2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z•i=2i+1，则z=（）A. 2+iB. 2-iC. -2+iD. -2-i2.已知集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 03.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则=（）A. （0，1）B. （1，0）C.D.4.已知b＞a＞0，则（）A. |1-a|＞|1-b|B.C. lg a＜lg bD.5.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比数列，则角B的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.函数y=sin x，在[0，π]中随机取一个数x，使的概率为（）A. B. C. D.9.已知x+2y=xy（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知曲线C1：y=sin x，，则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C211.设f（x）为R上的奇函数，满足f（2-x）=f（2+x），且当0≤x≤2时，f（x）=xe x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A. 2e+2e2B. 50e+50e2C. 100e+100e2D. -2e-2e212.已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x•ln x在点（1，0）处的切线的方程为______．14.已知cos2x-sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A=______，b=______．15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出的一个“同域函数”的解析式为______．16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0改写成以下形式：f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1）x+a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0⋮=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0若，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，AB=2，BC=BB1=1．（Ⅰ）求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求二面角D-EB1-C1的余弦值．18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n-1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．20.已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）-g'（x），判断h（x）在（-2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x＞-2时，证明f（x）＞g（x）．21.如图，过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于不同两点A，B，P为拋物线上任意一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N．（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）求证：MF⊥NF．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．23 已知函数f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. C5. A6. C7. D8. C9. B10. D11. A12. A13. x-y-1=015. y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或…16. 017. 解：（I）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴B1C1⊥平面DCC1D1，又B1C1⊂平面DB1C1，∴平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）解：方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．又∵，∴．∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：D（0，0，1），B1（1，2，0），E（0，1，0），．设n=（x0，y0，z0）是平面DEB1的一个法向量，∵，∴，令z0=1，则x0=-1，y0=1．n=（-1，1，1），平面EB1C1的一个法向量，．显然，二面角D-EB1-C1是钝角，∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．18. 解：（I）X的取值为0，1，2，3，，，，．因此X的分布列为X0123P．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，∴事件A发生的概率为：．19. 解：（I）证明：令n=1，则a1=3．∵S n=2a n-2n-1，（n∈N+）①∴S n-1=2a n-1-2（n-1）-1，（n≥2，n∈N+）②①-②得：a n=2a n-2a n-1-2，a n=2a n-1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③-④得：=，∴．20. 解（I）∵，∴∵h（x）在（-2，+∞）内单调递增，又∵，∴h（x）在（-2，+∞）内有且只有一个零点．（II）令H（x）=f（x）-g（x）=e x-ln（x+2），．由（I）可知：存在x0∈（-1，0）使得，即．当x∈（-2，x0）时，H'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，H'（x）＞0.==，∴f（x）＞g（x）．（II）由（I）知，设直线AB的方程为：x-2=my（m∈R）．令P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得：y2-8my-16=0，由根与系数的关系得：y1y2=-16．直线PB方程为：，即===．当x=-2时，∴，同理得：，∴，，∴===，∴，∴MF⊥NF．22. 解：（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．得：∴曲线C的参数方程化为普通方程为：．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．则②-①得，化简得：．即．又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得．∴，∴，即．∴，即又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．23. 解：（I）当a=2时，f（x）=|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2），由f（x）＜0得|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2）＜0．①当x≥2时，原不等式可化为：2（x-2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：-2（x-2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）=（x-2）[|x-a|-（x-a）]．由f（x）≥0得（x-2）[|x-a|-（x-a）]≥0，∴|x-a|≤x-a，∴x-a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（-∞，0]．【解析】1. 解：由z•i=2i+1，得z=．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2. 解：∵集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，∴A∩B={（x，y）|}，作出y=2x和y=x+1的图象如下图：结合图象得y=2x和y=x+1有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．图象得y=2x和y=x+1有两个交点，由此能求出A∩B中元素的个数．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 解：∵平面直角坐标系中，O为坐标原点，，∴sin∠AOx=，cos∠AOx=，∴和x轴的夹角为∠AOx=30°．若绕点O逆时针旋转60°得到向量，∴∠BOx=30°+60°=90°．设=（0，b），则=1•1•cos60°=0+b，∴b=1，即=（0，1），故选：A．由题意求得∠BOx=30°+60°=90°，设=（0，b），再利用两个向量的数量积的定义和公式，求得b的值，可得结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4. 解：b＞a＞0，则|1-a|＜|1-b|，＞，lg a＜lg b，＞．故选：C．由b＞a＞0，利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6. 解：由题意，a，b，c既是等差数列又是等比数列，则a，b，c是常数数列，即a=b=c．故A=B=C，∵180°=A+B+C=3B，∴B=60°．故选：C．本题首先根据a，b，c既是等差数列又是等比数列判断出a，b，c是常数数列，即a=b=c．则有A=B=C，再根据三角形内角和知识可得角B的值．本题主要考查等差数列和等比数列的综合，以及三角形的基础知识．本题属基础题．7. 解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．则A（0，-1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴=（，1，-2），=（-，1，-2），∴cos＜，＞===．故选：D．如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．利用cos＜，＞=即可得出．本题考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：解三角不等式0≤sin x≤（x∈[0，π]，得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得：事件发生的概率为=，故选：C．由三角不等式的解法得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得事件发生的概率本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题9. 解：由x+2y=xy（x＞0，y＞0），可得=1，则2x+y=（2x+y）（）=5+≥5+4=9，当且仅当且=1，即x=3，y=3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题10. 解：结合函数的图象的变换可知，把y=sin x上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得，y=sin，再把，y=sin向左平移个单位可得y=sin=sin（）=sin（+）=cos（）．综上可知，D正确．故选：D．结合正弦函数的图象的变换，结合选项中的变换顺序即可判断》本题主要考查了正弦函数的图象的变换，属于基础试题．11. 解：由f（2-x）=f（2+x），f（x+2）=-f（x-2），f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），故f（x）周期为8的奇函数，f（0）=0，f（1）=e，f（2）=2e2，f（3）=f（1）=e，f（4）=f（0）=0，f（5）=f（-1）=-f（1）=-e，f（6）=f（-2）=-2e2，f（7）=f（-1）=-f（1）=-e，f（8）=f（0）=0，所以f（1）+…+f（8）=e+2e2+e+0-e-2e2-e+0=0f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=0+f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=0+f（1）+f故选：A．