简明结构化学教程 第一章
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简明结构化学教程第一章
分子振动和转动光谱
通过分析分子振动和转动光谱可以推断分子的几何构型和稳定性。
分子的光谱和能级
01
02
03
分子的光谱
分子吸收或发射光子后跃 迁到较高或较低的能级， 产生的光谱现象。
能级分裂
在分子中，由于电子之间 的相互作用，能级会发生 分裂，形成不同的能级结 构。
电子跃迁
电子在不同能级之间跃迁 的过程，是产生光谱现象 的根本原因。
薛定谔方程
描述波函数随时间变化的偏微分方程，通过求解该 方程可以获得原子核外电子的波函数。
波函数的性质
波函数具有归一化、对称性和反对称性等性质，这 些性质决定了电子在原子核周围的分布和行为。
原子轨道和电子排布
原子轨道
电子云的形状和伸展方向
描述电子在原子核周围运动的波函数 ，可以理解为电子在原子核周围运动 的“轨道”。
THANK YOU
感谢聆听
薛定谔方程
描述波函数随时间变化的偏微 分方程，是量子力学的基本方 程之一。
量子力学的基本假设
微观粒子具有波粒二象性，其 状态由波函数描述，满足薛定 谔方程。
分子的几何构型和稳定性
分子几何构型
分子中原子的空间排列方式，决定了分子的对称性和稳定性。
分子轨道理论
解释分子几何构型和稳定性的理论，通过分子轨道的计算可以预测 分子的几何构型和能量状态。
根据波函数的形状和对称性，电子云 具有不同的形状和伸展方向，这些性 质决定了原子的化学性质和行为。
电子排布
根据能量最低原理、泡利不相容原理 和洪特规则等原理，电子按照一定的 顺序填充到原子轨道中，形成电子云。
原子光谱和能级
80%
原子光谱
原子吸收或发射光子时产生的光 谱，可以用来研究原子结构和性 质。
通过分析分子振动和转动光谱可以推断分子的几何构型和稳定性。
分子的光谱和能级
01
02
03
分子的光谱
分子吸收或发射光子后跃 迁到较高或较低的能级， 产生的光谱现象。
能级分裂
在分子中，由于电子之间 的相互作用，能级会发生 分裂，形成不同的能级结 构。
电子跃迁
电子在不同能级之间跃迁 的过程，是产生光谱现象 的根本原因。
薛定谔方程
描述波函数随时间变化的偏微分方程，通过求解该 方程可以获得原子核外电子的波函数。
波函数的性质
波函数具有归一化、对称性和反对称性等性质，这 些性质决定了电子在原子核周围的分布和行为。
原子轨道和电子排布
原子轨道
电子云的形状和伸展方向
描述电子在原子核周围运动的波函数 ，可以理解为电子在原子核周围运动 的“轨道”。
THANK YOU
感谢聆听
薛定谔方程
描述波函数随时间变化的偏微 分方程，是量子力学的基本方 程之一。
量子力学的基本假设
微观粒子具有波粒二象性，其 状态由波函数描述，满足薛定 谔方程。
分子的几何构型和稳定性
分子几何构型
分子中原子的空间排列方式，决定了分子的对称性和稳定性。
分子轨道理论
解释分子几何构型和稳定性的理论，通过分子轨道的计算可以预测 分子的几何构型和能量状态。
根据波函数的形状和对称性，电子云 具有不同的形状和伸展方向，这些性 质决定了原子的化学性质和行为。
电子排布
根据能量最低原理、泡利不相容原理 和洪特规则等原理，电子按照一定的 顺序填充到原子轨道中，形成电子云。
原子光谱和能级
80%
原子光谱
原子吸收或发射光子时产生的光 谱，可以用来研究原子结构和性 质。
结构化学《结构化学》第1章 第2讲(1.2)1.2 《结构化学》第1章第2讲
6. 量子力学中最重要的算符
是哈密顿（能量）算符：
Hˆ h2 2 Vˆ
8 2m
这里
2
2 x2
2 y2
2 z 2
称为Laplace算符。
6
1.2.3 本征态、本征值和Schrödinger方程
1. 量子力学基本假设III的主要内容
若某一物理量A的算符Â作用于某一状态函数ψ， 等于某一常数a乘以ψ，即
将能量算符作用于描述该状态的波函数ψ，求出
能量算符的本征值， 该本征值应与实验测量的该状态的能量相一致。
8
4. 自轭算符的重要性质之一 自轭算符的本征值一定为实数。
5. 能量算符的本征方程为：
Hˆψ Eψ
h2
8 2m
2
Vˆ
ψ
Eψ
2
2m
2
Vˆ
ψ
1.2 量子力学基本假设
1. 对量子力学基本假设的几点说明 1）这些假设类似于公理，人们都认为是正确的， 但却无法证明； 2）从这些基本假设出发，可以推导出一些重要 的结论，这些结论与已有的实验事实相符； 3）从这些基本假设出发，可以从理论上预测一 些实验现象，这些理论预测结果后来与实验测定结 果相符合。
1
1.2.1 波函数和微观粒子的状态 1. 量子力学基本假设I的主要内容 一个微观体系的状态和由该状态所决定的各种物
理性质，可用波函数(x, y, z, t)表示。是体系的
状态函数，是体系中所有粒子坐标和时间的函数。 2. 定态波函数
不含时间的波函数ψ(x, y, z)称为定态波函数，也
