分式与分式方程复习课件
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分式与分式方程末归纳与复习ppt
北京地下水位的未来
通过实施南水北调，增加地表水资源量，改善地下水水质，逐步恢复地下水水位 。
未来趋势
未来10年，北京地下水位埋深有望下降到18米左右； 未来30年，北京地下水位埋深有望下降到13米左右；
未来20年，北京地下水位埋深有望下降到15米左右； 未来50年，北京地下水位埋深有望下降到10米左右；
THANKS
选择题
总结词：重点考察
详细描述：分式的变号法则、分式方程的解法、分式运算的顺序、分式化简求值 的方法、分式方程的应用。
解答题
总结词：难点突破
详细描述：分式化简求值、分式方程的解法、分式的混合运 算、分式化简求值的应用题、分式方程的应用题。
综合题
总结词：综合运用
详细描述：综合运用分式的性质和运算法则解决实际问题、解较复杂的分式方程 、求较为复杂的分式值等。
解决实际问题
通过建立分式方程模型，解决生活中的实际问题。
数学竞赛中的应用
分式方程在数学竞赛中占有重要地位，需要灵活运用各种技巧求解。
练习与巩固
练习题1
通过观察法求解分式方程。
练习题3
待定系数法求解分式方程。
练习题2
用换元法求解分式方程。
练习题4
转化法求解分式方程的应用。
03
分式方程的解法及注意事项
分式的变号法则
• 分式的符号变化规律：把一个分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号不变；把一个分式的分 子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号改变
02
分式方程的解法
概念回顾
分式方程的定义：分式方程是一种含有分式、根式和常数的方程。 分式方程的解：通过化分式方程为整式方程，求得方程的解。
通过实施南水北调，增加地表水资源量，改善地下水水质，逐步恢复地下水水位 。
未来趋势
未来10年，北京地下水位埋深有望下降到18米左右； 未来30年，北京地下水位埋深有望下降到13米左右；
未来20年，北京地下水位埋深有望下降到15米左右； 未来50年，北京地下水位埋深有望下降到10米左右；
THANKS
选择题
总结词：重点考察
详细描述：分式的变号法则、分式方程的解法、分式运算的顺序、分式化简求值 的方法、分式方程的应用。
解答题
总结词：难点突破
详细描述：分式化简求值、分式方程的解法、分式的混合运 算、分式化简求值的应用题、分式方程的应用题。
综合题
总结词：综合运用
详细描述：综合运用分式的性质和运算法则解决实际问题、解较复杂的分式方程 、求较为复杂的分式值等。
解决实际问题
通过建立分式方程模型，解决生活中的实际问题。
数学竞赛中的应用
分式方程在数学竞赛中占有重要地位，需要灵活运用各种技巧求解。
练习与巩固
练习题1
通过观察法求解分式方程。
练习题3
待定系数法求解分式方程。
练习题2
用换元法求解分式方程。
练习题4
转化法求解分式方程的应用。
03
分式方程的解法及注意事项
分式的变号法则
• 分式的符号变化规律：把一个分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号不变；把一个分式的分 子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号改变
02
分式方程的解法
概念回顾
分式方程的定义：分式方程是一种含有分式、根式和常数的方程。 分式方程的解：通过化分式方程为整式方程，求得方程的解。
第十二章 分式和分式方程 复习课件
2a
．
4．计算： a b ab ba
＝1
．
x2y
5.计算:
x2 4y2 3xy3
x
xy 2y
＝
3y2 ．
6.分母式是_a_a2__1_1,__a__2a__12_1_a__2.1 ,
1 a 1
的最简公分
9
三 分式的运算
7.
Ax B x3
5x x3
203 . 200
13
五 分式方程
13.解方程： 1 x 1
2 x 1
7
x2
. 1
解： 方程两边乘以(x 1)(x -1),得
(x 1) 2(x 1) 7,
x 1 2x 2 7, x 2.
经检验, x 2是原方程的解.
14
14.我校初二年级的学生到距学校15千米的风景区秋游,一部
为积的分母. A C A C . C D BD
分式的乘方
分式的乘方就是分子、分母分别乘方.
