苏教版 高考数学 一轮复习 讲义---第10章 学案56 线性回归方程
学案56 线性回归方程
导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
自主梳理
1．相关关系：两个变量之间的关系可能是________关系(如：函数关系)，或__________关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定性关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系．
2．散点图：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．
3．回归直线
(1)定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有________________，这条直线叫做回归直线．
(2)最小二乘法：通过求Q ＝∑n
i ＝
1 (y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和______，这一方法叫做最小二乘法． (3)线性回归方程
方程y ^
＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．
错误!. 自我检测
1．下列有关线性回归的说法，正确的序号是________． ①相关关系的两个变量不一定是因果关系； ②散点图能直观地反映数据的相关程度；
③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系； ④任一组数据都有线性回归方程． 2．下列关系：
①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是________(填序号)．
3．(2010·银川模拟)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^
＝
－0.7x ＋a ，则a ＝________.
4．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
5．(2010·金陵中学三模)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其线性回归方程是________________．
探究点一利用散点图判断两个变量的相关性
例1有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
变式迁移1某班5个学生的数学和物理成绩如表：
探究点二求线性回归方程
例2假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有以下统计资料：
若由资料知y对x呈线性相关关系．试求线性回归方程y＝bx＋a.
变式迁移2 已知变量x 与变量y 有下列对应数据：且y 对x 呈线性相关关系，求y 对x 的线性回归方程．
探究点三 利用线性回归方程对总体进行估计
例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据．
(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
变式迁移3 (2010·盐城期末)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度
数约为________．
1．相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．线性回归方程：设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 个观测值的n 个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y 对x 的线性回归函数的类型为直线型：y ^
＝
bx ＋a .我们称这个方程为y 对x 的线性回归方程．其中x ＝1n ∑n i ＝1x i ，y ＝1n ∑n
i ＝1y i
.
3．线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取
值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围，否则没有实用价值．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．
其中正确的命题序号是________．
2．(2011·陕西改编)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是________．(填序号)
①x 和y 的相关系数为直线l 的斜率； ②x 和y 的相关系数在0到1之间；
③当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同；
④直线l 过点(x ，y )．
3．已知一组观测值具有线性相关关系，若对于y ^
＝bx ＋a ，求得b ＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则线性回归方程为__________________．
4．某地区近几年居民的年收入x 与支出y 之间的关系，大致符合y ^
＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)．预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
5．根据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图，则这两个变量________线性相关关系(填“具有”或“不具有”)．
6．若施化肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为y ^
＝5x ＋250，当施化肥量为80 kg 时，预计水稻产量为________kg.
7．已知线性回归方程y ^
＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________． 8．(2010·青岛模拟)为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s 、t ，那么下列说法中正确的是________(填上正确的序号)．
①直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )；
②直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t )； ③必有l 1∥l 2；
④l 1与l 2必定重合．
二、解答题(共42分) 9．(14分)(2010·威海模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：b ＝
∑n
i ＝1
x i y i －n x y
∑n
i ＝1x 2i －n x
2
，a ＝y －b x )
10．(14分)(2010·潍坊模拟)某种产品的宣传费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：
(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；
(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
11．(14分)
(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？
学案56 线性回归方程
答案
自主梳理
1．确定性 非确定性 3.(1)线性相关关系 (2)最小 (3)∑n
i ＝1
(x i －x )(y i －y )
∑n
i ＝
1
(x i －x )2
∑n i ＝1
x i y i －n x y
∑n
i ＝1x 2
i －n x
2
y －b x
自我检测 1．①②③
解析 根据两个变量相关关系的概念，可知①正确，散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以②、③正确．只有线性相关的数据才有线性回归直线方程，所以④不正确． 2．①③④ 3．5.25
解析
x ＝2.5，y ＝3.5，∵线性回归方程过定点(x ，y )，
∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25. 4．D
解析 因为A 、B 、C 、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远． 5.y ^
＝74x ＋234
解析 ∵∑3i ＝1
x i y i ＝434，x ＝7，y ＝18，∑3
i ＝1
x 2i
＝179， ∴b ＝∑3
i ＝1
x i y i －3x y
∑3
i ＝1x 2i －3x 2＝7
4
. a ＝y －b x
＝18－74×7＝234
，
∴线性回归方程为y ^
＝74x ＋23
4
.
