北京清华附中初三上学期开学考试数学试题
北京市清华附中朝阳学校九年级数学上学期第一次段考试
北京市清华附中朝阳学校2015届九年级数学上学期第一次段考试题一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2=2x的解是( )A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=，x2=0 D．x=02．正方形绕其对角线的交点旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为( ) A．45° B．90° C．180°D．360°3．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为( )A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．34．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是( )A．a＜0B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．当x=﹣时，y的最小值是5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠06．二次函数y=﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A．y=﹣2x2﹣1 B．y=2x2+1 C．y=2x2D．y=2x2﹣17．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )A．（2，10） B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为__________．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=__________．11．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．12．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标是__________，点B1的坐标是__________；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点S成中心对称．三、解答题（共7小题，13题每小题16分，14－19题每小题16分，满分52分）13．（16分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣25=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣x﹣1=0；（4）x2+2x﹣3=0（配方法）．14．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．15．已知抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？17．设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y 轴对称．（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．18．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：BE=AF+CE．19．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．四、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）20．已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．①求m的值；②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．2014-2015学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2=2x的解是( )A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=，x2=0 D．x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．正方形绕其对角线的交点旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为( ) A．45° B．90° C．180°D．360°【考点】旋转对称图形．【分析】根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答．【解答】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°，∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合，因此，这个角度至少是90°．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为( )A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求解．【解答】解：设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．要求熟练运用此公式解题．4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是( )A．a＜0B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．当x=﹣时，y的最小值是【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【分析】根据抛物线开口方向可对A进行判断；根据当抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x的增大而减小的性质可对B进行判断；观察函数图象得到当x=1时，y＜0，则可对C进行判断；先根据对称轴方程得到a=b，再由抛物线开口向上，函数有最小值=，然后约分后即可对D进行判断．【解答】解：A、抛物线开口向上，则a＞0，所以A选项错误；B、抛物线开口向上，对称轴为直线x=，则x＜﹣时，y随x的增大而减小，所以B 选项错误；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以C选项错误；D、对称轴为直线x=﹣=，则a=b，因为抛物线开口向上，所以函数有最小值==，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，函数有最小值；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．6．二次函数y=﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A．y=﹣2x2﹣1 B．y=2x2+1 C．y=2x2D．y=2x2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据原抛物线的顶点坐标求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴绕坐标原点O旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），又∵旋转后抛物线的开口方向上，∴旋转后的抛物线的解析式为y=2x2﹣1．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．7．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )A．（2，10） B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】分类讨论．【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．【解答】解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位/秒，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．【点评】本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x），∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，故答案为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．10．如图，△A BC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=3．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，∴PP′==3，故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．11．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．12．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标是（10，8），点B1的坐标是（8，5）；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点S成中心对称．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）作出图形，根据所作图形即可写出坐标；（2）根据对称的性质即可作出图形．【解答】解：（1）如图；A1（10，8），B1（8，5）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍故答案是：（10，8）和（8，5）．（2）如图．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍【点评】本题以图形的分割与拼接为背景，考查了中心对称的定义和空间观念．动手实践、自主探索是学习数学的重要方式，动手操作题丰富多彩，趣味性强，能有效地考查学生的创造能力和创新思维．这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、推理论证的能力．三、解答题（共7小题，13题每小题16分，14－19题每小题16分，满分52分）13．（16分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣25=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣x﹣1=0；（4）x2+2x﹣3=0（配方法）．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程移项后，利用直接开平方法求出解即可；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2=25，开方得：x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x1=7，x2=﹣3；（2）方程移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，解得：x1=2，x2=3；（3）分解因式得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=2；（4）移项得：x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=4，即（x+1）2=4，开方得：x+1=2或x+1=﹣2，解得：x1=1，x2=﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．14．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．【考点】解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．【专题】计算题；证明题．【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．【解答】证明：（1）∵a=2，b=k，c=﹣1∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，∵无论k取何值，k2≥0，∴k2+8＞0，即△＞0，∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．解：（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0∴k=1∴原方程化为2x2+x﹣1=0，解得：x1=﹣1，x2=，即另一个根为．【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．15．已知抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）直接把点（0，﹣1），（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c，求出b、c的值即可；（2）令y=0，求出x的值即可；（3）利用配方法将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣1；（2）∵令y=0，则x2﹣2x﹣1=0，解得x=1+或x=1﹣，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1+，0），1﹣，0）；（3）y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．17．设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y 轴对称．（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）二次函数y1=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2﹣1，即y2=x2+4x+3；（2）如图，﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；（3）y2＜y3时，﹣2＜x＜0．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．18．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：B E=AF+CE．【考点】旋转的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．【解答】证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，∴△ABF≌△CBG，∴∠5=∠G，∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴∠2+∠4=∠3+∠4，即∠FBC=∠EBG，∵AD∥BC，∴∠5=∠FBC=∠EBG，∴∠EBG=∠G，∴BE=CG+CE=AF+CE．