先判断函数的周期为8，根据题意，结合奇函数求出f（1）到f（8）的值，代入求出即可．考查函数的周期性和奇偶性的应用，中档题．12. 解：设MN与x轴交于E，因为四边形PQMN为正方形，所以△OEN为等腰直角三角形，所以OE=NE=，由题意可得半径ON=c，所以N坐标（c，c），而N是F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入双曲线方程可得：，而b2=c2-a2，整理可得：c4-4a2c2+2a4=0，离心率e=所以可得：e4-4e2+2=0，解得e2=2+，所以e=，故选：A．由题意画图可得：△ONE为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．13. 解：由f（x）=x lnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），整理得：x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14. 解：因为cos2x-sin2x==，=[-sin2x+cos2x]+，=+，其中cosφ=-，sinφ=．故A=，b=．故答案为：，．由已知结合二倍角公式及辅助角公式先对函数进行化简，然后比对系数即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题．15. 解：因为，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2]．下面求函数y的值域，不妨先求函数y2的值域，令，令g（x）=（x-1）（2-x），x∈[1，2]，所以g（x）∈[0，]，从而得出f（x）∈[0，1]，所以y∈[-1，1]，即函数的值域为[-1，1]．只要满足定义域为[1，2]，且值域为[-1，1]的函数均符合题意，例如y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]……故答案为：y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或……（符合题意即可）分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．本题考查了求函数定义域和值域的方法，再者开放性试题还考查到学生对基本初等函数概念与性质的熟练程度，属于基础题．16. 解：=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1则=0．故答案为：0．=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1x=2-代入即可得出．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. （I）由B1C1⊥平面DCC1D1，即可得平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．可得GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．解三角形即可求二面角D-EB1-C1的余弦值．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：求得平面DEB1的一个法向量和平面EB1C1的一个法向量即可得二面角D-EB1-C1的余弦值．本题考查了面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题．18. （I）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，由此能求出事件A发生的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （I）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）运用等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．20. （I）先对函数h（x）求导，然后结合导数研究单调性，进而结合函数的零点判定定理可求；（II）要证明x＞-2时，f（x）＞g（x），转化为证明H（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，结合导数转化为求函数的最值．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解零点个数，综合考查了导数与函数性质的综合应用．21. （Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）设P，A，B的坐标，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之积，再求直线PA，PB的方程，进而求出M，N的坐标，求出数量积为0可得MF⊥NF．考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合，属于中档题．22. （I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．利用平方关系即可得出．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，．把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的意义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. （Ⅰ）将a=2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x-a|≤x-a，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．。
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试数学(理)试卷
数学（理科）注意事项：1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>-，则()UA B ⋂=（）． A ．(1,0]-B ．(1,1)-C ．(1,)-+∞D ．[0,1) 2．已知复数41z i=+（为虚数单位），则的虚部为（）． A ．2B ．2i C ．2-D ．2i -3．已知向量(1,3)a =，(3,2)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（）．A ．91010B ．9C ．3-D ．913134．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）．A ．66B ．55C ．45D ．385．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（）．A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为21C ．该组数据的平均数为21D ．该组数据的方差为11 6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立的是（）．A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln ln a b >C ．11a b >D ．11ln ln a b >7．已知，b 是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，且a β，b αβ⋂=，则“a α∥”是“a b ∥”的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为（）． A ．24B ．18C ．12D ．4 9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）． A ．18B ．38C ．12D ．7810．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（）． A ．403B ．52C ．203D 8711．将函数cos(2)22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移38π个单位长度后得函数()f x 图像，若()f x 为偶函数，则（）．A ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知函数323132,5()3log (4),5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数(())f f x 的零点个数为（）．A ．6B ．7C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数，满足不等式组2033030x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知定义在上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________．15．在ABC 中内角，，C 所对的边分别为，b ，，若1a =，b =，2sin sin cos sin A B C C =，则ABC 的面积为________．16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，4720a a +=，其前项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （Ⅱ）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且AB CD ∥，22CD AB AD ==，AD CD ⊥．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 1 2 3 4 5 6 数学i x 89 87 79 81 78 90 物理i y797577737274（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．参考公式：ˆˆy bxa =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i n ni ii i x x yy x ynx y b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()1axf x eax =--（a R ∈且0a ≠）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意12,[1,1]x x ∈-，()()2123f x f x e =≤-恒成立，求的取值范围． （二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线22212:C x y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)6πθρ=≥与1C 相交于异于极点的交点为，与2C 的交点为，求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，记实数的最大值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）正数，b ，满足2a b c M ++=，求证111a b b c+≥++． 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．C3．D4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．A11．D12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．614．315．1216．