齿轮啮合原理大作业
齿轮范成原理实验
齿轮范成原理实验齿轮是机械传动中常用的一种传动方式，具有传递功率、转速和转矩等特点。
其传动效率高、噪音低、寿命长等优点，被广泛应用在各种机械领域中。
本文将介绍齿轮范成原理实验，旨在帮助读者更好地了解齿轮工作原理。
一、实验原理齿轮传动是利用两个或多个啮合的齿轮，通过齿形的改变而实现转动传递动力和扭矩的机械传动方式。
实验中，通过模型模拟齿轮的啮合过程，演示齿轮的范成原理。
二、实验仪器齿轮模型、测量工具、数据记录器等。
三、实验步骤1.检查齿轮模型是否安装正确，有无异物和损坏。
2.测量齿轮的齿数、模数、压力角等参数，并记录下来。
3.调整齿轮的位置，使得两个齿轮啮合，根据齿轮的齿数和模数计算出齿轮的传动比。
4.启动齿轮模型，观察齿轮的啮合过程，记录齿轮的传动情况，例如转速、转矩、噪音等。
5.根据实验数据，计算齿轮传动效率，分析齿轮传动的优缺点。
四、实验注意事项1.在进行实验前，应当认真检查齿轮模型的装配情况和参数符合要求，确保实验的可靠性和安全性。
2.避免使用过高的转速，以免造成齿轮的损坏或者伤害实验人员。
3.在实验过程中，应注意观察齿轮的转动状态和传动效率等数据，记录实验数据时精确到小数点后一位。
4.实验结束后，应停止电源并拆卸齿轮模型，清洁齿轮和测量工具，并妥善保存。
五、实验结果分析通过齿轮范成原理实验，可以了解齿轮的工作原理及传动特点。
实验数据的分析可以得出以下结论：1.齿轮传动中，齿轮的齿数、模数和压力角等参数对传动效率和精度有着重要的影响。
2.齿轮传动比可以根据齿数和模数计算，传动效率随着传动比的增大而降低，但传动能力增强。
3.齿轮传动的噪音和振动会随着转速的增加而增大，但传动效率也会相应提高。
4.齿轮传动具有简单、可靠、精度高、寿命长等优点，在各种机械传动领域中广泛应用。
总之，齿轮范成原理实验可以帮助读者深入了解齿轮的工作原理及传动特点，为进一步研究机械传动提供了基础。
机械基础实验4 齿轮啮合及加工原理
3 4
5
加工Z＜Zmin的齿轮而不产生根切的最小移距（变位系数）为 Xmin=(17-Z)/17
（1） 计算被加工标准齿轮的d、db、xmin、da、df，被加 工变位齿轮的da、df。 （2）将“轮坯”安装到仪器的圆盘上，注意必须要对准中 心。 （3）加工标准齿轮： 调节刀具位置：使刀具中线与被加工标准齿轮分度园相切。 “切削”齿廓：先将齿条刀具移向一端，使刀具的齿廓退 出轮坯齿顶圆，刀具每次向另一端移动2~3mm时，用笔将刀 刃在轮坯上的位置记录下来，直到形成完整的齿形，同时应 注意轮坯上齿廓形成的过程。 （４）加工变位齿轮： 调节刀具位置：使刀具中线远离轮坯中心，移动mxmin距离。 “切制”齿廓：同上。 （5）观察根切现象、比较标准齿轮和变位齿轮的异同点。
1. 范成运动：刀具节圆/中线与被加工轮坯节圆作纯滚动。 2. 切削运动：刀具沿轮坯轴线方向作往复运动。 3. 进给运动：为切出齿全高，刀具沿轮坯径向方向运动。 4. 让刀运动：插刀回程时，轮坯沿径向作微让运动，以免刀刃擦伤已形 成的齿面。
齿轮插刀
齿条插刀
● 蜗杆滚刀加工齿轮
滚刀象具有梯形螺纹的螺杆，其纵向开有斜槽而形成 刀刃。加工时，滚刀轴线与轮坯端面间应有一个安装角。 加工直齿圆柱齿轮时，其安装角为，加工斜齿圆柱齿轮 时，根据斜齿轮螺旋角作相应调整。滚刀加工齿轮无须 让刀运动，将范成运动、切削运动、进给运动溶为一体， 具有高的效率。在现代齿轮加工中，是应用最为广泛的齿 轮加工方法。
仿形法加工齿轮
仿形法加工齿轮的三个运动： 1. 切削运动（刀具饶自身轴线回转） 2. 进给运动（轮坯沿轴线方向运动） 3. 分度运动（加工好一个齿槽后，轮坯转过360°／Z）
切削 运动 分 度 运 动
变模数齿轮啮合原理分析及应用
一
、
ｄ 、 ２ —主 、 ｄ、 被动齿轮端面节圆直径 ；
， —两齿轮节圆啮合角。 将式 （ ～５代入式 （ ， ： ２ （ ） ） ６得 ）
ｃ ｓ ａ ｏ／￣ ｒ． ｏ ａ ｃ ｓ ｎ１ ３
ｃ ０ １ ｃ ＝ ｏ
式中：
ｍ 一主、 ｎ 、 被动轮模数； ％ｈ —主 、 被动轮法向压力角。 ２ １ 分度圆螺旋角之间的关系 ． 齿轮的螺旋角是齿轮在设计、加工过程中的一 项重要参数。以外啮合齿轮为例， 一对模数、 压力角 相等的斜齿轮 ，为使其在传动时相互啮合的两齿廓
式中：
喃
（） ２ ５
ｓ， ： ｐ ｌ ， ， ｌ ：
＝
（） １ ４