(a)n an . b bn
分式的除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
相乘.
分式的乘除混合运算法则 分式的乘除混合预算内按从左到右的顺序依次进行，若有括
号先算括号里面.
3
同分母分式的加减
3x 1 3 x,
则
A=___2__,B=__1__.
8.若关于x的方程 x 2 m 1产生增根， x 1 x 1
则m=___2___.
x 9.将公式
y
y
x
变形成用
x 1
y表示
,则
x ＝ 1 y .
第三章整理《分式》(复习)ppt课件
顺水速=静水速+水流速 逆水速=静水速-水流速
设是水流速为xkm/ h
则 水 为 20 + x)km/ h 顺 速 (
逆 速 (20 - x)km/ h 水 为
72 48 = 20 + x 20 − x
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍D．不变 扩大3 扩大9 扩大4
3、 填空： x ( x − y ) = ( x − 2
y)
x + xy
x+y
例1：化简求值 ：
a−2 a −1 a−4 ( 2 − 2 )÷ a + 2a a + 4a + 4 a + 2 2 其中a满足：a + 2a − 1 = 0
1. 若分式
A、 A、x≠-1 C、x≠2 、
若有意义， 应满足（ 若有意义，则x应满足（ B ） 应满足
B、 ≠-1且 B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2 、 或
x −4 ( x + 1)( x − 2)
若值为0， 应满足（ 若值为 ，则x应满足（ B ） 应满足
A、x=2 、 C、 、
1km
中点 18km }
xkm / h
甲 A
乙 B
甲走了总共20km 甲走了总共
设 乙的速度 xkm / h 则 甲的速度( x + 0.5)km / h
20 18 = x + 0.5 x
1、一项工程，若甲队单独做，恰好在规定的日期 、一项工程，若甲队单独做， 完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成 天完成； 完成，若乙队单独做要超过规定日期 天完成；现 在先由甲、乙合做2天 在先由甲、乙合做 天，剩下的工程再由乙队单独 也刚好在规定日期完成， 做，也刚好在规定日期完成，问规定的日期是多 少天？ 少天？ 1 甲每天的工作量 x 设 天 甲x
分式 复习课件 (共34张PPT)
第九章分式
式分
{
概念
{
A 的形式 B
B中含有字母B≠0
{
分式有意义
分式的值为0
分式的加减
{
同分母相加减 异分母相加减 约分
通分
同分母相加减
分式的乘除 解分式方程 分式方程应用 去分母
最简分式 验根
解整式方程
1.分式的定义:
A 形如 ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件:
4
(1) 0.000030
3.0 10
5
6x y 例(1) 2 12 xy 2 6x y 解：原式 2 12 xy
2
7、约分 :
m 4m 4 例(2) 2 m 4 x 2 m 2 2 y 解：原式= ( m 2)(m 2)
2
m2 m2
把分子、分母的最大公因式(数)约去。 1.约分：
2.通分: 把分母不相同的几个分式化成分母相
同的分式。
关键是找最简公分母:各分 母所有因式的最高次幂的积 .
1.约分
(1)
-6x2y 27xy2
(2)
-2(a-b)2
-8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
(3)
m2+4m+4 m2 - 4
2.通分
3 1 （ 1 ） 3 2x 2 1 x 解：两边同乘 2( x 1) 3 1 2( x 1) 2( x 1) 3 2( x 1) 2( x 1) x 1 3 2 6x 3 6 一化(整式) 6 x 7 7 二解 x 6 7
经检验： x
5、整数指数幂：
a 1
0
式分
{
概念
{
A 的形式 B
B中含有字母B≠0
{
分式有意义
分式的值为0
分式的加减
{
同分母相加减 异分母相加减 约分
通分
同分母相加减
分式的乘除 解分式方程 分式方程应用 去分母
最简分式 验根
解整式方程
1.分式的定义:
A 形如 ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件:
4
(1) 0.000030
3.0 10
5
6x y 例(1) 2 12 xy 2 6x y 解：原式 2 12 xy
2
7、约分 :
m 4m 4 例(2) 2 m 4 x 2 m 2 2 y 解：原式= ( m 2)(m 2)
2
m2 m2
把分子、分母的最大公因式(数)约去。 1.约分：
2.通分: 把分母不相同的几个分式化成分母相
同的分式。
关键是找最简公分母:各分 母所有因式的最高次幂的积 .