课堂活动区
例1 解题导引 判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图．
解 (1)以x 轴表示温度，以y 轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示．
(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，所以两变量之间具有相关关系． 变式迁移1 解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图所示：
由散点图可见，两者之间具有相关关系．
例2 解题导引 求线性回归方程，关键在于正确求出系数a ，b ，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的线性回归方程才有意义．
解 制表如下：
i 1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 2i
4 9 16 2
5 3
6 90 x ＝4；y ＝5；
于是有b ＝112.3－5×4×590－5×42＝12.3
10＝1.23；
a ＝y －
b x ＝5－1.23×4＝0.08.
∴线性回归方程为y ^
＝1.23x ＋0.08.
变式迁移2 解 x ＝1＋2＋3＋44＝5
2
，
y ＝12＋3
2＋2＋34＝74，∑n i ＝1x 2i
＝12＋22＋32＋42＝30，
∑n
i ＝1
x i y i
＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝43
2， ∴b ＝∑n
i ＝1
x i y i
－n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2
＝432－4×52×7
430－4×254
＝0.8，
a ＝y －
b x ＝74－0.8×5
2
＝－0.25，
∴y ^
＝0.8x －0.25.
例3 解题导引 利用线性回归方程可以进行预测，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用．
解 (1)散点图：
(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5
4＝3.5，
∑4
i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.
∑4
i ＝1
x 2i ＝32＋42＋52＋62
＝86， ∴b ＝∑4i ＝1
x i y i －4x y ∑4
i ＝1x 2i －4x 2
＝
66.5－4×4.5×3.5
86－4×4.5
2
＝0.7， a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的回归方程为y ^
＝0.7x ＋0.35.
(3)现在生产100吨甲产品用煤
y ^
＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)． 变式迁移3 68
解析 x ＝10，y ＝40， 回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a .∴a ＝60. ∴y ^
＝－2x ＋60.
令x ＝－4，y ^
＝(－2)×(－4)＋60＝68. 课后练习区 1．②⑤ 2．④
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以①②错误．③中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以③错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知④正确．
3.y ^
＝0.51x ＋6.65
解析 a ＝y －b x ＝38.14－0.51×61.75≈6.65. ∴y ^
＝0.51x ＋6.65. 4．12.1
解析 ∵y ^
＝0.8x ＋0.1，
∴当x ＝15时，y ^
＝0.8×15＋0.1＝12.1. 5．不具有 6．650
解析 将x ＝80代入y ^
＝5x ＋250中，即可得水稻的产量约为650 kg. 7.522
解析 x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝5
22
.
8．①
解析 线性回归方程为y ^
＝bx ＋a .而a ＝y －b x ， 即a ＝t －bs ，t ＝bs ＋a .
∴(s ，t )在回归直线上．
∴直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )． 9．解
(1)散点图如图所示．(4分) (2)由表中数据得∑4
i ＝1x i y i
＝52.5，
x ＝3.5，y ＝3.5，∑4
i ＝1
x 2i
＝54， ∴b ^
＝0.7.(7分) ∴a ^
＝y －b ^
x ＝1.05.
∴y ^ ＝0.7x ＋1.05.回归直线如图中所示．(10分) (3)将x ＝10代入线性回归方程， 得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．(14分) 10．解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：
(4分)
(2)计算得：x ＝
255＝5，y ＝250
5
＝50， ∑5
i ＝1x 2
i ＝145，∑5
i ＝1
x i y i ＝1 380. 于是可得
b ＝∑5
i ＝1x i y i －5x y ∑5
i ＝1
x 2i －5x 2
＝
1 380－5×5×50
145－5×52
＝6.5，
(7分)
a ＝y －
b x ＝50－6.5×5＝17.5， 因此，所求线性回归方程是y ^
＝6.5x ＋17.5.
