山东省泰安市高一上学期期末数学试卷
泰安市高一数学上学期期末考试试题含解析
A。 B. C. D。
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据角所在象限，判断三角函数符号,即可判断选项。
【详解】因为 为第二象限角，
， ，
所以A，B正确,D不正确;
当 时， ，当 时， ,所以C不一定正确。
故选：AB
11。 函数 的图象可能为（ ）
A.
B.
【详解】对于A，若 , 为正实数， ，
， ，故A正确；
对于B，若 , , 为正实数， ， ,则 ,故B错误；
对于C，若 ,则 ，不能推出 ，
而当 时,有 ，所以 成立，即 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,故C正确；
对于D，当 时， ， ，当且仅当 时取等号，故D不正确。
故选:AC。
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
故选：D.
7. 科学研究已经证实，人的智力,情绪和体力分别以 天、 天和 天为周期，按 进行变化，记智力曲线为 ，情绪曲线为 ，体力曲线为 ，且现在三条曲线都处于 轴的同一点处，那么第 天时 ( )
A. 智力曲线 处于最低点
B. 情绪曲线 与体力曲线 都处于上升期
C. 智力曲线 与情绪曲线 相交
D. 情绪曲线 与体力曲线 都关于 对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 , ，则命题 的否定为“ , ”，
故选：B．
4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的。每个节气对应地球在黄道上运动 所到达的一个位置。根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 ( ）
山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级考试数学试题一、单项选择题1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A. {}1,6 B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】先求U A ð，再求U B A I ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2.设p：x >q ：22x >，则p 是q 的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式22x >，根据集合的包含关系，可得到答案. 【详解】解：因为q ：22x >，所以q ：x >x <因为p ：x >所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.3.已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 10【答案】C 【解析】 分析】 变换141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开利用均值不等式得到答案. 【详解】∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4559ab ab =+++=…，当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”. 故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.4.函数()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间（ ） A. ()1,0-和()0,1内 B. (),1-∞-和()1,0-内 C. ()0,1和()1,+∞内 D. (),1-∞-和()1,+∞内【答案】A 【解析】 【分析】将()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+进行整理化简，可得()y f x =为二次函数，求出零点即可. 【详解】解：()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+231x =-， 令()0f x =，解得：3x =±，因为(1,0)-(0,1) 【故选：A.【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.5.已知2ln 3a =，22log 32b =，0.245c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】A 【解析】 【分析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.【详解】解：由题得，22log 3223b ==， 因为213<， 所以2ln 03a =<，因为0.20-<， 所以0.24()15->，所以，0.22401()35a c -<<<<=，即abc << 故选：A【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等. 6.函数422y x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断. 【详解】解：42()2f x x x =-的定义域为R ，4242()()2()2()f x x x x x f x -=---=-=，所以函数为偶函数，故正确答案在A 、B 中， 当1x =时，(1)121f =-=-， 故选：B【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选. 7.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8.若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ） A. []0,17 B. (],17-∞ C. []1,17 D. [)1,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．【详解】易知()122,1xf x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22log 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.二、多项选择题9.已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（ ） A. tan 0θ< B. 24tan 9θ>C. 22sin cos θθ>D. sin20θ>【答案】AB 【解析】 【分析】求解出cos θ、tan θ，对选项逐一判断. 【详解】解：因为2sin 3θ=-，且cos 0θ>，所以cos 3θ==，tan θ=A 正确； 244tan 59θ=>，B 正确； 24sin 9θ=，25cos 9θ=，22sin cos θθ<，C 不正确；sin 22sin cos 0θθθ==<，D 不正确； 故选：AB【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键. 10.已知01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ln ln a b >C.11a b> D.11ln ln a b> 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为01a b <<<，1()2xy =为减函数，所以1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为01a b <<<，ln y x =为增函数， 所以ln ln 0a b <<， 又因为1y x=在区间(),0-∞上为减函数，在区间()0,∞+上也为减函数， 所以11ln ln a b >，同理可得，11a b>， 故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11.若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条： （ⅰ）对任意的[0,1],x ∈总有()0;f x ≥（ⅱ）(1)1;f =（ⅲ）若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有1212()()().f x x f x f x +≥+就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[]0,1的函数中为“A 函数”的有_______________①()f x x =；②()21;xf x =-③12()log (1);f x x =+④2()log (1).f x x =+ 【答案】①② 【解析】 【分析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.【详解】①显然()f x x =在[0，1]满足条件①()f x x =≥0；也满足条件②f （1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f (x 1+x 2)−[f (x 1)+ f (x 2)]＝(x 1+x 2)− (x 1+ x 2)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．②显然()f x =2x -1在[0，1]满足条件①g（x ）≥0；也满足条件②g（1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则g(x 1+x 2)−[g(x 1)+g(x 2)]＝2x 1+x 2−1−[(2x 1−1)+(2x 2−1)]=2x 1+x 2−2x 1−2x 2+1＝(2x 2−1)(2x 1−1)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．③显然()()12log 1f x x =+在[0，1]不满足条件①f （x ）≥0,()()12log 1f x x =+不为A 函数．④显然()()2log 1.f x x =+在[0，1]满足条件①f （x ）≥0；也满足条件②f （1）=1． 若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝()()121222212121211log log log 10111x x x x x x x x x x ++++==≤=+⋅+⋅+++不满足条件③，故f （x ）不为A 函数．【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用． 12.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）A. ()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B. (){},sin 1M x y y x ==+ C. (){},22xM x y y ==-D. (){}2,log M x y y x ==【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-，故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立， 则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13.计算：7lg142lg lg 7lg183-+-=__________， 【答案】0 【解析】 法一：7lg142lglg 7lg183-+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg7237232lg lg lg lg =+-++--0=．法二： 7lg142lglg 7lg183-+- 27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2147lg7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭lg1=0=．故答案为014.