以 、 一主被动齿轮齿顶圆直径 ； Ｐｒ 啮合起点曲率半径 ， Ｆ— ＿ Ｒ —有效渐开线起始圆半径。
芋 嘲（ａｉａ ，ｖ＇ ｉ ，ａ ｎ＋ ） ｖｎ
ｄｔ ２
（ １ ５ ）
（） １ ６
业 ： ｓ￣ ｉ ２一ｍ ｎ ２
（） １ ２
螺旋面相切 ， 其螺旋角卢应大小相等 ， 方向相反。变
模数齿轮螺旋角 之间关系如下：
由齿轮啮合的基本知识可得 ：
ｄｌＤ １ｌ ｏ ｂ ｌ ｃｓ ＝ ， ｎ Ｚ （ ２ ）
（３ １） 、
不同模数的两斜齿轮分度圆螺旋角的关系式， 它
２ 变模数平行轴齿轮的啮合公式推导
变模数设计在原理上的可行性非常简单 ， 轮 齿
埤
＝
（ ７ ）
‘
配对啮合和齿轮齿条啮合的基本条件之一就是基节 相等。对于被加工齿轮参数， 有无数个滚刀参数与之
配合。 根据齿轮啮合原理 ， 要求它们的法向基节 Ｐ 相 ｂ
机械原理大作业范文
机械原理大作业范文摘要：机械传动是机械学中的基础内容之一，广泛应用于各个行业和领域。
本文将对机械传动的原理、类型以及应用进行系统的介绍和探讨。
首先介绍了机械传动的定义和作用，然后详细介绍了各种常见的机械传动类型，包括齿轮传动、皮带传动、链传动等，并分别对其工作原理进行了分析。
最后列举了一些机械传动的应用案例，证明了机械传动在现实生活中的重要性和广泛性。
一、引言机械传动是将动力从一个地方传递到另一个地方的机械装置。
它作为机械工程学的基础内容，广泛应用于工业、农业、建筑等各个领域。
机械传动具有传递力量的功能，并能实现运动的改变、平衡、变速等目的。
本文将对机械传动的类型、原理以及应用进行详细介绍。
二、机械传动的类型机械传动可以分为多种类型，常见的有齿轮传动、皮带传动、链传动等。
齿轮传动是利用齿轮间的啮合来传递扭矩和运动的一种传动方式，具有传动效率高、传动比稳定等优点。
皮带传动则是通过绕在两个轮子上的带子来传递力量，常用于需要减速的场合。
链传动与皮带传动类似，但是链传动的传动效率更高，扭矩传递更稳定。
三、机械传动的工作原理1.齿轮传动：齿轮传动采用齿轮之间的啮合来实现传动的目的。
主要通过齿轮的大小、齿数来调整传递的速度和扭矩。
其中，齿轮的齿数比称为传动比，可以实现速度的改变。
齿轮传动通常包括齿轮轴、轴承、齿轮齿廓等组成部分。
2.皮带传动：皮带传动通过绕在轮子上的带子来传递力量。
常见的皮带传动有平行轴带传动和交叉轴带传动。
通过调整轮子的直径和材料来改变传递效果。
皮带传动具有传递动力平稳、减震效果好的特点。
3.链传动：链传动与皮带传动类似，也是通过绕在轮子上的链条来传递力量。
链传动具有噪音低、传动效率高等优点，广泛应用于自行车、摩托车等交通工具中。
四、机械传动的应用1.工业应用：机械传动在工业制造中有广泛的应用。
例如，齿轮传动被广泛应用于机床、起重机械、输送设备等，实现力量的传递和工作的协调。
皮带传动常用于风机、泵等需要平稳传递动力的设备中。
机械原理作业 齿轮
机械原理作业齿轮1. 齿轮的基本原理齿轮是一种常用的机械传动装置，通过不同大小的齿轮间的啮合来实现动力的传递和转换。
齿轮传动具有传递能量高效、传递力矩稳定等优点，广泛应用于机械设备、车辆和工业生产中。
2. 齿轮的分类根据直径方向上的相对位置，齿轮可以分为平行轴齿轮和交叉轴齿轮。
平行轴齿轮是指两个齿轮的轴线平行，常用于平行轴传动；而交叉轴齿轮是指两个齿轮的轴线相交，常用于垂直轴传动。
3. 齿轮的主要参数齿轮的主要参数包括模数、齿数、齿宽和齿廓等。
模数决定了齿轮的尺寸和齿数，齿宽则决定了齿轮的强度和传动能力。
齿廓则根据不同的齿轮传动要求选择不同的曲线。
4. 齿轮的工作原理在齿轮传动中，驱动轮的转动将通过齿轮啮合将动力传递到被驱动轮上。
由于齿轮齿面的接触，驱动轮的转动会引起被驱动轮的转动，从而实现动力的传递。
这种传递过程中，驱动轮和被驱动轮的转速和转矩之间存在特定的关系，可以通过齿轮的齿数比来计算。
5. 齿轮的应用齿轮传动广泛应用于各种机械设备中，如汽车、机床、船舶、工程机械等。
它可以实现不同转速和转矩的转换，提高机械设备的工作效率和性能。
6. 齿轮传动的优缺点齿轮传动具有传动效率高、传动特性稳定、传动精度高等优点。
同时，齿轮传动也存在噪音大、啮合间隙、需润滑等缺点。
因此，在实际应用中需要根据需求综合考虑其优缺点。
7. 齿轮的维护保养为了保证齿轮传动的正常工作，需要进行定期的检查和保养。
主要包括清洁齿轮表面、检查齿轮齿面是否磨损、检查齿轮的润滑情况等。
定期的维护保养可以延长齿轮的使用寿命并保证其传动效果。
