弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)
弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二. 教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点

重点:

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点:

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

[知识要点]

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C

=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的

弧长l的计算公式:,

说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧

长l时,不要错写成。

(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1°的扇形

面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计

算公式是。

又因为扇形的弧长,扇形面积

,所以又得到扇形面积的另一个计

算公式:。

知识点3、弓形的面积

(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。

(2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积

说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积

知识小结:

圆锥与圆柱的比较

【典型例题】

例 1. (2003.辽宁)如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,∠AOB=120°,则阴影部分的面积是()

A. B. C. D.

例2. (2003.福州)如图所示,已知扇形AOB 的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形AOB,点C,E,D分别在OA,OB及AB弧上,过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F,垂足为F,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为()

例3. 如图所示,直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=2,BC=7,AD=3,以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周,求所得几何体的表面积。

例4. (2003.宁波)已知扇形的圆心角为120°,面积为300平方厘米

(1)求扇形的弧长。

(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少?

模拟练习题

一、选择题

1. 若一个扇形的圆心角是45°,面积为2л,则这个扇形的半径是()

A. 4

B. 2

C. 47л

D. 2л

2. 扇形的圆心角是60°,则扇形的面积是所在图面积的()

A. B. C. D.

3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆

心角是()

A. 90°

B.

C.

D.180°

4. 两同心圆的圆心是O,大圆的半径是以OA,OB分别交小圆于点M,N.已知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OAB的面积是扇形OMN 的面积的()

A. 2倍

B. 3倍

C. 6倍

D. 9倍

5. 半圆O的直径为6cm,∠BAC=30°,则阴影部分的面积是()

A. B.

C. D.

6 用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为()

A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

D. 6cm

7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2,这个圆锥的轴截面的顶角是()

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1∶2,则它们的高之比为()

A. 2:1

B. 3:2

C. 2:

D. 5:

9. 如图,在△ABC中,∠C =Rt∠,AC > BC,若以AC为底面圆半径,BC为高的圆锥的侧面积为S1,以BC为底面圆半径,AC为高的圆锥的侧面积为S2,则()

A. S1=S2

B. S1 > S2

C. S1 < S2

D. S1、S2的大小关系不确定

二、填空题

1. 扇形的弧长是12лcm,其圆心角是90°,则扇形的半径是cm ,扇形的面积是cm

2.

2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆心角是.

3. 已知扇形面积是12cm2,半径为8cm,则扇形周长为.

4 在△ABC中,AB=3,AC=4,∠A=90°,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S1;把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S2,则S1:S2=。

5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有cm。

6. 如图,扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm,C,D分别是的三等分点,则阴影部分的面积是。

7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半径画弧,则阴影部分面积为。

三、计算题

1. 如图,在Rt△ABC中,AC=BC ,以A为圆心画弧,交AB于点D,交AC延长线于点

F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等,求AC与AF的长度之比(л取3)。

2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S1,另一个圆锥的侧面积是S2,如果

圆锥和圆柱等底等高,求.

【教学设计】《2.7弧长及扇形的面积》(苏科版)

《2.7弧长及扇形的面积》本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书新苏科版九年级上册新课标实验教材《第2章圆》中的“弧长和扇形的面积”,这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式,并运用公式解决一些具体问题,为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。【知识与能力目标】 1.经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程. 2.会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题. 【过程与方法目标】 经历弧长和扇形面积计算公式的探索过程和应用过程,体会“整体与部分”的关系及类比、方程、转化等思想. 【情感态度价值观目标】 在应用中培养学生的分析问题.解决问题的能力. 【教学重点】 弧长与扇形的计算公式的推导与应用. 【教学难点】 弧长与扇形的计算公式的应用. 如图1是操场部分跑道圆弧形状的示意图,其中半径为20米,圆心角为180°. 你能求出这段跑道的长度吗? 【设计意图:从生活实际中引出计算弧长的必要性.】 二、引导探索