1.约分
(1)
-6x2y 27xy2
(2)
-2(a-b)2
-8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
(3)
m2+4m+4 m2 - 4
2.通分
3 1 （ 1 ） 3 2x 2 1 x 解：两边同乘 2( x 1) 3 1 2( x 1) 2( x 1) 3 2( x 1) 2( x 1) x 1 3 2 6x 3 6 一化(整式) 6 x 7 7 二解 x 6 7
经检验： x
5、整数指数幂：
a 1
0
八年级数学上册第二章分式与分式方程复习课件(30张PPT)
解这个方程得：x＝30
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
分式和分式方程复习 ppt课件
ppt课件
14
小结
1.通过本节课你复习了哪些知识? 2.应用分式方程知识解决问题时应注意什么问题?
ppt课件
15
1.分式方程的概念 2.分式方程根的概念 3.分式方程的增根问题 4.分式方程的解法 5.分式方程的应用
ppt课件
16
作业1.复习二元一次方程组的内容,掌握概念, 解法,及应用.
2.搜集典型题目5道以上,并有自己对题目 的见解.
(A)
2 x 1
5 x3
(B)3y 1
2
y5 6
2
(C)2x2
1 2
x3
0
(D)2x
5
8x 1 7
考点2分式方程根的概念
例2、若
(A)
9 5
x 3是分式方程 3ax
(B)
9
5 (C)
5 9
2x
1的解，则a的值为（D
(D)
5 9
）
例3关于x的分式方程 m 3 1的解为正数,则m的取值范 围是__________ x 1 1 x
x2 4 2(x 2)
x=-2是增根,应舍去,原方程无解
3.关于x的方程的
m 1 x2
解是负数,则m的取值范围是_m__<_2_且__m_≠0
4.已知
x
a
2
与
b x2
的和等于
x
4x 2
则
4
a
2
，b
2
.
解:根据题意得
ab
4x
x 2 x 2 x2 4x
a(x 2) b(x 2) 4x
ppt课件
1
教学目标
• 1.熟练掌握分式方程的相关概念,解法以及列分式 方程解应用题.
分式方程的复习课件
THANKS
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步骤
1. 整理方程；2. 确定分母；3. 使用公式求解
换元法
简化复杂分式方程的有效手段
输入 标题
详细描述
换元法是通过引入新的变量来替换原方程中的复杂部 分，从而将复杂方程转化为简单方程。这种方法在解 复杂分式方程时非常有效。
总结词
适用范围
1. 确定需要替换的部分；2. 引入新变量；3. 替换并整 理方程；4. 解出新变量的值；5. 还原为原变量得到解
$x = frac{5}{4}$。
综合练习题
题目
解方程 $frac{x + 1}{2} - frac{4x - 3}{5} = frac{2x + 1}{3} + frac{1}{15}$
解析
首先将方程两边都乘以15（最小公倍数）来消去分母，得到 $15(x + 1) - (4x - 3) = (2x + 1) times 3 + 1$，然后去括号、移项、合并同类项，最后解得 $x = frac{49}{17}$。
对于有实际意义的分式方程，解必须符合实际情况，例如在 物理问题中，解需要符合物理定律和常识。
解的取值范围
确定解的取值范围
在解分式方程时，需要考虑解的取值范围，以确保解是有效的。
验证解的连续性和可导性
对于一些需要求导数或者需要验证连续性的问题，需要确保解在指定区间内是连续和可导的。
避免常见错误
避免解的扩大化
。
步骤
复杂或难以直接解出的分式方程
消去法
总结词
通过消除分式方程中的分母来 求解
详细描述
消去法是通过对方程两边同时 乘以公共分母，消除分母，将 分式方程转化为整式方程，然 后求解。
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
解分式方程一定要 验根 。
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
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整式方程
(5) 3 x x
2
（6）2x x 1 10 5
分式方程
（7）x 1 2 x
(8) 2x 1 3x 1 x
解分式方程
1、解分式方程
一个“必须”是：必须 检验 ； 二个“基本”是：解分式方程的基本思想是 转化 ，
基本方法是去分母 ； 三个“步骤”是： 去分母 ，解整式方程，检验 。
中等
分式方程 1．分式方程来解决简单的实际问题； 的应用 2．在列分式方程应用题求解检验时，不仅要考虑是否产生了增根， 还要考虑是否符合题意（实际情况）.