【点评】本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键．19．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为﹣=5米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．四、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）20．已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．①求m的值；②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①根据二次函数x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐标为（2，﹣2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；（2）分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值．【解答】解：（1）①∵二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，∴△=m2﹣4×1×（m+1）=0．整理，得m2﹣3m﹣4=0，解得m1=4，m2=﹣1，又∵点A在x轴的正半轴上，∴m=4，②由①得点A的坐标为（2，0）．∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，∴点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐标为（2，﹣2）．设平移后的图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c（b，c为常数）．∴，解得∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．（2）函数y=x2﹣mx+m+1的图象是顶点为（，﹣+m+1），且开口向上的抛物线．分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为m+1；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时，函数的最小值为﹣+m+1；（ⅲ）当＞2，即m＞4时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为﹣m+5．综上，当m＜0时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为﹣+m+1；当m＞4时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为﹣m+5．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：根的判别式，方程思想，分类思想，正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，综合性较强．21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=（m﹣n）2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2=，由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO=45°，所以A（0，1），即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2﹣（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．。
2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题【含答案】
2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A ．3，4，5B ．2，3，4C ．4，6，7D ．5，11，122、（4分）若关于x 的方程x 2+6x -a =0无实数根，则a 的值可以是下列选项中的()A ．-10B ．-9C ．9D ．103、（4分）一次函数y kx k =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（）A ．6.5B ．8.5C ．13D ．60135、（4分）已知a 为整数，且a ，则a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．46、（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()21x x x x +=+B ．()233x xy x x y +-=-+C ．()226435x x x ++=+-D ．()22211x x x ++=+7、（4分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A ．y 2﹣2y +4＝（y ﹣2）2B ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）C ．a （x +y ）＝ax +ayD ．t 2﹣16+3t ＝（t +4）（t ﹣4）+3t8、（4分）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（）A ．84B ．24C ．24或84D ．42或84二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 为()6,0，点C 是第一象限上一点，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，反比例函数1k y x =的图象经过点C 和AB 的中点D ，反比例函数2k y x =图象经过点B ，则21k k 的值为______．10、（4分）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+PD 的最小值等于______.11、（4分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．12、（4分）若34a b =，则b a b =+_____．13、（4分）二次函数()2215y x =---的最大值是____________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）画出函数y =-2x +1的图象．15、（8分）如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，且BE ∥DF.求证:(1)四边形BFDE 是平行四边形；(2)AE=CF.16、（8分）王达和李力是八(2)班运动素质最好的两位同学，为了选出一名同学参加全校的体育运动大寒，班主任针对学校要测试的五个项目，对两位同学进行相应的测试(成绩：分)，结果如下：姓名力量速度耐力柔韧灵敏王达60751009075李力7090808080根据以上测试结果解答下列问题：（1）补充完成下表：姓名平均成绩(分)中位数(分)众数(分)方差(分2)王达807575190李力（2）任选一个角度分析推选哪位同学参加学校的比赛比较合适?并说明理由；（3）若按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，推选得分同学参加比赛，请通过计算说明应推选哪位同学去参赛。
北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题答案
参考答案：1．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案．【详解】AB=不是最简二次根式，故此选项不合题意；C =D=故选：A ．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．2．D【分析】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，进而得到180B A ∠+∠=︒，即可求出结果.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴180B A ∠+∠=︒，又∵25B ∠=︒，∴155A ∠=︒，故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握AD BC ∥是解题的关键.3．C【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可．【详解】A ==B ．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确；C 4==，正确；D 2==，故不正确；故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．C【分析】先把3-移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【详解】解：∵2430x x --=，∴243x x -=，∴24434x x -+=+，∴2(2)7x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成2()(0)x m n n +=≥的形式，再利用直接开平方法求解，掌握完全平方公式是解题的关键．5．C【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．【详解】解：A 、由于一次函数y =-x +2的k =-1<0，所以y 的值随x 的值增大而减小，故该选项不符合题意；B 、一次函数y =-x +2的k =-1<0，b =2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；C 、将（0,2）代入y =-x +2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y =-x +2上，故该选项符合题意；D 、一次函数y =-x +2的k =-1<0，所以y 的值随x 的值增大而减小，所以当x <2时，y >0，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．6．B【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．【详解】5328978.1532532532⨯+⨯+⨯=++++++分．故选B ．【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．7．A【分析】根据增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)列出方程即可．【详解】解：根据题意，得()2500016600x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．8．C【分析】根据图象分析点P 与直线l 的距离，由此得到答案．【详解】解：由图象得，当01s ≤≤时，点P 与直线l 的距离始终是1，即点P 沿着平行于直线l 的线段运动1个单位长度，四个图均符合；当13s <≤时，点P 与直线l 的距离由1增加到3，且是匀速运动，即点P 距直线l 为3个单位长度，图B 不符合；当34s <≤时，点P 与直线l 的距离始终是3，即点P 沿着平行于直线l 的线段运动1个单位长度，图A ，C ，D 均符合；当45s <≤时，点P 与直线l 的距离由3减小为2，即点P 距直线l 为2个单位长度，图C 符合；故选：C ．【点睛】此题考查了识别函数图象，正确理解理解函数图象并得到相应的信息是解题的关键．9．12/0.5【分析】把2x =代入方程250x bx +-=中得：4250b +-=，然后进行计算即可解答．【详解】解：把2x =代入方程250x bx +-=中得：4250b +-=，解得：12b =，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．10．<【分析】根据一次函数的性质，由20k =>，可得出y 随x 的增大而增大，再结合14<，即可得出1y 与2y 的大小关系．【详解】解：∵20k =>，∴y 随x 的增大而增大，又∵点1(1,)A y ，2(4,)B y 在直线21y x =-上，且14<，∴12y y <，故答案为：<．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．11【分析】根据勾股定理求出OA 的长，即可解决问题．【详解】解：∵点23A （，），∴OA =∵点A 、B 均在以点O 为圆心，OA 长为半径的弧上，∴OB OA ==∵点B 交于x 轴的正半轴，∴点B【点睛】本题考查的是勾股定理以及坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．12．1【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出CD 的长，利用斜边上的中线即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，∴111,22OD BD OC AC ====OD OC ⊥，∴90ODC ∠=︒，∴2CD =，∵点E 边CD 的中点，∴112OE CD ==；故答案为：1．【点睛】本题考查菱形的性质，斜边上的中线．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．13．乙【分析】根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．【详解】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S 2甲＞S 2乙．故答案是：乙．【点睛】考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．12096【分析】（1）观察函数图像可得答案；（2）用待定系数法求出s 与v 的函数关系式，令13s v =可解得v 的值．【详解】解：（1）观察可知，s 与v 的函数图像过点(12050)，，∴该款汽车某次测试的刹车距离为50m ，估计该车的速度约为120km/h ，故答案为：120．（2）观察可知，s 与v 的函数图像是顶点为(00)，，设2s av =，把(12050)，代入得：250120a =，解得：1288a =，∴21288s v =，∵刹车距离的数值恰好是车速数值的13，∴2113288v v =，解得：96v =，∴此时的车速约为96km/h ，故答案为：96．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是能从函数图像中获取有用的信息．15．（1）6+；（2）1215x x ==-，【分析】（1）先去括号，再把二次根式化简为最简二次根式，然后计算加减法；（2）利用因式分解法解方程，求出x 的值即可．