(10分)
(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为10万元时， y ^
＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)， 即这种产品的销售大约为82.5万元．
(14分)
11．解 (1)n ＝6，∑6
i ＝1
x i ＝21，∑6
i ＝1
y i
＝426，x ＝3.5，y ＝71， ∑6
i ＝1
x 2i ＝79，∑6
i ＝1
x i y i
＝1 481， b ＝∑6
i ＝1x i y i －6x y ∑6
i ＝1
x 2i －6x 2＝1 481－6×3.5×7179－6×3.52
≈－1.82.
(5分)
a ＝y －
b x ＝71＋1.82×3.5＝77.37.
∴线性回归方程为y ^
＝a ＋bx ＝77.37－1.82x . (8分)
(2)因为单位成本平均变动b ＝－1.82<0，且产量x 的计量单位是千件，所以根据回归系
数b 的意义有：
产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元． (12分)
(3)当产量为6 000件时，即x ＝6，代入线性回归方程：
y ^
＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．
∴当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．
(14分)
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【全程复习方略2014-2015学年高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课时提升作业 新人教A版选修1-2
回归分析的基本思想及其初步应用 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2014·渭南高二检测)已知x与y之间的几组数据如下表: 则y与x的线性回归方程=x+过点( ) A.(0,1) B.(1,4) C.(2,5) D.(5,9) 【解析】选C.因为==2,==5,所以根据线性回归方程必过样本中心点,可得=x+必过(2,5). 【变式训练】(2014·石家庄高二检测)已知一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)其样本点的中心为(2,3),若其回归直线的斜率估计值为-1.2,则该回归直线方程为( ) A.=1.2x+2 B.=1.2x+3 C.=-1.2x+5.4 D.=-1.2x+0.6 【解析】选C.由题意可设回归直线为=-1.2x+,由于回归直线过样本中心(2,3),故有3=-1.2×2+,解得=5.4,故回归直线方程为=-1.2x+5.4. 2.下列三个命题: (1)随机误差e是衡量预报精确度的一个量,它满足E(e)=0. (2)残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. (3)用相关指数R2来刻画回归的效果时,R2的值越小,说明模型拟合的效果越好. 其中真命题的个数有( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.(1)(2)是正确的,(3)中R2越接近1,拟合效果越好,所以(3)错误,故选C. 3.(2014·济南高二检测)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元 【解题指南】先求出所给数据的平均数,利用回归方程过样本点的中心求出即得回归方程,然后将自变量 为6代入即可. 【解析】选B.因为==3.5,==42,由数据的样本点的中心在回归直线上且回归方程中的=9.4,所以42=9.4×3.5+,即=9.1,所以线性回归方程是=9.4x+9.1,所以当广告费为6万元时=9.4×6+9.1=65.5. 4.(2013·福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表: 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据和 求得的直线方程为y′=b′x+a′,则以下结论正确的是 ( ) A.>b′,>a′ B.>b′,
苏教版 高考数学 一轮复习 讲义---第10章 学案56 线性回归方程
学案56 线性回归方程 导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 自主梳理 1．相关关系：两个变量之间的关系可能是________关系(如：函数关系)，或__________关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定性关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系． 2．散点图：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图． 3．回归直线 (1)定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有________________，这条直线叫做回归直线． (2)最小二乘法：通过求Q ＝∑n i ＝ 1 (y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和______，这一方法叫做最小二乘法． (3)线性回归方程 方程y ^ ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数． 错误!. 自我检测 1．下列有关线性回归的说法，正确的序号是________． ①相关关系的两个变量不一定是因果关系； ②散点图能直观地反映数据的相关程度； ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系； ④任一组数据都有线性回归方程． 2．下列关系： ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是________(填序号)． 3．(2010·银川模拟)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^ ＝ －0.7x ＋a ，则a ＝________. 4．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大． 5．(2010·金陵中学三模)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其线性回归方程是________________．
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第10讲 函数的图像(含解析)
第10讲 函数的图像 考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题. 2.掌握图像的作法:描点法和图像变换. 3.会运用函数的图像理解和研究函数性质. 考情分析 真题再现 ■ [2017-2013]课标全国真题再现 1.[2017·全国卷Ⅲ] 函数y=1+x+的部分图像大致为 ( ) A B
C D [解析] D函数y=1+x+的图像可以看成是由y=x+的图像向上平移一个单位长度得到 的,并且y'=1+x+'=1+,当x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D. 2.[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=() A.0 B.m C.2m D.4m [解析] B由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i,y i)和(x'i,y'i) 均满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,∴(x i+y i)=x i+y i=0+2·=m. 3.[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得 f(x0)<0,则a的取值范围是() A.B. C. D.
