第16讲 有导体存在时静电场量的计算
第16讲 有导体存在时静电场量的计算
q
4π
0
x
R 2
导体达到静电平衡后
RP
q
O
x
P O
则所求电势为
P
Q
4π 0 R
q
4π0 x
q
4π
0
x
R 2
[Q4.16.5] 半径为 R1 的导体球，带电荷 q，在它 外面同心地罩一金属球壳，其内、外壁的半径分别
为 R2 不 R3，已知 R2 2R1，R3 3R1。今在距球心
d 4R1 处放一电荷量为 Q 的点
R3
电荷，并将金属球壳接地，求： (1) 球壳上感应出的总电荷是 多少？(2) 如果用导线将壳内
R2 q R1O
Q d
导体球不壳相连，球壳带电荷
量是多大？
解：(1) 由于静电屏蔽，导体球不球壳间的场强为
E
q
4π 0r
2
eˆr，
(R1 <
设大地电势为零，
之间的电场强度分布。 ba
解： 设长直导线单位长度上所带电荷量为 l，
由高斯定理可得导线和圆筒之间的场强为
E
l 2π 0r
eˆr
ba
导线的电势为
1
ab
E
dl
ab
l 2π
0r
dr
l ln b 2π0 a
l 2π 0
1
ln(b a)
E
1
r ln(b
a)eˆr
1 2
V
qd
2 0 S
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
第16讲 库仑定律 电场力的性质(教师版) 2025届高考物理一轮复习考点精讲精练(全国通用)
1.理解电场强度的定义、意义及表示方法.2.熟练掌握各种电场的电场线分布，并能利用它们分析解决问题.3.会分析、计算在电场力作用下的电荷的平衡及运动问题．(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．[例题1]（2024•宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。
小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为m A、m B、m C，电荷量分别为q A、q B、q C，则下列说法正确的是（ ）A．若小球的质量m A＝m B＝m C，则一定有α＝β＝γB．若小球的质量m A＝m B＝m C，则可能有α＝β＞γC．若小球所带电荷量q A＝q B＝q C，则一定有α＝β＝γD．若小球所带电荷量q A＞q B＞q C，则一定有α＜β＜γ【解答】解：A.对ABC三个小球整体来看，其整体重心在竖直线上，由此得到m A lsinα＝m B lsinβ+m C lsinγ当m A＝m B＝m C时sinα＝sinβ+sinγ当α＝β＝γ时sinα＝2sinα这是不能实现的，故A错误；B.由A项分析，当γ＝0时α＝β＞γB正确；C.小球位置与其质量有关，与电荷量无关，电荷量只决定小球张开的绝对大小，不影响相对大小，故C错误；D.由C项分析可知，故D错误。
故选：B。
A．2kQq2l2B．kQql2【解答】解：在C点，A、B两点电荷对kQq(l 2)2(l2)2，方向为由C指向A和由A．由b到a一直做加速运动B ．运动至a 点的速度等于2gLC ．运动至a 点的加速度大小为32gD ．运动至ab 中点时对斜面的压力大小为3346mg 【解答】解：B ．由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3一定是斥力，小球1带正电，故小球3带正电，小球3运动至a 点时，弹簧的伸长量等于L2，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0；弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有mgLsin30°=12mv 2解得小球3运动至a 点的速度v =gL 故B 错误；AC ．小球3在b 点时，设小球3的电荷量为q ，根据库仑定律和平衡条件有kQq L 2=mg2 设弹簧的弹力为F ，根据受力平衡，沿斜面方向有F =k 6Qq L 2―k QqL 2sin30°―mgsin30° 解得F =94mg小球运动至a 点时，弹簧的伸长量等于L2，根据对称性，由牛顿第二定律可知F +k QqL2sin30°―mgsin30°=ma解得a ＝2g方向与合外力方向一样，沿斜面向上，故a 先加速后减速，故AC 错误；D ．当运动至ab 中点时，弹簧弹力为0，根据库仑定律可知小球2对小球3的力为F 23=k Qq(32L )2=43⋅k Qq L 2=43×mg 2=23mg 此时小球3受到重力、库仑力和斜面对小球3的支持力，根据平衡条件可知斜面对小球的支持力为F N =mgcos30°―F 23=32mg ―23mg =3346mg根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为3346mg ，故D 正确。