【详解】解：（1）原式==6=+-6=+；（2）2450x x --=，()()510x x -+=，50x -=或10x +=解得1215x x ==-，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则，因式分解解方程是解题的关键．16．见解析【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形ABCD 是平行四边形，得出AB CD =，AB CD ∥，由BE DF =，从而可得到AE CF =，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF 是平行四边形，得出结论．【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形AB CD ∴=，AB CD∥BE DF= AE CF∴=AB CD∥ ∴四边形CEAF 是平行四边形AF EC ∴=．17．(1)见解析(2)PD ，菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分每一对对角【分析】（1）根据题意补全图形图形即可；（2）根据菱形的判定方法得到四边形OCPD 为菱形，利用菱形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：补全的图形如图所示；（2）证明：∵OC OD PC PD ===，∴四边形OCPD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∴OP 平分AOB ∠（菱形的对角线平分每一对对角）．故答案为：PD ，菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分每一对对角．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，菱形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．18．(1)点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,2(2)见解析(3)4x <【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A ，B 的坐标；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）观察函数图象，找出当0y >时（即图象在x 轴上方时）x 的取值范围．【详解】（1）解：当0y =时，1202x -+=，解得：4x =，∴点A 的坐标为()4,0，当0x =时，10222=-⨯+=y ，∴点B 的坐标为()0,2；（2）在图中描出点A ，B ，连接AB ，直线AB 即为所求．（3）观察函数图象，可知：当0y >时，x 的取值范围为4x <．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A ，B 的坐标；（2）描点、连线，画出直线AB ；（3）观察函数图象，找出结论．19．(1)ACD 为直角三角形，见解析；(2)212．【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状；（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.【详解】（1）解：ACD 为直角三角形．理由如下：由题意，2223+318==AC ，2222+28CD ==，2221+526AD ==，∴222+AC CD AD =，∴=90ACD ∠︒，ACD 为直角三角形．（2）解：在Rt ABD △中，3AB AC ==，90ABD Ð=°，∴Rt 2129ABC S AB BC ⋅== ，在Rt ACD △中，32AC =22CD ==90ACD ∠︒，∴Rt 162ACD S AC CD =⋅= ，∴ΔΔ212ABC ACD ABCD S S S =+=四边形.【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键.20．(1)()2312y x =-+(2)()2,0-(3)当2x <-时，y 随x 的增大而增大【分析】（1）由对称轴可求得h 的值，再把()1,3-代入可求得a 的值，可求得抛物线解析式；（2）由顶点式可求得抛物线的顶点坐标；（3）由a 的值及二次函数的增减性，即可求得答案．【详解】（1）解： 抛物线()2y a x h =+的对称轴是直线2x =-，2h ∴-=-，解得2h =，∴抛物线解析式为()22y a x =+，过()1,3-，()2312a +=-∴解得13a =-，∴抛物线的解析式()2312y x =-+．（2）解：由题意得顶点为()2,0-．（3）解：103a =-< ，∴当2x <-时，y 随x 的增大而增大．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握解法及性质是解题的关键．21．(1)有两个实数根(2)1k <【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：()()()()222224242148442141b ac k k k k k k k =-=---=-+=-+=- ，∵无论k 取何值时，()2410k =-≥ ，∴原方程有两个实数根；（2）解：∵22(1)2±-=k k x ，12+2(1)=212k k x k -=-；22-2(1)=12k k x -=，∵该方程有一个根小于1，∴211k -<，∴1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．22．(1)见解析(2)OE =【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，12AD BE =，易证得四边形ACED 是平行四边形，又由AC BC ⊥，即可证得四边形ACED 是矩形；（2）根据矩形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∵CE BC =，∴=AD CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∵AC BC ⊥，∴90ACE ∠=︒，∴四边形ACED 是矩形．（2）解：∵对角线AC BD ，交于点O ，∴点O 是BD 的中点，∵四边形ACED 是矩形，∴90BED ∠=︒，∴12OE BD =，∵32BC DE ==，，∴6BE =，222262210BD DE BE =+=+=，∴112101022OE BD ==⨯．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质．注意矩形的判定和性质是关键．23．(1)72.5(2)12p p <，理由见解析(3)该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人【分析】（1）根据频数直方图可得，各组数据分别为3，12，13，11，1，进而根据中位数的定义即可求解；（2）根据中位数的意义，可得120p <，220p >，即可求解；（3）根据样本估计总体，用2000乘以分数高于80分的占比即可求解．【详解】（1）根据频数直方图可得，各组数据分别为3，12，13，11，1，则中位数在7080x ≤<这组的第5个数，和第6个数的平均数，∵七年级成绩在7080x ≤<这一组的是：70 71 71 72 72 73 74 75 76 77 78 79 79∴中位数727372.52m +==；（2）∵七年级的中位数为72.5，低于平均分，则120p <，八年级的中位数为74.5，高于平均分，则220p >，∴12p p <（3）该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为1112006040+⨯=（人）答：该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人．【点睛】本题考查了频数直方图，求中位数，以及中位数的意义，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．24．(1)2y x =-+(2)1m ≥【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）先求出2y x =+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值的x 的范围，再根据数形结合思想求解．【详解】（1）解： 函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()()1,52,2，-，则由题意得552k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩，∴该函数的表达式为：2y x =-+；（2）解：由题意得24x x +>-+，解得，∴1m ≥．【点睛】本题考查了待定系数法，掌握数形结合思想是解题的关键．25．(1)作图见解析(2)ANE 是等腰直角三角形，证明见解析(3)AN NC +=，证明见解析【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）证明()SAS EDN ADN ≌ ，45AEC ∠=︒，可得结论；（3）过点B 作BF BN ⊥交PC 延长线于点F ，由FBC ABN BC AB FCB BAN ∠=∠=∠=∠，，，推导出FCB NAB ≌△△，进而得到FBN 是等腰直角三角形，FN =，FC NC +=，等量代换即可得证．【详解】（1）解：如图所示：∴即为补全的图形；（2）解：ANE 是等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC DA =，∵DC DE =，∴DE DA =，∵DN 平分ADE ∠，∴EDN ADN ∠=∠，在EDN △和ADN △中，DE DA EDN ADN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EDN ADN ≌ ，∴AN EN =，设ADE x ∠=，则90CDE x ∠=︒+，∵DA DE DC ==，∴()111809022DEA DAE x x ∠=∠=︒-=︒-；()11180904522DEC ECD x x ∠=∠=︒-︒-=︒-；∴1190454522AEC DEA DEC x x ⎛⎫∠=∠-∠=︒--︒-=︒ ⎪⎝⎭，∵AN EN =，∴45AEN EAN ∠=∠=︒，∴90ANE ∠=︒，∴ANE 是等腰直角三角形；（3）解：AN NC +，证明如下：过点B 作BF BN ⊥交PC 延长线于点F ，如图所示：∴FBC ABN ∠=∠，∵90CBA CNA ∠=∠=︒，∴180BCN BAN ∠+∠=︒，∵180FCB BCN ∠+∠=︒，∴FCB BAN ∠=∠，又∵AB BC =，∴()ASA FCB NAB ≌ ，∴FC AN FB BN ==，，∴FBN 是等腰直角三角形，∴FN ，∴FC NC +=，即AN NC +=．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．26．（1）①（1，0）；②302m ≤≤；（2）3-02n ≤≤或1≤n≤3.【分析】（1）①根据点A ，O 的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；②依照题意画出图形，观察图形可知点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A ，C ，D 的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m 的取值范围；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标为（n，2n），依照题意画出图形，观察图形可知：点B和四边形CDEF的中间点只能在边EF和DE上，当点B和四边形CDEF 的中间点在边EF上时，利用四边形CDEF的纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，由四边形CDEF的横、纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．综上，此题得解．【详解】（1）①∵点A的坐标为（2，0），∴点A和原点的中间点的坐标为（202+，002+），即（1，0）．故答案为（1，0）．②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点．∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（-2，3），点D的坐标为（1，3），∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，），∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤．（2）∵点B的横坐标为n，∴点B的坐标为（n，2n）．当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有023 020nn-≤⎧⎨-≥⎩，解得：-≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有121 3220nn⨯-≤⎧⎨⨯-≥⎩，解得：1≤n≤3．综上所述：点B的横坐标n的取值范围为-≤n≤0或1≤n≤3．【点睛】本题考查了中点坐标公式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）①利用中点坐标公式求出结论；②通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．。
2024年北京市清华附中数学九上开学复习检测模拟试题【含答案】