8. 齿轮传动的改进为了进一步提高齿轮传动的性能，研究人员在齿轮设计和制造方面进行了许多改进。
如采用先进的材料、精密制造工艺和优化的齿轮结构等，以提高齿轮传动的效率和可靠性。
9. 高精度齿轮的应用高精度齿轮具有传动精度高、传动效率高等优点，被广泛应用于精密机床、航天器械等领域。
高精度齿轮的制造要求更高，需要采用先进的加工技术和测量手段来确保其质量。
硕士齿轮啮合原理考试作业
*************学校硕士学位课程考试试卷考试科目： 齿轮啮合原理考生姓名： 考生学号：学 院： 机械工程学院 专 业： 机械制造及自动化 考 生 成 绩：任课老师 (签名)一 基本概念1．解释齿轮的瞬心线？两平面啮合齿轮的传动比可以是可变的，也可以是恒定的，传动比函数将确定两齿轮的瞬时角速度比，后者随第一个齿轮的转角1ϕ而变化 )(2:112112ϕϕϕωωf dtd dt d i === 类似的 ()121121ϕωf i == 在1ϕ的变化范围内，函数()112ϕf i =取有限的正值。
假定从1o 轴向2o 轴传递回转运动（如图）， 在垂直于轴线1o 和2o 的平面内，构件1 和构件2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线叫瞬心线。
在齿轮啮合原理中，把瞬心P 称为啮合节点。
传动比恒定时，节点P 固定不动；传动比是变数时，节点P 在连心线21O O 上作相应的变动。
每个齿轮的瞬心线，就是节点p 在与该齿轮相固连的坐标系中的轨迹，因而两齿轮的相对运动可以归结为它们的瞬心线作纯滚动。
2. 解释共轭齿廓？凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。
共轭齿廓在接触点处的公法线（简称为齿廓法线）必须通过瞬心线的瞬时切点。
这是齿廓啮合的基本定理，确定了一对共轭齿廓的几何条件。
共轭齿廓的曲线:在已知一条齿廓曲线)(1Γ和两构件相对运动的条件下，与)(1Γ相共轭的齿廓曲线)(2Γ的曲率2k 可用下式求得：)1()12()1(11)12()1(12n dt r d k dt r d k ⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωυ （1）式中 )1(n ——齿廓)(1Γ的幺法矢； 1k ——)(1Γ的相对曲率。
当)(1Γ以方程式1111)1()()(j u y i u x r +=给出时，1k 由下式计算： 2/3212111111)(y x y x y x k '+''''-'''= （2） 3．解释Willis 定理？Willis 定理也称为啮合基本定理，起表述如下：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。
内啮合齿轮泵原理
内啮合齿轮泵原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠内啮合齿轮泵原理这档子事儿。
你看啊，这内啮合齿轮泵就好比是一个神奇的小机器魔法师。
它里面有两个齿轮，一个大的，一个小的，就像一对好搭档。
大齿轮就像个老大哥，稳稳地在那，小齿轮呢，就像个调皮的小弟，在老大哥身边欢快地转呀转。
当它们开始工作的时候，那场面可有意思了。
小齿轮在大齿轮的肚子里跑来跑去，它们之间的空间就会一会儿大一会儿小。
这不就跟咱小时候玩的那种挤压小玩具一样嘛，一挤一松，东西就被吸进去又吐出来啦。
齿轮转动的时候，就把液体从这边吸进来，再从那边吐出去。
这吸进来吐出去的，可不就完成了输送液体的任务嘛！而且啊，这内啮合齿轮泵工作起来可认真啦，它不会偷懒，一直不停地吸呀吐呀，就为了把那些液体准确无误地送到该去的地方。
你说这内啮合齿轮泵是不是特别厉害？它就像一个不知疲倦的小卫士，默默地在各种机器里奉献着自己的力量。
它不需要太多的关注，也不需要特别的照顾，就那么老老实实地干着自己的活儿。
咱生活里好多地方都离不开它呢！汽车里有它，各种工业设备里也有它。
要是没有它，那好多机器可都没法正常工作啦，那得乱套成啥样啊！你想想看，要是没有内啮合齿轮泵，那些需要液体来工作的机器不就跟没了油的汽车一样，干瞪眼没办法动嘛！所以说呀，可别小看了这个小小的内啮合齿轮泵，它的作用那可真是大大的。
它虽然没有华丽的外表，也没有响亮的名声，但它就是那么靠谱，那么让人放心。
这不就跟咱身边那些默默付出的朋友一样嘛，平时可能不太起眼，但关键时刻总能发挥大作用。