探索一:探索弧长公式 1.问题:刚才求的这段跑道的长度是180°的圆心角所对的弧长,若圆心角分别为90°、 45°、60°、1°、n°,如何计算它所对的弧长呢? 2. 归纳:如果圆的半径为R ,圆心角度数为n ,弧长为l ,那么弧长的计算公式为: . 【设计意图: 从由特殊的圆心角计算弧长入手,引导学生理解n°的圆心角所对的弧长实际上是圆周长的360 n ,体会“整体与部分”的关系.】 3. 练习1: (1)已知圆弧的半径为24,所对的圆心角为60°,它的弧长为 . (2) 已知一条弧的半径为9,弧长为3π,那么这条弧所对的圆心角为______. (3)如图2,已知AB 长为12πcm ,∠AOB=160°,则⊙O 的半径 . 【设计意图:引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式,理解l 、n 、R 这3个量之间的 一种相等关系.如果这三个量中,任意知道两个量,就可以根据公式求出第三个量.】 探索二:探索扇形面积公式 1. 扇形定义 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。如上图中,由AB 和半径 OA 、OB 所组成的图形叫做扇形OAB. 2. 辨析 下列各图中,哪些图形是扇形? 3. 尝试探索扇形的面积公式 (1)如上题图(3),圆的半径为R ,圆心角为90°,怎样计算该扇形的面积呢? (2)怎样计算圆心角是n 0的扇形面积?请同学们小组交流. 归纳:如果用字母 S 表示扇形的面积,n 表示圆心角的度数,R 表示圆半径,那么扇形面 积的计算公式为: . 【设计意图:类比弧长的计算公式,从“整体与部分”的关系来引导学生自主探索扇形面积公 式.】 4. 扇形的面积公式与弧长公式有什么区别?有什么联系? 扇形的弧长与扇形面积的关系为: .

弧长的公式、扇形面积公式

【本讲教育信息】 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

扇形面积计算公式

扇形面积计算公式 公式:S扇=n(圆心角度数)×r^2【半径的平方(2次方)】×π(圆周率)/360.(n×r×π/180) S扇=(n/360)πR^2 (n为圆心角的度数,R为底面圆的半径) 注:π为圆周率 扇形面积公式图解 扇形面积公式推导 解:对于扇形,设一个扇形的圆心角为n°,设其半径为R, 设其弧长为L, 先考察它的弧长L与其所在的圆的周长C的关系。 圆周所对的圆心角为360°,圆周的长为 2πR, 扇形弧长L=(360°/ n°)×(2πR)。 ∴(1/2)L = (360°/ n°)×(πR) 圆的面积为S=πR2, 扇形面积则为(360°/ n°)×πR2= (360°/ n°×πR)×R = (1/2)L × R 本题的关键是:扇形的弧长 = 圆周长的(360°/ n°)倍; 扇形的面积 = 圆面积的(360°/ n°)倍; 原因是圆周所对的圆心角为360°,扇形所对的圆心角是n°。 周长与弧长的比为 360°:n° 圆面积与扇形面积的比为 360°:n° 例题 扇形圆心角120°,弧长10πcm,则扇形面积为_____cm2. 答案: 75π 解析: 根据扇形面积公式,则必须知道扇形所在圆的半径.设其半径是r,则其弧长是120πx/18 0,再根据弧长是10π,列方程求解. 解:设扇形的半径是r,根据题意,得120πx/180 =10π, 解,得r=15. 则扇形面积是=75π(cm2). 故答案为75π. 如图,圆心角为60°的扇形中,弦AB=6,则扇形面积为()

A.π B.(根号3)π C.6π D.12π 答案:C 解析: 过点C作CD⊥AB,垂足为D,根据垂径定理和勾股定理求得AC的长,从而得出扇形面积.解:过点C作CD⊥AB,垂足为D, ∵AB=6,∴AD=3, ∵∠C=60°,∴∠ACD=30°, ∴AC=6, ∴扇形面积60*π*6平方/360 =6π, 故选C. 测试题 环形面积比扇形面积大._____. 圆心角为30°的扇形,所对应的扇形面积占整个面积的_____. 扇形面积的大小() A.只与圆心角大小有关 B.只与半径长短有关 C.与半径长短无关 D.与圆心角的大小、半径的长短都有关

初三数学弧长和扇形面积公式整理版(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 1. 圆周长:r 2C π= 圆面积:2r S π= 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=,即360°的圆心角所对的弧长,因此, 1°的圆心角所对的弧长就是360R 2π。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n π 180R n π=∴l *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=,所以圆心角为n °的扇形面积是: R l R n S 2 13602==π扇形(n 也是1°的倍数,无单位)l 为弧的长 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶 点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l ,弧长为c ,圆心角为n (如图),则它们之间有如下关系: 180 n c l π= 同时,如果设圆锥底面半径为r ,周长为c ,侧面母线长为l ,那么它的侧面积是: l l r c 2 1S π==圆侧面 圆锥的全面积为:2r r π+πl 圆柱侧面积:rh 2π。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改