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1132920a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，2d =（4分）∴21n a n =-，2n S n =，（6分）（Ⅱ）（错位相减法）23135212222n nn T -=++++…，① ①式两边同时乘12，得234111352122222n n n T +-=+++…，②-①②可得，23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…，（8分） 2311111112122222222n n n n T +-⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭…， 111121212222n n n n T +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，（10分） 2332n nn T +=-．（12分） 18．解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点，连接AE ，BE ，BD ．∵2CD AB =，∴AB DE =．又∵AB AD =，AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，AE平面ABCD ，∴PD AE ⊥．∵PD BD D ⋂=，∴PE ⊥平面PBD ．（4分） ∵AB EC =，AB EC ∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴BC AE ∥，∴BC ⊥平面PBD ． 又BC平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．（6分）（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =．设1AD =，则1AB =，2CD =，2PD BD ==．以点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ． ∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =．（8分） 设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，∵(1,1,PB =，(1,1,0)BC =-，则00PB m x y BC m x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)m =．（10分） 设二面角D PC B --的平面角为θ， ∴||1cos 2||||2m DA m DA θ⋅===⋅．由图可知二面角D PC B --为锐角，故二面角D PC B --的余弦值为12．（12分） 19．解：（Ⅰ）由题意得X 的可能取值为0，1，2， 6个学生中理科小能手有2人，24262(0)5C P x C ===，1124268(1)15C C P x C ===，（4分） 22261(2)15C P x C ===．（4分） ∴X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．（6分） （Ⅱ）1(898779817890)846x =⨯+++++=，1(797577737274)756y =⨯+++++=，（8分）()()()11222111ˆ5nniii ii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---===--∑∑∑∑（9分） 1291ˆˆ758455ay bx =-=-⨯= ∴回归方程为：129155y x =+．（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =（2分） 解之得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=（4分） （Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -． ∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=， ∴20127x =． ∴O 到直线MN的距离为0d x ==22127x y +=．（6分） 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+．（8分） ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=．∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+．（10分）∴O 到直线MN 的距离为7d ===， 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切．（12分） 21．解：（Ⅰ）由()()1ax ax f x ae a a e '=-=-．（1分） 当0a <时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2分） 当0a >时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0 f x '>，()f x 单调递增．（3分） 综上所述，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增．（4分） （Ⅱ）由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-又由（Ⅰ）知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以只需：222222(1)(0)31320.(1)(1)(0)31320.(2)a a a a f f e e a e e a e f f e e a e e a e --⎧⎧⎧-≤---≤---+≤⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨--≤-+-≤-+-+≤⎪⎩⎪⎩⎩（8分） 设2()2a h a e a e =--+．∵()1ah a e '=-，∴()h a 在区间(0,)+∞上单调递增；在区间(,0)-∞上单调递减． 注意到(2)0h =，所以，当02a ≤≤不等式（1）成立；当2a >时不等式（1）不成立． 又2222(2)2240h ee e e ---=+-+=+-<，∴当20a -≤<不等式（1）也成立，所以，22a -≤≤时不等式（1）成立．此时22a -≤≤，不等式（2）也成立，而当2a <-时，2a ->，由函数()h a 的性质知，不等式（2）不成立．综上所述，不等式组的解为22a -≤≤．（11分）又∵0a ≠，∴实数的取值范围为[2,0)(0,2]-⋃．（12分）（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．解：（Ⅰ）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=，（2分）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，（3分）曲线2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=．（5分）（Ⅱ）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点的极径为12cos6πρ==（6分）射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26πρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得25ρ=，（8分）∴12||5AB ρρ=-=-．（10分） 23．解：（Ⅰ）|2||3||(2)(3)|5x x x x --+≤--+=，（2分） 若不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，则满足|1|5m +≤，（3分） 解得64m -≤≤．∴4M =．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，b ，满足24a b c ++=， ∴11111[()()]4a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，（7分）112(2144b c a b a b b c ++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭．（9分） 当且仅当a c =，2a b +=时，取等号．（10分）。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
陕西省咸阳市2020届高考模拟考试试题理科数学(含答案)
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合{M x y ==，{}1,0,1,2N =-，则M N =A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{1,1}-D.{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i + B ．13i -+ C ．13i -D ．13i --3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于 A.64B.32C.2D.45.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 0x =B. 0y ±=C. 0y ±=D.0x =8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D 9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅= A.2- B. 4- C. 3 D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,,侧棱长为则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13.若向量(1,2)a x =-与向量(2,1)b =垂直，则x =_____ . 14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a bc cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为 (I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++。
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设z •i =2i +1，则z =（ ） A ．2+iB ．2–iC ．–2+iD ．–2–i【点睛】由复数代数形式的乘除运算化简求解． 【答案】B【解析】由题意得z =1+2i i =(1+2i)(−i)−i2=2−i ． 故选B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A ={（x ，y ）|y =2x }，B ={（x ，y ）|y =x +1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【点睛】数形结合得y =2x 与y =x +1有两个交点，即可求出A ∩B 中元素的个数． 【答案】B【解析】由题意得A ∩B ={（x ，y ）|{y =2xy =x +1}；画出y =2x 与y =x +1的图象，如图所示，由图象得它们有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选B ．【点评】本题考查交集，函数的图象，是基础题．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA →=(√32，12)，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →=（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．(√32，−12)D ．(12，−√32)【点睛】先求得∠BOx =90°，设OB →=（0，b ），用两个向量的数量积求得b ，可得结论． 【答案】A【解析】因为OA →=(√32，12)，所以sin ∠AOx =12，cos ∠AOx =√32，所以OA →和x 轴的夹角为∠AOx =30°．若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到OB →，所以∠BOx =30°+60°=90°，所以设OB →=（0，b ），所以OA →⋅OB →=1×1×cos60°=0+12b ，解得b =1，所以OB →=（0，1）. 故选A ．【点评】本题考查向量的坐标表示与数量积，是基础题． 