2024年北京市清华附中数学九上开学复习检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列计算中正确的是（）A =B 1-=C ．3+=D ．32=2、（4分）高跟鞋的奥秘：当人肚脐以下部分的长m 与身高，的比值越接近0.618时，越给人以一种匀称的美感，如图，某女士身高170cm ，脱去鞋后量得下半身长为102cm ，则建议她穿的高跟鞋高度大约为（）A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm 3、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，0)．点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P 3，第4次向右跳动3个单位至点P 4，第5次又向上跳动1个单位至点P 5，第6次向左跳动4个单位至点P 6，…．照此规律，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是()A ．(﹣26，50)B ．(﹣25，50)C ．(26，50)D ．(25，50)4、（4分）如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点D 在BC 上，且AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．35、（4分）下列说法中，正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的矩形是正方形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6、（4分）已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=1．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D．3或77、（4分）如图．在正方形ABCD 中4AB =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则 PC PE +的最小值是()A ．B ．C ．D ．2+8、（4分）已知一个多边形的每个外角都要是60°，则这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一次函数y ＝kx +3k +5的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为_____10、（4分）中，字母x 的取值范围是__________．11、（4分）如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB 、CD 分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长约为12米，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 约为________米．12、（4分）如图，在ABC 中，260AB BAC =∠=︒，，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上运动，若DE 平分ABC 的周长时，则DE 的长是_______．13、（4分）若一组数据121,1,,1n x x x +++的平均数为17，方差为2，则另一组数据122,2,,2n x x x +++的平均数和方差分别为（）A ．17，2B ．18，2C ．17，3D ．18，3三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为_____，所抽查的学生人数为______．（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形统计图．（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．15、（8分）如图，在ABC ∆中，90B =∠，7AB cm =，9BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．（1）如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ？（2）如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于7cm ？16、（8分）（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论；（2）将图1中的三角形纸片BMN 剪下，如图2，折叠该纸片，猜测MN 与BM 的数量关系，无需证明．17、（10分）如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 的中点，仅用无刻度的直尺按要求画图.(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图①中画出AD 的中点H;(2)在图②中的菱形对角线BD 上，找两个点E 、F ，使BE=DF.18、（10分）如图，一次函数y=34x+6的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与点A 关于y 轴对称.动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 与点A 、C 不重合），且满足∠BPQ=∠BAO ．(1)求点A 、B 的坐标及线段BC 的长度；(2)当点P 在什么位置时，△APQ ≌△CBP,说明理由；(3)当△PQB 为等腰三角形时，求点P 的坐标.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）2-1=_____________20、（4分）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.若5AB =，8BD =，则线段EF 的长为______．21、（4分）已知一元二次方程29180x x -+=的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为__________．22、（4分）如图，菱形ABCD 的周长为20，对角线AC 与BC 相交于点O ，AC=8，则BD=________.23、（4分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，E 为AB 上一点，分别以 ED ，EC 为折痕将两个角（A ∠，B Ð）向内折起，点A ，B 恰好都落在CD 边的点F 处．若3AD =，5BC =，则EF =________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某人购进一批琼中绿橙到市场上零售，已知卖出的绿橙数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表：数量x(千克)12345…售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…(1)写出售价y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为多少元？25、（10分）如图，(1,0)A -，(1,4)C ，点B 在x 轴上，且3AB =.(1)求点B 的坐标，并画出ABC ∆;(2)求ABC ∆的面积;(3)在y 轴上是否存在点P ，使以,,A B P 三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接写出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.26、（12分）解不等式组：2931213x x x +≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】分析：根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一计算即可．详解：A、B、C、3D32，故本选项正确．故选：D．点睛：本题考查的是二次根式的加减法，在进行二次根式的加减运算时要把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．2、C【解析】先设出穿的高跟鞋的高度，再根据黄金分割的定义列出算式，求出x的值即可．【详解】解：设需要穿的高跟鞋是x（cm），根据黄金分割的定义得：1020.618170xx+=+，解得：8x ，∴建议她穿的高跟鞋高度大约为8cm；故选：C.本题主要考查了黄金分割的应用．掌握黄金分割的定义是解题的关键，是一道基础题．3、C【解析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100250÷=，其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到100P 的横坐标．【详解】解：经过观察可得：1P 和2P 的纵坐标均为1，3P 和4P 的纵坐标均为2，5P 和6P 的纵坐标均为3，因此可以推知99P 和100P 的纵坐标均为100250÷=；其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到：n P 的横坐标为41n ÷+（n 是4的倍数）.故点100P 的横坐标为：1004126÷+=，纵坐标为：100250÷=，点P 第100次跳动至点100P 的坐标为()26,50.故选：C ．本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．4、C 【解析】分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，然后根据勾股定理求出AD 的长即可.详解：∵AB=AC=5，AD 平分∠BAC ，BC=6∴BD=CD=3，∠ADB=90°∴AD=故选C.点睛：本题考查了等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．5、C【解析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断.【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误；有一组邻边相等的矩形是正方形，故C正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D错误；故本题答案应为：C.平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义是本题的考点，熟练掌握其判定方法是解题的关键.6、C【解析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=11-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=11-2t=2，解得t=2．所以，当t的值为1或2秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．7、A【解析】根据正方形的性质得到点A和点C关于BD对称，BC=AB=4，由线段的中点得到BE=2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD为正方形C关于BD的对称点为A．连结AE交BD于点P，如图：此时 PC PE +的值最小，即为AE 的长．∵E 为BC 中点，BC=4，∴BE=2，∴AE ===．故选：A.本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．8、B 【解析】根据多边形的边数等于310°除以每一个外角的度数列式计算即可【详解】310°÷10°＝1．故这个多边形是六边形．故选：B ．此题考查多边形内角与外角，难度不大二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、－2【解析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】由已知得：350{0k k +＞＜，解得：-53＜k ＜2．∵k 为整数，∴k=-2．故答案为：-2．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．10、1x 【解析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．【详解】根据题意得：x ﹣1≥0，解得：x ≥1．故答案为x ≥1．a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．11、1【解析】过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，∵∠ABC =150°，∴∠CBE =30°，在Rt △BCE 中，∵BC =12，∠CBE =30°，∴CE =BC =1．故答案是1．点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．【解析】延长CA 至M ，使AM=AB ，连接BM ，作AN ⊥BM 于N ，由DE 平分△ABC 的周长，又CD=DB ，得到ME=EC ，根据中位线的性质可得DE=12BM ，再求出BM 的长即可得到结论．【详解】解：延长CA 至M ，使AM=AB ，连接BM ，作AN ⊥BM 于N ，∵DE 平分△ABC 的周长，CD=DB ，∴ME=EC ，∴DE=12BM ，∵∠BAC=60°，∴∠BAM=120°，∵AM=AB ，AN ⊥BM ，∴∠BAN=60°，BN=MN ，∴∠ABN=30°，∴AN=12AB=1，∴BN=∴∴，．本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，作出辅助线综合运用基本性质进行推理是解题的关键．13、B【解析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．∵数据x1+1，x1+1，，x n+1的平均数为17，∴x1+1，x1+1，，x n+1的平均数为18，∵数据x1+1，x1+1，，x n+1的方差为1，∴数据x1+1，x1+1，，x n+1的方差不变，还是1；故选B．本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x1，，x n的平均数为x，方差为S1，那么另一组数据ax1+b，ax1+b，，ax n+b的平均数为a x+b，方差为a1S1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）45%，60人；（2）18人，条形统计图见解析；（3）众数7，平均数7.2；（4）1170人．【解析】（1）用1减去每天的平均睡眠时间为6小时，8小时，9小时所占的百分比即可求出a的值，用每天的平均睡眠时间为6小时的人数除以其所占的百分比即可得到总人数；（2）用总人数乘以每天的平均睡眠时间为8小时所占的百分比即可求出睡眠时间为8小时的人数，用总人数乘以a的值即可求出睡眠时间为7小时的人数，然后即可补全条形统计图；（3）根据众数和平均数的定义计算即可；（4）先计算出睡眠时间少于8小时的人所占的百分比，然后用总人数1800乘以这个百分比即可得出答案．【详解】a=---=，（1）120%30%5%45%÷=（人）；所抽查的学生人数为1220%60⨯=（人），（2）平均睡眠时间为8小时的人数为6030%18⨯=（人），平均睡眠时间为7小时的人数为6045%27条形统计图如下：（3）由扇形统计图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，所以这部分学生的平均睡眠时间的众数为7，平均数为1262771881937.260⨯+⨯+⨯+⨯=；（4）12271800117060+⨯=（人）本题主要考查条形统计图和扇形统计图，掌握条形统计图和扇形统计图以及众数，平均数的求法是解题的关键．15、（1）出发1秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ；（2）出发0秒或2.8秒后，PQ 的长度等于7cm ．【解析】（1）设x 秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ，根据路程=速度×时间，即可用x 表示出AP 、BQ 和BP 的长，然后根据三角形的面积公式列一元二次方程，并解方程即可；（2）设y 秒后，PQ 的长度等于7cm ，根据路程=速度×时间，即可用y 表示出AP 、BQ 和BP 的长，利用勾股定理列一元二次方程，并解方程即可．