就是体系的性质不随时间的改变而改变。 本课程主要讨论定态波函数，而不是含时波函数。
结构化学 第 1 章 量子力学基础 ppt
De Brogile
30
第一章
De Broglie提出实物微粒也具有波性，以此作为克服 旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实 物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。 De Brogile关系式
E h
h h p mυ
1-5 1-6
式中, E为粒子能量， 物质波频率， 为物质波的波长，p为粒子的动 量，h为普郎克常数。这个假设形式上与Einstein关系式相同，但它实际上 是一个完全崭新的假设，因为它不仅适用于光，而且对实物微粒也适用。
1 1 RH ( 2 2 ) n1 n2
RH 109677.581 cm1
1
n2 > n1
称为 Rydberg 常数
20
第一章
对原子结构的认识：
1897 Thomson 发现电子，证明了原子的可分性； 1903 Thomson 提出“葡萄干布丁”原子模型； 带负电的电子嵌在带正电的原子中： 正电荷以均匀的
着量子理论的诞生。
Planck获得1918年诺贝尔物理学奖！
虽然Planck是在黑体辐射这个特殊的场 合中引入了能量量子化的概念，但后来发现 Planck 许多微观体系都是以能量或其它物理量不能 连续变化为特征的，因而都称为量子化。此 后，在1900-1926年间，人们逐渐把量子化 的概念推广到所有微观体系。 12
第一章
1.1.2 光电效应与 Einstein 光子学说（光量子化）
光电效应是第二个发现用经典物理学无法解释的实验现象。 当光照射到阴极K上时，使阴极上金属中的一些 自由电子的能量增加，逸出金属表面，产生光电 子。实验现象为：
A K G V
● 只有当照射光的频率超过某个最小频率0 (又 称临阈频率)时，金属才能发射光电子。不同 金属的0不同，大多数金属的0位于紫外 区。 ● 随着光的强度增大，发射的电子数目增加， 但不影响光电子的动能。 ● 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。 若按经典波动理论，光能取决于光强度即振幅 平方，与频率无关。
结构化学第一章课件
M.Planck
. 辐射能量的最小单元为hv. v是振子的频率 ， h 就是著名的 Planck 常数，其最新数值为 6.626×10-34 J.s. 这一重要事件后来被认为是量子革命的 开端. Planck为此获1918年诺贝尔物理学奖.
Planck能量量子化假设
• 按Planck假定，算出的辐射能E与实验观 测到的黑体辐射能非常吻合：
★经典理论与实验事实间的矛盾：
Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由 度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计 算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 能 量 它在短波部分引出了 “紫外灾变”，即波长 变短时辐射的能量密度趋于无穷大,而不象 实验结果那样趋于零. d d 8kT
运动特性区别
宏观物体 1、线度大 2、能量变化的连续性 3、位置和速度可同时确定 4、波性和粒性不可调和 5、服从牛顿力学
微观粒子 线度小 能量变化的量子化特征 无确定运动轨迹 具有波粒二象性 服从量子力学
微观物体运动遵循的规律——量子力学，被称为是20 世纪三大科学发现（ 相对论、量子力学、 DNA 双螺旋结 构 ）之一. 100多年前量子概念的诞生、随后的发展及 其产生的革命性巨变，是一场激动人心又发人深省的史 话. 结构化学是在原子、分子的水平上，深入到电子层次， 研究物质的微观结构及其宏观性能关系的科学。
hv h ③ 根据质能联系定律，光子质量也可以为： m 2 2 c c c m0 根据相对论原理， m 1 (v / c ) 2
对于光子ν=c，所以m0为0，即光子没有静止质量 ④光子动量P
mc 2 hv h p mc c c
⑤ 光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。
结构化学第一章 量子力学基础chap1
综
述
›››
• • • • •
三种理论和三种结构
量子理论 原子结构 H 化学键理论 分子结构 化学键 点阵群理论 晶体结构
多电子原子
分子轨道理论 价键理论 配位场理论
两条主线: 电子构型和几何构型
一条渠道: 结构 - 性能 - 应用
第一章
量子力学基础
Chapter 1. Introduction to Quantum Mechanics
λ= 2dsinθ
1.1.3 不确定关系
Bohr, Heisenberg, Pauli(从左到右)
直认为是实物粒子的电子等物质, 也看作是波.