所以啊，咱得好好感谢这些内啮合齿轮泵，是它们让我们的生活变得更便利，更顺畅。
下次你再看到那些有液体在流动的机器，你就想想这个神奇的内啮合齿轮泵，想想它是怎么在里面默默地工作着的。
它虽然不会说话，但它的行动可比任何话语都更有力量啊！。
齿轮内啮合原理
齿轮内啮合原理
齿轮内啮合原理是指两个或多个齿轮通过它们的齿来相互传递力和运动的机械原理。
齿轮通常是圆盘形状，上面有一定数量的齿。
当两个齿轮的齿将互相咬合时，它们就能够通过摩擦和力矩的传递来实现一定的运动。
齿轮内啮合原理的关键在于齿轮的齿与齿之间的啮合。
啮合齿轮的齿可以是直齿、斜齿、椭圆齿等形状，但必须满足一定的几何要求，以确保它们能够顺利地互相咬合并传递力和运动。
在齿轮内啮合过程中，两个齿轮之间会形成一对啮合点，它们沿着齿轮的齿廓线上移动。
这时，啮合点的位置会随着齿轮的旋转而改变。
齿轮内啮合的主要作用是改变旋转速度和扭矩。
当两个齿轮的啮合齿数不同时，它们的旋转速度和扭矩之间会产生转换关系。
一般来说，大齿轮的旋转速度较慢，扭矩较大；而小齿轮的旋转速度较快，扭矩较小。
齿轮内啮合原理常被应用于各种机械传动系统中，如汽车变速箱、工业机械、钟表等。
通过合理设计齿轮的齿数和齿廓形状，可以实现不同速度和不同扭矩的输出，以满足各种工作要求。
同时，齿轮传动还具有传动效率高、传动稳定、使用寿命长等优点。
因此，齿轮内啮合原理在机械工程领域中具有重要的应用价值。
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研究生课程考核试卷（适用于课程论文、提交报告）科目：齿轮啮合原理教师：林超姓名：张清亮学号：20150713090 专业：车辆工程类别：车辆工程领域上课时间：2015 年9 月至2015 年11 月考生成绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语：阅卷教师(签名)重庆大学研究生院制一、 基本概念（每题2分，共计20分）1、解释齿廓渐屈线？答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图 1.1）。
齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。
在齿轮的瞬心线给出的情况下（图1.2），齿轮齿廓的渐屈线可由p r PC =+确定，式中p 为齿廓渐屈线的径矢，r 为瞬心线的径矢。
PC 的模l 由下式确定：sin()1sin PC l rd u d λμλφ-==⎛⎫+ ⎪⎝⎭式中r r =。
在图1.10的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为：cos cos()sin sin()x r l y r l φφλφφλ=++⎧⎨=++⎩图1.1 齿廓的渐屈线 图1.2 齿廓渐屈线坐标系 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.2、解释平面曲线的曲率？答：在图1.3中，用s 表示曲线的弧长。
考察曲线上分别与s 和s s +∆对应的两个相邻的点M 和N ，图1.3(a)。
点M 和N 之间的弧长s ∆，而α∆是点M 和N 处的两条切线之间的夹角。
当点N 趋近于点M 时，比值s α∆∆的极限称为曲线在点M 处的曲率（标记为K ），即0lims K s α∆→∆=∆。
在0lim =s d s dsαα∆→∆∆存在的条件下，d K ds α=。
比值s α∆∆称为曲线在点M 处的曲率半径（标记为c ρ），即=c sρα∆∆，且1=c K ρ。
这里的c ρ是极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点N 和'N 趋近于点M 时通过点M 和该两个相邻点画出的，图1.3(b)。
圆心C 称为曲率中心。
图1.3 齿轮的瞬时回转轴本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.3、解释齿轮的瞬时回转轴？答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。
在交错轴齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。
如图1.4。