中等
练一练
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?
(1) x 2 x 23
(2) 4 3 7 xy
(3) 1 x2
3 x
(4) x(x 1) 1 x
解：设步行的速度是 x 千米/小时，则骑自行车的 速度为 4x 千米/小时。根据题意，得
7 19 7 2 解这个方程，得 x = 5 x 4x
经检验 x = 5 是所列方程的根，这时 4x=20
答：他步行的速度是 5千米/时，骑自行车的速度 是20千米/时。
4、华昌中学利源商场购进A、B两种品牌的足球， 购买A品牌足球花费了2500元，购买B品 牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球 数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知 购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足 球多花30元．求购买一个A品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？
小结 这节课你有哪些收获？
x2 （x
xy - xy y2 y）（x
y2 y）
x2 x2 y2
因为 x 2 ，即x=2y
y
3y2
4 3
多字母 消元法
已知 1 1 4,求 a - 3ab b 的值
ab
2a 2b 7ab
1
剖析：
1
b
a
4所以b
a
4ab
a 原式
ba b ab3ab
4ab 3ab ab 1
2(a b) 7ab 8ab 7ab ab
考点
课标要求
分式方程 1．知道分式方程的概念，会识别分式方程； 的概念 2．理解分式方程中产生增根（无解）的情况．
难度
较难
1．知道解分式方程的一般步骤； 2．掌握应用“去分母”将分式方程转化为整式方程，领会解分式方程“ 分式方程 整式化”的化归思想； 的解法 3．掌握分式方程的验根方法，注意解分式方程时可能会出现增根，解 方程后一定要验根.
作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，
再与被除式相乘。结果要化为最简分式或整式。
4、分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减 法则进行计算。
5、分式方程是分母中含有未知数的方程：解分式方 程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其 一般步骤是：去分母，解整式方程，验根。
分式与分式方程复习
基础知识回顾
1、形如 A 的式子叫做分式，其中A、B是整式，B
B
中必须含有字母。对于任意一个分式，分母都不 能为零。
2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或 除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A
A M
,
A
A M (M
0)
B BM B BM
3、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积
① 审 分析题意，找出等量关系。 ② 设 选择恰当的未知数，注意单位。 ③ 列 根据等量关系正确列出方程。 ④ 解 认真仔细。 ⑤ 验 检验（是否是方程根和是否符合题意） ⑥ 答 完整作答。
典例剖析：
甲、乙两地相距19千米，王刚从甲地去乙地， 先步行了7千米，然后改骑自行车，共用了2小 时到达乙地，已知王刚骑自行车的速度是步行 速度的4倍，求他步行的速度和骑自行车的速 度。
典例剖析
解方程：
1 x 1
2x x2 1
解：方程两边都乘（x2 -1 ）,得
x+1=2x
解这个方程，得x=1
检验：当x=1时，x2 -1 =0
所以x=1是原方程的增根，故原 方程无解。
练一练
如果解关于 x的分式方程 x m 1 1时出现增根，求 m的值。 x3 x4
分式方程的应用：
列方程解应用题的步骤:
典例剖析
当 x 取什么值时，分式
x3 (x 2)( x 5)
（1）有意义？ （2）值为零？
当分式的分母不等于零时，分式有意义；当分式的 分子等于零，而分母不等于零时，分式的值为零。
已知
x y
2
，求
x x
y
y x
y
y2 x2 y2
的值。
x xy
y x
y
y2 x2 y2
x(x y) y(x y) y2 （x y）（x y）