专题4 等差数列与等比数列(教师版)

（A） （B） （C） （D）-1或1
2．（理）已知数列 的值为（C）
（A） （B） （C）1（D）－2
（文）直角三角形三边成等比数列，公比为 ，则 的值为（D）
（A） （B） （C） （D）
3．设{an}为等差数列，a1>0，a6+a7>0，a6a7<0，则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（B）
其中一定能成为该数列“基本量”的是第①④组．(写出所有符合要求的组号)
6．设数列{an}的首项 ，且 ，记 ．
（I）求a2，a3；
（ ）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（ ）（理）求 ．
【专家解答】
（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；
（ ）∵a4=a3+ = a+ ，∴a5= a4= a+ ，
解析（1） 在直线x-y+1=0上
（2） ，
，
．
（3） ，
．
……………………………………
故存在关于n的整式 使等式对于一切不小2的自然数n恒成立．
【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式．第（3）小题的探索性设问也是本题的升华．
【变式】设数列 是等差数列， ．
（Ⅰ）当 时，请在数列 中找一项 ，使得 成等比数列；
（1）求数列{ }的通项公式 ；
（2）数列{ }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
解析：（1）当 时有：
两式相减得：
∴数列{ }是首项6，公比为2的等比数列．
从而
（2）假设数列{ }中存在三项 ，它们可以构成等差数列，
因此只能是 ，
即
、 、 均为正整数，
【范例2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
解析∵10Sn=an2+5an+6，① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
解析：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明
解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列
（２）设{an}的首项为a1，公比为q.由已知得2am+2=am+am+1
∴2a1qm+1=a1 +a1qm∵a1≠0 q≠0，∴2q2－q－1=0，∴q=1或q=－
专题等差数列与等比数列
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋……
＋a17＝153.
2．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若 ＝ ，则 ＝( A )
（A） （B） （C） （D）
3．已知数列 、 都是公差为1的等差数列，其首项分别为 、 ，且
（Ⅱ）由 得 即
由①+②得－7d＜11。即d＞－ .由①+③得13d≤－1，即d≤－ .
于是－ ＜d≤－ ，又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
8．（理）数列{ }的前 项和 满足：
★★★突破重难点
【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk= 2550．
(Ⅰ)求a及k的值；(Ⅱ)求 ( … )．
解析（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1=a，a2= 4，a3=3a，Sk= 2550．
由已知得a＋3a= 2×4，解得a1=a= 2，公差d=a2－a1= 2．
由 得 ，解得k= 50．
∴a= 2，k= 50．
（Ⅱ）由 得Sn=n(n＋1)，
∴
，
∴ ．
【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．
【文】 是等差数列 的前n项和，已知 的等比中项为 ， 的等差中项为1，求数列 的通项．
解析由已知得 ，即 ，
解得 或 或
经验证 或 均满足题意，即为所求．
【点睛】若 是等差数列 的前n项和，则数列 也是等差数列．本题是以此背景设计此题．
即 ．
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。
因此数列{ }中不存在可以构成等差数列的三项。
【文】在等差数列 中， ，前 项和 满足 ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
解析（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，由 得 ，
所以 ，即 ，所以 ．
（Ⅱ）由 ，得 ．故 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以b1=a1－ =a－ ，b2=a3－ = (a－ )，b3=a5－ = (a－ )，
猜想：{bn}是公比为 的等比数列．证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn，(n∈N*)
所以{bn}是首项为a－ ，公比为 的等比数列·
（ ）（理） ．
★★★高考要考什么
， ．设 （ ），则数列 的前10项和等于（C）
（A）55（B）70（C）85（D）100
4．在等比数列 中， ，前 项和为 ，若数列 也是等比数列，则 等于（C）
(A) (B) (C) (D)
5.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（ ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知 ＝ ＝ ，
故Tn＝ ＝ ＝ （1－ ）．
因此，要使 （1－ ）< （ ）恒成立的m，必须且仅须满足 ≤ ，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．
【文】设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn..
【文】已知等比数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 、 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
解析（1）当 时， ．
而 为等比数列，得 ，即 ，从而 ．
又 ．
（2） ，
两式相减得 ，
因此， ．
【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：
，
， ，
…………
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)．
(1)求a83；
(2)试写出aij关于i，j的表达式；
(3)记第n行的和为An，求
解析（1）由题知 成等差数列，且 ，所以公差 。
又 成等比数列，且 ．又公比都相等，∴每行的公比是 ．
∴ ．
（2）由（1）知， ，∴ ．
（3） ．
【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．
【文】在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列
（A）11（B）12（C）13（D）14
4．三个数 成等比数列，且 ，则 的取值范围是（D）
（A） （B） （C） （D）
5．令an为 的展开式中含xn项的系数，则数列{an}的前n项和为__________．
6．这是一个计算机程序的操作说明：
（1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；
（2）n＝n+1（将当前n+1的值赋予新的n）
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m；
解析（Ⅰ）设二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0)，则 =2ax+b，又 =6x－2，得a=3，b=－2，所以f(x)＝3x2－2x．
又因为点 均在函数 的图像上，所以 ＝3n2－2n．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ ＝6n－5．
（Ⅱ）当 时，若 满足 ，
使得 是等比数列，求数列 的通项公式．
解析（Ⅰ）设 公差为 ，则由 ，得
∵ 成等比数列，∴ 解得 ．故 成等比数列．
（Ⅱ） ，∴ ，故 ．
又 是等比数列，
则 ，∴ ，
又 ，∴ ，∴
【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容．
★★★自我提升
1．在等差数列 中， ，则 （A）
∵an+an－1>0，∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．
【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。