小学数学北京版六年级上册 全册知识清单1

一、黄金螺旋线

1.了解黄金螺旋线。

自然界中存在着许多美丽的图案,鹦鹉螺外壳上的优美曲线被称为黄金螺旋线。黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出来。

2.明确黄金螺旋线的画法。

(1)画一个边长为1厘米的正方形,以正方形的右下顶点为圆心,以

这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。

(2)在正方形的右边画一个同样大小的正方形,以正方形的左下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。

(3)以组成的长方形的长为边长画—个正方形,以正方形的左上顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。

(4)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右上顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。

(5)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。

(6)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的左下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。

3.观察扇形的半径,发现其中的规律,如下表所示。

扇形编

号

一二三四五六……

半径/厘

米

112358……

第一个扇形的半径:1

第二个扇形的半径:1

第三个扇形的半径:2=1+1(第二个扇形的半径+第一个扇形的半径)

第四个扇形的半径:3=2+1(第三个扇形的半径+第二个扇形的半径)

第五个扇形的半径:5=3+2(第四个扇形的半径+第三个扇形的半径)

第六个扇形的半径:8=5+3(第五个扇形的半径+第四个扇形的半径)

由此得出规律:从第三个扇形起,每个扇形的半径都是它前面两个相邻扇形的半径之和,所以,第七个扇形的半径=第六个扇形的半径+第五个扇形的半径=8+5=13(厘米)。

4.验证规律是否正确。

方法一:画出半径是13厘米的扇形,刚好符合黄金螺旋线的画

黄金螺旋线在生活中应用广泛。在摄影方面,可利用黄金螺旋线进行拍照;在设计方面,有不少设计师从黄金螺旋线中获得了灵感,创造出了许多优秀的作品。

法。(画图略)

方法二:观察图形发现,从第三个正方形起,每个正方形的边长都是它前面两个相邻正方形的边长之和,所以每一个扇形的半径都是它前面两个相邻扇形的半径之和。

由此得出:规律正确。

5.根据发现的规律,将这串数继续写下去。

1、1、

2、

3、5、8、13、21、3

4、5

5、89、144、233……这个数列就是著名的“斐波那契数列”。

拓展提高

斐波那契数列,从第8项开始,每相邻两项的比值都接近0.618,

≈0.618,≈0.618,≈0.618,≈0.618,≈0.618……0.618为黄金分割数。

二、铁链的长度

1.明确解题思路。

一个铁环,内直径是8厘米,外直径是10厘米。把10个这样的铁环连成一条铁链,求拉直后有多长,就是用10个铁环的长度减去铁环连接处重复计算部分的长度。

2.计算铁环连接处的长度。

铁环的内直径为8厘米,外直径为10厘米,因此每个铁环的壁厚=(外直径-内直径)÷2=(10-8)÷2=1(厘米),所以两个铁环连接处的长度是2厘米,也就是重合部分的长度为2厘米。

3.探究铁链长度的求法。

(1)用第一个铁环的长度依次加上增加的长度。

①发现:第一个铁环的长度是10厘米,增加一个铁环后,因为有2厘米的连接处是重合部分,需要减去2厘米,所以增加的长度是8厘

米。增加几个铁环,长度就增加几个8厘米,由此可以推出,n个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10+(n-1)×8。

②当n=10时,10+(10-1)×8=82(厘米),所以10个铁环连在一起拉直后的长度为82厘米。

(2)用铁环的总长度减去连接处的长度。

①发现:第一个铁环的长度是10厘米,每增加一个铁环,就增加一个2厘米的连接处,增加几个铁环,就增加几个2厘米的连接处,用铁环的总长度减去连接处的长度,就是几个铁环连在一起拉直后的长度,所以,n个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10n-(n-1)×2。②当n=10时,10×10-(10-1)×2=82(厘米),所以10个铁环连在一起拉直后的长度为82厘米。

通过用不同的方法探索铁链拉直后的长度,认识解决问题的多样性。