扇形圆柱圆锥面积公式及计算

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 [学习目标] 1. 掌握基本概念:正多边形,正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。 2. 扇形面积公式: n是圆心角度数,R是扇形半径,l是扇形中弧长。 3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体,侧面展开是矩形,长为底面圆周长,宽为圆柱的高 r底面半径h圆柱高 4. 圆锥侧面积 圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。 侧面展开是扇形,扇形半径是圆锥的母线,弧长是底面圆周长。 5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成,明确圆柱的高和母线,它们相等。 6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成,明确圆锥的高和母线,知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形,解决圆锥的有关问题。 7. 圆柱 圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示,若圆柱的

底面半径为r,高为h,则:, 。 8. 圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面,这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此,圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示,若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 。 [重点、难点] 扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。 【典型例题】

例1. 已知如图1,矩形ABCD中,AB=1cm,BC=2cm,以B为圆心,BC为半径作圆弧交AD于F,交BA延长线于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。 图1 解:∵AB=1,BC=2,F点在以B为圆心, BC为半径的圆上, ∴BF=2,∴在Rt△ABF中,∠AFB=30°,∠ABF=60° ∴ 例2. 已知扇形的圆心角150°,弧长为,则扇形的面积为____________。 解:设扇形的面积为S,弧长为l,所在圆的半径为R, 由弧长公式,得: ∴ 由扇形面积公式,,故填。

弧长计算公式及扇形面积计算公式

教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:

弧长公式及扇形面积公式

知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)

分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

扇形面积公式

扇形面积公式、圆锥侧面展开图 1、. 扇形面积公式: n是圆心角度数,R是扇形半径,l是扇形中弧长。 2、. 圆锥侧面积 圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。 侧面展开是扇形,扇形半径是圆锥的母线,弧长是底面圆周长。 3、了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成,明确圆锥的高和母线,知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形,解决圆锥的有关问题。 4、圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面,这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此,圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示,若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 。

【典型例题】 例1. 已知如图1,矩形ABCD中,AB=1cm,BC=2cm,以B为圆心,BC 为半径作圆弧交AD于F,交BA延长线于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。 图1 例2. 已知扇形的圆心角150°,弧长为,则扇形的面积为____________。例3. 已知弓形的弦长等于半径R,则此弓形的面积为__________。(弓形的弧 为劣弧)。 例4. 若圆锥的母线与底面直径都等于a,求这个圆锥的侧面积为。

例5. 一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。 点悟:如图7所示,欲求圆锥的侧面积,即求母线长l,底面半径r。由圆锥的形成过程可知,圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即Rt△SOA,且SO=10,SA=l,OA=r,关键找出l与r的关系,又其侧面展开图是半圆,可得关系,即。 图7

弧长及扇形的面积

弧长及扇形的面积 教学目标 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程; 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题. 教学重点 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程. 2.了解弧长及扇形面积计算公式.会用公式解决问题. 教学难点 1.探索弧长及扇形面积计算公式. 2.用公式解决实际问题. 教学过程 一.创设问题情境,引入新课 如图是圆弧形状的纸扇示意图,纸扇的半径为10cm,圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗?纸扇面积是多少? 弧是圆周的一部分,扇形是圆的一部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索. 二.活动与探究 探究一、1、已知⊙O半径为R,求n°圆心角所对弧长. (1)圆周长是多少? (2)1°圆心角所对弧长是多少? (3)n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍? (4)n°圆心角所对弧长是多少? 如果设⊙O半径为R,圆心角为n°,所对弧长为l,那么l=? 练习:1、圆弧形状的纸扇,纸扇的半径为10cm,圆心角为120°,求出纸扇边沿的长度吗? 探究二、已知⊙O半径为R,求圆心角n°的扇形的面积? (1)半径为R的圆,面积是多少? (2)圆心角为1°的扇形的面积是多少? (3)圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍? (4)圆心角为n°的扇形的面积是多少? 如果⊙O半径为R,圆心角为n°,扇形面积为S扇形,则S=? 三、知识运用: 制作弯形管道时,需要先按中心线计算"展直长度"再下料,试计算下图中管道的展直长度,

