高中生物种群数量增长的几种数学曲线模型例析
2024版高考生物总复习：种群和群落热点专题10种群增长曲线分析课件
2.(2022年山东潍坊三模)鄱阳湖自然保护区主要由大湖池、沙湖、朱市湖、 象湖和常湖池等湖泊(保护区管理局自2000年获得了以上湖泊的使用权和 管理权)组成，是重要的白鹤越冬栖息地。白鹤白天主要在碟形湖(封闭 浅碟形洼地)浅水处觅食﹑集群停歇，夜栖于碟形湖辽阔的浅水之中。如 图是1983—2011年连续监测到的白鹤种群数量变化曲线图。
3.封闭环境中的种群数量变化模型 在封闭环境中，无外源物质和能量的补充，种群数量达到最大值后随资 源的消耗和有害物质的积累，最终种群数量减少甚至消亡。如恒定体积 培养液中酵母菌的增长曲线如图所示。
【典例】图1表示将大量的鸭子引入农田后蝗虫种群数量与鸭种群数量 之间的关系；图2表示农田中甲、乙两种生物当年的种群数量(Nt)和一年 后的种群数量(Nt+1)之间的关系，虚线p表示(Nt+1)＝(Nt)。下列分析错误 的是( ) A.图1、图2均建构的是有关种群数量 的数学模型
解题指导 已知虚线p表示一年后的种群数量与当年相等，没有改变；甲、乙两条 曲线的A、F点与虚线p相交，说明种群数量相对稳定，没有发生改变， 在虚线p以上表示种群增长了，以下表示减少。
[高考试练] 1.研究人员对某地区的一个种群进行了多年的跟踪调查，结果如下图所 示(δ＝前一年种群数量/当年种群数量)。下列相关叙述正确的是( ) A.t1时种群个体数量达到最大 B.t1时该种群的出生率和死亡率皆为零 C.该种群数量先减少，从t2时开始表现 为指数增长
热点专题10 种群增长曲线分析
1.种群数量“J”形增长的数学模型：Nt＝N0λt，λ代表当年种群数量是前一 年种群数量的倍数，不是增长率(增长率＝λ－1)
(1)a段：λ>1且恒定，种群数量呈“J”形增长。 (2)c段：λ＝1，种群数量相对稳定且达到最大值。 (3)d段和e段：λ<1(不包括两端点)，种群数量下降，第25年种群数量最少。
种群增长的三个模型
种群增长的三个模型一、引言种群增长是生态学中的重要研究领域，对于了解生物群体的数量和结构变化、探究物种在自然环境中的适应性和竞争性等具有重要意义。
在研究种群增长过程中，学者们提出了多个模型，以便更好地解释和预测种群数量变化。
本文将介绍三个经典的种群增长模型：指数增长模型、对数增长模型和S形曲线增长模型，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、指数增长模型的概述指数增长模型作为一种基础的种群增长模型，其基本假设在于环境资源充足、个体间无竞争、出生率和死亡率保持恒定。
在这种理想条件下，一个物种的数量会以指数级速度增长。
然而，在现实的自然环境中，这种理想条件往往难以实现。
因此，指数增长模型在实际应用中，更多地被用于描述短期内资源丰富、无竞争压力下物种数量变化的情况，如某些繁殖周期短、繁殖率高的昆虫。
二、对数增长模型的提出对数增长模型是对指数增长模型的一种修正和拓展。
它考虑到了资源有限和种群间的竞争因素。