4．已知b >a >0，则（ ） A ．|1–a |>|1–b | B ．(12)a <(12)bC ．lga <lgbD ．1a<1b【点睛】由不等式的基本性质、函数的单调性即可判断． 【答案】C【解析】因为b >a >0，由不等式的性质得|1–a |<|1–b |，A 错误；由y =(12)x 单减得(12)a >(12)b ，B 错误；由y =lgx 单增得lga <lgb ，C 正确. 故选C ．【点评】本题考查不等式的基本性质、函数的单调性，是基础题． 5．椭圆2x 2–my 2=1的一个焦点坐标为（0，−√2），则实数m =（ ） A ．23B ．25C ．−23D ．−25【点睛】由椭圆的标准方程及焦点坐标求解． 【答案】D【解析】因为椭圆的一个焦点坐标为（0，−√2），将椭圆化为标准方程y 2−1m+x 212=1，所以√−1m −12=√2，解得m =−25.故选D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程与简单性质，是基础题．6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列，则角B 的值为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【点睛】先由a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列得a =b =c ，即A =B =C ，可得角B ． 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列，所以a+c=2b 且ac=b 2，解得a =b =c ，即A =B =C ；而180°=A +B +C =3B ，解得B =60°． 故选C ．【点评】本题考查等差、等比数列，是基础题．7．如图，直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =BC ，则异面直线AB 1和BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．−12B ．12C ．−14D ．14【点睛】建立空间直角坐标系，利用cos <AB 1→，BC 1→>=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|即可得出．【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，如图所示；不妨设AA 1=AB =AC =BC =2．则B 1（√3，0，0），C 1（0，1，0），A （0，–1，2），B （√3，0，2）；所以BC 1→=（−√3，1，–2），AB 1→=（√3，1，–2），所以cos <AB 1→，BC 1→>=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=8⋅8=14．故选D ．【点评】本题考查异面直线的夹角，空间向量法求夹角，是基础题． 8．函数y =sin x ，在[0，π]中随机取一个数x ，使y ∈[0，12]的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【点睛】由题意得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤π，由几何概型得：事件y ∈[0，12]发生的概率 【答案】C【解析】因为y =sin x ∈[0，12]，即0≤sin x ≤12，而x ∈[0，π]，解得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤π；由几何概型得：事件y ∈[0，12]发生的概率P =(π6−0)+(π−5π6)π−0=13.故选C ．【点评】本题考查三角不等式的解法，几何概型，是基础题. 9．已知x +2y =xy （x >0，y >0），则2x +y 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【点睛】用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【答案】B【解析】由x +2y =xy （x >0，y >0）得1y+2x=1；所以2x +y =（2x +y ）（1y+2x）=5+2x y+2y x≥5+4=9(当且仅当x =3，y =3时取等号)．所以2x +y 的最小值为9.故选B ．【点评】本题考查基本不等式，是基础题.10．已知曲线C 1：y =sin x ，C 2：y =cos(12x −π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C 2【点睛】结合正弦函数的图象变换即可求解. 【答案】D【解析】由题意得：C 1：y =sin x 上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得y =sin 12x ，再将y =sin 12x 向左平移π3得y =sin 12(x +π3)=sin （12x +π6）=cos （12x −π3）．所以D 正确．故选D ．【点评】本题考查正弦函数的图象变换，是基础题．11．设f （x ）为R 上的奇函数，满足f （2–x ）=f （2+x ），且当0≤x ≤2时，f （x ）=xe x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （100）=（ ） A ．2e +2e 2B ．50e +50e 2C ．100e +100e 2D ．–2e –2e 2【点睛】先得函数的周期为8，再结合奇函数求出f （1）~f （8），代入求出即可． 【答案】A【解析】因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）=0，f （2–x ）=f （2+x ）=– f （x –2），所以f （x +4）=–f （x ），f （x +8）=f （x +4+4）=–f （x +4）=f （x ），所以f （x ）周期为8的奇函数；所以f （1）=e ，f （2）=2e 2，f （3）=f （1）=e ，f （4）=f （0）=0，f （5）=f （–1）=–f （1）=–e ，f （6）=f （–2）=–2e 2，f （7）=f （–1）=–f （1）=–e ，f （8）=f （0）=0；所以f （1）+…+f （8）=e +2e 2+e +0–e –2e 2–e +0=0；所以f （1）+f （2）+f （3）+…+f （100）=0+f （97）+f （98）+f （99）+f （100）=f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=e +e +2e 2+0=2e 2+2e . 故选A ．【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，中档题． 12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2+√2B ．2+√2C ．2−√2D ．√2−√2【点睛】先求得N 的坐标，而N 是以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的交点，代入曲线方程求出a ，c 间的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出双曲线的离心率． 【答案】A【解析】设MN 与x 轴交于E ，因为PQMN 为正方形，所以△OEN 为等腰直角三角形，所以OE =NE =√22ON ；由题意得半径ON =c ，所以N （√22c ，√22c ），而N 是F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的交点，代入双曲线方程得c 22a 2−c 22b 2=1；结合b 2=c 2–a 2，得c 4–4a 2c 2+2a 4=0，即e 4–4e 2+2=0，解得e 2=2+√2，所以e =√2+√2. 故选A ．【点评】本题考查双曲线的性质，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y =x •ln x 在点（1，0）处的切线的方程为 ． 【点睛】求切线斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【答案】x –y –1=0【解析】f （x ）=x ln x ，f （1）=0，所以点（1，0）为切点；y ′=lnx +1，f ′（1）=ln1+1=1，即切线的斜率为1；所以切线方程为y –0=1×（x –1），即x –y –1=0．所以曲线y =x •ln x 在点（1，0）处的切线的方程为x –y –1=0. 故答案为x –y –1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程，是基础题．14．已知cos 2x –sin2x =A sin （ωx +φ）+b （A >0，ω>0），则A = ，b = ． 【点睛】由二倍角公式、辅助角公式化简，然后比对系数即可求解． 【答案】√52，12【解析】由题意得cos 2x –sin2x =1+cos2x 2−sin2x =12cos2x −sin2x +12=√52[−2√55sin2x +√55cos2x ]+12=√52sin(2x +φ)+12(其中cos φ=−2√55，sin φ=√55)．所以√52sin(2x +φ)+12= A sin （ωx +φ）+b ，所以A =√52，b =12． 故答案为√52，12． 【点评】本题考查二倍角公式，辅助角公式，是基础题．15．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出y =√x −1−√2−x 的一个“同域函数”的解析式为 ．【点睛】函数解析式中包含根式，所以不妨将其平方再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．【答案】y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]或y =log √2x −1，x ∈[1，2]⋯⋯【解析】由题意得y =√x −1−√2−x 的定义域为[1，2]；下面求函数的值域，不妨先求函数y 2的值域，令f(x)=y 2=1−2√(x −1)(2−x)，因为x ∈[1，2]，所以（x –1）（2–x ）∈[0，14]，所以f （x ）∈[0，1]，所以y ∈[–1，1]，即函数的值域为[–1，1]；“同域函数”必须满足：定义域为[1，2]且值域为[–1，1]；例如y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]……，所以答案可以为y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]或y =log √2x −1，x ∈[1，2]⋯⋯（符合题意即可）【点评】本题考查函数定义域与值域的求解，基本初等函数，是开放性试题，是中档题． 16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f （x ）=a n x n +a n –1x n –1+a n –2x n –2+…+a 1x +a 0 改写成以下形式：f （x ）=a n x n +a n –1x n –1+a n –2x n –2+…+a 1x +a 0 =（a n x n –1+a n –1x n –2+a n –2x n –3+…+a 1）x +a 0 =（（a n x n –2+a n –1x n –3+…+a 3x +a 2）x +a 1）x +a 0 ⋮=（…（（a n x +a n –1）x +a n –2）x +…+a 1）x +a 0若f(x)=(2+√3)x 5+(1+√3)x 4+(1+√3)x 3+(1+√3)x 2+(1+√3)x −1，则f(2−√3)= ．【点睛】由题意得f(x)=（（（（（2+√3)x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x –1，即可求解． 【答案】0【解析】由题意得f(x)=（（（（（2+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x –1，所以f(2−√3)=0．故答案为0．【点评】本题考查秦九韶算法，理解题意是解题关键，是基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是D 1C 1的中点，AB =2，BC =BB 1=1． （Ⅰ）求证：平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1； （Ⅱ）求二面角D –EB 1–C 1的余弦值．