图1.4 齿轮的瞬时回转轴本题参考文献：减速机信息网. 齿轮基本术语一般定义（GB/T3374-92）[EB/OL].4、解释齿轮的瞬轴面？ 答：图1.5表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线Oa 和Ob 构成夹角γ。
两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线OI 是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度(12)ω的作用线，OI 相对于两齿轮轴线的方向用角1γ和2γ来确定。
瞬时回转轴在与回转齿轮i 刚性固接的动参考标架(1,2)i S i =中的轨迹构成瞬轴面。
在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为1γ和2γ的圆锥。
图1.6中，两个构件分别以角速度(1)ω和(2)ω绕两个相错轴转动，转动轴线构成相错角γ，两轴线之间的最短距离为E 。
当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线s s -在参考标架1和2中将形成两个曲面——回转双曲面。
这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系(1,2)i S i =中形成的轨迹。
图1.5 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.6 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.5、解释共轭齿形？答：在图1.7中Ⅰ、Ⅱ是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。
齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。
共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P 。
P 点在联心线12O O 上，而22112112=O P r i O P r ωω==。
当传动比12i 是常值时，P 点在联心线12O O 上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P 的。
图1.7 共轭齿形本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.6、解释短程线和曲面挠率？答：如果曲线在其任一点M 的主法线与曲面在点M 的法线重合，或者曲面上的线是直线，则曲面上这样的线是短程。
从这个定义得出，短程线在其任一点处的短程曲率等于零。
曲面的挠率可以解释为当一点沿短程线运动时，曲面的法面（该法面是通过短程线的切线引出的）进行扭转的程度。
曲面的挠率对于在曲面的点M 彼此处于相切的整个曲线集合都是相同的。
这些曲线中的一条是短程线，该线对于所考察的公共单位切线矢量是唯一的。
这样，短程线的曲线挠率和任意一条与短程线相切的曲面曲线的曲面挠率是相同的。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.7、解释啮合面？答：配对曲面1∑和2∑（图1.8）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。
齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数φ。
而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系f S 中的瞬时接触线族。
啮合面用如下方程表示：(,,)(,,)0f f r r f μθφμθφ==。
式中11f f r M r =，这里，44⨯矩阵1f M 描述1S 到fS 的坐标变换。
图1.8 齿面上的瞬时接触线本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.8、解释不产生根切条件？答：假定曲面1是用来加工齿轮齿面2的刀具齿面。
曲面2上出现奇异点是齿面在加工过程中可能产生根切的一种警告。
在加工过程中所出现的曲面2上的奇异性的数学解释，可以用方程0)2(=rv来说明，从该式可导出方程0)12()1(=+r r v v和啮合方程的微分式0)],,([=φθu f dtd从而使我们在曲面1上确定出这样一条曲线L ，该线将形成曲面2上的奇异点。