静电场的概念和计算方法
静电场的概念和计算方法静电场（Electrostatic Field）是指由于电荷的存在而产生的电场，其特征是电场强度恒定且不随时间变化。
静电场是电磁学的一个重要分支，具有广泛的应用领域，如电场感应、电介质性质研究、高压技术等。
本文将介绍静电场的概念、基本定律以及计算方法。
一、静电场的概念与特点静电场是由静电荷（即电荷在静止状态下的分布）所引起的电场。
在物质中，正、负电荷之间会相互吸引，同类电荷之间则互相排斥。
根据库仑定律，电荷间的作用力与距离的平方成反比，与电荷量的乘积成正比。
静电场具有以下特点：1. 电场强度：静电场在空间中的每一点都具有电场强度，用来描述电荷对单位正电荷所施加的力。
2. 电势：电荷在静电场中的能量状态，与电场强度有密切关系，是标量量。
电势的单位是伏特（V）。
3. 电势差：在两点之间的电势差等于从一个点到另一个点时单位正电荷所做的功。
电势差是标量量。
4. 等势面：在静电场中，与某个电荷距离相等的所有点构成一个曲面，该曲面上任何一点的电势相等。
二、静电场的基本定律1. 静电场的超定原理：在静电场中，只有N-1个独立的物理量（如电荷量、电场强度、电势等）决定N个物理量。
这是静电场基本定律之一。
2. 高斯定理：高斯定理是静电场的基本定律之一，它描述了电场流量与电场内电荷的关系。
高斯定理可以用来计算任意形状的静电场。
3. 波尔卡定律：波尔卡定律描述了电荷在静电场中的分布情况。
根据波尔卡定律，电荷主要存在于导体表面，且电场在导体内部为零。
4. 库仑定律：库仑定律描述了点电荷之间的电场强度和力的关系。
根据库仑定律，电场的大小与点电荷之间的距离成反比，与电荷量的乘积成正比。
三、静电场的计算方法1. 电荷分布：对于具有特定几何形状的电荷分布，可以利用积分的方法来计算电场强度和电势差。
常见的电荷分布形式包括均匀线电荷、均匀面电荷和均匀体电荷。
2. 高斯定理：对于具有对称性的电荷分布，可以利用高斯定理直接计算电场强度。
静电场中的导体
电风实验
++ ++
+ +
+ +
32
小结： 静电平衡导体的电荷分布 1、实心导体内部无电荷。
Q 1 4 2S Q 2 3 2S
场强分布：
A 板左侧
A
B
1 Q E 0 2 0 S
2 3 Q E 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
两板之间
B 板右侧
4 Q E 0 2 0 S
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压 带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。
正误题：
1、导体放入电场中，自由电荷要重新分布。两端感应 出的正负电荷一定相等。此时，导体两端的电势相等， 但符号相反。 E 2、带电导体表面附近的电场强度 方向总是与表面 0 垂直，与外部是否存在其它带电体无关； 3、将带+Q的导体A移近不带电的孤立导体B时，B的电势将 升高；如果B是接地的，则B的电势就保持不变，且UB=0 4、导体静电平衡时，内部场强必为零。
静电场中的导体和电介质
主要内容： 导体静电平衡条件和性质
▲
电场中导体和电介质的电学性质 有电介质时的高斯定理 电容器的性质和计算 静电场的能量
▲ ▲
▲
静电场中的导体
Effects of Conductor in Electrostatic Field
一、静电感应
大学物理-静电场中的导体
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
大学物理电磁学总结
大学物理电磁学总结电磁学部分总结静电场部分第一部分：静电场的基本性质和规律电场是物质的一种存在形态，它同实物一样也具有能量、动量、质量等属性。
静电场的物质特性的外在表现是：(1)电场对位于其中的任何带电体都有电场力的作用(2)带电体在电场中运动, 电场力要作功——电场具有能量1、描述静电场性质的基本物理量是场强和电势，掌握定义及二者间的关系。
