统计学—07变异数分析
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统计学第五章(变异指标)
峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述
统计学中标志变异指标分析
σ乙 (22 12 12 22 )/5 1.414(件)
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】
某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 f(人)
总成 绩xf
(xx)2f
• 缺点：容易受两极端值影响，带有较大 的偶然性，而对于两个极端值之间标志 值的分散状况没有反映，因而不能准确 描述出数据的分散程度，只是测定标志 变异指标的粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
补充：四分位差
• 把一个变量数列分成四等份，形成三 个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割 点的数值就称为四分位数，Q2 也是中 位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1
• 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位 数Me的代表性愈差，反之，则说明中 位数Me的代表性愈好。
（二） 平均差（Ａ·Ｄ）
平均差：是总体中各单位标志值与 其算术平均数之间绝对离差的算术 平均数。它能综合反映总体标志值 的变异程度。
A
D
Σ|x x| n
AD
Σ|xx|f
Σf
【例】：
有两个生产小组，每组都是5名工人， 某天日产量的件数如下：
离中趋势：指远离中心值的程度。
变异指标反映离中趋势：
离散程度不同就意味着变量在平均数 周围分布的密集程度不同，从而同样的平 均数对于两个总体具有不同的代表性。
【例】 A组：65、68、72、75分
B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】
某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 f(人)
总成 绩xf
(xx)2f
• 缺点：容易受两极端值影响，带有较大 的偶然性，而对于两个极端值之间标志 值的分散状况没有反映，因而不能准确 描述出数据的分散程度，只是测定标志 变异指标的粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
补充：四分位差
• 把一个变量数列分成四等份，形成三 个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割 点的数值就称为四分位数，Q2 也是中 位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1
• 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位 数Me的代表性愈差，反之，则说明中 位数Me的代表性愈好。
（二） 平均差（Ａ·Ｄ）
平均差：是总体中各单位标志值与 其算术平均数之间绝对离差的算术 平均数。它能综合反映总体标志值 的变异程度。
A
D
Σ|x x| n
AD
Σ|xx|f
Σf
【例】：
有两个生产小组，每组都是5名工人， 某天日产量的件数如下：
离中趋势：指远离中心值的程度。
变异指标反映离中趋势：
离散程度不同就意味着变量在平均数 周围分布的密集程度不同，从而同样的平 均数对于两个总体具有不同的代表性。
【例】 A组：65、68、72、75分
B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
变异数分析ANOVA
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變異數分析介紹(實例)
在NCP公司的例子中，我們可得
σ2的處理間估計值(258)遠大於處理內估計值 (28.67)，事實上，這兩個估計值之比為 258/28.67＝9。
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變異數分析介紹
只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為 σ2 的一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理內 估計值將高估 σ2 。但處理內估計值則不論在何 種情況下，均為共同母體變異數 σ2的良好估計 值。因此，若虛無假設為真，此兩個估計值應 極為接近，它們的比也應接近1；如果虛無假 設為偽，處理間估計值應大於處理內估計值， 且它們的比應該較大。
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變異數分析介紹
