电磁感应中的能量转换经典问题

在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型.类型“电—动—电”型“动—电—动”型示意图棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计分析S闭合，棒ab受安培力F＝BLER，此时a＝BLEmR，棒ab速度v↑→感应电动势BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速棒ab释放后下滑，此时a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ER↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动形式变加速运动变加速运动最终状态匀速运动vm＝EBL匀速运动vm＝mgRsin αB2L21、如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．1、解析(1)如右图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直斜面向上；安培力F，平行斜面向上．(2)当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流I＝ER＝BLv Rab杆受到安培力F＝BIL＝B2L2v R根据牛顿运动定律，有ma＝mgsin θ－F＝mgsin θ－B2L2vRa＝gsin θ－B2L2v mR.(3)当B2L2vR＝mgsin θ时，ab杆达到最大速度vm＝mgRsin θB2L22、如图所示，足够长的光滑平行导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L＝1.0 m，导轨平面与水平面间的夹角为30°，磁感应强度为B的磁场垂直于导轨平面向上，导轨的M、P两端连接阻值为R＝3.0 Ω的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量m＝0.20 kg，电阻r＝0.50 Ω,重物的质量M＝0.60 kg，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 上滑距离/m 0 0.05 0.15 0.35 0.70 1.05 1.40(2)所加磁场的磁感应强度B为多大？(3)当v＝2 m/s时，金属棒的加速度为多大？2、解析(1)由表中数据可以看出最终ab棒将做匀速运动．vm＝st＝3.5 m/s(2)棒受力如图所示，由平衡条件得FT＝F＋mgsin 30°FT＝MgF＝B BLvm R＋r L联立解得B＝ 5 T(3)当速度为2 m/s时，安培力F＝B2L2v R＋r对金属棒ab有FT－F－mgsin 30°＝ma对重物有Mg－FT＝Ma联立上式，代入数据得a＝2.68 m/s23、边长为L的正方形闭合金属线框，其质量为m，回路电阻为R.图中M、N、P为磁场区域的边界，上下两部分水平匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向如图4所示．现让金属线框在图示位置由静止开始下落，金属线框在穿过M和P两界面的过程中均为匀速运动．已知M、N之间和N、P之间的高度差相等，均为h＝L＋5m2gR28B4L4，金属线框下落过程中金属线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，当地的重力加速度为g.试求：(1)图示位置金属线框的底边到M的高度d；(2)在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热；(3)金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框加速度的大小．3、解析(1)根据题意分析可知，金属线框在穿过M界面时做匀速运动，设为v1，根据运动学公式有v 21＝2gd 在金属线框穿过M的过程中，金属线框中产生的感应电动势E＝BLv1金属线框中产生的感应电流I＝E R金属线框受到的安培力F＝BIL根据物体的平衡条件有mg＝F，联立解得d＝m2gR22B4L4(2)根据能的转化和守恒定律，在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热为Q＝mg(2h＋L)解得Q＝mg(3L＋5m2gR24B4L4)(3)设金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框的速度大小为v2，根据题意和运动学公式有v 22－v 21＝2g(h－L)此时金属线框中产生的感应电动势E′＝2BLv2金属线框中产生的感应电流I′＝E′R金属线框受到的安培力F′＝2BI′L根据牛顿第二定律有F′－mg＝ma′解得金属线框的加速度大小为a′＝5g4、如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为l，所在平面的正方形区域abcd存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直斜面向上．