命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______． 【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.15.已知幂函数()y f x =的图象过点((),9f =则______． 【答案】3 【解析】【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案． 【详解】设幂函数()(f x x αα=为常数)，Q 幂函数()y f x =的图象过点(，3α=，解得12α=． ()f x ∴= ()93f ∴==．故答案为3．【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．16.已知函数()cos3f x x a x a =-+，且239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =______，函数()f x 的单调递增区间为______.【答案】 (1). 1 (2). ()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）由等式239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求解， （2）将（1）结果代入化简得()2sin(3)16f x x π=-+，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.【详解】（1）因为239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以222()cos 3933f a a πππ=-+=， 解得：1a =；（2）将1a =代入，得()cos31f x x x =-+， 化简得()2sin(3)16f x x π=-+，故232262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：2229393k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈，的故函数()f x 的增区间为：()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1；()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.四、解答题17.已知集合{}{}225120,31(0)xA x x xB y y x =--≥==+>.（1）求集合A B I ,()R C A B ⋃；（2）若集合{}22C x m x m =-≤≤且()R C A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】（1）{}|4x x ≥,32x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，利用指数函数的性质化简集合B ，从而可求出R C A ，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）()R C A C C ⋂=等价于()R C C A ⊆，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得m 的取值范围. 试题解析：（1）()()2325120234042x x x x x x --≥⇒+-≥⇒≥≤-或, ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或，{}2B y y =>,∴{}()34,2R A B x x C A B x x ⎧⎫⋂=≥⋃=>-⎨⎬⎩⎭.（2）∴()R C A C C ⋂=，()R C C A ⊆，342R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭, 当C =∅时，22,2m m m -><-即时满足()R C C A ⊆∴2m <-;的当C ≠∅时，要使()R C C A ⊆，则22231122222242m m m m m m m m -≤≥-⎧⎧⎪⎪⎪⎪->-⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩综上所述，()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃⎪⎝⎭. 18.在①函数3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②当3x π=时，()f x =；③23π是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ； （2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间. 【详解】解： Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T ππω∴==，1ω∴=，()()2sin f x x ϕ∴=+.方案一：选条件①2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 为奇函数，2sin 033fππϕ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3k πϕπ=+，k Z ∈.（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案二：选条件②2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，k Z ∈或23k πϕπ=+，k Z ∈，（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案三：选条件③23πQ 是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23k πϕπ∴=-，k Z ∈. （1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.19.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭sin x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．【答案】（1）1（2【解析】【详解】（1）∵()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos2sin2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.∴16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0A π<<可得：62A ππ+=，即3A π=.∴23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵203B π<<，∴51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，∴sin sin B C +. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.20.已知函数()221xx f x m =+-，m R ∈.（1）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，12m =- 【解析】 分析】（1）利用作差法证明函数的单调性； （2）利用奇偶性的定义求解m 的值. 【详解】解：（1）()f x (),0-∞上单调递减，证明：()12,,0x x ∀∈-∞，且12x x <则()()()()()()12211212121212122212212222212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x m m ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭()()2112222121x x xx -=--，120x x <<Q ，120221x x ∴<<<，21220x x ∴->，1210x -<，2210x -<，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴> ()f x ∴在(),0-∞上单调递减；（2）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，即222121x x x x m m --+=----恒成立， 221212212121122121x x x x x x xx x m ---=--=--==------， 解得：12m =-，∴存在12m =-，使得()f x 为奇函数. 【【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法. 21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100百件 【解析】 【分析】（1）根据收益=总收入-成本，进行分情况讨论，构建出分段函数； （2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000500501450025002000y x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭； 2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当030x <<时，()210201500y x =--+，∴当20x =时，max 1500y =； 当30x ≥时，100002000200020002001800y x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，max 18001500y =>. ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。
2023-2024学年山东省泰安市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省泰安市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【正确答案】A根据条件可得{}1,3,5B =，然后可得答案.【详解】因为{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，所以{}1,3,5B =所以A B = {}1,3故选：A2．在下列函数中，函数y x =表示同一函数的（）A ．2y =B ．y =C ．00x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，D ．2x y x=【正确答案】C【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.【详解】由题意，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，其解析式为,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，对于A ，函数2y =，其定义域为[)0,∞+，故A 错误；对于B ，函数y x ==，其定义域为(),-∞+∞，对应法则不同，故B 错误；对于C ，与题目中的函数一致，故C 正确；对于D ，函数2x y x=，其定义域为{}0x x ≠，故D 错误，故选：C.3．命题“R,sin 1x x ∀∈≤-”的否定为（）A ．R,sin 1x x ∀∈>-B ．R,sin 1x x ∀∉≤-C ．00R,sin 1x x ∃∉>-D ．00R,sin 1x x ∃∈>-【正确答案】D【分析】利用全称命题的否定的概念求解即可.【详解】命题“R,sin 1x x ∀∈≤-”的否定为“00R,sin 1x x ∃∈>-”故选：D4．角θ为第一或第四象限角的充要条件是（）A ．sin tan 0θθ<B ．cos tan 0θθ<C ．sin 0tan θθ>D ．sin cos 0>θθ【正确答案】C【分析】根据角θ所在的象限，可判断出三角函数值的符号，从而可判断出选项.