在對数增长模型中，种群数量的增长速率随着数量的增加而逐渐减缓，最终趋于稳定。
相较于指数增长模型，对数增长模型在描述实际种群数量变化时更为准确。
例如，在资源有限且个体间存在竞争压力的情况下，种群数量会逐渐达到一个稳定值，这个稳定值被称为种群的容量极限。
三、S形曲线增长模型的综合特点S形曲线增长模型是一种更复杂且更符合实际情况下种群增长规律的模型。
它融合了指数增长模型和对数增长模型的特点，同时考虑了环境因素、竞争压力以及其他影响因素。
S形曲线增长模型最早由人口学家托马斯·马尔萨斯提出，后在生态学领域得到广泛应用。
四、S形曲线增长模型的应用价值S形曲线增长模型描述了一个物种在资源有限且存在竞争时，从指数生长逐渐过渡到饱和状态，并最终趋于稳定的过程。
这种增长模型在描述人类和其他大型哺乳动物种群的数量变化时非常有用。
通过对S 形曲线增长模型的研究，我们可以更好地了解生物种群在自然界中的生长规律，为生态环境保护、资源利用和人口管理等领域提供理论依据。
高中生物种群的增长曲线与K值应用
高中生物种群的增长曲线与K值应用常卿在高中生物教材中，种群增长曲线是一个重要的知识点，并在近年的生物高考试卷中都有所体现。
但笔者在教学中发现，由于受到教材篇幅的限制，这一知识内容一上来起点就很高，学生一下子很难理解。
本文从理解的角度出发，对种群增长曲线进行释疑，同时释义其具体应用。
一、种群增长的S型曲线虽然物种具有巨大的增长潜力，但在自然界中，种群却不能无限制地增长。
因为随着种群数量的增长，环境的制约因素的作用也在增大，环境中制约种群增长的因素称为环境阻力。
它包括同种个体之间对食物和空间的竞争加剧、疾病蔓延、捕食者因捕食对象的增多而增多等，从而导致残废率增长、出生率降低，最终趋向平衡。
因此，在自然环境中，种群的增长曲线是一个“S”型曲线（也称为逻辑斯蒂曲线）。
种群达到环境所能负担的最大值，称为环境的满载量或负载能力，用“K”表示（如图1）。
那么，种群为什么不能无限增长而保持在相对稳定的水平？根据对很多生物种群在有限食物和有限空间条件下数量动态的研究，种群在开始时增长比较缓慢，以后逐渐加快，当种群数量达到环境所允许的最大数量的一半时，增长速度最快，但是种群所需要的资源（食物、空间等）是有限的，随着资源的枯竭，环境阻力将随着种群的增长而成正比例增加，种群增长速度逐渐缓慢下来，直到停止增长，此外，种群内部的相互关系和其他一些环境因素，如气候、食物、空间、营巢地、天敌、疾病、种间竞争等环境阻力都会抑制种群数量无限增长。
当种群增加到“K”值，会因为食物不足、空间有限、天敌增加等因素而使种群数量逐渐降低，降到基准线以下，又会因空间、食物的充裕而数量上升，所以，种群的数量会在一定范围内（基准线上下）波动，保持在一个相对恒定的水平上（如图2）。
二、K值的应用种数数量在达到K/2时（如图3中的A点），种群数量几乎呈直线上升，这一时期称指数生长期，A点是影响种群数量的关键点。
该值可直接用于解释文中有关“种群数量变化的意义”中的几个实例问题。
高中生物必修三第四章第二节—种群数量的变化(含答案解析)..
