交错级数及其审敛法
莱布尼茨审敛法
莱布尼茨审敛法
交错级数的审敛法莱布尼茨定理是什么?
交错级数的审敛法莱布尼茨定理也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则，不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数。
交错级数是正项和负项交替出现的级数，形式满足
a1-a2+a3-a4+…+(-1)^(n+1)an+…，或者
-a1+a2-a3+a4-… +(-1)^(n)an，其中an>0。
在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。
最典型的交错级数是交错调和级数。
判断交错级数的方法
判断交错级数的方法介绍交错级数是一种特殊的级数，由正负交替的数值组成。
判断交错级数是否收敛是数学领域中的一个重要问题，因为它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将详细探讨判断交错级数的方法。
级数收敛的定义在开始讨论判断交错级数是否收敛之前，我们首先需要了解级数的收敛的定义。
对于一个级数 ∑a n ∞n=1，如果它的部分和数列 {S n } 收敛到一个有限的值 S ，那么我们称该级数是收敛的，即 lim n→∞S n =S 。
交错级数的收敛性接下来，我们将讨论判断交错级数是否收敛的方法。
在判断交错级数的收敛性时，我们可以运用以下几种方法：1. 莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法是判断交错级数收敛的常用方法。
对于一个交错级数∑(−1)n ∞n=1a n ，如果满足以下两个条件，那么该级数收敛：•a n 严格单调递减；• lim n→∞a n =0。
值得注意的是，莱布尼茨判别法只能确定交错级数是否收敛，而不能确定其部分和的具体值。
2. 部分和数列法另一种常用的方法是通过分析交错级数的部分和数列来判断其收敛性。
对于一个交错级数 ∑(−1)n ∞n=1a n ，我们可以计算其部分和数列 S n 并观察其行为。
如果部分和数列满足以下条件之一，那么该交错级数收敛：• 部分和数列 {S n } 有界，即存在正数 M ，使得 |S n |≤M 对于所有 n 成立；• 部分和数列 {S n } 单调递增且有上界，即存在正数 M ，使得 S n ≤M 对于所有 n 成立。
3. 康托判别法康托判别法是一种特殊的方法，适用于某些特殊的交错级数。
如果一个交错级数∑(−1)n ∞n=1a n 满足以下条件之一，那么该级数收敛：•a n 严格单调递减； •lim n→∞a n =0；• 对于所有 n ，a n ≥a n+12。
需要注意的是，康托判别法只适用于具备以上条件的交错级数，不适用于所有情况。
总结在本文中，我们介绍了判断交错级数收敛的三种常用方法：莱布尼茨判别法、部分和数列法和康托判别法。
一般级数的审敛法
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
第四讲交错级数与任意项级数
(1)
n2
ln n n
,当
1时发散,当
1时收敛；(
n2
n
1 ln
n
)
(2)
n 1
annnn!,当a
e收敛，当a
e发散；
(3)
n 1
an np
(
p
0),当 a
1,绝对收敛，当a
1,发
a 1,0 p 1,发散，p 1收敛
a 1,0 p 1,条件收敛，p 1绝对收敛。
n
也发散；
n
（5）级数
u n
收敛（发散）等价于其部分和数
n 1
列{Sn}收敛（发散） ；
（6）对任何级数
u n
来说，rn
un1
un2
都是其余项；
n 1
练习：
2.下列命题正确的有（）个.
#2014022508
u u
（1）若
n 1
的部分和 {S }有界，则
n
n
n1
n1
un 也收敛
n1
例3. 讨论级数 n1sinnn4 的敛散性.
解:
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n n1 n4
绝对收敛 .
例4. 讨论级数 n1(ns)n (s 0, 0) 的敛散性 .
1) 1 ; n1 n
第三节绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
一类交错级数的审敛法
一类交错级数的审敛法
对一类交错级数求和的审敛法，是一种快速计算一类交错级数总和的数学方法，其历史可以追溯到古希腊时期，当时已有数学家认识到它的重要性并用于求解积分问题。
审敛法使用梯形公式计算一类交错级数的总和，具体的计算步骤如下：
1. 根据一类交错级数的一般项an的表达式，求得中点的值Cn；
2. 计算审核项Sn，Sn=Cn+|An-1|+|An-2|+…+|A1|；
3. 比较Sn和Sn+1，如果Sn<Sn+1，则可以剔除Sn+1，继续往后比较。
比较完所有审核项后，剩下的审核项即为一类交错级数的总和。
审敛法可以很好地求解一类交错级数的总和，且 time complexity 比其他方法低，不易出错。
因此，审敛法在数学中得到了广泛的应用。
例如，它可以被用来求解求解积分问题，也可以被用来计算多元函数的最优值。
本文介绍了一类交错级数求和的审敛法，既简单又有效，在数学中有着重要地位，而且具有很好的可扩展性，一直广泛应用于数学中，是非常有价值的数学方法。
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
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由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
n 1 n 1
级数条件收敛． 绝对收敛、条件收敛与收敛 之间有着什么样的关系呢？
定理2
若 un 收敛, 则 un收敛.
n 1 n 1
证明 令 vn 1 (un un ) (n 1, 2, ),
2
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
又
u (2v
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1
的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n n 1 1 (2) lim un lim 0, n n n
§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
判别法，判断出正项级数 u n 发散，
n 1
可以断言， un 也一定发散.
n 1
un1 事实上， lim 1, (lim n un 1), n u n n
lim un 0,从而 lim un 0 ,
un必发散.
n 1
n
解
sin n 1 2, 2 n n
1 而 2 收敛, n 1 n
n 1
sin n 收敛, 2 n
故由定理知原级数绝对收敛.
例4 解
xn (1) 判定 n n 1
n
( x 0)
级数的敛散性.
xn 记un (1) , 则 n un 1 xn lim lim n u n n n 1
x
由达朗贝尔比值判别法知，
(1)0 x 1时， un 收敛，即绝对收敛，从而收敛.
n 1
1 ,易见级数是条件收敛； n n 1 n n x (3) x 1时，级数为 (1) ,级数是发散的； n n 1 (2) x 1时，级数为 (1)n
为什么？
NOTE：当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值
n 1 n n 1
n
un ), un收敛.
n 1
n 1
若 un 收敛，则绝对收敛. n 1 结论：级数 un收敛, n 1 若 u 发散，则条件收敛. n n 1
例3
sin n 2 的收敛性. 判别级数 n n 1
n
三、小结 正 项 级 数
1. 若 Sn → S,则级数收敛;
任意项级数
审
2. 若 lim un 0, 则级数 un发散.
n
敛
法
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 (莱布尼茨定理)