统计学—07变异数分析
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由於均差平方和與變異數之間只差變異數需除樣本數（嚴格來說是自由度， n 1），為方便 起見，我們常稱之為總變異、組間變異、與組內變異，即
總變異 組間變異 組內變異
另外，組間變異與虛無假設有關，又稱為處置變異（sum of square of treatment，SSTR）或 可解釋變異；相對地，組內變異又稱為誤差變異（sum of square of error，SSE）、隨機變異、 或不可解釋變異。
2
xij
2
xij j j
ij
ij
j 2 xij j 2
ji
ji
2
nj j
2
xij j
j
ji
即
總均差平方和 組間均差平方和 組內均差平方和
第七章 變異數分析
7.1 7.2 7.3 7.4
變異數分析概論 單因子變異數分析 雙因子變異數分析 有交互影響之變異數分析
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
1
7.1 變異數分析概論
變異數分析（Analysis Of Variance，ANOVA）
一種假設檢定的特殊型態。
ANOVA 的基本想法是將總變異數分成兩部分；與虛無假設有關的可解釋變異、以 及與虛無假設無關的不可解釋變異，一般若虛無假設為真，則可解釋變異應為零。 對兩組變異數的檢定，我們有 F 分配可以用（可解釋變異在分子、不可解釋變異在 分母），更進一步來說，ANOVA 一律是右尾檢定（為什麼？）。
SST SSB SSW
其中， 為總平均數， j 為第 j 組的平均數。在虛無假設成立的狀況下，組間均差平
方和應為零， SSB 0 。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
3
幾個均差平方和的中英文名詞如下
總均差平方和（total sum of square，SST） 組間均差平方和（sum of square between groups，SSB） 組內均差平方和（sum of square within groups，SSW）
變異來源 平方和
自由度
均方和
F
處置變異
44.16
2
組內變異
總變異
53.71
13
【解】
SSE SST SSTR 53.71 44.16 9.55
N k N 1 k 1 13 2 11
MSTR SSTR 44.16 22.08 k 1 2
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
8
變異數分析的假設
變異數分析的假設 (1)各組母體均為常態分配 (2)各組母體的標準差相等 (3)各組母體互相獨立
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
9
7.2 單因子變異數分析
單因子變異數分析只從總變異中抽取出一組可解釋變異：
統計學—07變異數分析
7
變異數分析分類
就可解釋變異有不同的定義，變異數分析分成三類： (1)單因子變異數分析（one-way ANOVA） (2)雙因子變異數分析（two-way ANOVA） (3)有交互影響之變異數分析（two-way ANOVA with interaction） 或稱為 因子實驗（Factorial Experiment）
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
4
變異數分析的內涵
變異數分析就是假設檢定，其虛無假設一律為
H0 : 1 2 k ， k 3 其檢定統計量一律為
F
SSTR k 1 SSE N k
MSTR MSE
，自由度 df
k
1, N
k ，右尾檢定
典型的變異數分析的檢定統計量為
F
可解釋變異數 不可解釋變異數
SSTR
SSE
k 1 N k
MSTR MSE
其中， N n1 n2 nk ，而 MSTR 稱為處置均方和（mean sum of square of treatment）， MSE 稱為誤差均方和（mean sum of square of error）。
我們真正要作的是計算樣本的 MSTR 與 MSE，也就是計算樣本檢定統計量值。因為這兩 個數值的計算過程比一般假設檢定繁複，我們用變異數分析表（ANOVA table）來整合計 算過程。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
5
範例 2 （變異數分析表） 以下是變異數分析表：
Source of Variation Treatments Error Total
Sum of Squares SSTR SSE SST
百度文库
Degree of Freedom k-1 N-k N-1
Mean Square MSTR = SSTR / k-1
MSE = SSE / N-k
F F = MSTR / MSE
變異來源 組間變異 組內變異
總變異
平方和 SSTR SSE SST
自由度 k-1 N-k N-1
MSE SSE 9.55 0.87 N k 11
F MSTR 22.08 24.435 MSE 0.87
完整的變異數分析表如下
變異來源 處置變異 組內變異
總變異
平方和 44.16 9.55 53.71
自由度 2 11 13
均方和 22.08 0.87
F 24.435
©2009 陳欣得
均方和 MSTR = SSTR / k-1
MSE = SSE / N-k
F F = MSTR / MSE
請注意表內各項數值間的關係。一般只要知道其中四項，其他各項就可以用相互間的 關係推算出來。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
6
範例 3 （變異數分析表） 就以下變異數分析表，請推求出表中其他數值：
A
B
C
10
8
7
11
9
8
12
10
6
10
8
7
12
6
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
2
範例 1 （變異數分析的各種變異數） 前一章的假設檢定無法處理這種虛無假設：