【详解】解：（1）设x 秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ，∵点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动∴AP x =，2BQ x=∴7BP x=-则有1(7)262x x -⨯=∴121,6x x ==（此时2×6=12＞BC ，故舍去）答：出发1秒后，PBQ ∆的面积等于62cm （2）设y 秒后，PQ 的长度等于7cm ∵点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动∴AP y =，2BQ y =∴7BP y =-222(7)(2)7y y -+=解得120, 2.8y y ==答：出发0秒或2.8秒后，PQ 的长度等于7cm ．此题考查的是一元二次方程的应用，掌握几何问题中的等量关系和行程问题公式是解决此题的关键．16、（1）30º，见解析．（2）12MN BM =【解析】（1）猜想：∠MBN=30°．如图1中，连接AN ．想办法证明△ABN 是等边三角形即可解决问题；（2）MN=12BM ．折纸方案：如图2中，折叠△BMN ，使得点N 落在BM 上O 处，折痕为MP ，连接OP ．只要证明△MOP ≌△BOP ，即可解决问题.【详解】（1）猜想：∠MBN=30°．证明：如图1中，连接AN ，∵直线EF 是AB 的垂直平分线，∴NA=NB，由折叠可知，BN=AB，∴AB=BN=AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN=60°，∴NBM=∠ABM=12∠ABN=30°．（2）结论：MN=12BM．折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP．理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴MN=OM，∠OMP=∠NMP=12∠OMN=30°=∠B，∠MOP=∠MNP=90°，∴∠BOP=∠MOP=90°，∵OP=OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO=BO=12BM，∴MN=12BM．本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17、见解析【解析】分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC、BD的中点，然后根据三角形的中位线判定与性质，即可画图得到H点；（2）根据①的作图中的H点，连接AP，HC，交BD于E、F点，则BE=DF.详解：图①作法如图所示：图②作法如图所示：点睛：此题主要考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线的判定与性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，灵活利用判定与性质的进行推理是画图的关键.18、A（－4，0），B（0，3），BC=1；（1，0）；（1，0）或（，0）．【解析】试题分析：根据函数解析式和勾股定理求出点A和点B的坐标以及BC的长度；根据全等的性质得出点P的坐标；本题分PQ=PB，BQ=BP乙BQ=PQ三种情况分别进行计算得出点P的坐标．试题解析：（1）点A坐标是（-4，0），点B的坐标（0，3），BC=1．（2）点P在（1，0）时（3）i）当PQ=PB时，△APQ≌△CBP，由（1）知此时点P（1，0）ii）当BQ=BP时，∠BQP=∠BPQ∠BQP是△APQ的外角，∠BQP＞∠BAP，又∠BPQ=∠BAO ∴这种情况不可能iii）当BQ=PQ时，∠QBP=∠QPB又∠BPQ=∠BAO，∴∠QBP=∠BAO，则AP=4+x，BP=∴4+x=，解得x=，此时点P的坐标为：（，0）考点：一次函数的应用一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】根据负指数幂的运算法则即可解答.【详解】原式=2-1=12.本题考查了负指数幂的运算法则，牢记负指数幂的运算法则是解答本题的关键.20、3【解析】由菱形性质得AC⊥BD,BO=118422BD =⨯=,AO=12AC ,由勾股定理得3==,由中位线性质得EF=132A C =.【详解】因为，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，所以，AC ⊥BD,BO=118422BD =⨯=,AO=12AC ,所以，3==,所以，AC=2AO=6,又因为E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.所以，EF=132A C =.故答案为3本题考核知识点：菱形，勾股定理，三角形中位线.解题关键点：根据勾股定理求出线段长度，再根据三角形中位线求出结果.21、2【解析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是3和1，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是1，底是3，然后可以求出三角形的周长．【详解】x 2-9x+18=0（x-3）（x-1）=0解得x 1=3，x 2=1．由三角形的三边关系可得：腰长是1，底边是3，所故周长是：1+1+3=2．故答案为：2．此题考查解一元二次方程-因式分解，解题关键在于用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．22、1【解析】分析:根据菱形的四条边都相等可得AB =5，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分可得AC ⊥BD ，AO=12AC =4，BO =DO ，再利用勾股定理计算出BO 长，进而可得答案．详解:∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =12，AC =4，BO =DO ，AD =AB =DC =BC ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB=5，∴BO =3，∴DO =3，∴DB =1，故答案为：1．点睛:此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．【解析】先根据折叠的性质得EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF ，DC=8，再作DH ⊥BC 于H ，由于AD ∥BC ，∠B=90°，则可判断四边形ABHD 为矩形，所以DH=AB=2EF ，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt △DHC 中，利用勾股定理计算出DH=EF=【详解】解：∵分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处，∴EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF ，DC=DF+CF=8，作DH ⊥BC 于H ，∵AD ∥BC ，∠B=90°，∴四边形ABHD 为矩形，∴DH=AB=2EF ，HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2，在Rt △DHC 中，=∴EF=12.本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)y=2.1x ；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．【解析】（1）根据表中所给信息，判断出y 与x 的数量关系，列出函数关系式即可；（2）把x=50代入函数关系式即可．【详解】(1)设售价为y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式为y=kx+b ，由已知得，2.12 4.2k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k=2.1，b=0；∴y 与x 之间的函数关系式为y=2.1x ；(2)当x=50时，y=2.1×50=1．答：这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，并且可以求在x 一定时的函数值．25、(1)B 点的坐标为(2,0)，(4,0)-，画图见解析；(2)6；(3)P 点的坐标为20(0,)3或20(0,)3-【解析】（1）分点B 在点A 的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点P 到x 轴的距离，然后分两种情况写出点P 的坐标即可．【详解】（1）点B 在点A 的右边时，-1+3=2，点B 在点A 的左边时，-1-3=-4，所以，B 的坐标为（2，0）或（-4，0），如图所示：（2）△ABC 的面积=12×3×4=6；（3）设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h=10，解得h=203，点P 在y 轴正半轴时，P （0，203），点P 在y 轴负半轴时，P （0，-203），综上所述，点P 的坐标为（0，203）或（0，-203）．本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．26、3 4.x -≤<【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：2931213x x x +⎧⎪⎨+>-⎪⎩①② 解不等式①得，x 3≥-解不等式②得，x 4<∴原不等式组的解集是3x 4.-≤<本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．。
北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．D ．．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数为（）．70°B 50°．40°．将抛物线212y x =向左平移个单位长度，得到的抛物线是（21(1)2y x =+通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确()246x -=-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（3k ≤2x +上，那么下列结论正确的是12y y =A ．B ．C ．D ．8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）(0°＜x ≤90°)近似满足函数关系2y ax bx c =++(a ≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18°B ．36°C ．41°D ．58°二、填空题13．如图所示，在14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，三、解答题(3)根据图象回答：当03x ≤<时，y 的取值范围是______．20．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ，DE ，(1)依题意补全图形(2)求证：AEB ADC △≌△；(3)若105ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)(3)0x m x m +-+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若此方程有一个负数根，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC 、BC ．(1)求证：CAO BCD ∠=∠．(2)若3BE =，8CD =，求O 的直径．23．如图，二次函数21y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,3)-，一次函数2y mx n =+的图象过点A 、C ．小高的做法为：①作出ABC 的外接圆，圆心为M ；②作出线段AB 的垂直平分线1l ，1l 与③以O 为圆心，OA 的长为半径画圆，老师说小高的做法是正确的．根据小高设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ，∵M 是ABC 的外接圆，又在M ∵1l 是AB 的垂直平分线∴OA OB =∴点B 也在以O 为圆心，以OA 为半径的圆上，对于O ， AB AB =∴12APB ∠=∠25．排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，度y （单位：m ）与水平距离x （单位：(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离水平距离/m x 0246竖直高度/my 2.482.722.82.72①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度位：m ）近似满足函数关系0.02(y x =--并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）求c 的值（用含a 的式子表示）；（3）若点()1,3M x ，()2,3N x 为抛物线上不重合两点求a 的取值范围．27．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段线段AD ，连接CD ．(1)连接BD ，①如图1，若80α=︒，则BDC ∠的度数为______；②证明：BDC ∠的大小不随α的改变而改变．(2)如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得B ACD ∠=∠90CED ∠=︒，求α的值．28．在平面直角坐标系xOy 中，线段4AB =，点M ，N 在线段为MN 的中点，如果任取一点Q ，将点Q 绕点P 顺时针旋转180︒得到点Q '，则称点Q '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”(1)如图1，已知()1,0A -，()3,0B ，()1,2Q ，如果(),Q a b '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”，①写出一个点Q 的“旋平点”的坐标______；②画出示意图，写出a 的取值范围：(2)如图2，O 的半径为3，点A ，B 在O 上，点()1,0Q ，如果在直线x m =上存在点Q 关于线段AB 的“旋平点”，求m 的取值范围．。
北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题及答案