【详解】若角θ为第一象限角，则sin 0,cos 0,tan 0θθθ>>>，若角θ为第四象限角，则sin 0,cos 0,tan 0θθθ<><，所以若角θ为第一或第四象限角，则sin 0tan θθ>；若sin 0tan θθ>，则sin 0,tan 0θ<θ<或sin 0,tan 0θθ>>，所以角θ为第一或第四象限角.故选：C.5．已知函数()()14123(1)x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则52f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．12-B ．32C ．92D ．52【正确答案】B【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.【详解】由题设，551(3222f =-+=，所以5113(22222f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．设sin 46a = ，cos 47b = ，tan 48c = ，则下列结论成立的是（）A ．c<a<b B ．b a c <<C ．a b c<<D ．b<c<a【正确答案】B比较a 、b 的大小关系，并比较a 、b 、c 三个数与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】()cos 47cos 9043sin 43b ==-=且sin 43sin 461<< ，即1b a <<，又tan 48tan 451c =>= ，因此，b a c <<.故选：B.7．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为()2()10lg10xf x dB -=，喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，大货车鸣笛时，声音约为90dB ，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（）倍.A ．149B ．14910C ．510D ．1000【正确答案】C 解出2()10lg14010x f x -==、2()10lg 9010x f x -==可得答案.【详解】由2()10lg 14010xf x -==可得1210x =由2()10lg9010xf x -==可得710x =所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的1257101010=倍故选：C8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】C【详解】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.二、多选题9．若,,R a b c ∈则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则a c b c ->-C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b>【正确答案】BD【分析】利用不等式的性质及特例法判断ABC ，利用指数函数的单调性判断D 即可.【详解】选项A ：当0c =时，22ac bc =，故A 错误；选项B ：若a b >，则0a b c c ->=-，移项可得a c b c ->-，故B 正确；选项C ：当1a =，2b =-时，满足a b >，此时22a b <，故C 错误；选项D ：因为函数2x y =在R 上单调递增，所以当a b >时，22a b >，故D 正确；故选：BD10．关于函数()()π4cos 2R 6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（）A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =的表达式可改写为π4sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π3x =对称【正确答案】BC【分析】利用余弦函数的图象和性质判断ACD ，利用诱导公式判断B 即可.【详解】()π4cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==，A 错误；ππππ4cos 24cos 24sin 26323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 正确；因为ππ4cos 062f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，C 正确；因为ππ4cos 032f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象不关于直线π3x =对称，D 错误；故选：BC11．已知函数()2121x f x =-+，则下列结论正确的是（）A ．()00f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的值城为()1,1-D ．12,x x ∀∈R ，且120x x +≠，()()()12120x x f x f x ⎡⎤++>⎣⎦恒成立【正确答案】ACD【分析】根据题意，结合函数的奇偶性以及单调性的定义，以及指数函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】函数的定义域为R ，()201011f =-=+，故A 正确；因为()()22221111221122xx x xxf x f x -⋅-=-=-=-≠+++，故B 错误；由于20x >，则121x +>，20212x<<+，所以211121x -<-<+，即函数()f x 的值城为()1,1-，故C 正确；由于2x y =在定义域上为增函数，故()2121x f x =-+在定义域上为增函数，即有12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，将式子中的2x 换为()2x -，可得当120x x +≠时，()()()()()()121212120x x f x f x x x f x f x +--=++>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故D 正确.故选:ACD12．下列说法正确的是（）A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2B ．若0x >，0y >，1x y +=，则11x y+最小值为4C ．若对()0,x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2D ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-【正确答案】BCD【分析】利用基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式成立的条件.【详解】对A ：当(]sin 0,1x ∈时，则1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立；当[)sin 1,0x ∈-时，则()1sin 2sin y x x-=-+≥=-，当且仅当1sin sin x x -=-，即sin 1x =-时等号成立，则1sin 2sin y x x=+≤-；综上所述：函数1sin sin y x x=+的值域为(][),22,-∞-+∞U ，无最小值，A 错误；对B ：若0x >，0y >，则()2111124y x x y x x x y y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y x x y =，即12x y ==时等号成立，B 正确；对C ：当0x >，则12x x+≥=，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，若对()0,x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则2m ≤，即实数m 的最大值为2，C 正确；对D ：∵12x <，则120x ->，∴()1121212112112x x x x ⎛⎫-+=-+-≥= --⎝⎭，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，即12121x x +≤--，故1221x x +-的最大值是1-，D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数()mf x x =经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f=______【正确答案】12##0.5【分析】将点代入函数解得2m =-，再计算得到答案.【详解】()1224mf ==，故2m =-，212f -==.故1214．若23a=，89b =，则ba=_______．【正确答案】23【分析】先由23a=，89b =求出,a b ，即可求出结果.【详解】因为89b =，所以328222log 9log 3log 33b ===，又23a=，所以2log 3a =，所以222log 32log 333b a ==故2315．当0x π<<时，使tanx 1<-成立的x 的取值范围为______．【正确答案】π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据正切函数的图象，进行求解即可．【详解】由正切函数的图象知，当0x π<<时，若tanx 1<-，则π3πx 24<<，即实数x 的取值范围是π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为π3π,.24⎛⎫⎪⎝⎭本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键．16．对于函数()f x 、()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ==，若存在m 、n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“友好函数”.已知函数()()13log 2x f x x e -=+-与()1422x x g x a +=⋅+-互为“友好函数”，则实数a 的取值范围是________.【正确答案】1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭求出函数()f x 的零点为1x =，由题意可求得函数()g x 零点的取值范围是()0,2，由()0f x =可得出112242xxa ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,124xt ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222h t t t =-，则实数a 的取值范围即为函数()h t 在1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数()h t 在1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域，即为实数a 的取值范围.【详解】由于函数()13log 2y x =+为增函数，函数12xy e -=为减函数，则函数()f x 为增函数，因为()031log 30f e =-=，1m ∴=.由于()()13log 2x f x x e -=+-与()1422x x g x a +=⋅+-互为“友好函数”，则11n -<，可得111n -<-<，解得02n <<，所以，函数()1422x x g x a +=⋅+-的零点的取值范围是()0,2，由()14220xx g x a +=⋅+-=可得1221122442x xx xa +-⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,124xt ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222h t t t=-，则实数a 的取值范围即为函数()h t 在1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域.