每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析 之結論。當由每個母體中抽取一組隨機樣本時 ，每一組樣本的變異數均應為共同變異數σ2的 不偏估計值。因此，我們將結合共同變異數σ2 的每個個別估計值，成為一個總樣本估計值。 以此方式獲得的母體變異數σ2的估計值稱為σ2 之混合或 處理內估計值(pooled or withintreatments estimate)。 由於 σ2之處理內估計值乃每組樣本組內變異所 計算而得之樣本變異數，故不受母體平均數是 否相等之影響。當樣本大小相等時， σ2之處理 內估計值可由計算各個樣本變異數之平均數而 得。
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變異數分析介紹(實例)
工廠地點及品質認知測驗的成績為兩個變數。 由於我們的目的是要知道三間工廠的平均測驗 成績是否相同，我們稱測驗成績為應變數 (dependent variable)或 反應變數(response variable)，而工廠地點為自變數(independent variable)或因素(factor)。通常，因素的值亦稱 為因素的等級或是處理(treatments)。 亞特蘭大、達拉斯、西雅圖即為三個處理，我 們定義它們是研究中的三個母體。在每一個處 理或母體中，反應變數即為測驗的成績。
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變異數分析介紹(實例)
在NCP公司的例子中，我們可得
σ2的處理間估計值(258)遠大於處理內估計值 (28.67)，事實上，這兩個估計值之比為 258/28.67＝9。
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變異數分析介紹
只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為 σ2 的一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理內 估計值將高估 σ2 。但處理內估計值則不論在何 種情況下，均為共同母體變異數 σ2的良好估計 值。因此，若虛無假設為真，此兩個估計值應 極為接近，它們的比也應接近1；如果虛無假 設為偽，處理間估計值應大於處理內估計值， 且它們的比應該較大。
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變異數分析介紹
每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析 之結論。當由每個母體中抽取一組隨機樣本時 ，每一組樣本的變異數均應為共同變異數σ2的 不偏估計值。因此，我們將結合共同變異數σ2 的每個個別估計值，成為一個總樣本估計值。 以此方式獲得的母體變異數σ2的估計值稱為σ2 之混合或 處理內估計值(pooled or withintreatments estimate)。 由於 σ2之處理內估計值乃每組樣本組內變異所 計算而得之樣本變異數，故不受母體平均數是 否相等之影響。當樣本大小相等時， σ2之處理 內估計值可由計算各個樣本變異數之平均數而 得。
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變異數分析介紹(實例)
工廠地點及品質認知測驗的成績為兩個變數。 由於我們的目的是要知道三間工廠的平均測驗 成績是否相同，我們稱測驗成績為應變數 (dependent variable)或 反應變數(response variable)，而工廠地點為自變數(independent variable)或因素(factor)。通常，因素的值亦稱 為因素的等級或是處理(treatments)。 亞特蘭大、達拉斯、西雅圖即為三個處理，我 們定義它們是研究中的三個母體。在每一個處 理或母體中，反應變數即為測驗的成績。
统计学变异数计算
统计学变异数计算
【原创版】
目录
1.变异数的概念
2.变异数的计算方法
3.为什么使用平方和计算变异数
4.平方和与绝对值的比较
5.变异数在统计学中的应用
正文
一、变异数的概念
变异数是统计学中用来衡量一组数据离散程度的指标，它反映了数据值的分散情况。
在统计学中，变异数越大，说明数据的离散程度越大，数据值越分散；反之，变异数越小，说明数据的离散程度越小，数据值越集中。
二、变异数的计算方法
变异数的计算方法有多种，其中最常见的是方差和标准差。
方差是各数据值与其算术平均数之差的平方和，而标准差则是方差的平方根。
另外，还有一种计算变异数的方法是使用绝对值，称为平均差。
三、为什么使用平方和计算变异数
在统计学中，通常使用平方和来计算变异数，主要是因为平方和具有一些优点。
首先，平方和的计算方法简单，容易理解。
其次，平方和可以较好地反映数据的离散程度，因为数据的离散程度与平方和的大小密切相关。