第2节种群数量的变化知识点一构建种群增长模型的方法1.数学模型概念,数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式，是为了某种目的用字母、数字及其他数学符号建立起来的方程式以及图表、图像等数学表达式。
2.意义,数学模型是联系实际问题与数学规律的桥梁，具有解释、判断、预测等重要作用。
知识点二种群数量的增长,1.种群的“J”型增长(1)“J”型曲线：自然界确有类似细菌在理想条件下种群数量增长的形式，如果以时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线则大致呈“J”型。
(2)“J”型增长的原因：食物充足、没有天敌、气候适宜等，这一理想条件只有在实验室或某物种最初进入一条件非常适宜的环境时才会出现。
(3)“J”型增长的数学模型,模型假设：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。
增长速率不随种群密度的变化而变化。
,建立模型：,一年后该种群的数量应为：N1＝N0λ,两年后该种群的数量应为：N2＝N1×λ＝N0λ2,t年后该种群的数量应为：N t＝N0λt,N0：该种群的起始数量；t：时间；N t：t年后种群数量；λ：增长的倍数。
注：当时，种群数量上升；当λ＝1时，种群数量不变；当时，种群数量下降。
2.种群增长的“S”型曲线,(1)“S”型曲线出现的原因,自然资源是有限的，当种群密度增大时，使生存斗争加剧，种群的增长速率下降。
(2)实例：高斯的实验。
(3)“S”型曲线：种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定的增长曲线，呈“S”型。
①K值：在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量称为环境容纳量。
a.不同物种在同一环境中K值不同。
b.当环境改变时生物的K值改变。
②K/2值：K值的一半，是种群数量增长最快点。
③增长速率：可以看出种群的增长速率在K/2时最大，K/2之前不断增加，在K/2之后逐渐减小，当达到K值时增长速率为0。
种群数量变化曲线
种群数量变化曲线
1．种群数量增长的“J”型曲线和“s”型曲线自然种群的增长一般遵循“s”型曲线变化规律；当种群迁入一个新环境后，常常在一定时间内出现“J”型增长。
两种增长方式的不同，主要在于有无环境阻力对种群数量增长的影响。
如生存空间、食物、被捕食、传染病等环境阻力的增加，使种群死亡率上升，出生率下降，两种增长曲线比较如图
2．种群“S”型增长曲线分析
(1)潜伏期(对环境的适应期)：个体数量很少，增长速率很慢。
(2)快速增长期(对数期)：个体数量快速增加，K／2时，增长率达到最高。
(3)稳定期(饱和期)：随着种群密度增加，个体因食物、空间和其他生活条件的斗争而加剧，同时天敌数量也增长。
种群实际增长率下降。
当数量达到环境条件允许的最大值(K)时，种群停止生长。
种群增长率为零，即出生率：死亡率，但种群数量达到最大。
到达K值后，仍是呈锯齿状波动。
应用：生产上的捕获期就确定在种群数量为K／2时最好。
但杀虫效果最好的时期在潜伏期。
3．种群数量变化曲线与种群增长率曲线的关系
(1)图乙的0f段相当于图甲的ac段。
(2)图乙的f点相当于图甲的c点。
(3)图乙的fg段相当于图甲的cd段。
(4)图乙的g点相当于图甲的de段。
高中生物典型数学模型举例
9500
180
8
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170
(A)在该调查时间内物种x种群增长曲线大致呈“J”型 (B)若在第9年间，大量捕杀x种群个体，则第10年鼠种群数量增加 (c)鼠和X种群为竞争关系 (D)鼠和x种群为互利共生关系
小结：模型构建基础知识“地图”
概念模型 数学模型
必修一第14页：概念
必修三第65页：概念 必修三第66页：种群增长的模型
4
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x种群数量(只)
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数学模型的转化
时间（年) 鼠种群数量(只) x种群数量 (只)
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A、在该调查时间内物种x种群增长曲线大致呈“J”型 B、若在第9年间，大量捕杀x种群个体，则第10年鼠种群数量增加 C、鼠和X种群为竞争关系 D、鼠和x种群为互利共生关系
时间（年) 鼠种群数量 (只)
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染 色分 体为
非 同 源 组成 染 色 体
同
源
染 色 体
联会 形成
染 色 据此 体 分为 组 四 分 包含 体 四条
多倍体 二倍体
单倍体 染 色 单 体
（二）数学模型
一.构建种群数量增长的数学模型