将甲、乙两阻值相同、质量均为m的相同金属杆放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距l.静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨向下的外力F，使甲金属杆在运动过程中始终沿导轨向下做匀加速直线运动，加速度大小为gsin θ，乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动．(1)甲、乙的电阻R为多少；(2)设刚释放两金属杆时t＝0，写出从开始释放到乙金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系；(3)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q，试求此过程中外力F对甲做的功．4、解析(1)对乙受力分析知，乙的加速度大小为gsin θ，甲、乙加速度相同，所以当乙刚进入磁场时，甲刚出磁场，乙进入磁场时v＝2glsin θ对乙由受力平衡可知mgsin θ＝B2l2v2R＝B2l22glsin θ2R故R＝B2l22glsin θ2mgsin θ(2)甲在磁场中运动时，外力F始终等于安培力，F＝F安＝IlB＝Blv2R lB因为v＝gsin θ·t所以F＝Bl·gsin θ·t2R lB＝mg2sin2 θ2g lsin θt其中0≤t≤2lgsin θ甲出磁场以后，外力F为零．(3)乙进入磁场前做匀加速运动，甲乙产生相同的热量，设为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有WF＝W安＝2Q1，乙在磁场中运动产生的热量Q2＝Q－Q1，对乙利用动能定理有mglsin θ－2Q2＝0，联立解得WF＝2Q－mglsin θ.5、如图9所示，长L1＝1.0 m ，宽L2＝0.50 m 的矩形导线框，质量为m ＝0.20 kg ，电阻R ＝2.0 Ω.其正下方有宽为H(H>L2)，磁感应强度为B ＝1.0 T ，垂直于纸面向里的匀强磁场．现在，让导线框从cd 边距磁场上边界h ＝0.70 m 处开始自由下落，当cd 边进入磁场中，ab 尚未进入磁场时，导线框做匀速运动．(不计空气阻力，取g ＝10 m/s2)求：(1)线框完全进入磁场过程中安培力做的功是多少？(2)线框穿出磁场过程过线框任一截面的电荷量q 是多少？5、解析(1)当线框匀速运动时：满足mg ＝BIL1，而E ＝BL1v ，E ＝IR.线框由静止到刚好进入磁场过程中，由动能定理有mg(L2＋h)＋W ＝mv22－0， 解得安培力做的功W ＝－0.8 J.(2)线框穿出磁场过程过线框任一截面的电荷量：q ＝I t ＝ΔΦR ，即q ＝BL1L2R ， 代入数据解得q ＝0.25 C.6、 如图所示，绝缘细绳绕过轻滑轮连接着质量为m 的正方形导线框和质量为M 的物块，导线框的边长为L 、电阻为R 0，物块放在光滑水平面上，线框平面竖直且ab 边水平，其下方存在两个匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B ，方向水平但相反，Ⅰ区域的高度为L ，Ⅱ区域的高度为2L .开始时，线框ab 边距磁场上边界PP ′的高度也为L ，各段绳都处于伸直状态，把它们由静止释放，运动中线框平面始终与磁场方向垂直，M 始终在水平面上运动，当ab 边刚穿过两磁场的分界线QQ ′进入磁场Ⅱ时，线框做匀速运动．不计滑轮处的摩擦．求：(1)ab 边刚进入磁场Ⅰ时，线框的速度大小；(2)cd 边从PP′位置运动到QQ′位置过程中，通过线圈导线某横截面的电荷量； (3)ab 边从PP′位置运动到NN′位置过程中，线圈中产生的焦耳热．6、解析(1)在线框下降L 过程中，对线框和物块组成的整体，由动能定理得mgL ＝12(m ＋M)v 21，所以线框的速度：v1＝ 2mgLm ＋M.(2)线框从Ⅰ区进入Ⅱ区过程中，ΔΦ＝BS －(－BS)＝2BL2，E ＝ΔΦΔt ，I ＝ER ，所以通过线圈导线某截面的电量：q ＝IΔt ＝2BL2R .(3)线框ab 边运动到位置NN′之前，只有ab 边从PP′位置下降2L 的过程中线框中有感应电流，设线框ab 边刚进入Ⅱ区域做匀速运动的速度是v2，线圈中电流为I2，则I2＝2BLv2R此时M 、m 均做匀速运动，2BI2L ＝mg ，v2＝mgR4B2L2.