高数数项级数及审敛法
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高数二 8.2数项级数的审敛性
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
b.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,)
;(ⅱ)lim n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn 的绝对值
rn un1.
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
审敛法
2、正项级数及其审敛法
(1).定义如: 果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
(2).正项级数收敛的充要条件s:1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列.
定理
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
(3).比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
高等数学-无穷级数简要讲解-2
9.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
数项级数及审敛法(IV)
在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，数项级数被用来描 述结构的振动和稳定性。
信号处理
在电子工程和通信工程中，数项级数被用来处 理和分析信号。
控制理论
在控制工程中，我们使用数项级数来描述系统的动态行为和稳定性。
05
数项级数的收敛与发散
收敛的定义与性质
收敛的定义
如果数项级数$sum_{n=1}^{infty} a_n$的极限存在，则称该 级数收敛。
缺点
需要找到合适的比较对象，对于一些特殊类型的 级数可能难以找到合适的比较对象。
几何审敛法
定义
几何审敛法是通过观察级数的一般项的公比 来判断级数的收敛性。
优点
简单易行，适用于某些特定类型的级数。
应用范围
适用于一般项的公比在0和1之间的级数，如 $a_n = r^n$，其中$r$为常数且$0 < r < 1$。
如果 $0 leq a_n leq b_n$ 对所有 $n$ 都成立，且 $sum_{n=0}^{infty} b_n$ 收敛，则 $sum_{n=0}^{infty} a_n$ 也收敛。
数项级数的分类
几何级数
每一项都是前一项的常数倍，表示为 $a_n = r^n$，其中 $r < 1$。
算术级数
数项级数是微积分学的基础，它 为微积分中的概念和定理提供了 严密的数学基础。
在物理中的应用
波动和振动
在物理中，数项级数被用来描述波动和振动的现象， 如弦的振动、波动方程等。
热传导
在研究热传导问题时，我们常常使用傅里叶级数来描 述温度在不同空间位置的分布。
电磁学
在电磁学中，我们使用数项级数来描述电磁波的传播 和分布。
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
高数知识点总结
a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a = ( a x ) i + ( a y ) j + ( a z ) k a = ax i + ay j+ az k 称为向量a在基本单位向量 i, j, k下的基本分解式或坐标表示式. ax、ay 、az为 坐标，分别是a在三坐标轴上的投影. 若在三维空间中不建立直角坐标系，同样 可研究向量的分解及向量的坐标运算。 设, , 为三个线性无关向量,a为任意向量， 则存在唯一一组数x,y,z,使得 a = x+ y+ z
fx
2 2
法线的方向余弦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
1 fx f y
, cos
fy 1 fx f y
2 2
,
cos
切平面方程
1 1 fx f y
2 2
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t
一、内容总结
1、隐函数的导数：
• 一个方程的情形
定 理 1
设 函 数
在
U (X0)
定 F(x,yz) 理 2 F (x , y z ) 0 '
4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 （1）. 函数的幂级数展开法
• 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
fx
2 2
法线的方向余弦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
1 fx f y
, cos
fy 1 fx f y
2 2
,
cos
切平面方程
1 1 fx f y
2 2
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t
一、内容总结
1、隐函数的导数：
• 一个方程的情形
定 理 1
设 函 数
在
U (X0)
定 F(x,yz) 理 2 F (x , y z ) 0 '
4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 （1）. 函数的幂级数展开法
• 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
高数第三节：常数项级数的审敛法
n =1
其中
un > 0 , n =1, 2, L
定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
∑ (−1)
∞
n−1
= u1 − u2 + u3 − u4 +L+ (−1) n−1un +L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
∞ n=1
∑ un = u1 + u2 + L+ un + L
∞
一般项取绝对值后所得级数记为
n =1
∑ | un | = |u1| + | u2| + L+ |un| + L
∞
∞
收敛， 1） （1）若 ∑ | un | 收敛， 则称原级数 ∑ un 绝对收敛
n =1 ∞
n=1
收敛， 发散， （2）若 ∑ | un | 发散， 而 ∑ un 收敛， ）
n −1 1 1 1 1 1 1 ( ) +( ) +L+ ( ) − − − 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1
vn =
v2 = 2
∞
∞
v3 = 1
+L
∞ 2 2 ∑ vn = ∑ = ∑ 发散， 发散， 所以原级数发散 . n =2 n =2 n−1 n =1 n
（二）绝对收敛与条件收敛 考虑任意项级数 考虑任意项级数
∞
∞
（1）该结论的逆命题不成立。 ）该结论的逆命题不成立。 （2）定理提供了检验一般级数 ∑ un 是否收敛的一种 ） 有效方法。 有效方法。
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1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2) 若p 1, p 级数收敛
2) 若p 1,因为当
1
np
n n1
1 np
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
第十一章
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即 n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
从而 lim Snna 1q从而lim
n
Sn
,
2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (11) (11) 0 , 但
发散.
性质5、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
1 34
n
1 (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
例1.
讨论
p
级数 1
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
性质4收. 敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 的和. 数
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
(2)
Sn
1 1 2
1 23
例如, p – 级数
1
lim un1 lim (n1) p 1
1 n2
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
sin
n1
1 n
ln 1
n1
n1 n1 x p
dx
1 p 1
1 (n 1) p1
1 n p1
考虑强级数 n 2
1 (n 1) p1
1 n p1
的部分和
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
例3.判断下列级数的敛散性:
1) 3
n1 n 3) 1 1 1
100 101 102
2)
n1
[
1 5n
(2)n] 3
4) 1 5 8 3n 1
369
3n
例4.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
第二节
第十一章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
定理2 (比较审敛法)设
是两个正项级数,