一．构建种群数量增长的数学模型1.种群数量增长的“J”型曲线（1）产生条件：食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等理想条件下。
（2）增长特点：种群数量每年以一定的倍数增大。
第二年是第一年的λ倍。
（3）量的计算：t年后种群的数量为：N t= N0λt（其中N0为起始数量，t为时间，N t表示t年后该种群的数量，λ为年均增长率）（4）“J”型曲线2. 种群数量增长的“S”型曲线（1）产生条件：有限的环境中，种群密度上升，种内个体间的竞争加剧，捕食者数量增加（2）增长特点：种群内个体数量达到环境条件所允许的最大值（K值——环境容纳量）时，种群个体数量将不再增加，保持在K值水平；（3）种群增长率：种群数量达到K值时，种群—增长停止种群数量在 K/2值时，种群—增长最快种群数量小于 K/2值时，种群—增长逐渐增长种群数量大于K/2值时，种群—增长逐渐减慢（4）“S”型曲线3. “J”型曲线和“S”型曲线的比较二、影响种群数量变化的因素：（一）内因1、起始种群个体数量。
2、导致种群数量增加的因素：出生率和迁入率。
3、导致种群数量减少的因素：死亡率和迁出率。
（二）外因1、自然因素：气候、食物、天敌、传染病等。
2、人为因素：种植业、养殖业发展，砍伐森林，猎捕动物、环境污染等。
三.研究种群数量变化的意义（1）有利于野生生物资源的合理利用及保护。
（2）为人工养殖及种植业中合理控制种群数量、适时捕捞、采伐等提供理论指导。
（3）通过研究种群数量变动规律，为害虫的预测及防治提供科学依据。
（4）有利于对濒危动物种群的拯救和恢复。
【高中生物】种群数量变化曲线辨析
【高中生物】种群数量变化曲线辨析1种群数量变化的两种曲线模型建立项目j型快速增长曲线s型增长曲线条件在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等理想状态资源和空间非常有限的实际状态模型假设在理想状态下，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍。
①存有一个环境条件所容许的种群数量的最小环境容纳量k值非常有限，种群数量达至k时,种群将不再快速增长。
②环境条件对种群快速增长的迟滞促进作用,随着种群密度的减少而逐渐地按比例地减少。
模型创建【马尔萨斯模型：指数式增长】t年后种群数量为：nt＝n0λt【罗捷斯蒂克模型：k为环境的容纳量】其分成五个时期：潜伏期──个体太少，快速增长快；快速期──个体减少，快速增长慢；转折期──个体数达至k/2，增长速度最快；减速期──个体数少于k/2，增长速度减缓；饱和状态期──种群个体达至k值饱和状态。
2种群增长率与增长速率种群增长率就是指单位时间种群快速增长数量，种群增长率＝出生率d死亡率＝（长大数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。
从个体的角度通常认知为每员增长率，即为看看种群中每个个体的快速增长情况：“j”型快速增长曲线，种群生活在无穷环境下，每员增长率与种群密度毫无关系，因而维持维持不变；“s”型快速增长曲线，种群生活在非常有限环境下，随着种群密度的下降，个体间对非常有限空间、食物和其他生活条件的种内斗争必将激化，以该种群杂食的捕食者的数量也可以减少，这就可以并使种群的出生率减少，死亡率升高，从而并使种群数量的增长率上升。
种群中每减少一个个体利用了1/k的空间,若种群中存有n个个体，就利用了n/k的空间，而供种群稳步快速增长的空间就只有(1-n/k)了。
运用音速的思维，如果种群数量n吻合0，那么1－n/k就吻合1，种群快速增长就吻合指数快速增长；如果n吻合k，那么1－n/k就吻合0，这意味著种群快速增长的空间极小甚至没。
也就是n越大，快速增长阻力就越大，种群增长率就越大。
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种群数量增长的几种数学曲线模型例析
吉林省梨树县第一高级中学姜万录
种群生态学
研究的核心是种
群的动态问题。
种
群增长是种群动
态的主要表现形
式之一，它是在不
同环境条件下，种
群数量随着时间
的变化而增长的
状态。
数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。
为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。
1．种群数量增长曲线模型
种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。
也就是说，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J”型增长曲线。
然而自然种群不可能长期地呈指数增长。
当种群在一个有限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。
种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。
两种类型种群增长模型如右图所示。
例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D )
