统计学：变异指标共59页
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统计指标 - 平均指标与变异指标 - PPT解剖
知道了各组标志值和各组标志 值总量，而未掌握频数时，加 权调和平均数公式
• 组距式分配数列的加权调和
首先要计算出他们的组中值，来代替标志值，然后还是按照同样的方
法来进行即可。
Practic - 某车间各等级奖金分配情况如表所示，计算该
车间的平均奖金额度。
平均奖金额度=奖金总额/总人数
xH
m1m2 (m1 m2
（1）简单调和平均数
例5-4 某市场黄瓜的价格早午晚分别为每千克2.40元，1.60 元，1.20元。如果某顾客早午晚各买一元钱的黄瓜，那么黄 瓜平均每千克的价格是多少。
3
1
1
1
＋
＋
2 .40 1 .60 1 .20
= 1.6 元/kg
xH
(
1
1
n .
.
.
..
1)
x1 x2
xn
（2）加权调和平均数
例4.其他条件不变, 若从甲市场购买2元, 从乙市 场购买3元, 求平均价格。 加权调和平均数=（2+3）/(2/2+3/3)=2.5
Harmonic Average
• 调和平均数 - 是根据分布中数据值的倒数来计算的算术
平均数，所以又称为倒数平均数，总体各单位标志值总和除 以数据总个数来计算。
分为两种，简单的调和平均数跟加权平均数。
• 对已分组的数据资料确定众数
在单项分组的数据分布中，出现次数最多的标志值即为众数。 例 5 -14 某车间50名工人每天加工零件情况如表所示。请计算众数
M 0 =16（件）
2、有组距数列确定众数
例5-15 某城市居民家庭年收入情况的抽样调查资料表如下， 求居民家庭年收入的众数。
第六章-变异指标
6
8 12 14
11
14 7 6 2
15 16
90
32 476
合 计 40
第四章 综合指标
1、计算工人平均日产量：
340 = 8.5(件) xf x 40 f 乙班: x 476 = 11.9(件) 40 2、计算日产量的标准差：
甲班： x
x f f
2
xf f
3 3
标准差的简捷计算
目的: 避免离差平方和计算过程的出现 变量值平方 的平均数
X X
2
N
2
变量值平均 数的平方
2
简单标准差 加权标准差
X
2
X N
2
X f f
Xf f
2
大象 500kg
1
二班成绩的标准差系数为：
2
表性比二班大。
例：
已知甲乙两个班组工人日产资料如下：
甲 班 日产量 工人数 （件） （人） 5 6 7 10 9 12 10 8 13 4 合计 40 乙 班 日产量 工人数 （件） （人） 8 11 12 14 14 7 15 6 16 2 合计 40
要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？
P Q N1 N0 N
具有某种标志表现的 单位数所占的成数
不具有某种标志表现 的单位数所占的成数
N
N 且有 P Q 1
N
N0
N1 N 0 N 1 N N N
是非标志总体的指标
均 值
XP
Xf f
1 N1 0 N 0 N1 P N N
统计学第五章(变异指标)
峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述
统计学基础课件 第五章 平均指标和变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 第二节 变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 ❖ 一、平均指标的意义和作用 ❖ 二、平均指标的种类和计算方法 ❖ 三、计算和运用平均指标应注意的问题
第五章 平均指标和变异指标
一、平均指标的意义和作用
❖概念：
又称统计平均数，是用以反映现象一般水平的指标，有静 态平均数和动态平均数之分。本节主要介绍静态平均数。
现资料之间存在一定数学关系，应首先考虑算术平均数 的变形公式 —— 调和平均法。
注: 调和平均法计算平均数时,依据的是加权算术平均法, 但又不能直接使用,须借助于某两个数值相除得到需要的 数值再计算平均数,故调和平均数是算术平均数的变型公 式。
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
❖ (二)调和平均数的计算公式
计算公式
简单式 未分组 加权式 已分组
x
n 1
x
单项式 组距式
m
x
m x
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某市场上有四种价格的苹果，每公斤分别为4、
5、8、10元，试计算：各买1元钱，平均每公斤多少 钱解？：平均单价：
xH
n
1 x
1 4
1 5
4 1 1
8 10
5.9(元/公斤)
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某小组5位成员某次考试的成绩分别为60分、88分、
75分、52分、96分，则该小组成员的平均成绩是多少？
解：平均成绩 x x 60 88 75 52 96 74.2(分)
n
5
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某商品有两种型号，单价分别为2元和3元，已