[解析] D令g(x)=e x(2x-1),则g'(x)=e x(2x+1),由g'(x)>0得x>-,由g'(x)<0得x<-, 故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增.又函数g(x)在x<时,g(x)<0,在x>时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示. 直线y=ax-a过点(1,0).若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0. 结合函数图像可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a) 在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤ a<1. 故实数a的取值范围是,1. 4.[2015·全国卷Ⅱ]如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为() [解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+, 即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运
新高考数学A版讲义：选则性必修 数据分析(选)第2节 一元线性回归模型及其应用
第2节 一元线性回归模型及其应用 知识点一 一元线性回归模型 称⎩ ⎪⎨⎪⎧ Y ＝bx ＋a ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2为Y 关于x 的一元线性回归模型．其中Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差，如果e ＝0，那么Y 与x 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二 最小二乘法 将y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^ ，a ^ 叫做b ，a 的最小二 乘估计，其中，a ^＝y －b ^ x . 也可以表示为，这样更便于实际计算。 思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的某一点吗？ 答案 不一定． 思考2 点(x ，y )在经验回归直线上吗？ 答案 在． 知识点三 残差与残差分析 1．残差 对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^ 称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回 1 2 1 ()() ˆ() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑1 2 21 ˆn i i i n i i x y nx y b x nx ==-=-∑∑
2021届高考数学新人教版一轮复习学案讲义：第10章 第7讲 离散型随机变量及其分布列 (含解析)
第7讲离散型随机变量及其分布列 [考纲解读] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列．(重点、难点) 3．理解超几何分布，并能进行简单的应用． [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容．预测2021年将会考查：①与排列组合及统计知识结合的分布列；②与独立重复事件结合的分布列．试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型. 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为□01随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□ 02离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表 X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n 的□概率分布列，简称为的□分布列，有时为了表达简单，也用等式□03P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①□ 04p i≥0(i＝1,2，…，n)； ②□ 05 i＝1 n p i＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X 0 1
P 1－p p ，其中p ＝□01P (X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k ) ＝□ 02C k M C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ， N ∈N *. X 0 1 … m P □03C 0M C n －0N －M C n N □04C 1M C n －1 N －M C n N … C m M C n －m N －M C n N 1．概念辨析 (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (4)若随机变量X 的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布．( 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为( ) A ．0,1 B ．1,2 C ．0,1,2 D ．0,1,2,3 答案 C 解析 由于只有2件次品，所以ξ的可能取值为0,1,2. (2)设随机变量X 的分布列如下．
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题56参数方程(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程． 一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么y ＝g(t x ＝f(t ， 就是曲线的参数方程． 【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程 若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为y ＝y0＋rsin θx ＝x0＋rcos θ， (θ为参数)． (2)椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为y ＝bsin θx ＝acos θ， (θ为参数)． (3)双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为y ＝btan θ， (θ为参数)． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为y ＝2pt x ＝2pt2， (t 为参数)． 二、直线的参数方程
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为y ＝y0＋tsin αx ＝x0＋tcos α， (t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝ 2t1＋t2； (2)|PM |＝|t 0|＝2t1＋t2 ； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |. 三、极坐标与参数方程的综合应用规律 1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的． 高频考点一 参数方程与普通方程的互化 【例1】 已知直线l 的参数方程为y ＝－4t x ＝a －2t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为y ＝4sin θx ＝4cos θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程； (2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.