我们用曲线L 限定曲面1，可以避免在曲面2上出现奇异点，从而不产生根切。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.9、解释曲面族的包络存在的必要条件？ 答：微分几何中提出的解法是用下列方程 0)(),,(222=∂∂⋅∂∂⨯∂∂=φθφθr r u r u f 给出包络面2存在的必要条件。
该方程将曲面1的曲线坐标),(θu 和广义运动参数φ加以联系。
该方程是曲面族),,(22φθu r r =包络存在的必要条件。
如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，则包络在2S 中可以用联立方程0)(),,(222=∂∂⋅∂∂⨯∂∂=φθφθr r u r u f 和方程),,(22φθu r r =来表示。
这两个方程用三个相关的曲面参数),,(φθu 来表示包络。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.10、写出Euler 的方程式？答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为22cos sin n K K q K q I =+Ⅱ。
式中q 是由矢量MN 和单位矢量e I 构成的夹角（图1.9）。
矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方向，而n K 是曲面在这个方向上的法曲率。
单位矢量e I 和e Ⅱ沿着两个主方向，而K I 和K Ⅱ是主曲率。
图1.9 矢量的分解本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.二、分析曲线和曲面（16分）要求：自选曲线及曲面公式，采用微分几何理论，结合数学软件的方法；1）自选曲线，并对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。
答：对外摆线进行绘制。
外摆线是所有形式为的曲线，其中n为正实数。
Matlab程序：t=0:pi/100:2*pi;a=20;b=2;x=(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b);y=(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b);plot(x,y);axis equal;图形：图2.1 外摆线本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.2）自选曲面，并对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。
答：本题将对阿基米德螺旋面进行绘制定义：动直线以恒定的角度与一条固定的直线（轴线）相交，并沿此轴线方向作等速移动时，又绕此轴线作等角速的旋转运动；此动直线在固定空间内的运动轨迹。
方程是：x=rcosθ;y=rsinθ;z=hθ/(2*pi);化简计算，取r为1，h为2*pi。
图2.2 阿基米德正螺旋面Matlab程序如下：h=2*pi;[r,theta]=meshgrid(linspace(0,1,50),linspace(0,2*pi,500));x=r.*cos(theta);y=r.*sin(theta);z=h*theta/2/pi;surf(x,y,z);shading interp 结果图形如下：图2.3 阿基米德螺旋面本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.三、 推导方程（1题10分，2题10分，共计20分）1. 假定两齿轮绕两个平行轴线以相同的方向传递回转运动下图（图1）。
坐标系1S 和2S 刚性固接到两齿轮1和2；f S 和p S 是固定坐标系；E 是最短距离；1ρ和2ρ是齿轮两瞬心线的半径。
图1推导：1) 确定矩阵12112M M -=。
2) 从S 2到S 1的坐标变换方程。
3) 从S 1到S 2的坐标变换方程。
解：1) 易知，从2S 到1S 的坐标系变换是基于如下的矩阵方程：1212122=f fp p r M r M M M r = (1) 式中1f M 和2p M 是转动矩阵，而fp M 是移动矩阵。