当1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22111222,0222h t t t t ⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.因此，实数a 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．已知函数()()2sin R,06f x x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【正确答案】(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)最小值是1，最大值是2．【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可；（2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可.【详解】（1）由函数图象可得11π5ππ212122T =-=，解得πT =，又2πT ω=，所以2ω=，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈，所以当ππ266x +=或5π6即0x =或π3时，()f x 取得最小值，最小值是1，当ππ262x +=即π6x =时，()f x 取得最大值，最大值是2．18．已知328lg 25lg 40m ++，集合{}20A x x mx =-≤，{}32B x a x a =≤≤-．(1)求m 的值；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2(2)1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据指数和对数的运算法则化简求解即可；（2）先化简集合A ，在利用集合交集的概念求解即可.【详解】（1）由题知1111336233234lg100034322m =⨯⨯-+=-⎛⎫⨯ ⎪⎝+=⎭（2）由()2220x x x x -=-≤解得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤，因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，32-<a a ，解得1a >；当B ≠∅时，32a a -≥，即1a ≤，要使B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥，所以112a ≤≤，综上综实数a 的取值范围是1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．19．已知()()()()()πsin 2πsin πcos 22cos πsin 3πsin αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=---．(1)求1sin cos 22cos 3sin αααα+-；(2)若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a -，(),5B b ，求a b +的值．【正确答案】(1)316-(2)12a b +=-【分析】（1）利用诱导公式和同角三角关系求解即可；（2）根据三角函数的定义求解即可.【详解】（1）因为()()()()()πsin 2πsin πcos 2cos πsin 3πsin αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭---()()()()()sin sin sin tan 2cos sin sin ααααααα---==-=--所以tan 2α=-，所以11sin cos tan 222cos 3sin 23tan αααααα++=--316=-.（2）由正切函数的定义知5tan 1a bα==-，又因为tan 2α=-，所以2a =，52b =-，所以12a b +=-．20．已知关于x 的不等式()22,ax b x ax a b -≥-∈R ．(1)若不等式的解集为{}21x x -≤≤-，求a ，b 的值：(2)若0a <，解不等式222ax x ax -≥-．【正确答案】(1)12a b =-⎧⎨=⎩(2)答案见解析．【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系求解；（2）根据相应方程两根的大小分类讨论求解．【详解】（1）原不等式可化为()220ax a x b +--≥，由题知，2-，1-是方程()220ax a x b +--=的两根，由根与系数的关系得0232a a a b a⎧⎪<⎪-⎪-=-⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．（2）原不等式可化为()2220ax a x +--≥，因为0a <，所以原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，当21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤；当21a=-，即2a =-时，解得=1x -；当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-；综上所述，当20a -<<时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．21．近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而，这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()210200,040100008019500,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩．由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少?【正确答案】(1)()210600300,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元【分析】（1）由利润=销售额-成本，讨论x 的范围，得出函数关系式；（2）利用二次函数和不等式分别得出函数的最值，即可得出最大利润．【详解】（1）()()800300W x x R x =--当040x <<时，()()280010200300W x x x x =-+-210600300x x =-+-，当40x ≥时，()100008008019500300W x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭100009200x x =--+，所以()210600300,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩.（2）当040x <<时，()210600300W x x x =-+-()210308700x =--+，当30x =时，()max 8700W x =；当40x ≥时，()1000010000920092009000W x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时等号成立，所以当100x =时，()max 9000W x =，所以当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元．22．已知函数()21log ,ax f x a x+=∈R ．(1)已知1a =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求()g x 的解析式；(2)若函数()()()22log h x f x x =+有且只有一个零点，求a 的值；(3)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【正确答案】(1)221log ,0()0,0log ,01x x x g x x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪<-⎩；(2)14a =-或0a =；(3)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）由奇函数的定义求解；（2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验；（3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．【详解】（1）由题知，当0x >，()()21log x g x f x x+==，设0x <．则0x ->，所以()2211log log x x g x x x-+--==-，因为()g x 是奇函数，所以()2log 1x g x x =-，又因为()00g =所以221log ,0()0,0log ,01x x x g x x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）令()()2221log log 0h x a x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，整理得210ax x +-=，因为()h x 有且只有一个零点，所以方程210ax x +-=有且只有一根或两相等根，当0a =时，1x =，符合题意，当0a ≠时，只需140a ∆=+=所以14a =-，此时2x =，符合题意综上，14a =-或0a =．（3）在()0,∞+上任取12,x x ，且12x x <，则1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减．所以函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．所以()()()()2222211111log log log 111at a t f t f t a a t t at a t +++⎛⎫⎛⎫-+=+-+=≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-的图象开口向上，对称轴102a t a+=-<，所以函数()211y at a t =++-在()0,∞+上单调递增，所以当12t =时，y 有最小值3142a -，所以31042a -≥，解得23a ≥．所以a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
精品解析：山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
(2)在△ABC中,若f ＝1,求sinB＋sinC的最大值．
【正确答案】（1）1（2）
【详细解析】
【详细详细解析】（1）∵ .
∴ .
（2）由 ,而 可得: ,即 .
∴
∵ ,∴ ,∴ 最大值为 .
点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
高一年级考试数学试题
一、单项选择题
1.已知集合 ,则
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详细解析】
【详细分析】
先求 ,再求 ．
【详细详细解析】由已知得 ,所以 ,故选C．
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出正确答案．
2.设 : , : ,则 是 的（）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
8.若函数 在 上的最大值为4,则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详细解析】
【详细分析】
要求函数 的最大值,可先分别探究函数 与
的单调性,从而得到 的最大值．
【详细详细解析】易知 在 上单调递增, 上单调递增.
因为 , ,所以 的取值范围为 .
【点睛】本题考查分段函数的单调性,考查运算求解能力与数形结合的数学方法.
7.已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详细解析】
详细分析:先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果.