高考数学一轮复习 第10章 概率 第3节 模拟方法—概率的应用教学案 文(含解析)北师大版-北师大版
第三节 模拟方法—概率的应用 [考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义． 1．模拟方法 对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验． 2．几何概型 (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与 G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积 G 的面积，则称这种模型为 几何概型． (2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比． [常用结论] 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．1 2 B ．13
2021届高考数学新人教版一轮复习学案讲义：第10章 解答题专项突破(六) 概率与统计的综合问题 (含解析)
解答题专项突破(六)概率与统计的综合问题通过对近几年高考试题分析，在高考解答题中，概率与回归分析、独立性检验、随机变量及其分布列相结合的综合问题既是考查的热点又是重点，设计成包含概率、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别与应用等知识的综合题，以实际应用问题为载体，考查考生应用数学知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．试题难度一般不大，为中、低档类题目． 热点题型1概率与统计图表的综合应用 典例(2019·河南模拟)“学习强国”平台于2019年1月1日上线，它是由中宣部主管以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端＋手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，上线后便成了党员干部学习的“新助手”．为了调研某地党员对“学习强国”App的了解程度，研究人员随机抽取了200名该地的党员进行调查，将他们三天内在“学习强国”App上所得的分数统计如表所示： 分数[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 人数601002020 频率 (1) (2)若该地区的党员在“学习强国”App上的得分服从正态分布Z～N(μ，σ2)，其中μ近似为这200名党员三天内得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，σ2近似为这200名党员三天内得分的方差，求P(57.4 第99课时 线性回归方程 回归分析 [复习巩固] 1、某次考试后，老师算出了全班60个人的数学成绩平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来60个人的分数一起，算出这61个分数的平均值为N ，则M ：N 为______ 2、某工厂生产一批产品，它们来自于甲、乙、丙、丁四个车间，为了检验这批产品的质量，决定采用分层抽样法，共抽取了160件。如果甲、乙、丙、丁四个车间抽取的个体数组成一个公差为20的等差数列且已知乙车间共生产了1200件产品，则这批产品共有_____件。 3、某人5次上班途中所花的时间（分钟）分别x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为_________ 4、已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，方差为2，则一组新数据2x 2x n -1的平均数和方差分别为__________，__________。 5、如图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是_____分。 [要点梳理] 1、两个变量间的相关关系 以散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，则称两个变量之间具有线性相关关系。这条直线叫回归直线。 2、线性回归方程 具有线性相关关系的两个变量，其线性回归方程y a bx =+，其中a =_____，b =_____。 系数a ，b 叫做回归系数，相应的直线叫回归直线。 3、最小二乘法 4、相关系数，相关关系的判断 三、基础练习 1、线性回归方程表示的直线恒过下面四点中的__________ A 、（0，0） B 、（x ，0） C 、（0，y ） D 、（x ，y ） 2、设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下表格 又y 与x 呈线性相关关系其回归方程为__________ 1.2回归分析BCA案 主备人：史玉亮审核人:吴秉政使用时间：2012.2.6 学习目标： 1.通过对典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。 2.结合具体的实际问题，了解非线性回归问题的解决思路。 3.通过回归分析的学习，提高对现代计算技术与统计方法的应用意识。 B案 一、基础整合 1.召与回归系数b?的计算方法 b?= _______________________ ，a?= ________________________ 。 2.样本相关系数 (1)对于变量x与y随机抽取到的n对数据(x1,y1),(x2,y2),……,(x n,y n)，检验统计量 是样本相关系数r= ______________________________________________ (2)_____________________________________________________________ r具有以下性质：r w 1,并且r越接近1,线性相关程度___________________________________ ；r越接近0, 线性相关程度_______________________ 。 (3)检验的步骤如下： ①作统计假设：x与y不具有_____________________ 关系。 ②根据 __________ 与______________ 在附表中查出r的一个临界值r0.05。 ③根据 ____________________ 计算公式算出r的值。 ④作统计推断。如果r| > “a，表明有____________ 的把握认为x与y之间具有线性相关关系；如果|r w r o.05，我们没有理由拒绝__________ 。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。 二、预习检测 1.下列两变量具有相关关系的是( ) A.