最后，平方和在运算过程中具有较好的性质，例如，它可以方便地进行累加和求平均等操作。
四、平方和与绝对值的比较
虽然平方和在计算变异数时具有很多优点，但实际上，使用绝对值计算变异数也是可行的。
在统计学教科书中，平均差就是一个使用绝对值计算变异数的指标。
然而，在一般情况下，比如初中数学，遇到绝对值，需要去掉绝对值符号，因为绝对值符号参与运算不便。
而平方则更方便些，因此，方差和标准差要比平均差更为流行。
五、变异数在统计学中的应用
变异数在统计学中有广泛的应用，它可以用于衡量数据的离散程度、描述数据的分散情况、评估数据的稳定性等。
最新变异数分析的基本概念教学讲义ppt
變異數分析的基本概念
本章結構
變異數分析
變異數分析 的基本觀念
實驗設計
一因子變異 數分析-完全
隨機設計
一因子變異 數分析-隨機
集區設計
二因子變 異數分析
設立兩個假設
Excel 的 使用
MSF
選 取 MSE 為 檢定統計量
決定決策法則 下結論
變異數分析
變異數分析的意義
變異數分析是檢定三個或三個以上的母體平均數是 否相等的統計方法，或檢定因子對依變數是否有影響 的統計方法。
1 v2 / v1
2
3
4
5 … 9 10 … 120 ∞
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 … 240.5 241.9 … 253.3 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 … 19.38 19.40 … 19.49 19.50
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 … 8.81 8.79 … 8.55 8.53
k
SSE (Yij Yi )2 或 SSE (n 1)Si2
i1 j1
i 1
Hale Waihona Puke 變異數分析的基本概念因子引起的變異數（組間變異）
MSF SSF k 1
隨機變異數（組內變異）
MSE SSE nk
變異數分析的基本概念
F檢定統計量
MSF F MSE ~ F k 1, nk
決策法則
若 F Fk1,nk , ，則拒絕 H0 。
表13.8 四種教學法的學習效果
一因子變異數分析─完全隨機設計
表13.9 三種魚類捕食埃及斑蚊幼蟲的數目
一因子變異數分析─完全隨機設計
本章結構
變異數分析
變異數分析 的基本觀念
實驗設計
一因子變異 數分析-完全
隨機設計
一因子變異 數分析-隨機
集區設計
二因子變 異數分析
設立兩個假設
Excel 的 使用
MSF
選 取 MSE 為 檢定統計量
決定決策法則 下結論
變異數分析
變異數分析的意義
變異數分析是檢定三個或三個以上的母體平均數是 否相等的統計方法，或檢定因子對依變數是否有影響 的統計方法。
1 v2 / v1
2
3
4
5 … 9 10 … 120 ∞
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 … 240.5 241.9 … 253.3 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 … 19.38 19.40 … 19.49 19.50
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 … 8.81 8.79 … 8.55 8.53
k
SSE (Yij Yi )2 或 SSE (n 1)Si2
i1 j1
i 1
Hale Waihona Puke 變異數分析的基本概念因子引起的變異數（組間變異）
MSF SSF k 1
隨機變異數（組內變異）
MSE SSE nk
變異數分析的基本概念
F檢定統計量
MSF F MSE ~ F k 1, nk
決策法則
若 F Fk1,nk , ，則拒絕 H0 。
表13.8 四種教學法的學習效果
一因子變異數分析─完全隨機設計
表13.9 三種魚類捕食埃及斑蚊幼蟲的數目
一因子變異數分析─完全隨機設計
统计分析和变异检验
案例分析步骤
确定研究问题 收集数据 数据清洗和整理 选择合适的统计分析方法 执行统计分析 结果解释与报告
案例分析方法
描述性统计分析：对数据进行描述性统计，如均值、中位数、众数等，以了解数据的基本 特征和分布情况。
推断性统计分析：基于样本数据推断总体特征，如参数估计、假设检验等，以得出具有科 学性和可靠性的结论。
变异检验
变异检验的概念
变异检验的定义：变异检验是一种统计学方法，用于评估数据中观察到的差异或变异性是 否具有统计显著性。
变异检验的目的：变异检验的目的是确定观察到的差异或变异性是否可归因于偶然因素， 或者是否可能是由某种系统因素引起的。
变异检验的类型：变异检验可以分为参数和非参数两种类型。参数检验假设数据符合特定 的分布，而非参数检验则不假设数据分布。
案例应用：说明 该案例在实际应 用中的意义和价 值
变异检验案例
案例选择原则
代表性：选择具有代表性的案例，能够更好地说明变异检验的应用和效果。 实际性：选择实际应用中的案例，能够更好地说明变异检验的实际作用和价值。 对比性：选择具有对比性的案例，能够更好地说明变异检验在不同情况下的应用效果。 完整性：选择完整的案例，能够更好地说明变异检验的整个流程和操作细节。