详细详细解析:因为 是定义域为 的奇函数,且 ,
2023-2024学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，集合B ={2,3,4}，则A ∩(∁U B)=( )A. {1,3,5}B. {1}C. {1,5}D. {5}2.已知p ：x >0，y >0q ：xy >0，则p 是q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.方程log 3x =−x +3的解所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞) 4.已知函数f(x)={sinπx,x <0−√ x,x ⩾0，则f[f(49)]=( ) A. √ 32 B. −√ 32 C. 12D. −12 5.已知函数y =cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是( )A. y =cos(6x +π6)B. y =cos(6x +π12)C. y =cos(23x +π18)D. y =cos(23x +π6) 6.已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tanθ=( )A. −2B. −1C. 1D. 27.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数.已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)( )A. 0.035B. 0.35C. 0.461D. 0.768 8.已知定义域为R 的函数f(x)=2|x−m|−1(m ∈R)为偶函数，记a =f(log 314),b =f(2−32),c =f(2−23)，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，5}B ．{1}C ．{1，5}D ．{5}2．已知p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．方程log 3x ＝﹣x +3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知函数f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，则f[f(49)]=（ ）A ．√32B ．−√32C ．12D ．−125．已知函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（ ） A ．y =cos(6x +π6)B ．y =cos(6x +π12) C ．y =cos(23x +π18)D ．y =cos(23x +π6)6．已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tan θ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．27．心理学家有时用函数L （t ）＝A （1﹣e ﹣kt）测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数．已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为（ ）（ln 0.9≈﹣0.105，ln 0.1≈﹣2.303） A ．0.035B ．0.35C ．0.461D ．0.7688．已知定义域为R 的函数f （x ）＝2|x ﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，记a =f(log 314)，b =f(2−32)，c =f(2−23)，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＜b ＜1a＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣1B ．ac 2＜bc 2C ．1a ＞1bD ．a 2+ab ＞210．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(−3，3√3)是α终边上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．α=2π3B ．tan2α=√3C ．若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则扇形的半径为2D ．3sinα−cosαsinα+cosα=5−2√311．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π3，0)对称B ．函数f （x ）图象的一条对称轴是直线x =−π12C ．f(x −π3)是奇函数D ．f （x ）在(−π6，π3)上单调递增12．已知函数f(x)=x x−1−2x (x ＞1)，g(x)=x x−1+log 12x(x ＞1)，则下列结论正确的是（ ） A ．若m ⩾2，则方程g(x)−f(x)=2log 12x +m 有实根B ．若函数h （x ）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x ＞1时，h （x ）＝f （x ），则ℎ(x)={xx−1−2x ，x ＞1−x x+1+12x，x ＜−1 C ．若f （x ），g （x ）的零点分别为α，β，则1α+1β=1D ．若f （x ），g （x ）的零点分别为α，β，则α+β＞4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x的定义域为 ． 14．若“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是真命题，则实数m 的最小值是 ．15．已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，当2a +18b 取最小值时，a +b ＝ ．16．当0＜x⩽12时，4x＜log a x（a＞0且a≠1）恒成立，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|2x＜2或2x＞64}，B＝{x|﹣2＜x﹣a＜2}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已和函数f（x）＝a2x2﹣4ax﹣5．（1）若f（x）＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，求实数a的值，（2）若f（x）＞3a恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．（1）若α为第二象限角，求tanα的值；（2）若α，β均为锐角且cos(α+β)=−15，求sin（α﹣β）的值．20．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）若f(x)=√3，求x的值；（2）求g(x)=f(x)+2√3sin(3x+π3)在[0，7π18]上的最值．21．（12分）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x（x∈N*）年的维护成本为（800x2﹣400x）万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．（1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．22．（12分）已知f(x)=ax−log12(4x+1)是偶函数．（1）若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为﹣3，求实数m的值；（2）若f（3m﹣1）＜f（m2+1）恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，5}B ．{1}C ．{1，5}D ．{5}解：∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{2，3，4}，∴∁U B ＝{1，5}， 又∵集合A ＝{1，3，5}，∴A ∩（∁U B ）＝{1，5}． 故选：C ．2．已知p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为：x ＞0，y ＞0，⇒xy ＞0，即p ⇒q ；而xy ＞0，表明x ，y 同号，即可推得，x ＞0，y ＞0，或x ＜0，y ＜0， 即不能由q 推得p ，故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．3．方程log 3x ＝﹣x +3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）解：令f （x ）＝log 3x ﹣3+x ，则方程log 3x ＝3﹣x 的近似解x ＝x 0∈（k ，k +1），k ∈Z ，即 函数f （x ）的零点，在（k ，k +1）上，k ∈Z ，∵f （2）＝log 32﹣3+2＜0，f （3）＝log 33﹣3+3＞0， ∴函数f （x ）的零点在（2，3）上， 故选：C ．4．