【点睛】（I ）由B 1C 1⊥面DCC 1D 1，可得面DB 1C 1⊥面DCC 1D 1． （II ）方法一：建立空间直角坐标系，用空间向量法求解.方法二：找到GMH 或其补角是二面角D –EB 1–C 1的平面角．解三角形即可． 【解析】（I ）因为ABCD –A 1B 1C 1D 1是长方体，所以B 1C 1⊥平面DCC 1D 1， 又B 1C 1⊂平面DB 1C 1，所以平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1． （II ）方法一（空间向量法）：建立空间直角坐标系，如图所示：则D （0，0，1），E （0，1，0），B 1（1，2，0），，DE →=(0，1，−1)，EB 1→=(1，1，0)． 设m →=（x 0，y 0，z 0）是平面DEB 1的一个法向量，所以{DE →⋅m →=0EB →1⋅m →=0，即{y 0−z 0=0x 0+y 0=0，令z 0=1，则x 0=–1，y 0=1． 所以m →=（–1，1，1），而平面EB 1C 1的法向量D 1D →=(0，0，1)， 所以cos <m →，D 1D →>=m →⋅D 1D→|m →||D 1D →|=13×1=√33． 由图得：二面角D –EB 1–C 1是钝角， 所以二面角D –EB 1–C 1的余弦值为−√33．方法二：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D–EB1–C1的平面角．又∵MH=12A1E=√22，∴cos∠GMH=MHMG=√22√12+(√22)=√33．∴二面角D–EB1–C1的余弦值为−√33．【点评】本题考查面面垂直的判定、二面角的求解，是中档题．18．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为34，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．【点睛】（I）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，求出X的分布列与数学期望．（II）分“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，求出事件A发生的概率．【解析】（I）由题意得：X的取值为0，1，2，3，P(X=0)=(14)3=164，P(X=1)=C31(34)(14)2=964，P(X=2)=C32(34)2(14)=2764，P(X=3)=(34)3=2764．所以X的分布列为X0123P16496427642764EX=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，所以P(A)=2764×164+2764×964=1352048．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，是中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n–2n–1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【点睛】（I）用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）用等比数列的通项公式、错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可求解．【解析】（I）S n=2a n–2n–1，（n∈N+），令n=1，求得a1=3．因为S n=2a n–2n–1①，所以S n–1=2a n–1–2（n–1）–1②；①–②得a n=2a n–2a n–1–2，即a n=2a n–1+2，所以a n+2a n−1+2=2(a n−1+2)a n−1+2=2，所以{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：{a n+2}是首项为a1+2=5，公比为2的等比数列．所以a n+2=5×2n−1，所以n⋅(a n+2)=52⋅n⋅2n，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则T n=52(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n)③2T n=52(1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1)④③–④得：−T n=52(2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1)=52[2(1−2n)1−2−n⋅2n+1]，即T n=5(n−1)2n+5．所以数列{n•（a n+2）}的前n项和为5(n−1)2n+5．【点评】本题考查等比数列，数列的错位相减法求和，是中档题．20．已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）–g'（x），判断h（x）在（–2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x>–2时，证明f（x）>g（x）．【点睛】（I）先对h（x）求导，然后结合导数研究单调性，结合函数的零点可求；（II ）不等式转化为：证明H （x ）=f （x ）–g （x ）>0恒成立，求导即可求解． 【解答】（I ）因为f′(x)=e x ，g′(x)=1x+2(x >−2)，所以ℎ(x)=e x −1x+2(x >−2) 因为h （x ）在（–2，+∞）内单增， ℎ(−1)=1e −1<0，ℎ(0)=1−12>0， 所以h （x ）在（–2，+∞）内有且只有一个零点．（II ）构造函数H （x ）=f （x ）–g （x ）=e x –ln （x +2），H′(x)=e x −1x+2． 由（I ）可知：存在x 0∈（–1，0）使得，H′(x 0)=e x 0−1x 0+2=0即e x 0=1x 0+2． 当x ∈（–2，x 0）时，H '（x ）<0，H （x ）单减； 当x ∈（x 0，+∞）时，H '（x ）>0，H （x ）单增； 所以H(x)min =H(x 0)=ex 0−ln(x 0+2)=ex 0+x 0=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0，所以H （x ）=f （x ）–g （x ）>0， 所以当x >–2时，f （x ）>g （x ）．【点评】本题考查导数在研究函数中的应用，函数与方程，是中档题．21．如图，过抛物线C ：y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B ，P 为拋物线上任意一点（与A ，B 不重合），直线P A ，PB 分别交抛物线的准线l 于点M ，N ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程； （Ⅱ）求证：MF ⊥NF ．【点睛】（Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线求出两根之积，再求P A 、PB 的方程，进而求出M ，N 的坐标，由FN →⋅FM →=0可得MF ⊥NF ． 【解析】（I ）因为抛物线C ：y 2=8x ，所以抛物线的焦点F （2，0），准线l 的方程为x =–2．（II ）由（I ）知，设直线AB 的方程为x –2=my （m ∈R ）． 令P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x −2=my y 2=8x ，消去x 得y 2–8my –16=0，由根与系数的关系得y 1y 2=–16．直线PB 方程为：y−y 0y 2−y 0=x−x 0x 2−x 0，即y =y 2−y 0x 2−x 0(x −x 0)+y 0=y 2−y 0y 228−y 028(x −y 028)+y 0=8y 2+y 0(x −y 028)+y 0=y 2y 0+8x y 2+y 0． 当x =–2时，y =y 2y 0−16y 2+y 0，所以N(−2，y 2y 0−16y 2+y 0)；同理可得M(−2，y 1y 0−16y 1+y 0)； 所以FN →=(−4，y 2y 0−16y 2+y 0)，FM →=(−4，y 1y 0−16y 1+y 0)，所以FN →⋅FM →=16+y 2y 0−16y 2+y 0×y 1y 0−16y 1+y 0=16(y 2+y 0)(y 1+y 0)+(y 2y 0−16)(y 1y 0−16)(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16y 1y 2+16y 02+y 1y 2y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16(−16)+16y 02+(−16)y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=0， 所以FN →⊥FM →； 所以MF ⊥NF ．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，是中档题．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. [选修4––4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数）． （Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2，π6)时，求直线l 的倾斜角． 【点睛】（I ）利用平方关系消去参数即可求解．（II ）解法一：中点化成直角坐标为(√3，1)，将{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1，得(cos 2α+3sin 2α)t 2+(6sinα+2√3cosα)t −6=0，用根与系数的关系、参数的意义即可得出．解法二：中点的直角坐标为(√3，1)．联立直线l 与曲线C ，求得 x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1．由点差法求得直线的斜率．【解析】（I ）{x =2√3cosβy =2sinβ，（β为参数），即{cosβ=x23sinβ=y 2消去参数得x 212+y 24=1；所以曲线C 的普通方程为x 212+y 24=1．（II ）解法一(参数法)：中点极坐标(2，π6)化成直角坐标为(√3，1)，将{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1，得(√3+tcosα)212+(1+tsinα)24=1．所以(cos 2α+3sin 2α)t 2+(6sinα+2√3cosα)t −6=0， 由参数t 的几何意义得t 1+t 2=−6sinα+2√3cosαcos 2α+3sin 2α=0，即−6sinα−2√3cosα=0． 即sinαcosα=−√33，所以tanα=k =−√33； 又α∈（0，π），所以直线l 的倾斜角为5π6．解法二(点差法)：中点极坐标(2，π6)化成直角坐标为(√3，1)．设直线l 与曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， 所以x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1．联立{x 1212+y 124=1x 2212+y 224=1，得x 22−x 1212+y 22−y 124=0，化简得y 2−y 1x 2−x 1=−x 1+x 23(y 1+y 2)=−2√33×2=−√33． 所以k l =tanα=−√33．又α∈（0，π），所以直线l 的倾斜角为5π6．【点评】本题考查参数方程化为普通方程，参数的意义，是中档题． [选修4––5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x–a|（x–2）+|x–2|（x–a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）<0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．【点睛】（Ⅰ）将a=2代入，分类求解；（Ⅱ）用绝对值不等式的性质得|x–a|≤x–a，由此得解．【解析】（I）当a=2时，f（x）=|x–2|（x–2）+|x–2|（x–2），由f（x）<0得|x–2|（x–2）+|x–2|（x–2）<0．①当x≥2时，原不等式可化为2（x–2）2<0，无解；②当x<2时，原不等式可化为–2（x–2）2<0，解得x<2；所以f（x）<0的解集为{x|x<2}．（II）当x∈（0，2）时，x–2≤0；f（x）=|x–a|（x–2）+|x–2|（x–a）=（x–2）[|x–a|–（x–a）]．由f（x）≥0得（x–2）[|x–a|–（x–a）]≥0，因为x–2≤0，所以|x–a|–（x–a）≤0，即|x–a|≤x–a，所以x–a≥0，即a≤x，x∈（0，2），所以a≤0；所以a的取值范围为（–∞，0]．【点评】本题考查绝对值不等式，是基础题．。