de Broglie关系式为:
ν= E / h
λ= h / p
1.1.2.1 德布罗依假说
1924年， de Broglie提出实物微粒也有波性的假设 区别：实物微粒的静止质量不为0 E=hν α粒子，电子，质子，中子，原子，分子 p=h /λ λ= h /p=h/(mv) 实物微粒在以大小p=mv 的动量 运动时，伴随有波长为λ的波
1.2
1.2.1
量子力学的建立
实物粒子的波粒二象性
L.V.de Broglie（德布罗意）认为辐射的波粒二象性 (wave-particle duality )同样适用于物质. 波以某种方式伴随 电子和其他粒子, 正如波伴随着光子一样. 这就是说, 一度被 视为波的光已被证明也有粒子性, 现在需要“反过来”把一
例1 家中烹调使用的微波炉发射一定的电磁波，其波长λ为 122mm,计算该电磁波的能量。
ν= c/ λ =3.0 ×108m•s-1/(122 ×10-3)m
= 2.46 ×1010 s-1 E= hν = 6.624×10-34J. s × 2.46 ×1010 s-1 = 1.63×10-23J
结构化学基础第1章
ˆ 自轭算符：若算符 A
* 1
满足
* ˆ A 2d 2 ( A 1 ) d
ˆ 称为自轭算符。 则A
线性自轭算符: 既是线性算符又是自轭算符的算符。量子 力学中每一个可观测的力学量均对应着一个线性自轭算符， 自轭性是测量值为实数之必须，线性是态叠加原理之要求。
算符的组合规则： (1).时间、空间的算符就是它们自己：
爱因斯坦提出光子说：
（1）光的能量是不连续的，也是量子化的。
E n 0 0 h
（2）光为一束以光速C行进的光子流。 （3）光子不但有能量，还有质量M。 （4）既然光子有质量，就必有动量。
ph/
(光源打开后,电流表指针偏转)
（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒与动量守恒定律。
“光子说”表明了——光不仅有波动性，且有微粒性， 这就是光的波粒二象性思想。
按照经典物理学, 原子是 不稳定的,如下示意图
但事实上,原子是稳 定的,如下示意图
表明：在原子内，电子与核之间的各种吸引与排斥作用，与宏观质点的
运动有质的差异，单用经典物理学的规律无法说明，必须以一种新的力学 理论(量子力学)来加以研究。
1.1.1 黑体辐射和能量量子化
实验——黑体辐射：为了让理论计算得到的“能量密度按频 率（波长）分布”的曲线与黑体辐射实验得到的曲线相符合
ψ一般是复数形式：ψ=f+i g , f 和 g 是坐标的实函数， ψ的共轭复数为ψ *, 其定义为ψ* =f-i g. 为了求ψ * ，只需 在ψ中出现i的地方都用 –i 代替即可。由于
( f ig )( f ig ) f g
* 2
2
因此ψ*ψ是实数，而且是正值。为了书写方便，有 时也用ψ2代替ψ*ψ。 在原子、 分子等体系中，将单电子波函数ψ称 为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为概率密度，它就 是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元 dτ中电子出现的概率。
结构化学第一章 量子力学基础
~= 1 =R 1 − 1 ν H 2 2 λ n1 n2
1913年为解释氢原子光谱的实验事实， Bohr综合 1913年为解释氢原子光谱的实验事实， Bohr综合 年为解释氢原子光谱的实验事实 了Planck的量子论、Einstein的光子说以及卢瑟福的原 Planck的量子论、Einstein的光子说以及卢瑟福的原 的量子论 子有核模型，提出： 子有核模型，提出：
氢原子线状光谱
1885年巴耳麦（Balmer）和随后的里德堡(Rydberg) 1885年巴耳麦（Balmer）和随后的里德堡(Rydberg) 建立了 年巴耳麦 对映氢原子光谱的可见光区14条谱线的巴尔麦公式。20世纪 14条谱线的巴尔麦公式 对映氢原子光谱的可见光区14条谱线的巴尔麦公式。20世纪 初又在紫外和红外区发现了许多新的氢谱线，公式推广为： 初又在紫外和红外区发现了许多新的氢谱线，公式推广为：
一、 经典物理学的困难与旧量子论的诞生 １.黑体辐射实验与普朗克的量子论 黑体辐射是最早发现与经 典物理学相矛盾的实验现象之 一。 所谓黑体是指能全部吸 收各种波长入射光线辐射的物 体。带有一个微孔的空心的金 属球，非常接近于黑体，进入 金属小孔的辐射，经过多次吸 收、反射，使射入的辐射完全 被吸收，当空腔受热时，又能 发射出各种波长的电磁波。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