已知函数f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，则f[f(49)]=（ ）A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12解：因为f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，所以f （49）=−√49=−23，则f[f(49)]=f （−23）＝sin （−2π3）＝﹣sin 2π3=−sin π3=−√32．故选：B ．5．已知函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（ ） A ．y =cos(6x +π6)B ．y =cos(6x +π12)C ．y =cos(23x +π18)D ．y =cos(23x +π6)解：函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝cos （2x +π6）的图象，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y ＝cos （23x +π6）的图象．故选：D ．6．已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tan θ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：∵2tanθ−tan(θ−π4)=−7，∴2tanθ−tanθ−11+tanθ=−7，即2tan θ+2tan 2θ﹣tan θ+1＝﹣7﹣7tan θ，即2tan 2θ+8tan θ+8＝0，即2（tan θ+2）2＝0，解得tan θ＝﹣2． 故选：A ．7．心理学家有时用函数L （t ）＝A （1﹣e﹣kt）测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数．已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为（ ）（ln 0.9≈﹣0.105，ln 0.1≈﹣2.303） A ．0.035B ．0.35C ．0.461D ．0.768解：由题意可得，100（1﹣e ﹣3k）＝10，即e﹣3k＝0.9，所以﹣3k ＝ln 0.9≈﹣0.105，所以k ≈0.035．故选：A ．8．已知定义域为R 的函数f （x ）＝2|x ﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，记a =f(log 314)，b =f(2−32)，c =f(2−23)，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a解：∵f （x ）＝2|x﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），即2|﹣x ﹣m |﹣1＝2|x﹣m |﹣1，解得m ＝0，∴f （x ）＝2|x |﹣1，且在[0，+∞）上单调递增．∵a =f(log 314)=f （﹣log 34）＝f （log 34），b ＝f （2−32），c ＝f （2−23），又log 34＞1＞2−23＞2−32＞0，∴a ＞c ＞b ． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＜b ＜1a＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣1B ．ac 2＜bc 2C ．1a ＞1bD ．a 2+ab ＞2解：因为a ＜b ＜1a ＜0，所以a ＜b ＜0，a ＜1a，所以a 2＞1，即a ＞1（舍）或a ＜﹣1，A 正确；当c ＝0时，B 显然错误；由a ＜b ＜0可得，1a ＞1b ，C 正确；由a ＜b ＜1a＜0，可得a 2＞ab ＞1，故a 2+ab ＞2，D 正确．故选：ACD ．10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(−3，3√3)是α终边上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．α=2π3B ．tan2α=√3C ．若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则扇形的半径为2D ．3sinα−cosαsinα+cosα=5−2√3解：因为，P(−3，3√3)是α终边上一点，所以tan α=−√3且α为第二象限角， 所以α=2π3+2kπ，k ∈Z ，A 错误； 所以tan2α＝tan （4π3+4kπ）＝tan π3=√3，B 正确；若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则α=2π3，故扇形的半径r =4π32π3=2，C 正确；3sinα−cosαsinα+cosα=3×√32+12√32−12=5+2√3，D 错误．故选：BC ．11．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π3，0)对称B．函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=−π12C．f(x−π3)是奇函数D．f（x）在(−π6，π3)上单调递增解：由于f(x)=sinxcosx−√3cos2x+√32=12sin2x−√3(cos2x+1)2+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3 )；对于A：当x=π3时，f（π3）=sinπ3=√32，故A错误；对于B：当x=−π12时，f（−−π12）＝sin（−π2）＝﹣1，故B正确；对于C：f（x−π3）＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x，故该函数为奇函数，故C正确；对于D：由于x∈(−π6，π3)，所以2x−π3∈(−2π3，π3)，故函数在该区间上不单调，故D错误．故选：BC．12．已知函数f(x)=xx−1−2x(x＞1)，g(x)=x x−1+log12x(x＞1)，则下列结论正确的是（）A．若m⩾2，则方程g(x)−f(x)=2log12x+m有实根B．若函数h（x）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x＞1时，h（x）＝f（x），则ℎ(x)={xx−1−2x，x＞1−x x+1+12x，x＜−1C．若f（x），g（x）的零点分别为α，β，则1α+1β=1D．若f（x），g（x）的零点分别为α，β，则α+β＞4解：对于A：因为函数f(x)=xx−1−2x(x＞1)，g(x)=x x−1+log12x(x＞1)，所以g（x）﹣f（x）=log12x+2x=2log12x+m，即2x=log12x+m，所以m=2x−log12x=2x+log2x，因为y＝2x和y＝log a x在（1，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（1）＝2，即f（x）＞2在（1，+∞）上恒成立，所以m＝2时，m＝2x+log2x无解，即原方程无解，故A错误；对于B ：因为函数h （x ）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x ＞1时，h （x ）＝f （x ）， 所以x ＞1时，h （x ）=xx−1−2x ， 令x ＜﹣1，则﹣x ＞1， 所以f （﹣x ）=−x −x−1−2−x =x x+1−12x ， 因为f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以﹣f （x ）=x x+1−12x ， 即f （x ）=−x x−1+12x ， 综上：ℎ(x)={xx−1−2x ，x ＞1−x x+1+12x，x ＜−1，故B 正确； 对于C ：由函数y =x x−1，得x =yy−1，所以y =xx−1的图象关于直线 y ＝x 对称， α，β是函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象与函数y =xx−1的图象的交点的横坐标， 已知α＝log 2β，β＝2a ， 又β=αα−1=1α−1+1， 所以（α﹣1）（β﹣1）＝1，即α+β＝a β，所以1α+1β=1，故C 正确；对于D ：由于α+β=α+αα−1=α−1+1α−1+2≥4， 当且仅当α﹣1=1α−1，即α＝2时等号成立， 但f(2)=22−1−22=−2≠0，因而α≠2，上式等号不成立，所以α+β＞4，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x 的定义域为 （23，1） ． 解：要使原函数有意义，则{3x −2＞01−x ＞0，解得23＜x ＜1．∴函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x 的定义域为（23，1）． 故答案为：（23，1）．14．若“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是真命题，则实数m 的最小值是 √3 ．解：“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”，它是真命题，因为x ∈[0，π3]时，tan x ∈[0，√3]，所以m ≥√3，即实数m 的最小值是√3．故答案为：√3．15．已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，当2a +18b 取最小值时，a +b ＝ ﹣2 ． 