陕西省咸阳市2020年高考数学模拟考试试题(一)理 北师大版
2020年咸阳市高考模拟考试试题（一）理 科 数 学考生须知：1、本试题卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷共4页21题；满分为150分；考试时间为120分钟。
2、第Ⅰ卷，第Ⅱ卷都做在答题卷上，做在试题卷上不得分。
参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn kn n p k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为 ）A 2．抛物线24x y =的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（l ，0）D ．（0，1）3．已知()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示 ,则函数()xg x a b =+的图像是（ ）（第3题图）4.若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．125．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ）A ．9214+π B.8214+π C.9224+π D.8224+π 6．已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不确定 7. 已知A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x∈R｝，B=｛x||x-i|<10，i 为虚数单位，x>0｝,则A I B=（ ）A ．（0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)8执行如图所示的程序框图，输入的N ＝2020，则输出的S ＝（ ） A ．2020 B ．2020 C ．2020 D ．20209.)与每天的销售量y (个)统计如下表：x 16 17 18 19 y50344131据上表可得回归直线方程^y =b ∧x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定 为15元时，销售量为 ( )A ．48B ．49C ．50D ．51开始输入NS ＝1，i ＝1i ＜N输出S结束S=(i －1)S ＋(2i －1)ii ＝i ＋124左视图第5题图 6主视图俯视图4是否10.设)(x f 的定义域为D ，若)(x f 满足条件：存在D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[ba ，则称)(x f 为“倍缩函数”.若函数)ln()(t e x f x+=为“倍缩函数”，则t 的范围是A . ),41(+∞ B. )1,0( C. ]21,0( D. )41,0(Ⅱ卷 非选择题 （共100分）二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11.⎰ex 11dx +=-⎰-dx x 2224 .12. 设命题p :实数x 满足03422<+-a ax x ,其中0<a ;命题q :实数x 满足2280,x x +->且p q 是的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .13．[]n 表示不超过n 的最大整数.123[1][2][3]3,[4][5][6][7][8]10,[9][10][11][12][13][14][15]21,,S S S =++==++++==++++++=L那么n S = .14．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =__________时，0)(=k a f . 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（1）（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线的极坐标方程为242sin()πρθ+=，则极点到该直线的距离是 .（2）（选修4—5 不等式选讲）已知c b a ,,都是正数，且12=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 .（3）(选修4—1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙O 与⊙'O 外切，过O 作⊙'O 的两条切线,,OA OB ,A B 是切点，点C 在圆'O 上且不与点,A B 重合，则ACB ∠= .三、解答题（共6个题， 共75分）16．（本小题满分12分）已知函数2()23sin cos 12sin f x x x x =+-，x ∈R ．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;（II ）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间]80[π，上的最小值.17. （本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°． （Ⅰ）求证：PC⊥AC；（Ⅱ）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面MAC 的距离．19．（本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
2020年陕西咸阳高三一模数学试卷(理科)
2020年陕西咸阳高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设，则（ ）．A. B. C. D.2.已知集合，，则中元素的个数为（ ）．A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）．A. B. C. D.4.已知，则（ ）．A. B. C. D.5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ）．A.B.C.D.6.的内角，，的对边分别为，，，若，，既是等差数列又是等比数列，则角的值为（ ）．A.B.C.D.7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）．A.B.C.D.8.函数，在中随机抽取一个数，使的概率为（ ）．A.B.C.D.9.已知，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.已知曲线： ，： ，则下面结论正确的是（ ）．A.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线D.把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线的两个焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线于，，，四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为 ．14.已知，则 ， ．15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”，试写出的一个“同域函数”的解析式为 ．16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．，改写成以下形式：，若，则．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，长方体中，是棱的中点，，．求证：平面平面．求二面角的余弦值．（1）（2）18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响．用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望．设为事件“甲比乙答对题目数恰好多”，求事件发生的概率．（1）（2）19.已知数列的前项和为，且满足，．求证：数列是等比数列．求数列的前项和．（1）20.已知，．【答案】解析:（2）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数．当时，证明：．（1）（2）21.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，，为抛物线上任意一点(与,不重合)，直线，分别交抛物线的准线于点，．xyO写出焦点的坐标和准线的方程．求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），直线的参数方程（为参数）．求曲线在直角坐标系中的普通方程．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角．（1）（2）23.已知函数．当时，求不等式的解集．若时，，求的取值范围．B 1.，则，故．故选．解析:集合，，如图：x–2–112y –1123O 故，故中元素个数为．故选．解析:作轴于点，因为点的坐标为，B 2.A 3.所以，，所以，所以，所以，所以将绕点逆时针旋转，得到向量，此时点在轴，且，所以点坐标为，所以．故选．解析:椭圆方程可化为，由题意知椭圆焦点在轴上，∵，，∵，∴，∴．故选．解析:∵，，成等差数列，∴，∴，∵，，成等比数列，∴，∴，由余弦定理知，C 4.D 5.C 6.∵，∴．故选．解析:如图所示，取中点，连接，取中点，连接．∵，∴为等边三角形，∴．又∵平面，∴，，∴以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，记，∴，，，，∴，,∴，∴异面直线和所成角的余弦值为．故选选项．解析:函数，当时，，D 7.D 8.∴使的概率为．故选．解析:∵，∴，，由基本不等式，当时等号成立，所以，的最小值为．故选．解析:对于：，故 错误;对于：，故 错误;对于：，故 错误;对于：，B 9.D 10.故 正确．故选．解析:由，且定义域为，可得关于对称，即，又∵是上的奇函数，∴，，即，则，即是周期为的函数，则，且，，∴，则根据的周期为，可知，．故选．解析:若以为直径作圆，则原点为圆心，若，，，四点分别关于轴对称，记圆的方程为，双曲线方程为，联立得，即，A 11.A 12.∴，，∵四边形为正方形，∴，即，即，∴，∵，∴，∴，∴．故选．解析:的导函数为，∴ 时，∴在处的切线方程为．解析:∵）其中（），∴，．解析:函数，∴解得，∴函数定义与为，令，则13. ; 14.，或，或，15.（1）（2），∵，，∴，∴在上单调递增，∴，，∴的值域为，构造定义域为，值域为的函数，如：，或，或，．解析:根据材料模板：，，，，．解析:∵是长方体，∴平面，又∵平面∴平面平面．方法一：16.（1）证明见解析．（2）．17.取、、分别是、、的中点，连接、、、、，∵，，，即，又∵，∴或其补角是二面角的平面角，又∵，∴，∴二面角的余弦值为．方法二：以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设是平面的一个法向量，（1）（2），∴，令则，，，平面的一个法向量，，显然，二面角是钝角，∴二面角的余弦值为．故答案为：．解析:的取值为，，，，；；；因此，的分布列为．由题意得：事件 “甲比乙答对则有数恰好多”发生，即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况；，（1）分布列为数学期望．（2）．18.（1）（2）（1）．解析:令，则．∵，，①∴，，②①②得：，，∴，∴是等比数列．由（）知：数列是首项为：，公比为的等比数列，∴．∴，设数列的前项和为，则：，③∴，④③④得：．∴．解析:∵，，∴．∵在内单调递增，又，，（1）证明见解析．（2）．19.（1）在内有且只有一个零点．（2）证明见解析．20.（2）（1）（2）∴在内有且只有一个零点．令，，由（）可知：存在使得，，即：．当时，；当时，，，∴．解析:由题意得：抛物线的焦点为，准线的方程为：．由()知，设直线的方程为：．令，，，由，消去得：，由根与系数的关系得：，直线方程为：，，（1），．（2）证明见解析．21.（1）（2）当时 ，，∴，同理得：，∴，，∴．∴，∴．解析:由曲线的参数方程（为参数），得：，∴曲线的参数方程化为普通方程为：．方法一：中点极坐标化成直角坐标为，设直线与曲线相交于，两点，，，则，②①得：，化简得：，即：，又∵，（1）．（2）．22.①②（1）（2）方法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，∴，∴，即，∴，即，又∵，∴直线的倾斜角为．解析:当时，，由得．①当时，原不等式可化为：，解之得：．②当时，原不等式可化为：，解之得：且，∴.因此，的解集为：．当时，．由得，∴，∴，∴，，∴，（1）．（2）．23.。