1 2 hν = W + EK = hν 0 + mv 2
是电子逸出金属所需要的最小能量，称为逸出功， 式中W是电子逸出金属所需要的最小能量，称为逸出功， 它等于hν0；EK是电子的动能， 是电子的动能，
1 2 解释了光电效应实验的全部结果： 上式解释了光电效应实验的全部结果： 光子没有足够的能量使电子逸出金属， hν＜ 当hν＜W 时，光子没有足够的能量使电子逸出金属，不发生 光电效应； 光电效应； 这时的频率是产生光电效应的临阈频率( 当hν=W 时，这时的频率是产生光电效应的临阈频率(ν0) ； 从金属中发射的电子具有一定的动能， hν＞ 当hν＞W 时，从金属中发射的电子具有一定的动能，它随ν 的增加而增加( 与光强无关。 的增加而增加(T＝hν－hν0)，与光强无关。但 增加光的强度可增加光束中单位体积内的光子 因此增加发射电子的数目。 数，因此增加发射电子的数目。
大学结构化学教程1
De Broglie considered that the wave-particle relationship in light is also applicable to particles of matter, i.e. E=hν p=h/λ The wavelength of a particle could be determined by λ= h/p = h/mv
2
The photoelectric effect
The Photoelectric Effect
The Photoelectric Effect: 1. The kinetic energy of the ejected electrons depends linearly on the frequency of the light. 2. There is a particular threshold frequency for each metal. 3. The increase of the intensity of the light results in the increase of the number of photoelectrons. Classical physics: The energy of light wave should be directly proportional to intensity and not be affected by frequency.
Explaining the Photoelectric Effect
Therefore, the photon’s energy is equaled to the electron’s kinetic energy added to the electron’s binding energy • Ephoton = E binding + E Kinetic energy • hν=W+Ek
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简明结构化学教程
第一章 量子力学基础
1 量子力学产生的背景 2 不确定关系 3 量子力学的基本假设 4 一维无限深方势阱 5 基本例题解
1.1 量子力学产生的背景
1
黑体辐射与光电效应 实物粒子的波粒二象性 德布罗意波的统计解释
2
3
1.1.1 黑体辐射与光电效应
1.黑体辐射与光电效应 （1）黑体辐射与普朗克的量 子论
(1-48)
(1-49)
1.4.1 能量
(1-50) (1-51) (1-52) (1-53)
(1-54)
(1-55)
1.4 一维无限深方势阱
(1-61)
(1-62)
1.4.1 能量
(1-56) (1-57) (1-58) (1-59) (1-60)
1.4.1 能量
(2)离域效应 • 在一定条件下，当粒子由较狭窄的活动范围过渡到较宽广 的范围，即l增大时，可引起体系能量的降低，这一效应
函数表示；波函数的统计解释；由此得出对波函数性质的 要求。
1.3.1 波函数
1.概率密度与波函数的性质 （1-12）
（1-13）
1.3.1 波函数
2.波函数的标准条件 （1）单值 （2）连续
（3）有限
由于单一粒子在全空间出现的概率为1，所以有： （1-15）