案例分析结果解释
变异检验的目的：确定两组数据是否存在显著差异
变异检验的原理：基于统计学原理，通过计算两组数据的变异系数等方法来评估数据的一致性和 稳定性
变异检验的步骤：数据收集、数据整理、数据检验和结果解释
变异检验的应用场景：在生物学、医学、经济学等领域中，变异检验被广泛应用于实验设计、数 据分析和统计推断等方面
回归分析：通过建立变量之间的数学模型，分析变量之间的关系和影响程度，以预测和控 制变量的变化。
变异数的统计学含义
变异数的统计学含义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊统计学里一个挺重要的概念——变异数。
那啥是变异数呢？简单来说，它就是用来衡量一组数据离散程度的指标。
咱可以这么想，就好比一群人站在一起，每个人的身高都不一样，这身高的差异程度就可以用变异数来体现呀。
比如说有两组数据，一组数据都很接近，那它的变异数就会比较小；而另一组数据呢，有的特别大，有的特别小，那这组数据的变异数就会比较大啦。
这就好像一堆苹果，有的都差不多大，那它们之间的差异就小；要是有大有小很不均匀，那差异不就大了嘛！
变异数在很多地方都特别有用呢！比如在研究不同班级学生的成绩时，通过变异数就能知道哪个班级的成绩更稳定。
要是变异数小，说明大家成绩都差不多，比较稳定；要是变异数大，那就说明成绩差距挺大，不太稳定呀。
再想想，在工厂生产产品的时候，变异数能告诉我们产品质量的波动情况。
如果变异数大，是不是就意味着产品质量不太稳定，可能有不少次品呢？
而且哦，变异数还能帮助我们做决策呢！就像选股票，通过分析股票价格的变异数，就能知道这只股票波动大不大，风险高不高，咱要不要投资它。
那变异数到底是怎么算出来的呢？这就涉及到一些具体的计算方法啦。
不过别担心，只要跟着步骤来，也不难理解。
总之，变异数在统计学里可是很重要的呢！它能让我们更清楚地了解数据的分布和离散情况，帮助我们做出更明智的决策。
难道你不想深入了解一下它吗？它真的很神奇很有用呀！。
统计学课件--第六章 变异指标-精选文档60页
04.12.2019
课件
8
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
04.12.2019
课件
9
第六章 变异指标
课件
27
第六章 变异指标
第三节 标准差和标准差系数
标准差的简捷计算 目的: 避免离差平方和计算过程的出现
变量值平方 的平均数
X2X2
变量值平均 数的平方
简单标准差
X2
N
NX
2
加权标准差
X2 f f
Xf f2
04.12.2019
第一节 变异指标的基本理论 第二节 全距、分位差和平均差
第三节 标准差和标准差系数
第四节 偏度和峰度
第五节 变异指标的应用
04.12.2019
课件
2
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
一、离种趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离
离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综
三、平均差
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资 （元）
组中值（元）
X
职工人数（人）
f
300以下
250
208
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
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變異來源 平方和
自由度
均方和
F
處置變異
44.16
2
組內變異
總變異
53.71
13
【解】
SSE SST SSTR 53.71 44.16 9.55
N k N 1 k 1 13 2 11
MSTR SSTR 44.16 22.08 k 1 2
我們真正要作的是計算樣本的 MSTR 與 MSE，也就是計算樣本檢定統計量值。因為這兩 個數值的計算過程比一般假設檢定繁複，我們用變異數分析表（ANOVA table）來整合計 算過程。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
5
範例 2 （變異數分析表） 以下是變異數分析表：
Source of Variation Treatments Error Total
典型的變異數分析的檢定統計量為
F
可解釋變異數 不可解釋變異數
SSTR
SSE
k 1 N k
MSTR MSE
其中， N n1 n2 nk ，而 MSTR 稱為處置均方和（mean sum of square of treatment）， MSE 稱為誤差均方和（mean sum of square of error）。