2020年陕西高三一模数学试卷(理科)
2020年陕西高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.设，则在复平面内 对应的点位于（ ）．A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）．3.已知函数，则（ ）．A.是奇函数，在区间上单调递减B.是非奇非偶函数，在区间上单调递减C.是偶函数，在区间上单调递增D.是偶函数，在区间上单调递减4.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四两，甲得十两四钱，戊得五两六钱，问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有人分两银子，甲得两钱，戊得两钱，且甲、乙、丙、丁、戊相邻两人分得银子的差额相等，则乙、丙、丁各分几两几钱？（注：两等于钱）（ ）．A.乙得两，丙得两，丁得两B.乙得两钱，丙得两，丁得两钱C.乙得两钱，丙得两，丁得两钱D.乙得两，丙得两，丁得两开始输入输出结束是否5.执行如图所示的程序框图，则（ ）．A.B.C.D.6.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为，，，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了名学生，则的值为（ ）．A.B.C.D.7.设，，，则，，的大小关系是（ ）．A.B.C.D.8.在的展开式中，令的系数为，则含项的系数为（ ）．A.B.C.D.9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线与，的延长线交于，两点，则（ ）．A.B.C.D.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列四种说法正确的有（ ）．①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象在区间上单调递减；④函数的图象在区间上单调递增．A.①④B.②③C.①③D.②④11.正视图侧视图俯视图某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为的正方体的外接球的表面积为（）．A.B.C.D.12.已知函数在处有极值，设函数，且在区间内不单调，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若，则．14.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为 ．15.已知双曲线：上存在两点，关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为 ．16.已知数列满足，，当时，，且点是直线上的点，则数列的通项公式为 ；令，则当在区间内时，使的值为正整数的所有值之和为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，在中，，，，，在边上，连接．求角的大小．求的面积．（1）（2）18.年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手，，，，依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是，，，，，并且比赛胜负相互独立．赛会采用局胜制，先赢局者获得胜利．在决赛中，中国队以获胜的概率是多少？求比赛局数的分布列及数学期望．（1）（2）19.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角， 平面，，且．BCD AP求证：．若，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知函数，．证明：当时，．存在，使得当时恒有成立，试确定的取值范围．（1）12（2）21.设椭圆的方程为，为坐标原点，为椭圆的上顶点，为其右焦点，是线段的中点，且．求椭圆的方程．过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆于，两点，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，并延长交椭圆于点，两点．判断的形状．求四边形面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的普通方程和曲线的直角坐标方程．求上点到距离的最大值及该点坐标．【答案】解析:本题考查复数的运算，由题可知，所以，则在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．故选．解析:本题考查集合及不等式的运算．因为，所以集合．又集合，所以．故选．解析:因为，定义域为，，所以，所以为偶函数，当时，，单调递减，故在上单调递增．故选．（1）（2）23.设函数．当时，求不等式的解集．若的最大值为，求的值．D1.C2.C3.解析:本题考查等差数列的通项公式．根据题意，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，其公差为，则，，所以，即，解得．可得，；，所以乙得两钱，丙得两，丁得两钱．故选．解析:本题考查程序框图．根据程序框图得其程序功能为分段函数的函数值计算，输出，所以，，所以，故选．解析:由分层抽样的定义可得，解得．故选．解析:∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故选．C 4.D 5.D 6.B 7.解析:本题考查二项式定理．由题意可知，即，解得，所以含项的系数为，故选．解析:当直线垂直于轴时，与相似，所以，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，设，，，，联立得，，所以，所以，综上，．故选．解析:由题意得，所以函数的对称轴为直线，，对称中心为点，．在，上单调递减，，上单调递增，B 8.D 9.C 10.所以①③正确，故选．解析:由题意可知该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积，解得，则正方体的棱长为，则其外接球的直径，所以棱长为的正方体外接球的表面积．故选．解析:∵，且在处有极值，∴，即，解得，∴，，∴，∵在内不单调，∴有①或②或③，解①得，解②得无解，解③得无解，∴的取值范围为，故选．A 11.B 12.或解析:由得，解得，所以，，所以．解析:由题可知切线的斜率．又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为．又因为圆的圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆截得弦长为，则，解得实数的值是或．解析:设，，线段的中点的坐标为，则有，由②①得，∵，∴，∴，∵，∴，13.或14.15.①②③④（1）又，∴又点在直线上，∴，∴，，∴，．即双曲线的离心率为．故答案为：．解析:因为当时，，且点是直线上的点，所以当时，有，所以，所以 ，令得，所以，所以当在内时，即，得，，所以使的值为正整数的所有值之和为 ，故答案为：；．解析:∵，，;16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，∴，由题图可知，∴．在中，由余弦定理得：，，解得，∴．解析:若中国队以获胜，则前三局中赢两局输一局，第四局比赛胜利．设中国队以获胜为事件，则：．设比赛局数为，则的取值分别为，，，则，，，则的分布列为：（1）．（2）的的分布列为：．18.（1）（2）．解析:∵平面，平面，∴，∵，且，∴，，∴，，∴，即．又，∵平面，又平面，∴．如图，过点作垂直于点，BCD A PF由知，，又，，∴，，两两垂直，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，设平面的法向量，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）由，得，∴取，设平面的法向量，由，得，∴取，设二面角的平面角为，则，由图可知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．故答案为：．解析:证明：由题意知的定义域为，的定义域为，令，所以，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，成立．由知，当时，，所以当时，不存在满足题意；当时，令，所以，令得，（1）证明见解析．（2）．20.（1）1（2）所以（舍去），，因为，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即成立．综上，的取值范围为．解析:设椭圆的半焦距为，由题意可得，为的中点，∴，，∴，∴，∴椭圆的方程为．设直线的方程为，且点在第一象限，联立，消去得，显然，∴，，又∵轴，∴，∴，∴直线的方程为，（1）．12（2）直角三角形．．21.2联立，消去得，，∴，∵，∴，，∴，∴，即为直角三角形．根据图形的对称性可知，四边形面积是面积的倍，由（）知为直角三角形，且，∴，又，，∴（1）（2）令，∵，∴，∴，即当时，最大，此时的面积也达到最大，由对称性可知，故当时，最大，．解析:由（为参数），可得，消去参数，得的普通方程为．将去分母得，将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程为．由可设的参数方程为（为参数），上点到的距离，当，即，时，，此时，所以上点到距离的最大值为，该点坐标为．（1），．（2），．22.（1）23.（1）（2）解析:当时，，解得；解得，解得，所以原不等式的解集为或．当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，所以的值为或．或．（2）或．。
2020届陕西省咸阳市高考理科数学模拟试题
2020届陕西省咸阳市高考理科数学模拟试题一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞﹣1}，则（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．[0，1）2．（5分）已知复数z＝i为虚数单位），则z的虚部为（）A．2B．2i C．﹣2D．﹣2i3．（5分）已知向量＝（1，3），＝（3，2），则向量在向量上的投影等于（）A．B．9C．﹣3D．4．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）A．66B．55C．45D．385．（5分）已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为116．（5分）已知0＜a＜b＜1，则下列不等式不成立的是（）A．B．lna＞lnbC．D．7．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⫋β，α∩β＝b，则“a∥α”是“a∥b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）（2x﹣1）（x+2）3的展开式中x2项的系数为（）A．24B．18C．12D．49．（5分）若，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A．B．C．D．11．（5分）将函数y＝cos（2x+φ）（﹣＜φ＜）的图象向右平移个单位长度单位后得函数f（x）图象，若f（x）为偶函数，则（）A．f（x）在区间[﹣，]上单调递减B．f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．f（x）在区间[，]上单调递减D．f（x）在区间[，]上单调递增12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（f（x））的零点个数为（）A．6B．7C．9D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足，且f（﹣2）＝3，则f（2020）＝．15．（5分）在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，sin A sin B cos C ＝sin2C，则△ABC的面积为．16．（5分）已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为56π，则该三棱柱的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝3，a4+a7＝20，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD⊥平面ABCD，且AB ∥CD，CD＝2AB＝2AD，AD⊥CD．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如表：学生的编号i123456数学x i898779817890物理y i797577737274（Ⅰ）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X表示理科小能手的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程．参考数据和公式：，其中，．20．（12分）已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax﹣ax﹣1（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．。