1.3.1 波函数
3.量子态叠加原理 • 已知经典力学中波动具有可叠加性，认为德布罗意波同样 具有可叠加性，服从态叠加原理。设ψ 1，ψ 2，…，ψ n
称为离域效应。
(3)零点能 • 量公式要求n≠0，说明体系最低能量不为零。
1.4.2 波函数
1.概率波
1.4.2 波函数
2.节点 • 当电子处于激发态时（n=2，3，…），在势阱中找到粒子 的概率分布有起伏，波函数由正变负或由负变正的中间，
必有等于零的点，称为节点。
3.定态波函数的正交性
（1-63）
(2)其他力学量算符 a.在量子力学中，动能与动量在x方向分量算符T^x与p^x也 类似这一关系：
(1-24)
1.3.2 力学量的算符表示
b.动能算符 （1-25） c.势能V算符 用E表示，则有： E=T+V V^=V （1-26）
d.能量E算符体系的总能量等于动能与势能之和，若总能量
1.3.2 力学量的算符表示
这个数值说明速度的不确定度与尘埃的一般速度（约0.1m/s ）相比，完全可以忽略不计。因此不确定关系式所加的限 制失去了作用，即可以用经典力学的方法来描述尘埃的运 动。由本例题可见，Δ v之所以很小，是因为尘埃的质量m 相对于h太大了。
1.3 量子力学的基本假设
1 波函数
2
力学量的算符表示
3
量子力学的基本方程
(1-19)
(1-20)
1.3.2 力学量的算符表示
• 假设2：微观粒子体系每个可观测的力学量对应一个算符 。 1.几个重要的力学量算符 (1)基本力学量算符 a 位置(x,y,z)算符 x^=x，y^=y，z^=z b 动量（px,py,pz）算符 （1-21） (1-22) (1-23)
1.3.2 力学量的算符表示
属对它的束缚而需要的功（脱出功）W时，其中一部分能 量用来克服脱出功W，另一部分变成光电子的动能，按能 量守恒定律有： （1-3）
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 应用式（1-3）对光电效应的解释如下。 ① 如果入射光的频率过低，以致hν <W，那么电子就不可能 脱离金属表面。既使入射光很强，也就是这种频率的光子
(1-31)
1.3.3 量子力学的基本方程
• 假设3：微观粒子体系的定态波函数满足薛定谔（Schr dinger）方程。 (1-32)
(1-33) (1-34)
1.3.4 平均值假设
• 假设4：如果微观体系处于任一波函数ψ (r)量子态，对可 观测力学量A做一系列测量得到的是平均值（期望值）：
4 5
平均值假设 泡利(Pauli)不相容原理
1.3.1 波函数
• 假设1：一个微观粒子体系的运动状态，可以由波函数 ψ (r，t)来完全描述，也就是说，波函数ψ (r，t)描写粒 子的量子态。它是时间t和粒子位置r的函数；粒子在某一 时刻出现在空间某点的概率等于波函数绝对值的平方，即 。 ψ =ψ (r，t)(1-11) • 这一假设，可细分为三点内容：说明粒子的量子态可由波
，都没有光电子产生。
② 在满足ν >ν 0的情况下，光的强度越大，光电子数目越 多，但光电子的动能只与光的频率ν 有关，而与光的强度
无关。
③ 光的照射与光电子的产生几乎同时发生，一般不超过
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 1905年，爱因斯坦（Einstein）推广了普朗克的能量子概 念，提出光子理论，认为光是由许多微粒组成的，这种粒 子称为光子。对于频率为ν 的光，每个光子的能量为： E=hν (1-2) （1-2） • 当金属中一个电子吸收一个频率为ν 的光子时，它立刻获 得了这个光子的全部能量hν ，如果这个能量大于挣脱金
为某一微观体系的n个量子态，即体系可能处于ψ 1，也可 能处于ψ 2，…，ψ n态，由这些量子态线性叠加所得到的 态ψ ，也是该体系的一个可能的量子态。 ψ =C1ψ 1+C2ψ 2+…+Cnψ n=∑iCiψ பைடு நூலகம் （1-16）
1.3.1 波函数
4.自由粒子的波函数——平面德布罗意波 (1-17) (1-18)
1.5 基本例题解
1.试计算（a）电子束在电位差为110V加速下的波长；（b） 德布罗意波长为150pm电子的动能。
1.5 基本例题解
2.（5）已知氢原子波函数ψ (r)=Aexp-ra0，求归一化因子 。
转移能量的过程中，光表现为粒子性。光具有双重性质， 即波粒二象性。有些现象中光以波动性出现，另一些现象 中又以粒子性出现。光的波粒二象性，深刻地反映在光的 能量与动量关系式中：E=hν （1-6）
