多面体与球的切接问题概要
补充：简单多面体与球的接切问题课件
分析2设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB. 设正方体棱长为a，易知：
A
3.四面体与球(1).求棱长为a 的正四面体的外接球的半径R.
(2).求棱长为a 的正四面体的棱切球的半径R.
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
1.正方体与球
切点： 各个面的中心。球心： 正方体的中心。直径： 相对两个面中心连线。
oHale Waihona Puke 球的直径等于正方体棱长。一、正方体的内切球
切点： 各棱的中点。球心： 正方体的中心。直径： “对棱”中点连线球的直径等于正方体一个面上的对角线长
二、球与正方体的棱相切
球直径等于正方体的(体)对角线
三、 正方体的外接球
简单多面体与球的接切问题
二 球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．性质3: 球心到截面的距离d与 球的半径R及截面的半径r 有下 面的关系:
正方体的内切球,外接球,棱切球
(3).求棱长为a 的正四面体的内切球的半径r.正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？
半径之比为：
练习
补形
小结:常见的补形正四面体常常补成正方体求外接球的半径 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体
正方体的内切球, 棱切球,外接球
三个球心合一半径之比为：
例2 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上， 且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.
o
C′
A
2.长方体与球一、长方体的外接球
长方体的(体)对角线等于球直径
53热点小专题二球与多面体的内切外接
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热点一
热点二
热点拓展
解析 (1)由于AB⊥平面BCD,故AB⊥BD,AB⊥CD,而CD⊥BC,故CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三角形ABD和三角形ACD为有公共斜边的直角三角形,设斜边AD的中点为O,则有OA=OB=OC=OD,即O为外接球的球心,AD为球的直径.AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面积为
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热点一
热点二
热点拓展
对点训练2(1)(2019山东德州一模,理8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( )
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热点一
热点二
热点拓展
(2)(2019山东实验等四校联考,理6)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是( )
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热点一
热点二
热点拓展
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热点一
热点二
热点拓展
对点训练3(2019山师附中考前模拟,文16)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60°,三棱锥的内切球的表面积为 .
答案
解析
-18-
热点一
热点二
热点拓展
方法三 寻求轴截面圆求球半径例4正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ,点S,A,B,C,D都在同一球面上,则此球的体积为 .
答案
解析
-26-
热点一
热点二
热点拓展
球与其他几何体的内切、外接例6如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 .
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
多面体与球切、接的问题(讲)
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一•高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答•从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理•下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分•从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•1球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•1.1 球与正方体如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，0为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内a切圆，则0J = r ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，2则Go| =R =乎a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACAG和其外接圆，则73AO =R -a・通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面2图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题(1)正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合; 数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r =a.(2)正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r = -、3a.(3)正方体的棱切球，如图3.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a,球的半径为r,这时有2r —、2a._l c例1 棱长为1的正方体ABCD-AB I G。
球的切与接
一、复习
球体的体积与表面积 ②
4 3 ① V球 R 3
二、球与多面体的接、切
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
【例 1】 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球 与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点， 求这三个球的表面积． 思维启迪：作出截面图，分别求出三个球的半径．
D A B
C
O
D1 C1 B1
A1
D A B
C
中截面 O D1 C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
A
C
A O C
O
A1
C1
P
B
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27
D A B
C
中截面
O D1 C1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
C
对角面 A
B
C
2R 3
设为1
C1
A1
O
2
C1
B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
讲拓展 球与其他几何体切接问题一般有下列结论： (1)长方体的 8 个顶点在同一球面上，则长方体的体对角线是 球的直径； (2)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱 长； (3)球与正方体的 12 条棱均相切，则球的直径是正方体的面对 角线； (4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高， 也等于圆柱底面圆的直径； (5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
多面体与球切、接的问题(二)
21 3 多面体与球切、接的问题（二）3 球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个 小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 8 已知有半径分别为 2、3 的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为.思路分析：结合图形，分析四个球的球心 A 、B 、C 、D 的位置，知 AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设 AB 中点为 E 、CD 中点为 F ，连结 EF.在△ABF 中可得 BF = ，在△EBF 中可得 EF = 2 .由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上，连结 OA 、OD.设第五个球的半径为 r ，根据 OE+OF=EF 建立r 的方程.3例 9 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定 组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2．4 球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对 棱的一半： r ' =2 a .4 例 10 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A ．l0 cmB ．10 cm23222C．10 cm D．30cm思路分析：根据题意球心O 在图中AP 上，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N，ON=R，OM=R，由各个棱都为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=10 ,设∠BPA =α，在Rt∆BPM 中，由BP2 =BM 2 +PM 2 ,得PM =10 .在Rt∆PAM 中, 由PM 2 =AM 2 +AP2 ,得PA =10 2 .在Rt∆ABP 中得,sinα=AB=10 2=，在Rt∆ONP 中得, BP 20 2sinα=ON=R, 从而R=，OP =2R .在Rt∆OAM 中, 由OM 2 =AO2 +AM 2 , OP OP OP 2建立方程R2 = (10 -2R)2 +100即可得解.25 球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．例11 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.。