正方体的体积与棱长 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 2.下列两变量是线性相关的是( ) A.如果变量X与Y之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点 (X i, yj(i =1,2,3,...,n)将散布在某一条直线附近 B.如果两个变量X与Y之间不存在线性关系，那么根据试验数据不能写出一个线性方程 专题1 线性回归方程 例1．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：C) ︒存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程ˆˆ 0.25 y x =+，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为() A．33C︒B．34C︒C．35C︒D．35.5C︒ 例2．已知下列说法： ①对于线性回归方程ˆ35 y x =-，变量x增加一个单位时，ˆy平均增加5个单位； ②在线性回归模型中，相关指数2R越接近于1，则模型回归效果越好； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ⑤演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”． 其中说法错误的个数为() A．1B．2C．3D．4 例3．变量x，y之间的一组相关数据如表所示：若 x，y之间的线性回归方程为ˆ ˆ12.28 y bx =+，则ˆb的值 为() A．0.92 -B．0.94 -C．0.96 -D．0.98 - 例4．我国5G技术研发试验在20162018 -年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段实施．2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如表所示： 若y 与x 线性相关，且求得线性回归方程为ˆ455y x =+，则下列说法正确的是( ) A ．142a = B ．y 与x 正相关 C ．y 与x 的相关系数为负数 D ．12月份该手机商城的5G 手机销量约为365部 例5．已知x 与y 之间的一组数据： 已求得关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.30.85y x =+，则m 的值为 ． 例6．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如表所示： 已知销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是ˆ 3.240y x =-+，且20m n +=，则其中的m = ． 例7．已知一组数据点： 用最小二乘法得到其线性回归方程为ˆ24y x =-+，若数据1x ，2x ，⋯，8x 的平均数为1，则8 1 i i y ==∑ ． 例8．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(i x ，)(1i y i =，2，⋯⋯，20)，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得20 180i i x ==∑，2014000i i y ==∑，202 1()80i i x x =-=∑，20 21 ()8000i i y y =-=∑， 20 1 ()()7000i i i x x y y =--=∑． （1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求y 关于x 的线性回归方程； 线性回归方程 【目标引领】 1．学习目标： 了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。 2．学法指导： ①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性． ②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误． ③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识． 【教师在线】 1．解析视屏： 1．相关关系的概念 在实际问题中，变量之间的常见关系有两类： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S 与其边长x 之间的函数关系2 x S =（确定关系）； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系） 相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 2．求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？ 引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下： 设所求的直线方程为ˆy bx a =+，其中a 、b 是待定系数。 则ˆ(1,2,,)i i y bx a i n =+=⋅⋅⋅⋅，于是得到各个偏差。 ˆˆ(),(1,2,...)i i i y y y bx a i n -=-+= 显见，偏差ˆˆi y y -的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代 回归分析一 班级_______________姓名_________________ 一． 问题情景 问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 问题2：相关关系与函数关系有怎样的不同？ 问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？ 引例：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下数据，试估计当x=9s 时的 二． 学生活动 1. 作出散点图，由散点图可看出，样本点呈_________________趋势。 三． 数学建构 1．设ε++=bx a y ，称为_____________________，其中，bx a +称__________________,ε 称为__________________________。 2.产生随机误差的原因有 （1）______________________________________ （2）_______________________________________ （3）_________________________________________ 3.