由於均差平方和與變異數之間只差變異數需除樣本數（嚴格來說是自由度， n 1），為方便 起見，我們常稱之為總變異、組間變異、與組內變異，即
總變異 組間變異 組內變異
另外，組間變異與虛無假設有關，又稱為處置變異（sum of square of treatment，SSTR）或 可解釋變異；相對地，組內變異又稱為誤差變異（sum of square of error，SSE）、隨機變異、 或不可解釋變異。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
8
變異數分析的假設
變異數分析的假設 (1)各組母體均為常態分配 (2)各組母體的標準差相等 (3)各組母體互相獨立
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統計學—07變異數分析
9
7.2 單因子變異數分析
單因子變異數分析只從總變異中抽取出一組可解釋變異：
統計學—07變異數分析
7
變異數分析分類
就可解釋變異有不同的定義，變異數分析分成三類： (1)單因子變異數分析（one-way ANOVA） (2)雙因子變異數分析（two-way ANOVA） (3)有交互影響之變異數分析（two-way ANOVA with interaction） 或稱為 因子實驗（Factorial Experiment）
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統計學—07變異數分析
4
變異數分析的內涵
變異數分析就是假設檢定，其虛無假設一律為
H0 : 1 2 k ， k 3 其檢定統計量一律為
F
SSTR k 1 SSE N k
MSTR MSE
，自由度 df
k
1, N
k ，右尾檢定
MSE SSE 9.55 0.87 N k 11
F MSTR 22.08 24.435 MSE 0.87
完整的變異數分析表如下
變異來源 處置變異 組內變異
總變異
平方和 44.16 9.55 53.71
自由度 2 11 13
均方和 22.08 0.87
F 24.435
©2009 陳欣得
第七章 變異數分析
7.1 7.2 7.3 7.4
變異數分析概論 單因子變異數分析 雙因子變異數分析 有交互影響之變異數分析
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統計學—07變異數分析
1
7.1 變異數分析概論
變異數分析（Analysis Of Variance，ANOVA）
一種假設檢定的特殊型態。
ANOVA 的基本想法是將總變異數分成兩部分；與虛無假設有關的可解釋變異、以 及與虛無假設無關的不可解釋變異，一般若虛無假設為真，則可解釋變異應為零。 對兩組變異數的檢定，我們有 F 分配可以用（可解釋變異在分子、不可解釋變異在 分母），更進一步來說，ANOVA 一律是右尾檢定（為什麼？）。
2
xij
2
xij j j
ij
ij
j 2 xij j 2
ji
ji
2
nj j
2
xij j
j
ji
即
總均差平方和 組間均差平方和 組內均差平方和
Sum of Squares SSTR SSE SST
Degree of Freedom k-1 N-k N-1
Mean Square MSTR = SSTR / k-1
MSE = SSE / N-k
F F = MSTR / MSE
變異來源 組間變異 組內變異
總變異
平方和 SSTR SSE SST
自由度 k-1 N-k N-1
A
B
C
10
8
7
11
9
8
12
10
6
10
8
7
12
6
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
2
範例 1 （變異數分析的各種變異數） 前一章的假設檢定無法處理這種虛無假設：
H0 : 1 2 k ， k 3 令觀察值為 xij ， i 1, , nj ， j 1, , k ，其中，一共有 k 組觀察值，而 n j 為第 j 組的觀 察值數目。以下是所有觀察值的均差平方和
SST SSB SSW
其中， 為總平均數， j 為第 j 組的平均數。在虛無假設成立的狀況下，組間均差平
方和應為零， SSB 0 。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
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幾個均差平方和的中英文名詞如下
總均差平方和（total sum of square，SST） 組間均差平方和（sum of square between groups，SSB） 組內均差平方和（sum of square within groups，SSW）
均方和 MSTR = SSTR / k-1
MSE = SSE / N-k
F F = MSTR / MSE
請注意表內各項數值間的關係。一般只要知道其中四項，其他各項就可以用相互間的 關係推算出來。
©2009 陳欣得
統計學—07變異數分析
6
範例 3 （變異數分析表） 就以下變異數分析表，請推求出表中其他數值：