共点力的合成与分解(三个力)

F 1 F 2 F O 三、共点力的合成与分解（三个力）目的要求：明解力的矢量性，熟练掌握力的合成与分解。

知识梳理1、合力与分力：一个力如果它产生的效果跟几个力共同作用所产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这个力的分力。

2、力的合成与分解：求几个力的合力叫做力的合成；求一个力的分力叫做力的分解。

3、共点力：物体同时受到几个力作用时，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫做共点力。

4、共点力合成计算：（1）同一直线上两个力的合成：同方向时F=F 1+F 2；反方向F=F 1-F 2（2）互成角度两力合成：矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则） 力的合成与分解都遵循平行四边形定则．如图，力F1、F2为共面共点的力，其夹角为θ，平行四边形的对角线F 为它们的合力．合力大小F = θcos 2212221F F F F ++，方向与F2夹角α，tan α = θθcos sin 121F F F +． (1)两个力F1、F2为同向时，合力F 有最大值，数值上等于两者的代数和；(2)两力反向时，合力F 有最小值，数值上等于两者的代数差．两力夹角θ在0～1800范围内变化时，若F1、F2大小不变，则合力随着θ的增大而减小．（3）两个力的合力的取值范围是：|F1-F2|≦F ≦F1+F2三个力的合力的范围：最小值有可能是0三角形定则：几个力的合力可以把表示这几个力的有向线段首尾相连，用一个有向线段将第一个力的首赫最后一个力的尾相连，这个有向线段就是这些力的合力。

还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。

例1、 有五个力作用于一点O ，这五个力构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，如图3-1所示。

设F3=10N ，则这五个力的合力大小为多少？注：a 、平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。

一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。

也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。

b 、矢量的合成分解，一定要认真作图。

在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。

各个矢量的大小和方向一定要画得合理。

C 、在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。

（当题目规定为45°时除外）5、力的分解：力的分解是力的合成的逆运算（1）已知一条确定的对角线，可以作出无数个平行四边形，故将一个力分解成两个分力，有无数解；（2）已知一个分力的大小和方向求另一个分力，只有一解；（3）已知一个分力的大小和另一个分力的方向时可能有一组解、两组解或无解。

6、例题解析例1 关于两个力的合力与这两个力的关系的说法中正确的是：（ ）A ．合力比这两个力的都大B ．合力至少比这两力中较小的力要大C ．合力可能比这两个力都小D ．合力可能比这两个力都大图1.3.1析与解：力F1、F2的合力大小范围是21F F ≤ F ≤F1 + F2，由此可以判断C 、D 正确．点评：合力的大小除了与F1、F2的大小有关以外，还与它们的方向关系，有关，自特殊的当F1 = F2，且它们的夹角为1200时合力大小F = F1 = F2，方向沿F1、F2夹角的角平分线．例2 用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是：（ ）析与解：因为重物保持静止，且重物的重力保持不变，则两绳的合力一定与重力大小相等方向相反，故选择A ．点评：本题易受到夹角逐渐减小，合力变大的思维定势的影响，而选择错误，事实上这正是本题所设计的陷阱．例2、将一个20N 的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成300角，试讨论（1）另一个分力的大小不会小于多少？（2）若另一个分力的大小是20/√3N ，则已知方向的分力的大小是多少？1．两个力F1、F2的合力为F ，如果两力F1、F2的夹角保持不变，当F1、F2中的一个力增大后：（ ）A ．F 的大小一定增大B ．F 的大小可能不变C ．F 的大小可能变大也可变小D ．当夹角在0到900时，F 大小一定增大2．大小为4N 、7N 、9N 的三个共面共点力，它们合力的最大值是 ________N ，最小值是 ________N ． 例3 在做验证平行四边形定则的实验中：(1) 除了已有的器材：方木板、白纸、弹簧秤、细绳套、刻度尺、图钉、和铅笔外，还必须有 __________和 ___________．(2) 要使每次合力与分力产生相同的效果，则必须 ________________________．析与解：(1) 根据实验原理：还必须需要三角板和橡皮条．(2) 单独拉橡皮条时与两只弹簧秤一起拉时结点应当重合，即橡皮的拉力大小与方向保持与原来一样．点评：验证平行四边形定则是利用测量结果作图比较的方法进行实验研究的，因此实验中作平行四边形需要测量分力的大小和方向，也要测量合力的大小和方向，然后通过比较，验证其正确性．为了提高实验的精确性，应选择细小的细绳，橡皮条、细绳和弹簧秤的轴线应在同一平面上，且与板面平行贴近．平行四边形法例8. A 的质量是m ，A 、B 始终相对静止，共同沿水平面向右运动。