在回归直线方程x b a y ˆˆˆ+=中，a ˆ称为_____________，其统计意义为_________________;b ˆ称为___________，其统计意义为_________________。y ˆ称为______ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==x b y a x x y y x x b n i i n i i i ˆˆ)())((ˆ121 （1）或⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ -=--=∑∑==x b y a x n x y x n y x b n i i n i i i ˆˆ)(ˆ1 221 （2） 1．下列变量之间是线性相关关系的是________． ①人的身高与视力； ②角的大小与所对的圆弧长； ③收入水平与纳税水平； ④某地人的出生率与树林覆盖率． 解析：②为确定性关系，①④不具有线性相关关系． 答案：③ 2．散点图在回归分析过程中的作用是________． ①查找个体个数； ②比较个体数据大小关系； ③探究个体分类； ④粗略判断变量是否线性相关． 解析：散点图在回归分析中，能粗略判断变量间的相关关系． 答案：④ 3．已知x ，y 之间的一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 y 2.25 2.37 2.40 2.55 y 与x 之间的线性回归方程y ＝a ＋b x 必过定点________． 解析：由已知可知线性回归方程一定过定点(x ，y )，因此求出x ＝1.1675，y ＝2.3925，故填(1.1675,2.3925)． 答案：(1.1675,2.3925) 4．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________个单位． 解析：线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中a ^，b ^的意义是：以a ^ 为基数，x 每增加1个单位，y 相应 地平均增加b ^ 个单位． 答案：减少2.5 一、填空题 1．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；③回归方程得到的预报值，是预报变量的精确值．其中正确的是________． 解析：回归方程反映的是两个线性相关变量间的相关关系，它能预测变量的值，但不是精确值． 答案：② 2．关于相关系数r 的临界值r 0.05的说法：①临界值r 0.05是一个定值；②若|r |≤r 0.05，则否定假设H 0，表明有95%的把握认为x ，y 具有较强的线性相关关系；③若|r |＞r 0.05，则没有理由拒绝假设H 0，即没有充分的理由认为y 与x 之间有线性相关关系；④临界值r 0.05不是一个定值，它的值可由检验水平0.05及n －2在附表中查到．其中正确的序号为________． 解析：②中应改为“|r |＞r 0.05”；③中应改为“|r |≤r 0.05”才正确；①、④矛盾，其中④ 新高考数学复习考点知识专题讲解与练习 专题67 线性回归分析与统计案例 一、单项选择题 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m ， 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关性( ) A ．甲 B ．乙C ．丙 D ．丁 2．某工厂某产品产量x(千件)与单位成本y(元)满足回归直线方程y ^ ＝77.36－1.82x ，则以下说法中正确的是( ) A ．当产量为1千件时，单位成本为75.54元 B ．当产量为2千件时，单位成本为73.72元 C ．产量每增加1 000件，单位成本约下降1.82元 D ．产量每减少1 000件，单位成本约下降1.82元 3．(2021·郑州质 检)某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^.若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为( ) A ．9.2 B ．9.5C ．9.8 D ．10 4．(2021·济宁邹城市模 拟)2020年初，新型冠状病毒(COVID －19)引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构 采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后， 每周治愈的患者人数如下表所示： 可得y关于x的二次回归方程为y ^ ＝6x2＋a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为( ) A．5 B．4C．1 D．0 5．(2021·长春质 检)某学校为了采取治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表： 则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为( ) A．0.1% B．0.5%C．99.5% D．99.9% 附：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） ，其中n＝a＋b＋c＋d. 6．(2021·衡水中学模 拟)某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机 动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点，得到广大用户的青睐，该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示． 根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为y ^ ＝6.5x＋t，则可以预测2022年该型号无人机的销量大约为( ) A．50万件B．54.5万件C．55万件D．58万件 1.2 回归分析 1．线性回归模型 (1)线性回归模型y ＝a ＋bx ＋ε，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差． (2)随机误差产生的原因主要有以下几种： ①所用的确定性函数不恰当引起误差； ②忽略了某种因素的影响； ③存在观测误差． (3)在线性回归方程y ^＝a ^＋b ^ x 中 b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x －y i －y －∑i ＝1 n x i －x － 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x －y － ∑i ＝1 n x 2 i －n x －2 ， a ^ ＝y －－b ^x －(其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1 n ∑i ＝1 n y i )． 