H0 : 1 2 k ， k 3 令觀察值為 xij ， i 1, , nj ， j 1, , k ，其中，一共有 k 組觀察值，而 n j 為第 j 組的觀 察值數目。以下是所有觀察值的均差平方和
總變異 組間變異 組內變異
另外，組間變異與虛無假設有關，又稱為處置變異（sum of square of treatment，SSTR）或 可解釋變異；相對地，組內變異又稱為誤差變異（sum of square of error，SSE）、隨機變異、 或不可解釋變異。
2
xij
2
xij j j
ij
ij
j 2 xij j 2
ji
ji
2
nj j
2
xij j
j
ji
即
總均差平方和 組間均差平方和 組內均差平方和
第七章 變異數分析
7.1 7.2 7.3 7.4
變異數分析概論 單因子變異數分析 雙因子變異數分析 有交互影響之變異數分析
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
1
7.1 變異數分析概論
變異數分析（Analysis Of Variance，ANOVA）
一種假設檢定的特殊型態。
ANOVA 的基本想法是將總變異數分成兩部分；與虛無假設有關的可解釋變異、以 及與虛無假設無關的不可解釋變異，一般若虛無假設為真，則可解釋變異應為零。 對兩組變異數的檢定，我們有 F 分配可以用（可解釋變異在分子、不可解釋變異在 分母），更進一步來說，ANOVA 一律是右尾檢定（為什麼？）。
SST SSB SSW
其中， 為總平均數， j 為第 j 組的平均數。在虛無假設成立的狀況下，組間均差平
方和應為零， SSB 0 。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
3
幾個均差平方和的中英文名詞如下
總均差平方和（total sum of square，SST） 組間均差平方和（sum of square between groups，SSB） 組內均差平方和（sum of square within groups，SSW）
變異來源 平方和
自由度
均方和
F
處置變異
44.16
2
組內變異
總變異
53.71
13
【解】
SSE SST SSTR 53.71 44.16 9.55
N k N 1 k 1 13 2 11
MSTR SSTR 44.16 22.08 k 1 2
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
8
變異數分析的假設
變異數分析的假設 (1)各組母體均為常態分配 (2)各組母體的標準差相等 (3)各組母體互相獨立
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
9
7.2 單因子變異數分析
單因子變異數分析只從總變異中抽取出一組可解釋變異：
統計學—07變異數分析
7
變異數分析分類
就可解釋變異有不同的定義，變異數分析分成三類： (1)單因子變異數分析（one-way ANOVA） (2)雙因子變異數分析（two-way ANOVA） (3)有交互影響之變異數分析（two-way ANOVA with interaction） 或稱為 因子實驗（Factorial Experiment）
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
4
變異數分析的內涵
變異數分析就是假設檢定，其虛無假設一律為
H0 : 1 2 k ， k 3 其檢定統計量一律為
F
SSTR k 1 SSE N k
MSTR MSE
，自由度 df
k
1, N
k ，右尾檢定
典型的變異數分析的檢定統計量為
F
可解釋變異數 不可解釋變異數
SSTR
SSE
k 1 N k
MSTR MSE
其中， N n1 n2 nk ，而 MSTR 稱為處置均方和（mean sum of square of treatment）， MSE 稱為誤差均方和（mean sum of square of error）。
我們真正要作的是計算樣本的 MSTR 與 MSE，也就是計算樣本檢定統計量值。因為這兩 個數值的計算過程比一般假設檢定繁複，我們用變異數分析表（ANOVA table）來整合計 算過程。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
5
範例 2 （變異數分析表） 以下是變異數分析表：
Source of Variation Treatments Error Total
Sum of Squares SSTR SSE SST
百度文库
Degree of Freedom k-1 N-k N-1
Mean Square MSTR = SSTR / k-1
MSE = SSE / N-k
F F = MSTR / MSE
變異來源 組間變異 組內變異
總變異
平方和 SSTR SSE SST
自由度 k-1 N-k N-1
MSE SSE 9.55 0.87 N k 11
F MSTR 22.08 24.435 MSE 0.87
完整的變異數分析表如下
變異來源 處置變異 組內變異
總變異
平方和 44.16 9.55 53.71
自由度 2 11 13
均方和 22.08 0.87
F 24.435
©2009 陳欣得
均方和 MSTR = SSTR / k-1
MSE = SSE / N-k
F F = MSTR / MSE
請注意表內各項數值間的關係。一般只要知道其中四項，其他各項就可以用相互間的 關係推算出來。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
6
範例 3 （變異數分析表） 就以下變異數分析表，請推求出表中其他數值：
A
B
C
10
8
7
11
9
8
12
10
6
10
8
7
12
6
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
2
範例 1 （變異數分析的各種變異數） 前一章的假設檢定無法處理這種虛無假設：
H0 : 1 2 k ， k 3 令觀察值為 xij ， i 1, , nj ， j 1, , k ，其中，一共有 k 組觀察值，而 n j 為第 j 組的觀 察值數目。以下是所有觀察值的均差平方和