电场强度 E =q 0∞ W a 电势 U a ==E ⋅d rq 0a2、反映静电场基本性质的两条定理是高斯定理和环路定理Φe =E ⋅d S =ε0∑qL E ⋅d r =0要掌握各个定理的内容，所揭示的静电场的性质，明确定理中各个物理量的含义及影响各个量的因素。
重点是高斯定理的理解和应用。
3、应用(1)、电场强度的计算1q E =r 02a) 、由点电荷场强公式 4πεr 及场强叠加原理 E = ∑ E 计i 0算场强一、离散分布的点电荷系的场强1q i E =∑E i =∑r 2i 0i i 4πεr 0i二、连续分布带电体的场强 d q E =⎰d E =⎰r 204πε0r其中，重点掌握电荷呈线分布的带电体问题b) 、由静电场中的高斯定理计算场源分布具有高度对称性的带电体的场强分布一般诸如球对称分布、轴对称分布和面对称分布，步骤及例题详见课堂笔记。
还有可能结合电势的计算一起进行。
c) 、由场强和电势梯度之间的关系来计算场强（适用于电势容易计算或电势分布已知的情形），掌握作业及课堂练习的类型即可。
（2）、电通量的计算a) 、均匀电场中S 与电场强度方向垂直b) 、均匀电场，S 法线方向与电场强度方向成θ角E =-gradU =-∇U∂U ∂U ∂U =-(i +j +k )∂x ∂y ∂zc) 、由高斯定理求某些电通量（3）、电势的计算a) 、场强积分法（定义法）——计算U P =⎰E ⋅d rb) 、电势叠加法——q i ⎰电势叠加原理计算⎰∑U i =∑4πεr⎰0iU =⎰dq ⎰dU =⎰⎰⎰4πε0r ⎰第二部分：静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡状态和条件导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
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解：
S
E
dS
( 2
3)DS 0 2
=0
-3
1 2
A
3 4 eˆn B
在 A 中取一 P 点，
EP
1 2 0
-
2 2 0
-
3 2 0
-4 Leabharlann 0=01 4
P
DS
qA eˆn qB
x
由电荷守恒：
qA 1S 2S
1
4
l 4π 0d
而 在 O/点产生的电场
E2
2 0
由总电场 EO E1 E2 0
得
- l
2πd
d
O/
O +l
导 体 板
直线 x
总结 有导体存在时静电场的分析与计算
1. 分析方法： 三方法结合
电荷守恒 静电平衡条件 高斯定理
2. 常见导体组：板状导体组 球状导体组
方向沿 r 指向 q。
RP
r
q
O
r0
P 点的电势是导体球面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的，于是所求电势等于总电势减去球外点电 荷 q 产生的电势：
P
P
-
q
4π 0r
导体达到静电平衡后，P 点电势与 O 相等，即 P = O
电势：
P
q
4π 0r0
-
q
4π 0r
q R1
(3)
1
q
4π 0 R0
-q
4π 0 R1
R0 -q R2
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q，壳带电 Q，
求：(1) 场强分布；(2) 内球电势 1；(3) 外壳接地，1 = ？ (4) 拆开接地线后将内球接地，2 = ？(5) 无上述接地过程， 用导线联接两导体，1 = ？电场分布结果又如何？
qA S
qA
qB
E AC
2 0
qA
0S
，
ECB
4 0
qA
0S
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体
球带电 q，壳带电 Q，求：
(1) 场强分布；
Q q R1
(2) 内球电势 1； (3) 外壳接地，1 = ？
R0 R2
(4) 拆开接地线后将内球接地，2 = ？
联立求解可得：
1 2
4 -
3
0
qA
S
电荷分布在两板内壁
[例] 两金属板 A、B 长宽分别相等， A C B
且均远大于板间距，带电 qA、
qB，其间插入中性金属板 C， 三板面积均为 S。
qA
qB
(1) 求每板的面电荷密度。
(2) 如果使 B 板接地，求 AB
间电场强度的大小 E。
(1) 导体球上感应电荷在 P 点处的电场强度和电势；
(2) 若导体球接地，导体表面上感应电荷 q 是多少？