2020届陕西省咸阳市高三第一次高考模拟检测数学(理)试题(word无答案)
2020届陕西省咸阳市高三第一次高考模拟检测数学(理)试题一、单选题(★) 1 . 设，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知集合，，则中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0(★) 3 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（）A．B．C．D．(★) 4 . 已知，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A．B．C．D．(★) 6 . 的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（）A．B．C．D．(★) 7 . 如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★) 8 . 函数，在中随机取一个数，使的概率为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知，则的最小值为（）A．10B．9C．8D．7(★★) 10 . 已知曲线，，则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线(★★) 11 . 设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )A．B．C．D．(★★) 12 . 已知双曲线的两个焦点分别为, ，以为直径的圆交双曲线于, , , 四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 曲线在点处的切线的方程为__________．(★) 14 . 已知则________________，_____________.(★) 15 . 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.(★★) 16 . 秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法..改写成以下形式：若，则_________.三、解答题(★★) 17 . 如图，长方体中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.(★★) 18 . 甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.(★★) 19 . 已知数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.(★★) 20 . 已知，.（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（Ⅱ）当时，证明.(★★★★) 21 . 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；（Ⅱ）求证：.(★★) 22 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程( 为参数)，直线的参数方程( 为参数).（1）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.(★★) 23 . 已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，，求的取值范围.。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合2{|450}A x x x =-+>，2|03x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭…，则(A B =I )A ．(2,3)-B ．[2-，3]C ．[2-，3)D ．∅3．（5分）已知函数2()log 1f x =，则()(f x ) A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于10钱）( ) A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．（5分）执行如图所示的程序框图，则f （3）f +（6）(= )A ．45B ．35C ．147D ．756．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n 的值为( ) A ．20B ．22C ．23D ．267．（5分）设0.13a =，0.3log 0.5b =，6log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．（5分）在6(2)(1)m x y ++的展开式中，令3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( ) A ．30B ．960C ．300D ．3609．（5分）已知抛物线24y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:(MON POQ S S ∆∆= ) A ．18B ．19C ．112D ．11610．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是( ) ①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点(,0)3π对称；③函数()y f x '=的图象在区间(,)66ππ-上单调递减；④函数()y f x '=的图象在区间2(,)63ππ上单调递增．A ．①④B ．②③C ．①③D ．②(④11．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该儿何体的体积为103，则棱长为a 的正方体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．14πC ．43πD ．16π12．（5分）已知函数3213()132f x x x bx =-++在1x =处有极值，设函数23()()()2F x f x a x =--，且()F x 在区间(2,3)内不单调，则a 的取值范围为( ) A ．311(,)23B ．311(,)26C ．311(,)43D ．38(,)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(3,1)a =r ，2(4,23)b t =-+r ，若9a b =-r r g ，则cos a <r ，b >=r ．14．（5分）函数()f x xlnx a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为 ．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 满足11,log (2)n n b n a a c n ==…，当2n …时，n b n =，且点(n b ，)n c 是直线1y x =+上的点，则数列{}n a 的通项公式为 ；令123k y a a a a =⋯g g ，则当k 在区间[1，2019]内时，使y 的值为正整数的所有k 值之和为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在ABC ∆中，33sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD ． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求ACD ∆的面积．18．（12分）2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A ，B ，C ，D ，E 依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立．赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利．（Ⅰ）在决赛中，中国队以3:1获胜的概率是多少？ （Ⅱ）求比赛局数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，ADC ∠为直角，AP ⊥平面ABCD ，::5:4:2BC AD CD =，且1CD =．（Ⅰ）求证：BP AC ⊥；（Ⅱ）若AP CD =，求二面角D PC B --的余弦值．20．（12分）已知函数()f x lnx =，211()22g x x =-．（Ⅰ）证明：当1x >时，()()f x g x <；（Ⅱ）存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时恒有()()(1)(1)f x g x k x ->--成立，试确定k 的取值范围．21．（12分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，A为椭团的上顶点，B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且OD AB ⊥．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点． （ⅰ）判断PQM ∆的形状；（ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为1,1(1t x tt t y t -+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．（Ⅰ）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到l 距离的最大值及该点坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数()||2|1|f x x a x =--+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若()f x 的最大值为3，求a 的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意得43z i =-， 所以114343(43)(43)iz i i i +==-+-， 4325i+=， 因此在复平面内对应的点43(,)2525位于第一象限， 故选：A ．2．（5分）已知集合2{|450}A x x x =-+>，2|03x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭„，则(A B =I )A ．(2,3)-B ．[2-，3]C ．[2-，3)D ．∅【解答】解：2245(2)10x x x -+=-+>，∴集合A R =，且{|23}B x x =-<„， [2A B ∴=-I ，3)．故选：C ．3．（5分）已知函数2()log 1f x =，则()(f x ) A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减【解答】解：因为，2()11log ||f x log x =+=+， 所以()f x 为偶函数，根据对数函数的性质可知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增， 故选：D ．4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中。