其中，a ^，b ^分别为a ，b 的估计值，a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^ 称为回归值． 2．相关系数 (1)计算两个随机变量间线性相关系数的公式 ∑i ＝1 n x i －x －2 ∑i ＝1 n y i －y － 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x －y － ∑i ＝1n x 2 i －n x －2 ∑i ＝1n y 2 i －n y － 2 (2)r 具有如下性质： ①|r|≤1； ②|r |越接近于1，x，y的线性相关程度越强； ③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱． 3．对相关系数进行显著性检验的基本步骤 (1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系； (2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)； (3)计算样本相关系数r； (4)作出统计推断：若|r|>r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系． 我们把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系式y ^ ＝a ^ ＋b ^ x就是回归直线方程．求回归直线方程的一般方法是借助于工作软件求出回归直线方程，也可以利用计算器计算出b ^ ，再由a ^ ＝y － －b ^ x－求出a^，写出回归直线方程y^＝b^x＋a^.计算时应注意： (1)求b ^ 时，利用公式b ^ ＝ ∑ i＝1 n x i y i－n x－y－ ∑ i＝1 n x2i－n x－2 ，先求出x － ＝ 1 n (x1＋x2＋…＋x n)，y － ＝ 1 n (y1＋y2 ＋…＋y n)，∑ i＝1 n x i y i＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n，∑ i＝1 n x2i＝x21＋x22＋…＋x2n.再由a^＝y－－b^x－求出a^的值，并写出回归直线方程． (2)线性回归方程中的截距a ^ 和斜率b ^ 都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致估计结果的偏差． (3)回归直线方程y ^ ＝a ^ ＋b ^ x中的b^表示x增加1个单位时，y^的变化量为b^，而a^表示y^不随x的变化而变化的部分． (4)可以利用回归直线方程y ^ ＝a ^ ＋b ^ x求在x取某一个值时y的估计值． 2019版高考数学一轮复习第十章算法初步第66讲变量间的相关关系与统 计案例学案 考纲要求考情分析命题趋势 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3．了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． 4．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 5．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. xx·全国卷 Ⅰ，19 xx·全国卷 Ⅲ，18 xx·全国卷 Ⅱ，3 xx·福建卷，4 1.散点图与相关关系、线 性回归方程与独立性检验在 实际生活中的应用． 2．有关统计内容及方法 主要以选择题、填空题的形式 呈现，属容易题；抽样方法和 各种统计图表与概率的有关 内容相结合或与统计案例相 结合也会出现在解答题中，属 中档题. 分值：5～12分 1．相关关系与回归方程 (1)相关关系的分类 ①正相关：从散点图上看，点散布在从__左下角__到__右上角__的区域内． ②负相关：从散点图上看，点散布在从__左上角__到__右下角__的区域内． (2)线性相关关系 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫__回归直线__． (3)回归方程 ①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的__距离的平方和__最小的方法叫最小二乘法． ②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^ ，其中⎩⎪ ⎨⎪⎧ b ^ ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^ ＝y －b ^ x ， 其中(x ， y )称为样本点的中心． (4)样本相关系数r ＝ ∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x )2∑i ＝1 n (y i －y ) 2 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的 强弱． ①当r ＞0时，表明两个变量__正相关__； ②当r ＜0时，表明两个变量__负相关__； ③r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性__越强__；r 的绝对值越接近0，表明两个变量的线性相关性__越弱__，通常当||r >0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 2．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{}x 1，x 2和{}y 1，y 2，其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下. K 2 ＝n (ad －bc )2 (a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d ) (其中n ＝__a ＋b ＋c ＋d __为样本容量)，则利用独立性检验判断表 来判断“X 与Y 的关系”． 1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)． (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × )高三数学一轮复习学案：第99课时--线性回归方程--回归分析
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