p=h/λ
1.1.2 实物粒子的波粒二象性
1.德布罗意（de Broglie）波 • 提出实物粒子具有波动性的假设，并称为物质波，以后称 之为德布罗意波。对于质量为m、运动速度为v的物体与波
• 与总能量相对应的算符称为能量算符，通常用H^表示，它 可以表示为动能算符与势能算符之和： H^=T^+V^ （1-26）代入式（1-27），得： (1-28) （1-27）
• 也称H^为哈密顿（Hamilton）算符。将式（1-25）和式
1.3.2 力学量的算符表示
2.如果算符A^对波函数ψ 的运算结果（或称作用），等于常 数a乘以ψ ，即： A^ψ =aψ (1-29) (1-30)
长λ 的关系表述为：ν =E/h
λ =h/p
（1-7）
1.1.2 实物粒子的波粒二象性
（2）戴维逊-革末 （Davission-Germer）镍单 晶衍射实验和汤姆逊多晶
体衍射实验
1.1.3 德布罗意波的统计解释
• 现今为大多数物理学家所接受的解释是：实物粒子的波是 一种具有统计性的概率波，它决定着粒子在空间某处出现
• 对于外来的辐射，物体有 反射或吸收作用。如果一 个物体在任何温度下都能 将投射于其上的辐射全部 吸收而无反射，这种物体 就称为绝对黑体，简称黑 体。
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 在恒定温度T、单位体积中 ，频率在ν 附近，单位频 率间隔的辐射能量，称为 辐射能量密度Eν 。
1.1.1 黑体辐射与光电效应
（2）光电效应与爱因斯坦的 光子学说 • 当一定频率的光照射到金
属表面上，使电子从金属 表面发射出来的现象称为 光电效应，逸出来的电子 称为光电子。
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 光电效应的实验结果可归纳成以下几点。 ① 对于一定的金属，只有达到或超过某一频率ν 0的光才能 使电子从金属表面上射出，低于ν 0的光，无论光多么强
(1-35)
• 式中，A^为力学量A的算符。若ψ (r)是归一化的，则有： (1-36)
1.3.5 泡利(Pauli)不相容原理
(1-37)
(1-38)
(1-39)
1.3.5 泡利(Pauli)不相容原理
(1-40) (1-41) (1-42) (1-43) (1-44)
1.3.5 泡利(Pauli)不相容原理
• 假设5泡利不相容原理：对于一个多电子体系，两个电子 不能处于同一状态，或者说两个电子的量子数不能完全相 同。 • 泡利不相容原理是极为重要的自然规律，是给出核外电子 排布的基础理论之一。
1.4 一维无限深方势阱
1
能量
波函数
2
1.4.1 能量
(1-45) ψ (0)=0ψ (l)=0 （1-46） (1-47)
• 谐振子的振动能量是不连续的，只能取能量最小单位E0的 整数倍，即E0，2E0，3E0，…，nE0。E0的能量值为： E0=hν （1-1） （1-1） • 式中，ν 是辐射频率；h是一个与频率无关，也与辐射性 质无关的普适常数，后来称为普朗克常量，现在精确测定 为：
1.1.1 黑体辐射与光电效应
的概率，但出现时必须是一个粒子的整体，而且集中在一 个很小的区域内，因而表现为一个微粒。
1.1.3 德布罗意波的统计解释
• 微观粒子的波粒二象性属 性，可以派生出三个重要 概念：描述方式的概率特 征、力学量常常离散取值 的量子化现象、不确定关 系式，它们构成了量子力 学的基本特征。
1.2 不确定关系
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 1917年爱因斯坦又指出光子还有动量。光子在真空中以速 度c运动，根据相对论公式： （1-4） • 波长λ =c/ν ；所以光子的动量为： p=h/λ （1-5）
1.1.1 黑体辐射与光电效应
第一章 量子力学基础
1 量子力学产生的背景 2 不确定关系 3 量子力学的基本假设 4 一维无限深方势阱 5 基本例题解
1.1 量子力学产生的背景
1
黑体辐射与光电效应 实物粒子的波粒二象性 德布罗意波的统计解释
2
3
1.1.1 黑体辐射与光电效应
1.黑体辐射与光电效应 （1）黑体辐射与普朗克的量 子论
(1-48)
(1-49)
1.4.1 能量
(1-50) (1-51) (1-52) (1-53)
(1-54)
(1-55)
1.4 一维无限深方势阱
