常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6)

学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______

一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dx

dy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx

dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),..(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件

是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =3

12+++-y x y x

2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

3、讨论方程23=dx dy 31

y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-

5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dt

dy by ax dt

dx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么

=)(t ϕ[]

η)(0t t A e -

常微分方程期末考试答案卷

一、填空题。（30分）

1、

x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 2、)(x

y f dx dy = 3、y=0y +dx y x f x

x ⎰0),(

4、连续的

5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n

6、n 个线性无关解

7、)0()(1-ΦΦt

8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0

9、为零 稳定中心

二、计算题。（60分）

1、解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0

xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0

即

21d 2x -d(xy)+dx-33

1dy -3dy=0 所以C y y x xy x =--+-33

12132

2、解：2

)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y 则

dx

dy dx dz +=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-12 所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C

即y x Ce y x +=++23)1(

3、解： 设f(x,y)= 2331y ,则)0(2132

≠=∂∂-y y y f 故在0≠y 的任何区域上y

f ∂∂存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解；

又由23=dx dy 31y 解得，|y|=23

)(c x - 所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及 |y|=⎪⎩⎪⎨⎧≥>-≤是常数0),()()(023c c x c x c x

4、解： (1)i 21,0322,12±==+-λλλ

齐次方程的通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t +

(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t e t B t A x -+=)sin cos (

代入方程比较系数得A=

415，B=-414 于是t e t t x --=)sin 41

4cos 415( 通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t ++

t e t t --)sin 4cos 5(411

5、解： det(A E -λ)=0543421

2=--=----λλλλ

所以，5,121=-=λλ

设11-=λ对应的特征向量为1v

由0110442211≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----ααv v 可得 取⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121v v 同理取 所以，)(t Φ= []=-251v e v e t t ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---t t t t e e e e 552 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t t

t t t t t

t t t t At e e e e e e e e e e e e e e e e t e 5555551551222231111223121112)0()(

6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 00≠=ac c b

a ，故奇点为原点（0，0）

又由det(A-λE)=

0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ

得 c a ==21λλ

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 三、证明题。 （10分）

证明： 设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）

（C 为待定的常向量）

则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0