即的长(结果精确到0.1mm). 分析:要求管道的展直长度,即求的长,根根弧长公式l=可求得的长,其中n为圆心角,R为半径. 解:R=40mm,n=110. ∴的长=πR=×40π≈76.8mm.因此,管道的展直长度约为76.8mm. 四、思考: 弧长与扇形面积有什么关系?我们探讨了弧长和扇形面积的公式,在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l=πR,n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形=πR2,在这两个公式中,弧长和扇形面积都和圆心角n.半径R有关系,因此l和S之间也有一定的关系,你能猜得出吗?请大家互相交流. 五、随堂练习 1、如图是圆弧形状的纸扇示意图,纸扇的半径为10cm,圆心角为120°, 纸扇面积是多少? 2、一个扇形的圆心角为90o,半径为2,cm 则弧长= ,扇形面积= . 3、已知扇形的圆心角为120o,半径为6,则扇形的弧长是() A. 3π B.4π C.5π D.6π 六、课时小结 学了本节课你有哪些收获? 1.探索弧长的计算公式l=πR,并运用公式进行计算; 2.探索扇形的面积公式S=πR2,并运用公式进行计算; 3.探索弧长l及扇形的面积S之间的关系,并能已知一方求另一方. 七、当堂检测 (1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( ) (2)已知圆的半径为9cm ,60°圆心角所对的弧长为( ) (3)已知半径为3,则弧长为π的弧所对的圆心角为_______ (4)已知圆心角为150°,所对的弧长为20π,则圆的半径为_______。 八、课后作业 习题24.4 第4、5题

(完整版)弧长与扇形面积精彩试题及问题详解

弧长与扇形面积 一、选择题 1.(2016·湖北十堰)如图,从一张腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为() A.10cm B.15cm C.10cm D.20cm 【考点】圆锥的计算. 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长,再利用弧长公式计算出弧CD的长,设圆锥的底面圆的半径为r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r,然后利用勾股定理计算出圆锥的高. 【解答】解:过O作OE⊥AB于E,∵OA=OD=60cm,∠AOB=120°, ∴∠A=∠B=30°, ∴OE=OA=30cm, ∴弧CD的长==20π, 设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=20π,解得r=10, ∴圆锥的高==20. 故选D. 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 2. (2016兰州,12,4分)如图,用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了 108o,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了() (A)πcm (B) 2πcm (C) 3πcm (D) 5πcm

【答案】:C 【解析】:利用弧长公式即可求解 【考点】:有关圆的计算 3.(2016福州,16,4分)如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r 上,下方的弧半径为r 下,则r 上 = r 下.(填“<”“=”“<”) 【考点】弧长的计算. 【分析】利用垂径定理,分别作出两段弧所在圆的圆心,然后比较两个圆的半径即可. 【解答】解:如图,r 上=r 下. 故答案为=. 【点评】本题考查了弧长公式:圆周长公式:C=2πR (2)弧长公式:l= (弧长为 l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R );正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧不一定是等弧,只有在同圆或等圆中,才有等弧的概念,才是三者的统一. 4. (2016·四川资阳)在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,以点B 为圆心,BC 的长为半径作弧,交AB 于点D ,若点D 为AB 的中点,则阴影部分的面积是( )

扇形面积的计算问题

教学提纲与过程 课题 整合扇形和圆锥 1.会推导扇形的弧长,扇形的面积公式 学习目标与 考点分析 2.理解圆锥的形成过程 3.掌握圆锥展开的形状以及理解掌握弧长和底面圆周长相等的关系。 学情分析 4.会计算圆锥的侧面积和全面积 1. 这部分内容初始学习,容易混乱,公式多,要理清公式之间的关系,确定 解这类问 题的通法。 2. 理解推论公式的在简化运算过程的作用。 1.理解扇形的本质和圆锥展开的本质。 学习重难点 2.总结本质,知道知识的架构体系,理解通法,确定思路。注意哪些是简化运算的公式, 可以说没有这些公式可以做任何题,决不能因简化运算而导致思路不清。 教学方法 授课,典型题讲解,强化练习 第一部分:教学提纲 (一) 授课 (二) 典型题讲解 (三) 课堂练习 (45分钟一55分钟) (45分钟一55分钟) (30分钟一35分钟) 回顾旧识:

典型例题: 题型一: 求底面半径或者母线长,底圆周长和展开的扇形的弧长相等是很重要的连接桥梁。例1. 一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是() 思维点拨:分清展开扇形的半径和底部圆的半径。养成作圆锥性题目,要画示意图的习惯。题型二:纯扇形的面积以及周长计算问题。例2 .按图1的方法把圆锥的侧面展开, '「二佳' 妄: ;1::、曲* ■ ?忌 社心曲 -严「站帕叱'令' 例3:在半径为6cm的圆中,60°的圆心角所对的面积等于题型三圆锥的轴横截面的几何量关系 如图,有一直径为4的圆形铁皮,要从中剪出一个最大圆心角为 的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC (阴影部分)的面积为用此剪下 的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径r= (第17 题)?,圆锥的高 得到图2,其半径0A=3圆心角/ AOB=I20°,则C AB的长为(). 60 B

弧长公式扇形面积公式

】本讲教育信息【 一. 教案内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教案要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的 半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面°的扇形面积等于圆面积,所以圆360积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是,由此得圆心角为n°的扇形面积的积形的1角心为°扇面是计算公式是。 ,所以又得到扇形面,扇形面积又因为扇形的弧长 。积的另一个计算公式: 3、弓形的面积知识点)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形

叫做弓(1 形。2)弓形的周长=弦长+弧长(3)弓形的面积(如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要AmB的面积。的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形把扇形OAmB 1所示,当弓形所含的弧是劣弧时,如图所示,当弓形所含的弧 是优弧时,如图2当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,)45°,则图中阴影部分的面积是(的半径为2,∠ABC=例:如图所示,⊙O 表示)(结果用 ∠AOC由圆周角定理可知∠ABC,所以=分析:由图可知是直角三角形,所以°,所以△=2 ∠ABC=90OAC∠AOC, 所以注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算 公式。圆面积弧长圆周长扇形面积 公式 (2)扇形与弓形的联系与区别 )扇形与弓形的联系与区别2(.

弧长的公式扇形面积公式

弧长的公式扇形面积公 式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

【本讲教育信息】 一.教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二.教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三.重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例 如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的 另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,

弧长和扇形面积—知识讲解

弧长和扇形面积—知识讲解 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并应用这些公式解决问题; 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式: n°的圆心角所对的圆的弧长公式:(弧是圆的一部分) 要点诠释: (1)对于弧长公式,关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即; (2)公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n和180都不带单位,R为弧所在圆的半径; (3)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径,知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式: n°的圆心角所对的扇形面积公式: 要点诠释: (1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的, 即; (2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆; (4)扇形两个面积公式之间的联系:.

【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1.如图(1),AB切⊙O于点B,OA=23,AB=3,弦BC∥OA,则劣弧BC的弧长为().A. 3 3 πB. 3 2 πC.πD. 3 2 π 图(1) 【答案】A. 【解析】连结OB、OC,如图(2) 则0 OBA ∠? =9,OB=3,0 A ∠? =3,0 AOB ∠? =6, 由弦BC∥OA得60 OBC AOB ∠∠=? =, 所以△OBC为等边三角形,0 BOC ∠? =6. 则劣弧BC的弧长为 6033 = 1803 π π,故选A. 图(2) 【总结升华】主要考查弧长公式:. 举一反三: 【变式】制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,?试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm) 【答案】R=40mm,n=110 ∴的长==≈76.8(mm) 因此,管道的展直长度约为76.8mm. C B A O

扇形弧长和面积公式

扇形的弧长公式和面积公式教案 价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通教学目标知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式 解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识, 提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为: 比较: 与 得到扇形面积 另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确应用理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公式进行计算 【活动四】应用、练习 例1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上 有水部分的面积。(精确到0.01cm)。 例2、如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交,且半径都是2cm,求图中阴影部分的面积。老师展示例题,学生阅读并寻找解题方法使学生能够运用所学的知识解决数学问题 【活动五】探究与拓展 探究2、如图,A是半径为1的圆O外一点,且OA=2,AB是⊙O的切线,BC//OA,连结AC,

弧长的公式、扇形面积公式及其应用

弧长与扇形面积、圆锥侧面积 【知识详解】 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例 如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1° 的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积 说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点4、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长, 若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面 积,圆柱的全面 积

补充:知识点5、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。(2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 图 示 面 积