当a 1=0时和a 2=0.75g 时，B 对A 的作用力FB 各多大？ 解：一定要审清题：B 对A 的作用力FB 是B 对A 的支持力和摩擦力的合力。

而A所受重力G=mg 和FB 的合力是F=ma 。

当a1=0时，G 与 FB 二力平衡，所以FB 大小为mg ，方向竖直向上。

当a2=0.75g 时，用平行四边形定则作图：先画出重力（包括大小和方向），再画出A 所受合力F 的大小和方向，再根据平行四边形定则画出FB 。

由已知可得FB 的大小FB=1.25mg ，方向与竖直方向成37o 角斜向右上方。

例4 如图，用个轻质三角支架悬挂重物，已知AB 杆所受的最大压力为2000N ，AC 绳所受的最大拉力为1000N ，α角为300．为了不使支架断裂，则所悬的重物应当满足什么要求． 重物重力G ≤ 500N ．例5 如图，CA 竖直，已右绳DE 与水平方向成α角；绳BC 与竖直方向成β角．若在E 点施加竖直向下的大小为F 的拉力作用，求CA 绳向上拔桩的力的大小．析与解：将F 分解为沿DE 方向的分力F1和沿CE 方向的分力F2，如图 所示．再将G F 图1.3.2CE 的拉力F2分解为沿BC 、AC 方向的分力F4、F3，如图 = Fcot α，F3 = F2cot β，所以F3 = Fcot αcot β．这就是CA 拔桩的拉力大小．点评：F 的作用效果是拉DE 、CE ，而CE 拉力的作用效果是拉CB 与向上拉CA 即拔桩．这里主要根据力的实际作用效果分解，从而寻找各个力之间的关系．对于力的变化或极值问题：关键是找到引起变化的因素（通常是角度）例10. 轻绳AB 总长l ，用轻滑轮悬挂重G 的物体。

绳能承受的最大拉力是2G ，将A 端固定，将B 端缓慢向右移动d 而使绳不断，求d 的最大可能值。

解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G ）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止。

而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N 是压力G 的平衡力，方向竖直向上。

因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。

利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d ∶l =15∶4，所以d 最大为l 415例3、如图3-2所示长为5m 的细绳的两端分别系于竖直立在地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B 。

绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重12N 的物体，稳定时，绳的张力为多少？（10N ）例9．已知质量为m 、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP 向斜下方运动（OP 和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E 的最小值是多少？解：根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP 方向。

用三角形定则从右图中不难看出：重力矢量OG 的大小方向确定后，合力F 的方向确定（为OP 方向），而电场力Eq的矢量起点必须在G 点，终点必须在OP 射线上。

在图中画出一组可能的电场力，不难看出，只有当电场力方向与OP 方向垂直时Eq 才会最小，所以E 也最小，有E =q m gsin 这是一道很典型的考察力的合成的题，不少同学只死记住“垂直”，而不分析哪两个矢量垂直，经常误认为电场力和重力垂直，而得出错误答案。

越是简单的题越要认真作图。

例6 如图，重物G 系在OA 、OB 两根等长的轻绳上，轻绳的A 端和B 端挂在半圆形支架上．若固定A 端的位置，将OB 绳的B 端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖位置OC 的过程中：（ ）A ．OB 绳上的拉力先减小后增大B ．OB 绳上的拉力先增大后减小C ．OA 绳上的拉力先减小后增大D ．OA 绳上的拉力先增大后减小析与解：因为绳结O 受到悬挂重物的轻绳的拉力F 作用，且F = G ．OA 、OB 绳对O 断的拉力F1、F2的合力始终与F 等大反向，故可以运用合成法进行分析求解．作出合成图如图，由于OA 方向不变，故F1方向不变，因此，F2的末端只能在平行于F1的直线BD 上滑动，由图可知当F2与BD 垂直时最小，故F2先减小后增大，而F1一直减小，故应选择A ．点评：本例应用图解法进行分析研究，其方法比函数法简便直观．例7 如图，用一根长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为了使细绳与竖直方向夹角为300角绷紧，小球A 处于静止状态，则对球施加的最小拉力等于_________．析与解：绳OA 的拉力、小球重力及施加的外力F 三力平衡，则由例6可知当F 与OA 垂直时F 取得最小值，故F = mgsin300 = 0.5mg ．点评：本例主要的在另一情况下运用图解法，或其相关结论进行分析与求解，以达到效率地解题．四．能力训练：1．物体受到两个力作用而静止，现将其中的F1逐渐减小到零，再逐渐增到原值，则物体所受合力：图1.3.4 图1.3.5F 2（）A．逐渐减小，方向不变B．逐渐增大，方向改变C．先增大后减小，方向不变D．先减小再增大，方向改变2．静止的斜面上的物体所受重力G可以分解为沿斜面方向的分力F1和垂直于斜面方向的分力F2，关于这两个力的说法中正确的是：（）A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上B．F1、F2效果和G效果相同，但F1、F2实际上并不存在C．F2实际上就是物体对斜面的压力D．物体同时受到G和F1、F2的作用3．在力互成角度的合成实验中，如图所示，使b弹簧按图示位置开始沿顺时针方向缓慢转动，在这个过程中，保持O点位置不变和a弹簧的拉伸方向不变。