第一节 平均指标 第二节 变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 ❖ 一、平均指标的意义和作用 ❖ 二、平均指标的种类和计算方法 ❖ 三、计算和运用平均指标应注意的问题
第五章 平均指标和变异指标
一、平均指标的意义和作用
❖概念：
又称统计平均数，是用以反映现象一般水平的指标，有静 态平均数和动态平均数之分。本节主要介绍静态平均数。
现资料之间存在一定数学关系，应首先考虑算术平均数 的变形公式 —— 调和平均法。
注: 调和平均法计算平均数时,依据的是加权算术平均法, 但又不能直接使用,须借助于某两个数值相除得到需要的 数值再计算平均数,故调和平均数是算术平均数的变型公 式。
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
❖ (二)调和平均数的计算公式
计算公式
简单式 未分组 加权式 已分组
x
n 1
x
单项式 组距式
m
x
m x
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某市场上有四种价格的苹果，每公斤分别为4、
5、8、10元，试计算：各买1元钱，平均每公斤多少 钱解？：平均单价：
xH
n
1 x
1 4
1 5
4 1 1
8 10
5.9(元/公斤)
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某小组5位成员某次考试的成绩分别为60分、88分、
75分、52分、96分，则该小组成员的平均成绩是多少？
解：平均成绩 x x 60 88 75 52 96 74.2(分)
n
5
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某商品有两种型号，单价分别为2元和3元，已
92变异指标医学统计学
体脂变异系数：
CV1
5.8 18.9
100%
30.69%
血清胆固醇变异系数：
CV2
1.036 100% 4.84
21.40%
体脂的变异程度高于血清胆固醇的变异程度
2023/12/29
12
常用指标的特点及其应用场合
指标
xs
Md Q Mo R
CV
特点
应用场合
精确，易受极端值影响 均匀分布的小样本数据或近似正态分布数据
变异指标
Index of Variation
2023/12/29
1
变异指标——又称离散指标，用以描述一组计量 资料各观察值之间参差不齐的程度。
变异指标越大，观察值之间差异愈大，说明平均 数的代表性就越差；反之亦然。
常用指标：极差、四分位数间距、方差、标准差、变 异系数等。
2023/12/29
2
一.极差
7
（二）标准差的定义
标准差即为方差的平方根，样本标准差符号为s，相应 的总体标准差符号为σ。
s x2 x2 n n 1
2023/12/29
8
三组同性别、同年龄儿童体重
甲组 26 28 30 32 34 乙组 24 27 30 33 36 丙组 26 29 30 31 24
丙组 3
乙组 2
稳定，不受特大或特小 值的影响
粗糙，不受极端数值的 影响
标准差与均数的比值， 无单位
应用范围广，特别是大样本偏态分布资料
小样本的探索性数据
比较不同资料或同类资料均数相差悬殊时变 异程度
2023/12/29
13
2023/12/29
14
甲组 1
0 20 24 28 32 36 40
统计学变异指标
全距是测定标志变动度的一种粗略方法。
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
统计学课件--第六章变异指标
2000
277893.6 138.95元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
2019/11/1
课件
19
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差 三、平均差
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全 部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平 均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和 参与统计分析运算。
2019/11/1
课件
7
第六章 变异指标
【专栏6－1】
别把平均指标看得过重
目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳步增长， 但收入差距的扩大，已成为工资分配中的突出问题。1 月31日，国家发改委官方网站公布系列收入分配报告显 示，1990～2019年，城乡居民的工资性收入在居民总收 入中所占的比重从45.3%逐步提高到63.2%.但也就在这 一时期，平均货币工资收入最高最低行业之比由 1.76∶1扩大为4.88∶1。如果我们不注重行业间的收入 差距过大问题，不采取措施弥补这种差距，而是任其扩 大，一味追求平均指标的增长，那就无助于“整个社会 的生活状况”的改善，因为一个舰队的速度，取决于那 个最慢的船只。