根据能量转化与守恒定律有mg·3L ＝12(m ＋M)v 22＋Q ，则线圈中产生的焦耳热为Q ＝3mgL －m ＋M m2g2R232B4L4.7、 (2011·天津·11)(18分)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为L ＝0.5 m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m ＝0.02 kg ，电阻均为R ＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.2 T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止，取g ＝10 m/s2，问： (1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？ (2)棒ab 受到的力F 多大？(3)棒cd 每产生Q ＝0.1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？7、解析 (1)对cd 棒受力分析如图所示 由平衡条件得mgsin θ＝BIL (2分) 得I ＝mgsin θBL ＝0.02×10×sin 30°0.2×0.5A ＝1 A ． (1分)根据楞次定律可判定通过棒cd 的电流方向为由d 到c. (1分) (2)棒ab 与cd 所受的安培力大小相等，对ab 棒受力分析如图所示， 由共点力平衡条件知F ＝mgsin θ＋BIL (2分)代入数据解得F＝0.2 N．(3)设在时间t棒cd产生Q＝0.1 J的热量，由焦耳定律知Q＝I2Rt (2分)设ab棒匀速运动的速度是v，其产生的感应电动势E＝BLv (2分)由闭合电路欧姆定律知I＝E2R(2分)时间t棒ab运动的位移s＝vt (2分)力F所做的功W＝Fs (2分)综合上述各式，代入数据解得W＝0.4 J．(1分)8、(15分)如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，质量为m、电阻为r的细导体棒ab 垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程过棒ab的电流I随时间t变化的图象；(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程过电阻R的净电荷量q.8、(1)B2L2v0Rd(R＋r)2(2)nB2L2v0dR＋r(3)见解析(4)BLdR＋r或0解析(3)如图所示9、(16分)如图所示，在水平面上固定一光滑金属导轨HGDEF，EF//GH，DE＝EF＝DG＝GH＝EG ＝L.一质量为m足够长导体棒AC垂直EF方向放置在金属导轨上，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．现对导体棒AC施加一水平向右的外力，使导体棒从D位置开始以速度v0沿EF方向做匀速直线运动，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．(1)求导体棒运动到FH位置，即将要离开导轨时，FH两端的电势差．(2)关于导体棒运动过程中回路产生的感应电流，小明和小华两位同学进行了讨论．小明认为导体棒在整个运动过程中是匀速的，所以回路中电流的值是恒定不变的；小华则认为前一过程导体棒有效切割长度在增大，所以电流是增大的，后一过程导体棒有效切割长度不变，电流才是恒定不变的，你认为这两位同学的观点正确吗？请通过推算证明你的观点．(3)求导体棒从D位置运动到EG位置的过程中，导体棒上产生的焦耳热．9、解析(1)E＝BLv0 (2分)UFH＝45BLv0 (3分)(2)两个同学的观点都不正确．(2分)取AC棒在D到EG运动过程中的某一位置，MN间距离设为x，则DM＝NM＝DN＝x，E＝Bxv0，R＝3rx，I＝Bv03r，此过程中电流是恒定的．(2分)AC棒在EG至FH运动过程中，感应电动势恒定不变，而电阻一直在增大，所以电流是减小的．(2分) (3)设任意时刻沿运动方向的位移为s，则s＝32x，安培力与位移的关系为FA＝BIx＝B2v0x3r＝23B2v0s9r(2分)AC棒在D到EG上滑动时产生的电热，数值上等于克服安培力做的功，又因为FA∝s，所以Q＝0＋FA2×32L＝3B2L2v012r(2分)全过程中，导体棒上产生的焦耳热始终为全部的三分之一，所以，导体棒上产生的焦耳热Q′＝13×0＋FA2×33L＝3B2L2v036r(1分)10、（市2012（春）高三考前模拟测）（16分）如题23-1图所示，边长为L、质量为m、总电阻为R的正方形导线框静置于光滑水平面上，处于与水平面垂直的匀强磁场中，匀强磁场磁感应强度B随时间t 变化规律如题23-2图所示．求：（1）在t=0到t=t0时间，通过导线框的感应电流大小；（2）在t=2t时刻，a、b边所受磁场作用力大小；（3）在t=0到t=t0时间，导线框中电流做的功。