交错轴变厚齿轮空间啮合原理及诱导法曲率计算

k n12 =
1 2 ( E1Φ θ − 2 F1Φ µ1 Φ θ1 + G1Φ 2 µ1 ) 2 1 Dψ
(10)
Байду номын сангаас
式中，由式（3 ）可以算出，第一基本量 E1 = r1 µ = rb1 µ1 ， F1 = r1 µ ⋅ r1θ = rb1 µ1 ，
2 2 2 2
1
1 1
r2
r
r
r2 2 2 2 2 2 2 2 2 G1 = r1θ1 = rb2 1 (1 + µ1 ) + p1 ， D = E1G1 − F1 ＝ rb1 µ1 ( rb1 + p1 ) ， 将 以 上 各 式 代 入 式
将式（8） 、 （9）联立，就得到了与齿轮 1 共轭的齿轮 2 的齿廓方程。
(9)
4．诱导法曲率的计算
诱导法曲率对齿轮传动的润滑条件、接触强度、接触区的大小都有重要的影响，为设 计齿轮传动时选择最优参数提供了有力的理论依据， 所以诱导法曲率是评价齿轮传动质量的 重要指标之一。由文献［4］ ，当已知第一类基本量时，诱导法曲率计算公式为
(1)
-1-
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
式中
Σ ——齿轮 1、2 轴线之间的交错角；ϕ 1 、ϕ 2 ——齿轮 1、2 转过的角度； a ——两
0. 引 言
平行轴渐开线变厚齿轮传动已在某些精密的、对回差要求严格的传动中得到了广泛应 用。平行轴渐开线变厚齿轮的啮合理论研究已较成熟[1~3]，而对能实现线接触的交错轴变厚 齿轮传动的研究尚未见报导。 一般的交错轴变厚齿轮传动属于空间点啮合的范畴， 因而接触 强度低，承载能力小，限制了该种齿轮传动的应用。交错轴渐开线变厚齿轮通过调整其齿形 参数，可近似地使其一侧实现线接触，但变厚齿轮各端截面的变位系数不同，左、右齿面参 数各异，参数调整非常困难。本文利用齿轮空间啮合原理，对交错轴情况下实现线接触的变 厚齿轮传动进行研究，建立数学模型，对其啮合理论进行分析，并对其诱导法曲率进行了计 算，为下一步的刚度、回差、传动效率及加工方法等的研究奠定了基础。
两齿轮接触点的相对速度为
r r (12 ) dξ v ( 2 ) r r (12 ) r = − ω × ξ + ω × r1 v dt
上式中
(6)
ξ = O2 O1 = −ai10 ，ω (12) = ω (1) − ω ( 2) ，ω (1) = ω 1 k1 ，ω ( 2 ) = −ω 2 k 2 ，且有
v v v
σ 2 = [O2 ; i2 , j 2 , k 2 ] 为与变厚齿轮 1 共轭的齿轮 2 相固连的坐标系， O1 、 O2 分别是两齿轮
v v v
M 21 = M 220 M 2010 M 101 cos ϕ 1 cos ϕ 2 − cos Σ sin ϕ 1 sin ϕ 2 cos ϕ sin ϕ + cos Σ sin ϕ cos ϕ 1 2 1 2 = sin Σ sin ϕ 1 0 sin Σ sin ϕ 2 − sin Σ cos ϕ 2 cos Σ 0 − sin ϕ 1 cos ϕ 2 − cos Σ cos ϕ 1 sin ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos Σ cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin Σ cos ϕ 1 0 − a cos ϕ 2 − a sin ϕ 2 0 1
式中
(3)
rb1 ——渐开螺旋面的基圆柱半径； µ1 ——渐开线展开角； θ 1 ——渐开线的旋转角；
rb1 （ β b1 为基圆柱上的螺旋角） ；且有 tan β b1
p1 ——螺旋运动参数， p1 =
sin β b1 =
rb1 p12 + rb2 1
， cos β b1 =
p1 p12 + rb2 1
2．啮合方程的建立
由文献［4］知，齿轮１的齿面为标准的渐开螺旋面，其方程为
r r r r r1 = x1i1 + y1 j1 + z1 k1
写成分量形式，得
(2)
x1 = rb1 cos(± µ1 + θ 1 ) ± rb1 µ1 sin( ± µ1 + θ 1 ) y1 = rb1 sin( ± µ1 + θ 1 ) m rb1 µ1 cos(± µ1 + θ 1 ) z1 = p1θ 1
本文以下均以右齿面为例。由微分几何知，齿面 Σ1 在某一接触点点的幺法矢为