解：a ﹣3b +6＝0，即a ﹣3b ＝﹣6， 则2a +18b ≥2√2a ⋅18b =2√2a−3b =14，当且仅当a ＝﹣3b ，即a ＝﹣3，b ＝1时取等号，此时a +b ＝﹣2． 故答案为：﹣2．16．当0＜x ⩽12时，4x ＜log a x （a ＞0且a ≠1）恒成立，则a 的取值范围是 [√22，1) ．解：x ∈（0，12）时，函数y ＝4x 的图象如下图所示；对任意的x ∈（0，12），4x ＜log a x ，即不等式4x ＜log a x 恒成立，∴y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 图象的上方（如图中虚线所示）；又函数y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于（12，2）点时，a 2＝2，解得a =√22，∴虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足√22＜a ＜1．即a 的取值范围为：(√22，1)． 故答案为：(√22，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |2x ＜2或2x ＞64}，B ＝{x |﹣2＜x ﹣a ＜2}． （1）若a ＝2，求A ∩B ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |2x ＜2或2x ＞64}＝{x |x ＜1或x ＞6}．（1）当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}；（2）B＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，∵B⊆A，∴a+2⩽1或a﹣2⩾6，∴a⩽﹣1或a⩾8．实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）．18．（12分）已和函数f（x）＝a2x2﹣4ax﹣5．（1）若f（x）＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，求实数a的值，（2）若f（x）＞3a恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵a2x2﹣4ax﹣5＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，∴a≠0且−53，13是方程a2x2﹣4ax﹣5＝0两个实数根，由韦达定理得{−53+13=4a (−53)×13=−5a2，∴a＝﹣3；（2）由题意，a2x2﹣4ax﹣3a﹣5＞0恒成立，当a＝0时，﹣5＞0不成立，当a≠0时，Δ＝16a2+4a2（3a+5）＜0，∴a＜﹣3，故a的取值范围为{a|a＜﹣3}．19．（12分）已知cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．（1）若α为第二象限角，求tanα的值；（2）若α，β均为锐角且cos(α+β)=−15，求sin（α﹣β）的值．解：cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13，∴(−cosα)(−sinα)cosα=13，∴sinα=1 3．（1）∵α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−2√2 3，∴tanα=sinαcosα=−√24．（2）∵sinα=13，0＜α＜π2，∴cosα=2√2 3，∴sin2α＝2sinαcosα=4√29，cos2α＝2cos2α﹣1=79，又∵cos(α+β)=−15，0＜α+β＜π，∴sin(α+β)=2√6 5，∴sin（α﹣β）＝sin[2α﹣（α+β）]＝sin2αcos（α+β）﹣cos2αsin（α+β）=4√29×(−15)−79×2√65=−4√2−14√645．20．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）若f(x)=√3，求x的值；（2）求g(x)=f(x)+2√3sin(3x+π3)在[0，7π18]上的最值．解：（1）由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象知，A=2，T=(π18+5π18)×2=23π，∴ω=2πT=2π2π3=3，∴f（x）＝2sin（3x+φ），将(−π9，−2)代入f（x）＝2sin（3x+φ），可得2sin(−π3+φ)=−2，∴−π3+φ=−π2+2kπ，k∈Z，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2sin(3x−π6 )，∵2sin(3x−π6)=√3，∴sin(3x−π6)=√32，∴3x−π6=π3+2kπ或3x−π6=2π3+2kπ，k∈Z，∴x=π6+23kπ或x=5π18+23kπ，k∈Z；（2）g(x)=2sin(3x−π6)+2√3sin(3x+π3)=−2cos[(3x−π6)+π2]+2√3sin(3x+π3)=−2cos(3x+π3)+2√3sin(3x+π3)=4sin(3x+π6 )，∵x∈[0，7π18]，∴3x+π6∈[π6，4π3]，∴当3x+π6=4π3，即x=7π18时，g(x)min=−2√3，当3x+π6=π2，即x=π9时，g（x）max＝4．21．（12分）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x（x∈N*）年的维护成本为（800x2﹣400x）万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．（1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．解：（1）由题意可得y＝7600x﹣（800x2﹣400x）﹣7200＝﹣800（x2﹣10x+9）（x∈N*），令y＞0，可得1＜x＜9，又因为x∈N*．所以该企业从第2年开始盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：因为y＝﹣800（x2﹣10x+9）＝﹣800（x﹣5）2+12800，x∈N*，所以当x＝5时，y取到最大值12800，若此时处理掉智能机器人，总利润为12800+2000＝14800万元，方案二：年平均盈利额yx=−800(x+9x)+8000⩽−1600√x⋅9x+8000=3200万元，当且仅当x＝3时，等号成立，此时年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，总利润为3200×3+5200＝14800万元，两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理．22．（12分）已知f(x)=ax−log12(4x+1)是偶函数．（1）若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为﹣3，求实数m的值；（2）若f（3m﹣1）＜f（m2+1）恒成立，求实数m的取值范围．解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，即−ax+log2(4−x+1)=ax+log2(4x+1)恒成立，∴−2ax=log2(4x+1)−log2(4−x+1)=log24x+1(4−x+1)=log2(4x+1)4x(4x+1)=log24x=2x恒成立，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴f(x)=log2(4x+1)−x；（1）∵2f（x）=2log24x+12x=4x+12x=2x+2﹣x，∴g（x）＝m（2x+2﹣x）+22x+2﹣2x，令2x+2﹣x＝t，t≥2，h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2），∵g（x）的最小值为﹣3，即h（t）的最小值为﹣3，等价于{−m2≤2ℎ(2)=2m+2=−3或{−m2＞2ℎ(−m2)=−m24−2=−3，∴m=−5 2；（2）∵f(x)=log2(4x+1)−x=log24x+12x=log2(2x+2−x)，设φ（x）＝2x+2﹣x（x≥0），任取x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，则φ(x1)−φ(x2)=2x1+2−x1−2x2−2−x2=2x1−2x2+12x1−12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，∵0≤x1＜x2，∴2x1−2x2＜0，2x1+x2−1＞0，∴φ（x1）﹣φ（x2）＜0，∴φ（x）单调递增，又∵y＝log2x单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（3m﹣1）＜f（m2+1），f（x）是偶函数，∴|3m﹣1|＜m2+1，∴﹣（m2+1）＜3m﹣1＜m2+1，∴{−m2−3m＜0m2−3m+2＞0，∴m＜﹣3或0＜m＜1或m＞2，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，1）∪（2，+∞）．。
2022-2023学年山东省泰安市高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
（3）若函数 满足性质P(T)，求证：函数 存在零点.
20．已知函数 是R上的奇函数.
（1）求a的值，并判断 的单调性；
（2）若存在 ，使不等式 成立，求实数b的取值范围.