北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．2a >-B ．a b>C ．0a b +>D ．0b a -<2．如图，将ABC V 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题3．有甲､乙两组数据，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）．4．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e 的卡片写有数字．三、解答题5．计算：021)|1|()2π-----.6．解不等式组：247412x x x x -<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩．7．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1)试说明：此方程总有两个实数根．(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.8．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 的延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ；③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵AB =，CB =，∴PQ l ∥（）（填推理的依据）．9．列分式方程解应用题．150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形0.618≈）10．如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使EF＝DE ，连接CF ．(1)求证：四边形ABFC 是矩形；(2)求DE 的长．11．在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =-+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B (1)求B 点的坐标；(2)若直线l ：20y kx k =-≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围．12．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是：91919294c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.388.542.6乙校区89.3m87.2根据上述信息，解答问题：(1)m ______；(2)对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）；(3)抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．13．如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：x（单位：m）01213225234…y（单位：m）1985411832138742…(1)该喷枪的出水口到地面的距离为m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；(3)结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时，水流的最高点到地面的距离为m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为m（精确到1m）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222y x tx t t =-+-．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；(2)点，在抛物线上，其中112t x t -≤≤+，21x t =-．①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值；②若对于1x ，2x ，都有12y y <，求t 的取值范围．15．已知ADE V 和ABC V 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=︒，P 为AE 的中点(1)如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；(2)将图1中的ADE V 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系16．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC V 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．(1)如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C -，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；(2)如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =--上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；(3)点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．B【分析】由数轴及题意可得32,01a b -<<-<<，依此可排除选项．【详解】解：由数轴及题意可得：32,01a b -<<-<<，∴,0,0a b a b b a >+<->，∴只有B 选项正确，故选B ．【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．2．A【分析】由旋转的性质可得AC CD BC CE AB DE A CDE ===∠=∠，，，，可判断①，由等腰三角形的性质可判断②④，由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故③错误．【详解】解：∵将ABC V 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴AC CD BC CE ==，，故①正确；∴ACD BCE EBC BEC ∠=∠∠=∠，，∴1118018022A ADC ACD BCE ∠=∠=︒-∠=︒-∠（）（），∴A EBC ∠=∠，故②正确；∵将ABC V 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴A CDE ∠=∠，∵AC CD =，∴A ADC ∠=∠，∴ADC CDE ∠=∠，即CD 平分ADE ∠，故④正确；∵A ABC ∠+∠不一定等于90︒，∴ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．3．＞【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得：1112131415135x ++++==甲，1212131414135x ++++==乙，∴()()()()()2222221113121313131413151325s⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==甲，()()()()()22222212131213131314131413455s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==乙，∴425>，∴22s s >乙甲；故答案为＞．【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．4．B4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．5．-2.【详解】【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】原式=1﹣（1）4，=1﹣4，=﹣2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．6．16x -<≤【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集．【详解】247412x x xx -<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②解不等式①得：1x >-，解不等式②得：6x ≤，∴不等式组的解集为：16x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．(1)见解析；(2)m=-1,-3.【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．【详解】解:（1）∵m≠0，∴方程mx 2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵x=()()332m m m--±+，∴x 1=-3m，x 2=1，∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．8．(1)见解析(2)AP ，CQ ，三角形中位线定理【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【详解】（1）解：直线PQ 如图所示；（2）证明：∵AB AP CB CQ ==，，∴PQ l ∥（三角形中位线定理）．故答案为：AP CQ ，，三角形中位线定理．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．边衬的宽度应设置为10厘米【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设边衬的宽度设置为x 厘米，由题意得：8220.61502x x+=+，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．10．(1)见解析(2)4.8【分析】（1）根据垂直的定义得到90DEC FEC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到CF CD =，推出四边形ABFC 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，根据全等三角形的性质得到AH DE =，根据三角形的面积公式得到AB AC AH BC⋅=．于是得到结论．【详解】（1）证明：∵DE BC ⊥，∴90DEC FEC ∠=∠=︒，在DEC 与FEC 中，DE EF DEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS DEC FEC ≅（）△△，∴CF CD DCE FCE =∠=∠，，∵ABC BCD ∠=∠，∴ABC FCE ∠=∠，∴AB CF ，∵AB CD =，∴CF AB =，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵6810AB AC BC ===，，，∴242AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，∴四边形ABFC 是矩形；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，∴90AHB DEC ∠=∠=︒，在ABH 与DCE △中，∵ABH DCE AHB DEC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AAS ABH DCE ≅（）△△，∴AH DE =，∵1122ABC S AB AC AH BC =⋅=⋅△，∴68 4.810AB AC AH BC⋅⨯===．∴ 4.8DE AH ==．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得ABH DCE ≅△△是解题的关键．11．(1)()33，(2)5k ≤-或53k ≥【分析】（1）将点()1A m -，代入2y x =-+，求出m ，得到点A 的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B 的坐标；（2）分别求出直线l ：2y kx =-过点()13A -，、点33B （，）时k 的值，再结合函数图象即可求出b 的取值范围．【详解】（1）解：∵点()1A m -，是直线2y x =-+上一点，∴()123m =--+=．∴点A 的坐标为()13-，．∴点()13-，向右平移4个单位长度得到点B 的坐标为()33，．（2）当直线l ：2y kx =-过点()13A -，时，得32k =--，解得5k =-．当直线l ：2y kx =-过点()33B ，时，得332k =-，解得53k =．如图，若直线l ：()22y kx k =-≠与线段AB 有公共点，则5k ≤-或53k ≥．【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B 的坐标是解题的关键．12．(1)91(2)乙，甲(3)50【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数，中位数，方差判断即可；（3）先求出抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分的人数，然后用样本估计总体即可求解．【详解】（1）解：由乙校区学生成绩的频数分布直方图知：9095x ≤<有4人，95100x ≤<有7人，∴乙校区抽取20名学生的竞赛成绩的中位数在9095x ≤<，又乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是：91，91，92，94，∴中位数为91+91=912m =，故答案为：91；（2）解：∵甲、乙两校区的平均数都是89.3，而甲校区的中位数88.5小于乙校区的中位数91，∴对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校，∵甲校区的方差42.6小于乙校区的方程87.2，∴甲校区的成绩更整齐，故答案为：乙，甲；（3）解：∵抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分，∴两校区不低于95分共有()20+2030%=12⨯人，又抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有7人，∴抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有1275-=人，∴估计甲校区被选中人数有52005020⨯=人．【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．13．(1)1(2)见解析(3)3，13【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；（2）直接描点可得图象；（3）求出y 与x 的关系式，把代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．【详解】（1）解：由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m ，故答案为：1；（2）如图，（3）由（2）得，y 与x 是一次函数关系，设y kx b =+，把()()0142，，，代入得142b k b =⎧⎨+=⎩，解得141k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y 与x 的关系式为114y x =+，当6x =时，53m 2y =≈；设水流轨迹263w a x =-+（），把（0，1）代入得118a =-，∴216318w x =--+（），当0=w 时，636x =±，负值舍去，∴63613(m)x =+≈∴水流的射程为13m ．