(1-61)
(1-62)
1.4.1 能量
(1-56) (1-57) (1-58) (1-59) (1-60)
1.4.1 能量
(2)离域效应 • 在一定条件下，当粒子由较狭窄的活动范围过渡到较宽广 的范围，即l增大时，可引起体系能量的降低，这一效应
函数表示；波函数的统计解释；由此得出对波函数性质的 要求。
1.3.1 波函数
1.概率密度与波函数的性质 （1-12）
（1-13）
1.3.1 波函数
2.波函数的标准条件 （1）单值 （2）连续
（3）有限
由于单一粒子在全空间出现的概率为1，所以有： （1-15）
1.3.1 波函数
3.量子态叠加原理 • 已知经典力学中波动具有可叠加性，认为德布罗意波同样 具有可叠加性，服从态叠加原理。设ψ 1，ψ 2，…，ψ n
称为离域效应。
(3)零点能 • 量公式要求n≠0，说明体系最低能量不为零。
1.4.2 波函数
1.概率波
1.4.2 波函数
2.节点 • 当电子处于激发态时（n=2，3，…），在势阱中找到粒子 的概率分布有起伏，波函数由正变负或由负变正的中间，
必有等于零的点，称为节点。
3.定态波函数的正交性
（1-63）
(2)其他力学量算符 a.在量子力学中，动能与动量在x方向分量算符T^x与p^x也 类似这一关系：
(1-24)
1.3.2 力学量的算符表示
b.动能算符 （1-25） c.势能V算符 用E表示，则有： E=T+V V^=V （1-26）
d.能量E算符体系的总能量等于动能与势能之和，若总能量
1.3.2 力学量的算符表示
这个数值说明速度的不确定度与尘埃的一般速度（约0.1m/s ）相比，完全可以忽略不计。因此不确定关系式所加的限 制失去了作用，即可以用经典力学的方法来描述尘埃的运 动。由本例题可见，Δ v之所以很小，是因为尘埃的质量m 相对于h太大了。
1.3 量子力学的基本假设
1 波函数
2
力学量的算符表示
3
量子力学的基本方程
(1-19)
(1-20)
1.3.2 力学量的算符表示
• 假设2：微观粒子体系每个可观测的力学量对应一个算符 。 1.几个重要的力学量算符 (1)基本力学量算符 a 位置(x,y,z)算符 x^=x，y^=y，z^=z b 动量（px,py,pz）算符 （1-21） (1-22) (1-23)
1.3.2 力学量的算符表示
属对它的束缚而需要的功（脱出功）W时，其中一部分能 量用来克服脱出功W，另一部分变成光电子的动能，按能 量守恒定律有： （1-3）
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 应用式（1-3）对光电效应的解释如下。 ① 如果入射光的频率过低，以致hν <W，那么电子就不可能 脱离金属表面。既使入射光很强，也就是这种频率的光子
(1-31)
1.3.3 量子力学的基本方程
• 假设3：微观粒子体系的定态波函数满足薛定谔（Schr dinger）方程。 (1-32)
(1-33) (1-34)
1.3.4 平均值假设
• 假设4：如果微观体系处于任一波函数ψ (r)量子态，对可 观测力学量A做一系列测量得到的是平均值（期望值）：
4 5
平均值假设 泡利(Pauli)不相容原理
1.3.1 波函数
• 假设1：一个微观粒子体系的运动状态，可以由波函数 ψ (r，t)来完全描述，也就是说，波函数ψ (r，t)描写粒 子的量子态。它是时间t和粒子位置r的函数；粒子在某一 时刻出现在空间某点的概率等于波函数绝对值的平方，即 。 ψ =ψ (r，t)(1-11) • 这一假设，可细分为三点内容：说明粒子的量子态可由波
，都没有光电子产生。
② 在满足ν >ν 0的情况下，光的强度越大，光电子数目越 多，但光电子的动能只与光的频率ν 有关，而与光的强度
无关。
③ 光的照射与光电子的产生几乎同时发生，一般不超过
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 1905年，爱因斯坦（Einstein）推广了普朗克的能量子概 念，提出光子理论，认为光是由许多微粒组成的，这种粒 子称为光子。对于频率为ν 的光，每个光子的能量为： E=hν (1-2) （1-2） • 当金属中一个电子吸收一个频率为ν 的光子时，它立刻获 得了这个光子的全部能量hν ，如果这个能量大于挣脱金
为某一微观体系的n个量子态，即体系可能处于ψ 1，也可 能处于ψ 2，…，ψ n态，由这些量子态线性叠加所得到的 态ψ ，也是该体系的一个可能的量子态。 ψ =C1ψ 1+C2ψ 2+…+Cnψ n=∑iCiψ பைடு நூலகம் （1-16）