解： (1) P 点总的电场强度为零。该点的电场强度是导体球
面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的，
于是所求场强等于总场强减去球外点电荷 q 所产生的
场强：
EP
0-
q
4π0r 2
拆去 B 的接地线，令 A 接地，结果如何？
1 6 0
2 - 3 4 - 5
qA - qB 2S
qA S qA S
(2) 如果使 B 板接地，求 AB
1 2 3 4
AC
5 6
B
间电场强度的大小 E。
1 6 0
2
- 3
4
- 5
插入中性金属板 C
1 2 3 4 5 6
做高斯面 S1，
2 - 3
AC B S1
做高斯面 S2，
4 - 5
在 A 板内取一点 P 1 6
P
S2
qA
qB
EP
1 2 0
-
2 2 0
-
3 2 0
电荷 守恒
qA3
- 4 (1
(4)
1
Q
4π 0 R0
- Q
4π 0 R1
Q - q
4π 0 R2
0
Q+q q
Q
q
1
-
1
1
-1
R2 R0 R1 R2
R2 R0 R1
2
Q
4π 0 R2
- Q
4π 0 R2
Q - q
4π 0 R2
Q - q
4π 0R2
(5) 如果用导线将 A 和 B 连接起来，
qA qB 2S
qB 3S 4S
2
-
3
qA - qB 2S
讨论
1
4
qA qB 2S
2
- 3
qA - qB 2S
1 2 3 4
A
B
(1)
qA
-qB
1 2
4 - 3
0
qA
S
qA
qB
电荷分布在两板内壁
(2) qA qB
(5) 无上述接地过程，用导线联接两导
体，1 = ？电场分布结果又如何？
[例] 金属球 A 与金属球壳 B 同心放置。
已知：球 A 半径为 R0，带电为 q，壳 B 内外半径
分别为 R1、R2，带电为 Q。 求：1) 场强分布；
B Qq
解：1) 由高斯定理可得：
r R0，
E0
Aq OR0
(3) 外壳接地，1 = ？
解：(2)
1
r
E
dl
r Edr
rR0
0 dr
RR01
q
4π 0 r
2dr
RR120dr
R2
4qπ 0Qr 2 dr
q -q qQ
Q+ q
4π0R0 4π0R1 4π0R2
此结果也可用电势叠加原理获得。
R2 R1
R0 R1
r r
R1，E R2，E
q
4π 0r
0
2
eˆr
E
r R2，
E
4π0r 2
eˆr
0 R0 R1R2 r
(此结果可由场强叠加原理获得)
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q，
壳带电 QQ，，求求：：((11))场场强强分分布布；；((22))内内球球电电势势1；1；
(2) 若球接地，导体球心 O 处的电势为零，即 O = 0
O
O
q
4π 0r0
O
q
4π 0 R
q - R q r0
[例] 如图，求 O 点处感应电荷密度 。
解：取导体板内很邻近 O 点的 O/ 点，直线在 O/ 点产生的电场
E1
d
ldx 4π0 x
2
1 4 qA 2 3 0
S
电荷分布在两板外壁
(3) qB 0
1
2
-
3
4
qA 2S
讨论
1 2 3 4
A
B
P
(4)B 板接地
4 0 qA
qB
A 板上的电荷仍守恒 qA 1S 2S
由高斯定理仍可得 2 -3
在 A 中取一 P 点， 1 - 2 - 3 0
只有 B 壳外表面带电： Q + q
1
外球壳
4π 0 R2
相应的电场分布为：
导线
E1 0， E2 0，
E3 0，
E4
4π 0r 2
eˆr
不变。
B
R0 R1 A
R2
E4
Q+q
[例] 如图所示，半径为 R 的导体球原为中性，现将一带电量 为 q (> 0)的点电荷放在导体球外离球心 O 点距离为 r0 (r0 > R)处，导体球内 P 点离点电荷 q 距离为 r 处。试求：
2)S
- 4 2 0 1
-
5 2 0
6
- 6
2
qA
0qB
2S
0
qB ( 5 6 )S 2 - 3 4 - 5
B 接地电荷如何分布? B = 0 1 6 0 (反证法） 2 - 3 4 - 5
有导体存在时静电场场量的计算
原则:
1. 静电平衡的条件
E内 0
or const.
2. 基本性质方程
S
E
dS
qi
i
0
3. 电荷守恒定律
L E dl 0 Qi const.
i
[例] 两金属板 A、B 长宽分别相等，且均远大于板间距，
带电 qA、qB，板面积为 S，求每板的面电荷密度。