n→∞un = l, vn1 1 ( 1+1/n −) − 1 < − . n n 2 1 1 3 从而 2n < n1+1/n < 2n . ∞ ∞ 1 1 Σ 又因为 Σ 2n 发散, 故 n=1 n1+1/n 发散. n=1Σ u 与n=1 vn 的敛散性相同. Σ n=1 n (2) 当l = 0 且 n=1vn 收敛时, n=1un 也收敛. Σ Σ (3) 当l = +∞ 且 Σ vn 发散时, Σ un 也发散.n=1 n=1 ∞ ∞ ∞第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数证明: (1) 方法同例12和例13. (2) 因为 lim n→∞un = 0, vn un , s.t. 当n > N时, v < 1, n∞(3) (法一) 因为 limn→∞ ∞un = +∞, vn所以 ∃N∈, s.t. 当n > N时, un > vn .∞所以 ∃N∈ 于是un < vn .∞Σ 而 n=1vn 发散, 故 n=1un 发散. Σ (法二) 若 n=1un 收敛, Σ 则由 lim 矛盾! 故 n=1un 发散. Σ∞ n→∞ ∞ vn Σ = 0 及(2) 得 n=1vn 收敛, un ∞Σ 而 n=1vn 收敛, 故 n=1un 收敛. Σ272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章 无穷级数§6.1 数项级数第六章 无穷级数§6.1 数项级数例14. 设a >0, 讨论 Σ (a1/n + a−1/n −2)的敛散性.n=1∞定理5 (D’Alembert比值判别法). 设 Σ un 为正项级数, ∀un > 0 且 limn=1 n→∞ ∞ ∞ ∞a1/n + a−1/n − 2 at + a−t − 2 = t→0+ lim 解: lim 2 n→∞ 1/n t2 2. = (lna) 又因为 n=1 Σ∞un+1 = ρ, unΣ 则 (1) 当ρ < 1时, n=1un 收敛. (2) 当ρ > 1时, n=1un 发散. Σ达朗贝尔：法国物理学家、数学家、天文学 家哲学家。
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。
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一、正项级数及其判敛法 正项级数及其判敛法
级数 ∑ u n ， u n ≥ 0 (n = 1 , 2 , 3 ,⋯, ) 称为正项级数。
∞ n =1
∵ S n = S n −1 + u n ≥ S n −1 ，∴ {S n }是单调增加的数列。
若 {S n }有界，则 lim S n 必存在，从而 ∑ u n 收敛。
un L un 3L 3L L ， − L < ，即 < < vn 2 2 vn 2
L 3L 从而 vn < un < vn (n > N ) ， 2 2
由比较判别法可知结论成立。
un （2）∵ lim =0， n→∞ vn
∴对 ε = 1 ， ∃N ∈ N + ， ∋ n > N 时，有
un < 1 ， − vn < u n < vn ( n > N ) ， vn
∞
n+2 （2） ∑ ln 3 n +1 n n =1 1 n+2 2 ln ln(1+ ) 3 3 n n 对级数的通项先作分析： n +1 n =2， 解：∵ lim = lim 3 ⋅ 1 1 n →∞ n →∞ n + 1 1 n+2 2 2 41 nln(1+ ) ～ ， 当 n → ∞ 时， 3 ～ ， ln = 3 n +1 3n n n n n ∞ 1
∞
x ∴当 x < e ，即 <1 时，级数收敛； e
x 当 x > e ，即 > 1 时，级数发散； e
当 x = e 时，比值法失效。
1 n un+1 ∵ (1+ ) < e ，∴ = n un
n→ ∞
x e = > 1 (n = 1, 2, 3, ⋯ ,) ， 1 n 1 n (1+ ) (1+ ) n n 故 lim u n ≠ 0 ， 所 以级 数 也 发 散 。
∴原级数收敛。
n =1
2 ⋅ 5 ⋅ 8⋯ ( 3 n − 1) ， 1⋅ 5 ⋅ 9⋯ ( 4 n − 3)
x n 例 6． 讨 论 级 数 ∑ n !( ) ( x > 0 ) 的 收 敛 性 。 n n =1
x n+1 (n +1)!( ) un+1 x x n +1 ∵ lim = lim = lim = ， x n n→∞ un n→∞ 1 n e n →∞ n !( ) (1+ ) n n
（1） ∑
∞
arctan n
n
；
n =1 (ln 2 )
n
arctan n 1 ∴ lim un = lim n = >1 n n →∞ 解 n →∞ ， (ln 2) ln 2
∴∑
∞
arctan n
(ln 2) n n =1
发散。
an n （2） ∑( ) ( a > 0) n +1 n=1
n u = lim n ( an ) n = lim an = a ， 解：∵ lim n n→∞ n→∞ n +1 n→∞ n +1
1
（2）当 p > 1 时 1 np =∫
n
1
n −1 n p