1.3.1 波函数
4.自由粒子的波函数——平面德布罗意波 (1-17) (1-18)
1.5 基本例题解
1.试计算（a）电子束在电位差为110V加速下的波长；（b） 德布罗意波长为150pm电子的动能。
1.5 基本例题解
2.（5）已知氢原子波函数ψ (r)=Aexp-ra0，求归一化因子 。
转移能量的过程中，光表现为粒子性。光具有双重性质， 即波粒二象性。有些现象中光以波动性出现，另一些现象 中又以粒子性出现。光的波粒二象性，深刻地反映在光的 能量与动量关系式中：E=hν （1-6）
p=h/λ
1.1.2 实物粒子的波粒二象性
1.德布罗意（de Broglie）波 • 提出实物粒子具有波动性的假设，并称为物质波，以后称 之为德布罗意波。对于质量为m、运动速度为v的物体与波
• 与总能量相对应的算符称为能量算符，通常用H^表示，它 可以表示为动能算符与势能算符之和： H^=T^+V^ （1-26）代入式（1-27），得： (1-28) （1-27）
• 也称H^为哈密顿（Hamilton）算符。将式（1-25）和式
1.3.2 力学量的算符表示
2.如果算符A^对波函数ψ 的运算结果（或称作用），等于常 数a乘以ψ ，即： A^ψ =aψ (1-29) (1-30)
长λ 的关系表述为：ν =E/h
λ =h/p
（1-7）
1.1.2 实物粒子的波粒二象性
（2）戴维逊-革末 （Davission-Germer）镍单 晶衍射实验和汤姆逊多晶
体衍射实验
1.1.3 德布罗意波的统计解释
• 现今为大多数物理学家所接受的解释是：实物粒子的波是 一种具有统计性的概率波，它决定着粒子在空间某处出现
• 对于外来的辐射，物体有 反射或吸收作用。如果一 个物体在任何温度下都能 将投射于其上的辐射全部 吸收而无反射，这种物体 就称为绝对黑体，简称黑 体。
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 在恒定温度T、单位体积中 ，频率在ν 附近，单位频 率间隔的辐射能量，称为 辐射能量密度Eν 。
1.1.1 黑体辐射与光电效应
（2）光电效应与爱因斯坦的 光子学说 • 当一定频率的光照射到金
属表面上，使电子从金属 表面发射出来的现象称为 光电效应，逸出来的电子 称为光电子。
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 光电效应的实验结果可归纳成以下几点。 ① 对于一定的金属，只有达到或超过某一频率ν 0的光才能 使电子从金属表面上射出，低于ν 0的光，无论光多么强
(1-35)
• 式中，A^为力学量A的算符。若ψ (r)是归一化的，则有： (1-36)
1.3.5 泡利(Pauli)不相容原理
(1-37)
(1-38)
(1-39)
1.3.5 泡利(Pauli)不相容原理
(1-40) (1-41) (1-42) (1-43) (1-44)
1.3.5 泡利(Pauli)不相容原理
• 假设5泡利不相容原理：对于一个多电子体系，两个电子 不能处于同一状态，或者说两个电子的量子数不能完全相 同。 • 泡利不相容原理是极为重要的自然规律，是给出核外电子 排布的基础理论之一。
1.4 一维无限深方势阱
1
能量
波函数
2
1.4.1 能量
(1-45) ψ (0)=0ψ (l)=0 （1-46） (1-47)
• 谐振子的振动能量是不连续的，只能取能量最小单位E0的 整数倍，即E0，2E0，3E0，…，nE0。E0的能量值为： E0=hν （1-1） （1-1） • 式中，ν 是辐射频率；h是一个与频率无关，也与辐射性 质无关的普适常数，后来称为普朗克常量，现在精确测定 为：
1.1.1 黑体辐射与光电效应
的概率，但出现时必须是一个粒子的整体，而且集中在一 个很小的区域内，因而表现为一个微粒。
1.1.3 德布罗意波的统计解释
• 微观粒子的波粒二象性属 性，可以派生出三个重要 概念：描述方式的概率特 征、力学量常常离散取值 的量子化现象、不确定关 系式，它们构成了量子力 学的基本特征。
1.2 不确定关系
1.1.1 黑体辐射与光电效应
• 1917年爱因斯坦又指出光子还有动量。光子在真空中以速 度c运动，根据相对论公式： （1-4） • 波长λ =c/ν ；所以光子的动量为： p=h/λ （1-5）
1.1.1 黑体辐射与光电效应