《弧长和扇形的面积》说课稿

《弧长和扇形的面积》说课稿 一、说教材分析: (一)、说教材的地位与作用: 本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书,人教版九年级上册第24章《圆》中的“弧长和扇形面积”,从孩提时代的感觉圆形,到小学的认识图形,再到如今的系统学习,学生对圆的认识正在发生着质的变化。这节课是学生在前阶段学习了“圆的认识”“与圆有关的位置、关系”“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸。本课时在中考中占有一定的分值,掌握好这部分内容就是中考制胜的法宝,针对知识的形成过程,本节课创造性的使用教材,本节课的主要内容是在小学阶段学过的圆周长和面积公式的基础上,采用由特殊到一般的方法探索弧长及扇形面积公式,利用小组合作的方式让学生更好的理解弧长和扇形的面积的形成过程,让学生充分体验知识的形成过程,也注重数学方法的渗透。并运用公式解决一些具体问题,为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。对学生以后学习用动态解决数学问题的学习起到了铺垫作用。 (二)说教学目标 1、知识与技能(1)经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程; (2)了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题。 2、过程与方法(1)经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力。(2)了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力。 3、情感态度与价值观(1)经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。(2)通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力。(三)说教学重、难点 重点:弧长公式,扇形面积的推导及公式的应用。 难点:运用弧长和扇形的面积,计算组合图形的面积。 (四)说教法 针对九年级学生年龄特点和心理特点,以及他们现有的知识水平,通过小组合作与交流尝试练习促进共同进步,并用肯定的语言进行鼓励,激励学生。 引导学生积极思维、热情参与、大胆质疑、勇于实践,具体做法如下:(1)提问法----- 启发诱导、逐渐深入(2)讨论法----- 积极参与、求同化异(3)练习法----- 学生实践、巩固提高 二、说学生分析 (一)、说学生状况分析 九年级学生已经具备较强的逻辑思维能力和很好的表达能力。本班的学生学习能力一般,成绩中等较多。但是班级的学习积极较高,团结性较好,合作能力较好。因此学知识时要循序渐进,巩固基础,在逐步拓展提升。 (二)、说学法 通过小组合作共同探究引导学生借助圆的周长公式、面积公式正确理解弧长、扇形面积公式及推导,巩固应用公式计算,求简单组合图形的扇形面积,培养学生的创新能力和概括表达能力。让学生体验“从特殊到一般,再由一般到特殊”的辩证思想。

弧长公式及扇形面积公式

弧长公式及扇形面积公式 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)

分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

扇形的面积公式 习题

24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 1.如图24-4-6,已知⊙O 的半径OA =6,∠AOB =90°,则∠AOB 所对的弧AB 的长为( ) A .2π B .3π C .6π D .12π 图24-4-6图24-4-7 2.如图24-4-7,AB 切⊙O 于点B ,OA =2 3,AB =3,弦BC ∥OA ,则劣弧的弧长为( ) A.33π B.32π C .π D.32 π 3.挂钟分针的长是10 cm ,经过45分钟,它的针尖转过的弧长是( ) A.15π2 cm B .15π cm C.75π2 cm D .75π cm 4.如图24-4-8,在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线,点P 为切点,且AB =4,OP =2,连接OA 交小圆于点E ,则的长为( ) 图24-4-8 A. π4 B.π3 C.π2 D.π 8 5.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20πcm ,则此扇形的半径是__________cm ,面积是________cm(结果保留π). 6.如图24-4-9,点A ,B ,C 在直径为2 3的⊙O 上,∠BAC =45°,则图中阴影的面积等于__________(结果中保留π). 图24-4-9图24-4-10 7.如图24-4-10,以O 为圆心的同心圆,大圆的半径OC ,OD 分别交小圆于A ,B . 长为8π,长为12π,AC =12.则小圆半径为________ . BC PE AB CD

8.如图24-4-11,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,∠AOC =60°,OC =2. (1)求OE 和CD 的长; (2)求图中阴影部分的面积. 图24-4-11 9.如图24-4-12,直径AB 为6的半圆,绕点A 逆时针旋转60°,此时点B 到了点B ′,则图中阴影部分的面积是( ) A .3π B .6π C .5π D .4π 图24-4-12图24-4-13 10.如图24-4-13,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,两等圆⊙A ,⊙B 外切,那么图中两个扇形的面积之和为( ) A.254π B.258π C.2516π D.2532π 11.如图24-4-14,在⊙O 中,弦BC 垂直于半径OA ,垂足为点E ,点D 是优弧上一点,连接BD ,AD ,OC ,∠ADB =30°. (1)求∠AOC 的度数; (2)若弦BC =6 cm ,求图中阴影部分的面积. 图24-4-14 BC

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