2019/11/1
课件
8
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
2019/11/1
课件
9
第六章 变异指标
标准差
277893.6 138.95元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
2019/11/1
课件
19
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差 三、平均差
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全 部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平 均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和 参与统计分析运算。
2019/11/1
课件
7
第六章 变异指标
【专栏6－1】
别把平均指标看得过重
目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳步增长， 但收入差距的扩大，已成为工资分配中的突出问题。1 月31日，国家发改委官方网站公布系列收入分配报告显 示，1990～2019年，城乡居民的工资性收入在居民总收 入中所占的比重从45.3%逐步提高到63.2%.但也就在这 一时期，平均货币工资收入最高最低行业之比由 1.76∶1扩大为4.88∶1。如果我们不注重行业间的收入 差距过大问题，不采取措施弥补这种差距，而是任其扩 大，一味追求平均指标的增长，那就无助于“整个社会 的生活状况”的改善，因为一个舰队的速度，取决于那 个最慢的船只。
2019/11/1
课件
8
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
2019/11/1
课件
9
第六章 变异指标
标准差
统计讲稿第七章 变异指标.ppt
第七章 变异指标
1
变异指标
（1）变异指标的概念： • 变异指标又称标志变动度，它综合反映
总体各个单位标志值的差异程度或离散 程度。 • 以平均指标为基础，结合运用变异指标 是统计分析的一个重要方法。
2
变异指标的作用 ①反映现象总体各单位标志值分布的离
中趋势。
• 在统计分祈过程中，进行相关分析、趋势分析、 抽样推断和统计预测决策等等，都需要利用标 志变异指标。它是统计分析的—个重要基本指 标。
21
平均差的应用
• 平均差越大，标志变异程度越大，平均差越 小，标志变异越小。
• 可以客观全面地评价总体标志的变异程度。 • 因为有绝对值运算，所以运算繁琐，不易计
算。
22
③标准差σ
• 标准差：总体中各单位标志值与 算术平均数的离差平方的算术平 均数的平方根，又称为均方差。
• 它是测定标志变动程度的最主要 的指标。
41
解：
甲品种
Xf
xf x x x x 2 f
500 1.2 600 0
450 1.1 495 -50
445 1.0 445 -55
600 0.9 540 100
525 0.8 420 25
合 计 5.0 2500
—
0 2750 3025 9000
500
15275
乙品种
x
f
xf x x x x 2 f
3
②说明平均指标的代表性程度；
• 平均指标作为总体一定数量标志的代 表值，其代表性决定于总体各单位标 志数值的差异程度。
• 它与标志变异指标存直接关系。这种 关系表现为：总体数值标志变异指标 愈大，平均指标的代表性愈小；标志 变异指标愈小，平均指标的代表性愈 大。
1
变异指标
（1）变异指标的概念： • 变异指标又称标志变动度，它综合反映
总体各个单位标志值的差异程度或离散 程度。 • 以平均指标为基础，结合运用变异指标 是统计分析的一个重要方法。
2
变异指标的作用 ①反映现象总体各单位标志值分布的离
中趋势。
• 在统计分祈过程中，进行相关分析、趋势分析、 抽样推断和统计预测决策等等，都需要利用标 志变异指标。它是统计分析的—个重要基本指 标。
21
平均差的应用
• 平均差越大，标志变异程度越大，平均差越 小，标志变异越小。
• 可以客观全面地评价总体标志的变异程度。 • 因为有绝对值运算，所以运算繁琐，不易计
算。
22
③标准差σ
• 标准差：总体中各单位标志值与 算术平均数的离差平方的算术平 均数的平方根，又称为均方差。
• 它是测定标志变动程度的最主要 的指标。
41
解：
甲品种
Xf
xf x x x x 2 f
500 1.2 600 0
450 1.1 495 -50
445 1.0 445 -55
600 0.9 540 100
525 0.8 420 25
合 计 5.0 2500
—
0 2750 3025 9000
500
15275
乙品种
x
f
xf x x x x 2 f
3
②说明平均指标的代表性程度；
• 平均指标作为总体一定数量标志的代 表值，其代表性决定于总体各单位标 志数值的差异程度。
• 它与标志变异指标存直接关系。这种 关系表现为：总体数值标志变异指标 愈大，平均指标的代表性愈小；标志 变异指标愈小，平均指标的代表性愈 大。