球与多面体的内切外接PPT课件
② S球面 4 R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
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球内切与正方体
则球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？
S甲 4 R12 =
球内切于正方体的棱
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。
第4页/共16页
S乙 4 R22 =2
球外接于正方体
D
C
对角面 A
C
A
B
2R 3
设为1 O
O
D1
C1
A1
2
C1
A1Βιβλιοθήκη B1球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
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若一个多面体的各面都与一个球的球面相切则称这个多面体是这个球的外切多面体这个球是这个多面体的外接球多面体的内切球2021中截面设为1甲球内切于正方体的各面乙球内切于该正方体的各条棱丙球外接于该正方体则三球表面面积之比为中截面正方形的对角线等于球的直径
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
感谢观看！
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在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O
FD
B
O1
E
C 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
球的内切与外接问题
解决“接切”问题的关键是画出正确的截面， 把空间“接切”转化为平面“接切”问题
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a r1 2
2 r2 a 2
a
a
a
3 r3 a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
关注球体问题
D
O A B E C
A C B D
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 外接球的体积。
3 、 5 、1 ，求长方体的
2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两 互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。 沿对角面截得：
A
C
A O C
O
A1
C1
P
B
半球的半径为R，一正方体的四 个顶点在半球的底面上，另四个 顶点在球面上，求正方体的棱长
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R. 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？ 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
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一、复习
球体的体积与表面积 ②
4 3 ① V球 R 3
二、球与多面体的接、切
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反馈训练2：
4.三棱锥 S-ABC 中，SAB SAC ,AB=AC,SA=SB=2，侧棱 AS 与底面 ABC 所成的角为 60 ，经过 S,A,B,C 四点的球的球心 在三棱锥内，求这个球的体积
【设计意图：巩固棱锥外接球半径的求法】
小结2
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥） （2）射影定理法（适用于侧棱相等即球心落
反馈训练2：
2. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体各顶点都在一 球面上，则这个球的表面积为___________
2 11
反馈训练2：
3.已知三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上， 若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 ______________
在高线上的的棱锥） （3）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
O
.
C1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C 2R
O
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变题：
已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点都在半径为 9 的球 O 的球面上,那么长方体 ABCD A1B1C1D1 的表面积的最大 值等于_________。
面均相切，则球 O 的表面积为________
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？ （1）先找外接球的球心： 它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。
二、棱锥与球
典例1：正四面体ABCD的棱长为a， 求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
一、棱柱与球
典例1： 有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一 球过正方体的各顶点,求这三个 球的体积之比.
D A
D1 A1
B O
中截面
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
D A
D1 A1
C
B
中截面
A. 3 3
B. 2 2
C .2
D. 2 3
变题：
2. （2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中，AB=CD=6， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结
求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法 法2.射影定理法
变题：
2.在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC= 3 侧棱 PA 与底面 ABC
所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为( )
A.2
B.
3
C .4
D. 4
3
找三棱锥的外接球的球心
（利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性） 可选择以下思路 法1、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例2） 法2、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外
典例3：已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球
面上， SA 平面ABC, SA 2 3，AB 1，AC 2，BAC 60， 则球 O 的表面积为（ ）
A.4
B.12
C.16
D.64
变题：
1.（2013 郑州一模）已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在 半径为 1 的球面上，且满足 PA,PB,PC 两两垂直，当 PC • AB 取最大值时，三棱锥 O-PAB(O 为球心)的高为（ ）
多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
② S球面4R2
二、球与多面体的接、切
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
典例2（2013 长春一模）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧 棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱
9
柱的体积为 8 ，底面周长为 3，则这个球的体积为___________
反馈训练1：
1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，一球切
于三棱柱的各侧面，一球过三棱柱的各顶点，则这两个球的 表面积之比为________ 2.（2013 太原一模）球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱的各侧
接球球心。（如以上变式1） 法3、可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，
两个垂线交点即为外接球球心
典例2：（2013 哈九中三模）已知矩形 ABCD 的面积为 8，
当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把 ACD折起，则三棱锥
D-ABC 的外接球的表面积等于（ ）
A.4
B.8
C.16
D.24
变题：
法1.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
D
B
•O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法3.射影定理法
P
A
O
•
C l 2 h 2R
H
D
B
M
变题：
1. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
1.（2013 期末理）四面体 ABCD 的四个顶点在同一个球面
上，AB=BC=CD=DA=3，AC= 2 3 ,BD= 6 则该球的表面积为 ()
A.14
B.15
C.16
D.18
变题：
2. (2010·济宁模拟)三棱锥 P-ABC 中，底面 ABC 是边长 为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC ，且 PA=2，则此三棱锥 外接球的表面积为___________