苏教版 高考数学 一轮复习 讲义---第10章 学案56 线性回归方程

学案56 线性回归方程导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．自主梳理1．相关关系：两个变量之间的关系可能是________关系(如：函数关系)，或__________关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定性关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系．2．散点图：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．3．回归直线(1)定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有________________，这条直线叫做回归直线．(2)最小二乘法：通过求Q ＝∑ni ＝1 (y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和______，这一方法叫做最小二乘法． (3)线性回归方程方程y ^＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．错误!. 自我检测1．下列有关线性回归的说法，正确的序号是________． ①相关关系的两个变量不一定是因果关系； ②散点图能直观地反映数据的相关程度；③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系； ④任一组数据都有线性回归方程． 2．下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是________(填序号)．3．(2010·银川模拟)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝________.4．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．5．(2010·金陵中学三模)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其线性回归方程是________________．探究点一利用散点图判断两个变量的相关性例1有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：变式迁移1某班5个学生的数学和物理成绩如表：探究点二求线性回归方程例2假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有以下统计资料：若由资料知y对x呈线性相关关系．试求线性回归方程y＝bx＋a.变式迁移2 已知变量x 与变量y 有下列对应数据：且y 对x 呈线性相关关系，求y 对x 的线性回归方程．探究点三 利用线性回归方程对总体进行估计例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据．(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)变式迁移3 (2010·盐城期末)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．1．相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．线性回归方程：设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 个观测值的n 个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y 对x 的线性回归函数的类型为直线型：y ^＝bx ＋a .我们称这个方程为y 对x 的线性回归方程．其中x ＝1n ∑n i ＝1x i ，y ＝1n ∑ni ＝1y i.3．线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围，否则没有实用价值．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．其中正确的命题序号是________．2．(2011·陕西改编)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是________．(填序号)①x 和y 的相关系数为直线l 的斜率； ②x 和y 的相关系数在0到1之间；③当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同；④直线l 过点(x ，y )．3．已知一组观测值具有线性相关关系，若对于y ^＝bx ＋a ，求得b ＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则线性回归方程为__________________．4．某地区近几年居民的年收入x 与支出y 之间的关系，大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)．预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．5．根据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图，则这两个变量________线性相关关系(填“具有”或“不具有”)．6．若施化肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80 kg 时，预计水稻产量为________kg.7．已知线性回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________． 8．(2010·青岛模拟)为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s 、t ，那么下列说法中正确的是________(填上正确的序号)．①直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )；②直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t )； ③必有l 1∥l 2；④l 1与l 2必定重合．二、解答题(共42分) 9．(14分)(2010·威海模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x )10．(14分)(2010·潍坊模拟)某种产品的宣传费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？11．(14分)(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？学案56 线性回归方程答案自主梳理1．确定性 非确定性 3.(1)线性相关关系 (2)最小 (3)∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2∑n i ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2y －b x自我检测 1．①②③解析 根据两个变量相关关系的概念，可知①正确，散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以②、③正确．只有线性相关的数据才有线性回归直线方程，所以④不正确． 2．①③④ 3．5.25解析x ＝2.5，y ＝3.5，∵线性回归方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25. 4．D解析 因为A 、B 、C 、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远． 5.y ^＝74x ＋234解析 ∵∑3i ＝1x i y i ＝434，x ＝7，y ＝18，∑3i ＝1x 2i＝179， ∴b ＝∑3i ＝1x i y i －3x y∑3i ＝1x 2i －3x 2＝74. a ＝y －b x＝18－74×7＝234，∴线性回归方程为y ^＝74x ＋234.课堂活动区例1 解题导引 判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图．解 (1)以x 轴表示温度，以y 轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示．(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，所以两变量之间具有相关关系． 变式迁移1 解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图所示：由散点图可见，两者之间具有相关关系．例2 解题导引 求线性回归方程，关键在于正确求出系数a ，b ，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的线性回归方程才有意义．解 制表如下：i 1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 2i4 9 16 25 36 90 x ＝4；y ＝5；于是有b ＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23；a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.∴线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.变式迁移2 解 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝12＋32＋2＋34＝74，∑n i ＝1x 2i＝12＋22＋32＋42＝30，∑ni ＝1x i y i＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝432， ∴b ＝∑ni ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2＝432－4×52×7430－4×254＝0.8，a ＝y －b x ＝74－0.8×52＝－0.25，∴y ^＝0.8x －0.25.例3 解题导引 利用线性回归方程可以进行预测，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用．解 (1)散点图：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)． 变式迁移3 68解析 x ＝10，y ＝40， 回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a .∴a ＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 课后练习区 1．②⑤ 2．④解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以①②错误．③中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以③错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知④正确．3.y ^＝0.51x ＋6.65解析 a ＝y －b x ＝38.14－0.51×61.75≈6.65. ∴y ^＝0.51x ＋6.65. 4．12.1解析 ∵y ^＝0.8x ＋0.1，∴当x ＝15时，y ^＝0.8×15＋0.1＝12.1. 5．不具有 6．650解析 将x ＝80代入y ^＝5x ＋250中，即可得水稻的产量约为650 kg. 7.522解析 x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.8．①解析 线性回归方程为y ^＝bx ＋a .而a ＝y －b x ， 即a ＝t －bs ，t ＝bs ＋a .∴(s ，t )在回归直线上．∴直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )． 9．解(1)散点图如图所示．(4分) (2)由表中数据得∑4i ＝1x i y i＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑4i ＝1x 2i＝54， ∴b ^＝0.7.(7分) ∴a ^＝y －b ^x ＝1.05.∴y ^ ＝0.7x ＋1.05.回归直线如图中所示．(10分) (3)将x ＝10代入线性回归方程， 得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，∴预测加工10个零件需要8.05小时．(14分) 10．解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：(4分)(2)计算得：x ＝255＝5，y ＝2505＝50， ∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是可得b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，(7分)a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5， 因此，所求线性回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5.(10分)(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为10万元时， y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)， 即这种产品的销售大约为82.5万元．(14分)11．解 (1)n ＝6，∑6i ＝1x i ＝21，∑6i ＝1y i＝426，x ＝3.5，y ＝71， ∑6i ＝1x 2i ＝79，∑6i ＝1x i y i＝1 481， b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝1 481－6×3.5×7179－6×3.52≈－1.82.(5分)a ＝y －b x ＝71＋1.82×3.5＝77.37.∴线性回归方程为y ^＝a ＋bx ＝77.37－1.82x . (8分)(2)因为单位成本平均变动b ＝－1.82<0，且产量x 的计量单位是千件，所以根据回归系数b 的意义有：产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元． (12分)(3)当产量为6 000件时，即x ＝6，代入线性回归方程：y ^＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．∴当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．(14分)实用文档祝你高考成功！11。