故答案为：3，13．【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一次函数的应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键．14．(1)(,)t t -(2)①2；②21t <-或32t >．【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；（2）①先确定出当x t =时，1y 的最小值为t ，进而求出t ，再判断出当2x t =+时，1y 取最大值，即可求出答案；②先由12y y <得出2121()(2)0x x x x t -+->，最后分两种情况，利用112t x t -≤≤+，21x t =-，即可求出答案．此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．【详解】（1）解：2222()y x tx t t x t t =-+-=-- ，∴抛物线的顶点坐标为(,)t t -；（2）解：①2222()y x tx t t x t t =-+-=-- ，∴抛物线的对称轴为x t =，10> ，∴抛物线开口向上，112t x t -≤≤+ ，∴当x t =时，1y 的最小值为t -，1y 的最小值是2-，2t ∴=，|1|1t t --= ，|2|2t t +-=，∴当2x t =+时，21(2)4422y t t t t =+--=-=-=最大，即1y 的最大值为2；② 点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在抛物线2()y x t t =--上，211()y x t t ∴=--，222()y x t t =--，对于1x ，2x ，都有12y y <，22222121212121()()()()()(2)0y y x t t x t t x t x t x x x x t ∴-=----+=---=-+->，∴21212121002020x x x x x x t x x t ->-<⎧⎧⎨⎨+->+-<⎩⎩或，Ⅰ、当2121020x x x x t ->⎧⎨+->⎩①②时，由①知，21x x >，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，12t t ∴->+，12t ∴<-，由②知，212x x t +>，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，2103x x ∴≤+≤，20t ∴<，0t ∴<，即21t <-；Ⅱ、当2121020x x x x t -<⎧⎨+-<⎩时，由210x x -<得：21x x <，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，11t t ∴-<-，1t ∴>，由2120x x t +-<知，212x x t +<，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，2103x x ∴≤+≤，23t ∴>，32t ∴>，即32t >；即满足条件的t 的取值范围为21t <-或32t >．15．(1)DP BC⊥(2)①见解析；②BF DF =．证明见解析【分析】（1）根据ADE V 是等腰直角三角形，可得AD ED =，由P 为AE 的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP AE ⊥；进一步证得AE BC ∥，得出DP BC ⊥；（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠-∠=︒，即可证明结论；②延长CP 至G ，使PG DP =，连接AG BG ，，利用SAS 证明APG APD BAG CAD ≌，≌，可得BGC APG ∠=∠，进而可得PF BG ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．【详解】（1）解：∵ADE V 是等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，∴AD ED =，∵P 为AE 的中点，∴DP AE ⊥；又∵ADE V 和ABC V 都是等腰直角三角形，∴45EAD ABC ∠=∠=︒，∴AE BC ∥，∴DP BC ⊥；（2）①补全图形如图2所示；证明：∵ADE V 和ABC V 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=︒，∴45DAE AD ED ∠=︒=，，∵P 为AE 的中点，∴45ADP EDP ∠=∠=︒，∴45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠-∠=︒，∵45CAD ACP ADP ∠+∠=∠=︒，∴BAE ACP ∠=∠；②BF DF =．证明如下：如图3，延长CP 至G ，使PG PD =，连接BG BG ，，∵ADE V 是等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，∴45AD DE DAE =∠=︒，，∵P 为AE 的中点，∴90APD APG AP DP PG ∠=∠=︒==，，∴SAS APG APD ≌（），∴45AG AD PAG DAE AGP =∠=∠=∠=︒，，∴90GAD BAC ∠=∠=︒，∴90BAG BAD CAD BAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAG CAD ∠=∠，∵AG AD AB AC ==，，∴SAS BAG CAD ≌（），∴180135AGB ADC ADP ∠=∠=︒-∠=︒，∴90BGC AGB AGP ∠=∠-∠=︒，∴BGC APG ∠=∠，∴PF BG ∥，∴1DF DP BF PG==，∴BF DF =．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．16．(1)1C ，2C (2)25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭或41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)5b >或4b <-【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可；（2）分90ABP ∠=︒和90BAP ∠=︒两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；（3）画出图象，分0b >和0b <两种情况，分别求出其临界值，从而得到b 的取值范围．【详解】（1）解：1(02)C -，，则132AC AB =>=，且ABC V 为直角三角形，故1C 是线段AB 的“从属点”；2(22)C ，，则22AC AB ==，且ABC V 为直角三角形，故2C 是线段AB 的“从属点”；3(1,0)C ，则AB 不是直角边，故3C 不是线段AB 的“从属点”；4(0,3)C ，则42AC AB ==，故4C 不是线段AB 的“从属点”；综上：线段AB 的“从属点”是1C ，2C （2）解：设点P 的坐标为(),23a a --，点P 为线段AB 的“从属点”，①90ABP ∠=︒时，由题意可知：1OA OB ==，∴OAB △为等腰直角三角形，∴45ABO ∠=︒，∴45OBP ∠=︒，过点P 作PF y ⊥轴，垂足为F ，BP 交y 轴于点E ，可知OBE △和PEF !为等腰直角三角形，∴1OE OB ==，PF EF a ==-，∴1OF a =-，则123a a -=+，解得：23a =-，∴点P 的坐标为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时AP AB >；②90BAP ∠=︒时，过点P 作PG x ⊥轴，垂足为G ，AP 交x 轴于点H ，同理可知：45OAP AHO PHG ∠=︒=∠=∠，∴AOH △和PHG 为等腰直角三角形，∴1AO HO ==，23PG HG a ==+，∴24OG a =+，则24a a --=，解得：43a =-，∴点P 的坐标为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时AP AH HP AB =+>；综上，点P 的坐标为：25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭或41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）解：如图，AC AE AB==由“从属点”的定义可知：线段AB 的从属点在射线1CC ，1EE ，BD 上，当0b >时，当点B 和原点重合时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，则点C 在线段MN 上此时点1(1,1)C -，代入4y x b =+，得：5b =从而当5b >时，总能找到点B ，满足条件，故5b >当0b <时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，如图，当点E 和M 重合时，AB AE= ABE ∴ 为等腰直角三角形可得：1AO EO ==，即(1,0)E ，代入4y x b =+，得：4b =-而当4b >-时，四条射线1CC 、1DD 、1EE 、1FF 无法与线段MN 产生两个交点，从而当4b <-时，总能找到点B ，满足条件，故4b <-综上，b 的取值范围是：5b >或4b <-【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析．。
北京市清华附中2023-2024学年九年级上学期9月开学考数学试题
北京市清华附中2023-2024学年九年级上学期9月开学考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．15．点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数合条件的整数a 的值．16．21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列）（a b c >>，且,,a b c 均为正整数）下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮小菲a小冬小敏b根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为(1)求证：四边形BECF 是平行四边形；(2)若90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，当21．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为解答过程补充完整：解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：②解这个方程得，x =______．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点((1)求抛物线的顶点坐标；(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为24．某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工b．A部门每日餐余重量在68x≤<这一组的是：6.1c．B部门每日餐余重量如下：第1周 1.4 2.8 6.97.8 1.9②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m ，并求y 与x 满足的函数解析式；③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()23 4.25y a x =-+，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d _____5（填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22220y mx m x m =-+≠与y 轴交于点A ，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B ．(1)求B 点的横坐标（用含m 的式子表示）；(2)已知点(22)(02)P m Q m ++，，，，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．27．如图1，E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），F 为DE 中点，作EG BC ⊥于G ，连接AF ，FG ．(1)直接写出线段AF 与FG 的数量关系和位置关系，不必证明；(2)将BEG 绕点B 逆时针旋转α（090α︒<<︒）．①如图2，若045α︒<<︒，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；②如图3，若4590α︒<<︒，连接AE 且满足AE EG ⊥，直接用等式表示线段EA ，AF ，EG 之间的数量关系，不必证明．28．在平面直角坐标系中，对于点(),P a b ，(),Q c d ，当0c ≥时，将点P 向右平移c 个单位，当0c <时，将点P 向左平移c -个单位，得到点P '，再将点P '关于直线y d =对称得到点M ，我们称点M 为点P 关于点Q 的跳跃点．例如，如图1，已知点()1,3P ，()3,2Q ，点P 关于点Q 的跳跃点为()41M ，．(1)已知点()31A ，，()22B ，，①若点C 为点A 关于点B 的跳跃点，则点C 的坐标为______．②若点A 为点B 关于点C 的跳跃点，则点C 的坐标为______．(2)已知点D 在直线2y x =上，点D 的横坐标为m ，点E 的坐标为()03m ，．①点K 为点E 关于点D 的跳跃点，若DKO △的面积为4，直接写出m 的值；②点E 向上平移1个单位得到点F ，以EF 一边向右作正方形EFGH ，点R 为正方形EFGH 的边上的一个动点，在运动过程中，直线2y x =上存在点D 关于点R 的跳跃点，请直接写出m 的取值范围．。
北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷
北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=?2(x+1)2+2B. y=?2(x+1)2?2C. y=?2(x?1)2+2D. y=?2(x?1)2?26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。
这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。
2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。