dx ≤ ∫
n
1
n −1 x p
dx (n = 2, 3, ⋯) ，知部分和
S n = 1+
1 2
p
+⋯+
1 n
p
≤ 1+ ∫
2
1
1xp
dx +⋯+ ∫
n
1
n −1 x p
dx
n 1 1 1− p n dx =1+ x = 1+ 1 p 1 1− p
这表明 lim u n ≠ 0 ，故 ∑u n 发散。
n→∞
n=1 ∞
例 5．判定下列正项级数的敛散性。
（1） ∑ 2 tan
n n =1
∞
π 3n
；
2
n+1
tan n+1 2 ⋅ n+1 un+1 2 3 3 解：∵ lim = lim = lim = <1 ， π π 3 n n→∞ un n→∞ n→∞ 2 tan n 3 3n ∞ π n ∴ 级 数 ∑ 2 tan 收敛。 n 3 n =1
n =1 ∞ ∞
∞
∞
（2）当 L = 0 ，且 ∑vn 收敛时， ∑un 也收敛；
n =1 n=1
∞
n =1 ∞
（3）当 L = +∞ ，且 ∑ vn 发散时， ∑u n 也发散。
n =1 n =1
∞
∞
证明： 证明
un （1）∵ lim =L， n →∞ v n
L ∴对 ε = > 0 ， ∃N ∈ N + ， ∋ n > N 时，有 2
∞ n=1
由比较判别法可知，当 ∑vn 收敛时， ∑un 也收敛。
n =1
∞
un vn （3）∵ lim = +∞ ， lim =0， n→∞ vn n→∞ u n
由反证法及（2）即知结论成立。
例 4．判别下列正项级数的敛散性
1 2 （1） ∑ sin n n =1 n
解：对级数的通项先作分析： 2 1 2 2 2 当 n → ∞ 时， sin ～ ，从而 ～ 。 sin n n n n n 1 2 sin ∞ n n = 1 ，而 2 发散， ∵ lim ∑n 2 n→∞ n =1 n ∞ 1 2 ∴ ∑ sin 发散。 n n=1 n
∞
1 ∴∑ 发散。 n =1 n ( n + 1)
∞
判别法的极限形式） 定理 4， 比较判别法的极限形式） （比较判别法的极限形式
un 设 ∑un 和 ∑vn 均为正项级数，且 lim = L ，则 n→∞ vn n=1 n=1
（1）当 0 < L < +∞ 时， ∑ u n 与 ∑ vn 具有相同的敛散性；
n →∞
∞
反之，若 ∑ u n 收敛，则 lim S n = S ， {S n }必有界。
n =1
n→∞
∞
n =1
定理 3 正项级数 ∑ un 收敛 ⇔ 它的部分和数列 {S n } 有界。
n =1
∞
π ∞ sin 2n 的收敛性。 例 1．试判定正项级数 ∑ 2n n =1 π π π sin sin sin 1 6 +⋯+ 2n ， 4+ 解： S n = + 2 4 8 2n
1 1 解：∵ ， < 3 （ n = 1, 2, ⋯ ） n n +1 n2
而∑
∞
1
3 n =1 2 n
收敛 ，
1 （2） ∑ n =1 n ( n + 1)
∞
1 1 解：∵ （ n =1, 2, ⋯ ） ， > n(n +1) n +1
1 1 1 1 而∑ = + +⋯ + + ⋯ ，发散， n +1 2 3 n +1 n =1
1 1n [1− ( ) ] 1 1 1 1 2 2 =1− (1)n <1 < + + +⋯+ n = 1 2 4 8 2 2 1− 2 π ∞ sin 2n 收敛。 即 {S n } 有界，故正项级数 ∑ 2n n =1
比较判别法 判别法） 定理 4（比较判别法）
∞ n =1
设有两个正项级数 ∑ u n 和 ∑ vn ， u n ≤ vn ( n = 1,2, ⋯) 且
−( n +1) −( −1) n +1
= lim 2
n→∞
−1+ 2 ( −1) n
不存在，可见比值判别法失效。
积分判别法） 定理 7（积分判别法） 设（1） f ∈C[1,+∞) ， f ≥ 0 且单调递减； （2） un = f ( n)(n = 1,2,⋯) ， 则反常积分 ∫
∞
+∞ 1
f ( x)dx 收敛或发散时，
x 1 1 1 。 = 1+ (1− ) < 1+ p −1 p −1 n p −1
∞
∫
故 {S n }有界 ，从而 ∑
∞
1
np敛, p 级数 ∑ p 当p ≤ 1时, 发散. n=1 n
例3.判定级数的敛散性:
（ 1） ∑
∞ n =1
1 n n +1
∴由比较判别法和级数性质 3 可知，级数 ∑u n 收敛。
n =1
∞
un+1 （2）当 lim = ρ >1 时，取 ε > 0 ，使得 ρ − ε = q > 1 。 n→∞ u n
而对此 给定的 ε ， 必 ∃ N ∈ N + ， 当 n > N 时 ，
un+1 有 −ρ < ε ， un
un+1 un+1 故得 − ρ > −ε ， > ρ − ε = q > 1 ， un+1 > un 。 un un
正项级数 ∑un 也随之收敛或发散。
n=1
y
y = f (x)
u1 u2 u 3
un
o 1 2 3 4
I n = ∫ f ( x)dx ，
π
π
（ 2）
un+1 5n+1 n5 n 5 解：∵ lim = lim ⋅ = lim 5( ) = 5 > 1, 5 n n →∞ n + 1 n→∞ un n→∞ (n +1) 5