数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n un 存在,
p n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (1) sin ; n n 1
1 (2) n ; n 1 3 n
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1
un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
7-2数项级数的审敛法
·复习 1 级数的概念。
2 级数的敛散性。
3 级数的性质。
·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。
一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。
我们先来考察正项级数的敛散性。
·讲解新课7-2 常数项级数的审敛法（一）一 正项级数及其审敛法定义 如果级数∑∞=1n n u 的每一项都是非负数，即0n u ≥，(1,2)n = ，那么称级数∑∞=1n n u 为正项级数．如果级数∑∞=1n n u 是一个正项级数，那么它的部分和数列{}n S 是一个单调增加数列：12......n S S S ≤≤≤≤，如果数列{}n S 有界，即n S 总不大于某一个常数M ，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数∑∞=1n n u 必收敛于和S ，且n S S M ≤≤；反之，如果正项级数∑∞=1n n u 收敛于和S ，即lim n x S S →∞=，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：∑∞=1n n u 有界，因此可得如下结论：定理 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。
由此定理可知：如果正项级数∑∞=1n n u 发散，则当n →∞时，它的部分和数列n S →∞，即：1n n u ∞==+∞∑1 比较审敛法设有两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，如果n u ≤n v ),3,2,1( =n 成立，那么（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛.（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p －级数。
定义 当0p >时 ，11111123L L ppppn nn∞==+++++∑.称为 p －级数特别地：当1p =时，p －级数是调和级数11n n∞=∑。
数项级数的审敛法资料
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
n e
级数
（
n1
1 ）n
n! nn
绝对收敛.
例 9
讨论级数
x
n
的敛
散
性。
n1 n | x |n1
解 lim | un1 | lim
n un
n
n1 | x |n
lim n | x | | x |
n n 1
当 | x | 1时，
xn
n
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
一、正项级数及其审敛法
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
级数敛散性判断习题
例3. 设正项级数 也收敛 . 法1 由题设
和
都收敛, 证明级数
n→ ∞
n→ ∞
limun = limvn = 0 ,
n→ ∞
= lim(un +vn)
根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 法2 因 limun = limvn = 0 , ∴lim(un +vn) = 0 ,
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
又 arctan x = ∫
x 2 0
x
0
1 dx 2 1+ x
4 6 n
( −1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 − x + x − x + L + ( −1) x + L]dx
2n
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x − + − + L + ( −1)n +L 3 5 7 2n + 1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 故 x arctan x − ln 1 + x 2
∞
(1)
对于级数（1） 对于级数（1）
2 | a n+1 | ( n + 1) lim = lim = 1, 2 n → +∞ | a | n→ +∞ n n
级数（ 级数（1）的收敛域为 − 1 < y < 1, 原级数的收敛域为 , x > 1, 或 x < −1.
例5 解
x2n 求 数∑ 级 收 域 和 数 敛 及 函 . n n=0 (2 )!
n=0 n=0
∑anx
难
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
∗ an xn ∑
∞
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z x f ( x y) , F ( x, y, z ) 0
解法2 方程两边求微分, 得
化简
x f d y
dy F2
消去 d y 即可得
有二阶连续偏导数, 且 u 2u u , . 求 x xy x y z 1 u 解: f1 f 3 ( ) x y x x t 1 2u f13 ( ) f12 x y x y xy
设
求
z z z yz x y f1 1 f 2 • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 x x y z xz • 0 f1 1 f 2 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
例3. •
设
求
y y xz x y 1 f1 1 f 2 z z y 1 f1 x y f 2 f1 xz f 2 z
例3.
设
求
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f ( x y z , x yz)
为a 与b 的数量积 (点积) .
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b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
b Pr ja
b
a 0, b 0
则 a b 0
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
sn0
sn sin s n
m A n B pC 0
L
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二、二元函数极限计算
例.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x 0 x y 1 1 2
y 0
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sin( x 2 y ) . 例 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
例 3. 设
f 33 f 32 1 2 f 3 2 x cos t x x y
2 x (2 x sin t cos t ) x y ( x y ) cos t 1 ( x y) 2
例3.
a b 0
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面与线间的关系
平面 : A x B y C z D 0, n ( A , B , C ) xx y y zz 直线 L : , s (m , n , p) m n p m n p L⊥ sn0 A B C L // 夹角公式：
dy dz xf f xf dx dx dy dz F2 F3 F1 dx dx dz dx
x f f x f f f F2 F2 F1 x F1 f x F2 x f 1 x f F3 F2 F2 F3 0) ( x f F3 F2
4(1 cos r 2 ) 2 r4 而 lim lim r 0 r 0 r 6 r6
故
2 r 1 cos r 2 ~ 2
2
பைடு நூலகம்
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三、求方向导数，求偏导数， 隐函数求二阶偏导， 求曲面的切平面或法线方程， 二元函数最大最小值应用题
多元函数微分法
1. 分析复合结构
高等数学A复习2011.6
一、向量在另一向量上的投 影，直线与平面关系。
两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
M1
s
W Fs
M2
a b
xy 例5. 讨论函数 f ( x, y ) 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
k x2 k lim f ( x, y ) lim 2 2 2 x 0 x 0 x k x 1 k 2
显示结构
隐式结构
(画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
例2. 设
有一阶导数或偏导数, 求
(99 考研)
其中 f 与F分别具
解法1 方程两边对 x 求导, 得
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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例. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 2 则 ( x y ) , 解: 因 x 2 y 2 1 令 r x y , 4
4 (1 cos r ) r6
2 sin( x y) x2 y 1 x 0 0. 2 2 0, lim x 2 2 x 0 x y x y 2 y 0
若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim lim 1, 其中 x 0 2 x y u0 u y0