21．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐
月租
本地话费
长途话费
套餐甲
2、A
【解析】由题可得分针需要顺时针方向旋转 .
【详解】分针需要顺时针方向旋转 ，即弧度数为 .
故选：A.
3、C
【解析】由集合 ， ，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选 ．
【点睛】考查列举法的定义，以及 图表示集合的方法,属于基础题．
4、D
C.3D.2
7．已知命题 ： ， ，则 为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8．已知a＝log23＋log2 ，b＝log29－log2 ，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）
A.a＝b<cB.a＝b>c
C.a<b<cD.a>b>c
9．已知点 是第三象限的点，则 的终边位于（）
A.第一象限B.第二象限
20、（1） ， 为 上的增函数；
山东省泰安第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
D． b c a
4．在用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在（1，2）内近似根的过程中，已经得到
f (1) 0, f (1.5) 0, f (1.25) 0 ，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定
5．已知函数 y ax3 3 （ a 0 ，且 a 1）的图象恒过点 P ，若角 的终边经过点 P ，
则 cos （ ）．
A． 3 5
B．- 3 5
C．
4 5
D． 4 5
6．已知函数 f x 2 sin 2x ， 0 2 为偶函数，则 的值为（ ）
3
A． 2
B．
C．
3 2
D．
2
或
3 2
7．已知
f
x
1 2
x2 2ax
在1,3 上是减函数，则实数
a
的取值范围为（
）
A． ,1
0
log2
2 3
log4
16 9
；
（2）已知
tan
=
-
2 ，求
2 sin(
)
sin
2
的值．
cos() sin( 3 )
18．命题 p ：“ x 1, 2 ， x2 x a 0 ”，命题 q：“ x R ， x2 3x 2 a 0 ”.
(1)写出命题 p 的否定命题 p ，并求当命题 p 为真时，实数 a 的取值范围；
0
=
1
，
c log2 3 log2 2 1，
所以 c b a . 故选：A
答案第 1页，共 12页
4．B 【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间. 【详解】∵f（1）<0，f（1.5）>0， ∴在区间（1，1.5）内函数 f (x) =3x+3x﹣8 存在一个零点 又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0， ∴在区间（1.25，1.5）内函数 f (x) =3x+3x﹣8 存在一个零点， 由此可得方程 3x 3x 8 0 的根落在区间（1.25，1.5）内， 故选：B 5．B 【分析】令 x 3 0 ，求得定点，然后再由角 的终边经过点 P ，利用三角函数的定义求解. 【详解】令 x 3 0 ，则 x 3, y 4 ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东省泰安市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共18题；共36分)
1. （2分） (2019高一上·鹤岗期末) 已知 ,则 os 等于（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高一上·鸡泽月考) ，，则的非空子集的个数为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2016高一上·蚌埠期中) 若y=x2 ， y=（）x ， y=4x2 ， y=x5+1，y=（x﹣1）2 ， y=x，y=ax（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
4. （2分）已知a=3 ，b=（） 3 ， c=log3 ，它们间的大小关系为（）
A . a＞b＞c
B . a＞c＞b
C . b＞c＞a
D . b＞a＞c
5. （2分） (2016高一上·饶阳期中) =（）
A . 14
B . 0
C . 1
D . 6
6. （2分）函数的值域为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）下列各组函数为同一函数的是（）
A . f（x）=1；g（x）=
B . f（x）=x﹣2；g（x）=
C . f（x）=|x|；g（x）=
D . f（x）= • ；g（x）=
8. （2分）(2014·安徽理) 设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）
A .
B .
C . 0
D . ﹣
9. （2分）已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是（）
A . （﹣，﹣2]∪[0，2]
B . （﹣，﹣2]∪[0，2]
C . （﹣，﹣2]∪[0，2）
D . （﹣，﹣2]∪[0，2）
10. （2分） (2019高三上·广东月考) 函数的图象大致为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）下列函数为偶函数的是（）
A . y=x+1
B . y=x2
C . y=x2+x
D . y=x3
12. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知x是第二象限角，，则（）
A .
B .
C .
D .
13. （2分） (2019高一上·武汉月考) 若函数在区间上是单调递增的,则实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
14. （2分）已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（4）=3，则f（2015）的值为（）
A . ﹣1
B . 1
C . 3
D . ﹣3
15. （2分） (2016高一上·金华期末) 已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）
A .
B . 2
C . 2
D . 2
16. （2分） (2019高一上·宿州期中) 若函数，则的值（）
A .
B .
C .
D .
17. （2分） (2016高一下·安徽期末) 若关于x的不等式（a2﹣a）•4x﹣2x﹣1＜0在区间（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围为（）
A . （﹣2，）
B . （﹣∞，）
C . （﹣，）
D . （﹣∞，6]
18. （2分） (2016高一上·江北期中) 设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
二、填空题 (共4题；共4分)
19. （1分） (2019高一上·临渭期中) 设，则的值为________（用表示）
20. （1分） (2016高一上·永兴期中) 函数f（x）= 的递增区间是________．
21. （1分） (2016高三上·江苏期中) 已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是________．
22. （1分）函数f(x)=ax−2＋loga(x−1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________．
三、解答题 (共3题；共30分)
23. （10分） (2019高一上·华安月考) 已知集合，或．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
24. （5分）已知向量 =（ sin ，1）， =（cos ，cos2 ），若• =1，求cos（x+ ）的值．
25. （15分） (2019高一上·西安期中) 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1 ，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
参考答案一、选择题 (共18题；共36分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：19-1、
考点：
解析：
答案：20-1、
考点：
解析：
答案：21-1、考点：
解析：
答案：22-1、考点：
解析：
三、解答题 (共3题；共30分)答案：23-1、
答案：23-2、
考点：
解析：
答案：24-1、
考点：
解析：
答案：25-1、
答案：25-2、
答案：25-3、
考点：
解析：。