根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是A.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出的增长速度始终在增加B.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长最多的年份是2017年D.2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展(R&D)经费支出的10%二、填空题(本题共24分，每小题3分)9.如果关于x 的方程x 2-3x-2k=0没有实数根，则k 的取值范围为 . 10.若直线y=2x+1下移后经过点((5,1)，则平移后的直线解析式为.11.如图是二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则A,B 两点的距离是.12.己知一组据1，4,a,3,5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是. 13.若二次函数y=a x 2-bx+5(a ≠5)的图象与x 轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是 . 14.如图，正方形AOCB 的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线。
北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A 3B 0.5C 12D 32．如图，ABCD 中，25B ∠=︒，则A ∠=（）A ．50︒B ．65︒C ．115︒D ．155︒3．下列计算正确的是（）A 2810B ．2222-=C 284=D 824=4．用配方法解方程2430x x --=，则配方正确的是（）A ．2(2)1x -=B ．2(2)1x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)7x +=5．已知一次函数2y x =-+，那么下列结论正确的是（）A ．y 的值随x 的值增大而增大B ．图象经过第一、二、三象限C ．图象必经过点()0,2D ．当2x <时，y <06．某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（）A ．8分B ．8.1分C ．8.2分D ．8.3分7．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500016600x +=B ．2 50006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=8．如图1，动点P 从点A 出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P 经过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d ，已知d 与s 的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P 的运动路线的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知2x =是关于x 的一元二次方程250x bx +-=的一个根，则b 的值是．10．已知点1(1,)A y ，2(4,)B y 在直线21y x =-上，比较1y 与2y 的大小：1y 2y ．（填“>”，“=”或“<”）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点23A （，），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，则点B 的横坐标为．12．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 边CD 的中点，连接OE ．若AC =2BD =，则OE 长为．13．甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）14．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行测试，设汽车的刹车距离为s （单位：m ），车速为v （单位：km/h ），根据测得的数据，s 与v 的函数关系如图所示，（1）若该款汽车某次测试的刹车距离为50m ，估计该车的速度约为km/h ；（2）在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速数值的13，则此时的车速约为km/h （结果取整数）．三、解答题15．（1（2）解方程：2450x x --=．16．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在AB ，CD 上，且BE DF =．求证：AF CE =．17．下面是小茜设计的“作一个已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，AOB ∠．求作：射线OP ，使得OP 平分AOB ∠．作法：如图2，①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧交射线OB 于点D ；②分别以点C ，D 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于点P （异于点O ），连接PC 和PD ；③作射线OP ．所以射线OP 平分AOB ∠．根据小茜设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理依据．证明：∵OC OD PC ===，∴四边形OCPD 是（），∴OP 平分AOB ∠（）．18．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数122y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B．(1)求A、B两点的坐标；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；(3)结合图象直接写出当0y>时，x的取值范围．19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．(1)判断ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD的面积．20．抛物线()2y a x h =+的对称轴是直线2x =-，且过点()1,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？21．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．22．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC BC ⊥，点E 是BC 延长线上一点，且CE BC =，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 为矩形；(2)连接OE ，若32BC DE ==，，求OE 的长．23．2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，某校准备以此为契机，开展一次“普及航天知识，弘扬航天精神”的科普讲座.为了获悉学生对航天知识的了解程度，讲座前学校从七、八两个年级各随机抽取名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a.七年级名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x≤<，≤<，6070xx≤≤）：x≤<，90100x≤<，80907080b.七年级成绩在7080x≤<这一组的是：70717172727374757677787979c.七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下：年级平均分中位数七73.8m八73.874.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为1p.在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为2p.比较1p，2p的大小，并说明理由；(3)假设该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数.24．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()()1,52,2，-．(1)求该函数的表达式；(2)当x m >时，对于x 的每一个值，函数2y x =+的值大于函数()0y kx b k =+≠，直接写出m 的取值范围．25．如图，正方形ABCD 中，点P 在边AD 上，连接DE ，使DE DC =，交CE 于点N ，连接AE AN BN 、、．(1)依题意补全图形；(2)判断ANE 的形状，并证明；(3)用等式表示线段AN BN CN 、、三者之间的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D（1，3），E（1，0），F（-2，0）（1）点A（2,0），①点A和原点的中间点的坐标为；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．。
2021-2022学年北京市海淀区清华附中九年级(上)统练数学试卷(一)
2021-2022学年北京市海淀区清华附中九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共16分）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，13．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．y的最小值为﹣3C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．图象的对称轴在y轴的右侧4．已知抛物线y=12（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3 5．比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是（）A．A组、B组平均数及方差分别相等B．A组、B组平均数相等，B组方差大C．A组比B组的平均数、方差都大D．A组、B组平均数相等，A组方差大6．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．√3cm D．2√3cm8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，共16分）9．一元二次方程x（x+2）＝0的根为．10．如图，△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称，连接AD、BC，添加一个条件，使四边形ABCD成为菱形．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：x……0123……y……﹣5﹣5﹣9﹣17……则该函数的对称轴为．12．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C'在同一条直线上，则旋转角的度数是．13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是．14．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE 的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为．16．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是．三、计算题（本大题共6小题，共30分）17．解方程：2x2+3x＝3．18．如图，已知△ABC：（1）AC的长等于；（2）若将△ABC向右平移2个单位得到△A'B'C'，则A点的对应点A'的坐标是；（3）若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是；（4）在图中画出第（2）问中△A'B'C'或第（3）问中△A1B1C1的图形．19．如图，在△ABC中，∠C＝40°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，连接BD．当DE∥AC时，求∠ABD的度数．20．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？21．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程． 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°．求作：△ABC 的中位线DE ，使点D 在AB 上，点E 在AC 上． 作法：如图，①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ． 所以线段DE 就是所求作的中位线． 根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接P A ，PC ，QA ，QC ，DC ， ∵P A ＝PC ，QA ＝ ，∴PQ 是AC 的垂直平分线（ ）（填推理的依据）． ∴E 为AC 中点，AD ＝DC ． ∴∠DAC ＝∠DCA ，又在Rt △ABC 中，有∠BAC +∠ABC ＝90°，∠DCA +∠DCB ＝90°． ∴∠ABC ＝∠DCB （ ）（填推理的依据）． ∴DB ＝DC ． ∴AD ＝BD ＝DC ． ∴D 为AB 中点．∴DE 是△ABC 的中位线．22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +2k +1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为x ＝4，求k 的值，并求出此时方程的另一根． 四、解答题（本大题共6小题，共38分）23．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式．（2）设P是该抛物线上的动点，当△P AB的面积等于△ABC的面积时，直接写出P点的坐标．25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到分的学生才可以入选．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．（1）抛物线的对称轴为直线；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．（1）如图1，当点E在线段CD上时，①依题意补全图形；②求证：点G为BF的中点；（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．如图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点C，B的“伴随矩形”的面积为；（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON 的函数解析式；②当正方形的对角线长度为3√2时，原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m和n，则m＝，n＝．。