r r ∂r1 ∂r1 × r ∂µ1 ∂θ 1 n= r r ∂r1 ∂r1 × ∂µ1 ∂θ 1
-2-
(4)
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
3．齿廓方程的建立
将式（3）变换到坐标系 σ 2 中，得
r r r2 = M 21 r1
改写成分量形式，为
-3-
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
由式(3)，可得
r n=
p1 p12 + rb2 1
r sin( µ1 + θ 1 )i1 −
p1 p12 + rb2 1
r cos( µ1 + θ 1 ) j1 +
rb1 p12 + rb2 1
r k1
(5)
r r r = cos β b1 sin( µ1 + θ1 )i1 − cos β b1 cos( µ1 + θ1 ) j1 + sin β b1 k1
v
r
r
r
r
r
r
r
r
ω1 = i12ω 2 ，分别将其变换到坐标系 σ 1 中后，再代入式（6） ，得
r v (12 ) = {ω 2 p1θ 1 sin Σ cos ϕ 1 − ω 2 rb1 (i12 + cos Σ)[sin( µ1 + θ 1 ) − µ1 cos( µ1 + θ 1 )] r − ω 2 a cos Σ sin ϕ 1 }i1 + {ω 2 rb1 (i12 + cos Σ)[cos(µ1 + θ 1 ) + µ1 sin( µ1 + θ 1 )] r − ω 2 p 2θ 1 sin Σ sin ϕ 1 − ω 2 a cos Σ cos ϕ 1 } j1 + {ω 2 rb1 sin Σ sin ϕ 1 [sin( µ1 + θ 1 ) − µ1 cos( µ1 + θ 1 )] − ω 2 rb1 sin Σ cos ϕ 1 [cos(µ1 + θ 1 ) + µ1 sin( µ1 + θ 1 )] r + ω 2 a sin Σ}k1
5．诱导法曲率的计算实例及齿形仿真
在本实例中，给定齿轮 1 的初始参数如下：z1=30，αn1=20°， mn1=8mm，β1=8°， δ 1 ＝ 1°，大端变位系数 xn1=0.6，齿宽 b1=60mm。设与齿轮 2 相应的变厚齿轮的参数如下：z2=32，
αn2=20°，mn2=8mm，β2=8°， δ 2 ＝1°，大端变位系数 xn2=0.3，齿宽 b2=60mm。齿轮 1 与齿
ψ =
1 F12 2 D Φ µ1 E12 F12 G12 Φ θ1 r r r1 µ1 v (12 ) r r r1θ1 v (12 ) Φt
当给定 ϕ 1 或 ϕ 2 的一个值时，就可以确定一条瞬时接触线，再由一组 ( µ1 , θ 1 ) 确定接触 线上一个啮合点。将一组 ( µ1 , θ1 , ϕ1 ) 的值代入式（11）中，就可以计算出该点处沿接触线 法线方向的诱导法曲率。在该点其他方向的诱导法曲率均介于该值和零之间。
_______________________________________________________________________________
交错轴变厚齿轮空间啮合原理及诱导法曲率计算
李瑰贤 温建民 李笑 张欣 1 刘福利 （哈尔滨工业大学机电学院 哈尔滨 150001） (1. Arizona State University, American, USA) 摘要 本文基于空间啮合理论， 首次提出了交错轴可实现线接触的新型非渐开线变厚齿轮传 动，建立了啮合方程和齿廓方程，对其啮合理论进行了分析。同时就其瞬时接触线法线方向 的诱导法曲率进行了计算，从而为评价其传动质量提供了一个理论上的依据。 关键词 交错轴 非渐开线 变厚齿轮 线接触 诱导法曲率 中图号：TH132.429
轮 2 的交错角 Σ =15°。本例中当取 ϕ 1 =-3.8134°时，对应的接触线法线方向的诱导法曲率如 表 1 所示（表中只列出了部分点的计算结果） ：
-4-
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
（10） ，求得沿接触线法线方向的诱导法曲率：
k n12 =
式中
1 r µ (r + p )ψ
2 b1 2 1 2 b1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 {rb2 1 µ1 Φ θ1 − 2 rb1 µ1 Φ µ1 Φ θ1 + [ rb1 (1 + µ1 ) + p1 ]}Φ µ1 （11）