A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型
B．改善空间和资源有望使K值提高
C．阴影部分表示有环境阻力存在
D．种群数量达到K值时，种群增长最快
解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲
线呈“S”型增长。
在种群生态学中，环境容纳
量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下，
一定空间中所能维持的种群最大数量。
环境容
纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素
发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。
因此，改善空间和资源有望使K值提高。
图像中阴
影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。
种群数量在k/2时增长速率最大。
2．种群λ值变化曲线模型
在种群指数式增长过程中，λ值表示相邻两年（生物的两代）种群数量的倍数。
从理论上讲，λ有以下四种情况：λ＞1 种群上升；λ=1 种群稳定；0＜λ＜1 种群下降；λ=0 种群无繁殖现象，且在一代中灭亡。
例2．某岛屿引入外来物种野兔，研究人员调查了30年间野兔种群数量的变化，并据此绘制了值变化曲线（右图）。
以下叙述正确的是（D）
A．第1年至第5年间野兔种群数量保持相对稳定
B．第5年起野兔种群数量开始下降
C．第15年至第20年间野兔种群数量呈“J”型增长
D．第20年至第30年间野兔种群数量增长率为0
解析：由图示可知，λ值为当年种群数量与上一年种群数量的比值，种群增长率=λ—1，第1年至第5年间，λ大于1野兔种群数量逐年递增，从第5年起，λ值减少但大于0，增长率下降，野兔种群数量增加幅度减少，但不会下降。
第15年至第20年间野兔种群数量随种群增长率先增加后减小，呈现“S”型增长。
第20年至第30年间，λ值为1野兔种群数量增长率为0。
3．种群增长率和增长速率变化模型
种群增长率是指单位时间种群增长数量，种群增长率＝出生率—死亡率＝（出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。
种群在“J”型曲线中，增长率保持不变（如图A）；而种群在“S”型曲线中，每年的增长率由最初的最大值，在环境阻力（空间压力、食物不足等）的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，增长率越来越小，种群数量到达最大值（K值）时，其增长率为0（如图C）；
种群增长速率是指单位时间内种群数量变化率，增长速率
＝（出生数－死亡数）/单位时间。
通常按照瞬时增长率来理
解，也就是曲线上通过每一点的切线斜率。
不论是“J”型曲
线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。
“J”型增长曲线
的斜率逐渐增大，直至无穷，所以其增长速率也就不断增大（如图B）；而种群在“S”型曲线中，增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线，即在种群“S”型曲线中，开始时斜率为0，过后不断增大至K/2时达最大值，之后增长变慢，增长速率是逐渐减小至K时为0（如图D）。
例3．图示某种小型淡水鱼迁入新的湖泊后种群增长速率随时间变化的曲线，根据该曲线可以得出（ D ）
A．t3时该种小型淡水鱼的年龄组成为衰退型
B．t4时该种小型淡水鱼在新环境中逐渐消失
C．该种小型淡水鱼在新的环境中呈J型增长
D．该种鱼在新湖泊中的环境容纳量约为t2时该鱼数量的两倍
解析：此曲线的纵坐标为“种群增长率”，其种群为S型增长，t2时刻对应的种群数量为K/2，故C错误，D正确。
t3时刻年龄组成应为增长型，A错误；t4时刻种群数量达到K 值，并非在新环境中逐渐消失。
4．种群出生率和死亡率变化曲线模型
出生率指在单位时间内新产生的个体数目占该种群个体总数的比率；死亡率则是在单位时间内死亡的个体数目占该种群个体总数的比率。
自然状态下，出生率与死亡率决定种群密度的变化。
在单位时间内，出生率与死亡率之差为增长率，因此，可以说种群数量大小是由增长率来调整的。
当出生率超过死亡率，即增长率为正时，种群的数量增加；如果死亡率超过出生率，增长率为负时，则种群数量减少；而当生长率和死亡率相平衡，增长率接近于零时，种群数量将保持相对稳定状态。
A
例4．下图是某种群出生率和死亡率随时间变化的曲线，据此分析不正确的是（ C ）A．该种群数量增长曲线为“S型”
B．在t0～t2时该种群增长率先增加后减少
C．在t0～t2时该种群数量先增加后减少
D．在t2时该种群数量达到K值
解析：由曲线变化可知，在t0～t2时间内出生率大于死亡率，且在t1时两者相差最大，说明种群其增长速率先增加后减少，种群数量不断增加，达到t2时两曲线相交，说明出生率等于死亡率，种群数量达到最大（K值）。
因此，该种群数量增长曲线为“S型”。
2010-08-04 人教网。