2.2.2 对数函数及其性质(第3课时)

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必修1课件2.2.2-3对数函数及其性质(三)

必修1课件2.2.2-3对数函数及其性质(三)


t =x 2 x
2
∴所求单调递减区间为(4,+∞)
例3.解下列关于x的不等式:
(1) log0.5x > log0.5(1-x) (2) log2(x+3) < 0
思考?
解不等式logax>loga(1-x)(a>0且a≠1)时,你
首先想到要做什么?
要使函数有意义
依据: (1)若a 1, log a m log a n m n 0
x O 1 定义域:(0,+∞)
0<a<1 y y=logax
O
1
x
值域:R 性 过点(1,0) 质 当x (0,1)时y 0 即当x=1时,y=0
当x (0,1)时y 0
当x (1, )时y 0
在(0,+∞)上是增函数
当x (1, )时y 0
在(0,+∞)上是减函数
即是f ( x1 ) f ( x2 )
函数f ( x) log 2 ( x 2 1)在(0, )上是增函数
0) ⑵函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (, 上是减函数还是 增函数? ⑵解:是减函数,证明如下:
设x1 , x2 (0, )且x1 x2
(2)若0 a 1, log a m log a n 0 m n
例4.已知函数
1 x f ( x) log 2 1 x
, 求函
数f(x)的定义域,并确定其奇偶性、单调性.
二、新授内容: 例1 ⑴证明函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (0,) 上是增 函数.
0) ⑵函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (, 上是减函数还是 增函数?

对数函数及其性质

对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质1.对数函数的概念(1)定义:一般地,我们把函数 y= logax(a> 0,且 a≠ 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0 ,+∞ ).(2)对数函数的特征:log ax的系数: 1特征 log ax的底数:常数,且是不等于 1的正实数log ax的真数:仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征.比如函数 y= log7x 是对数函数,而函数y=- 3log 4x 和 y= logx2 均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点.【例 1- 1】函数 f(x)= (a2- a+ 1)log (a+1)x 是对数函数,则实数a= __________ .解析:由 a2- a+ 1= 1,解得 a= 0,1 .又 a+ 1> 0,且 a+ 1≠ 1,∴ a= 1.答案: 1【例 1- 2】下列函数中是对数函数的为__________ .(1)y= log a x (a> 0,且 a≠ 1) ; (2)y= log2x+2;(3)y= 8log 2 (x+ 1) ; (4)y= log x6(x> 0,且 x≠ 1) ;(5)y= log 6x.解析:序号是否理由(1)×真数是x ,不是自变量x(2)×对数式后加 2(3)×真数为 x+1,不是 x,且系数为 8,不是 1(4)×底数是自变量 x,不是常数(5) √底数是 6,真数是 x答案: (5)2.对数函数y= log ax(a> 0,且 a≠ 1)的图象与性质(1)图象与性质a> 1 0< a< 1图象(1)定义域 { x|x>0}(2)值域 { y|y R }性(3)当 x=1 时, y=0,即过定点 (1,0)质(4)当 x>1时, y> 0;当 0< x< 1(4) 当 x>1 时, y<0;当 0时, y<0 <x<1 时, y>0(5) 在 (0,+∞ )上是增函数(5) 在 (0,+∞ ) 上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧,其单调性取决于底数. a> 1 时,函数单调递增;0< a< 1 时,函数单调递减.理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思想的应用.(2)指数函数与对数函数的性质比较第 1 页共 10 页解析式y= a x(a>0,且 a≠ 1) y= logax (a> 0,且a≠ 1)定义域R (0,+∞ )值域(0,+∞ ) R 性(0,1) (1,0) 过定点质单调性一致,同为增函数或减函数单调性奇偶性奇偶性一致,都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当 a> 1 时,对数函数的图象“上升”;当 0< a< 1 时,对数函数的图象“下降”.②底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a> 1 还是 0< a< 1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿,(1,0) 点处把花扎,若是底数小于1,左上穿点渐右下,若是底数大于1,左下穿点渐右上,绕点旋转底变化,顺时方向底变大,可用直线 y= 1 来切,自左到右 a 变大.【例 2】如图所示的曲线是对数函数y= log ax 的图象.已知a 从3 ,4 , 3 , 1 中取值,则相应曲线C1, C2, C3, C4的 a 值依次为 ()3 5 10A.3, 4 ,3 , 13 5 10B. 3 , 4 , 1 , 33 10 5C.4 , 3 ,3 , 13 5 10D.4 , 3 , 1 , 33 10 5解析:由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C4的底数< C3的底数< C2的底数< C1的底数.故相应于曲线C1, C2, C3, C4的底数依次是3 ,4,3,1.答案: A3 5 10点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一:利用底数对对数函数图象影响的规律:在x 轴上方“底大图右”,在 x 轴下方“底大图左”; (2)方法y=二:作直线1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小.3.反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y= a x (a> 0,且 a≠ 1) 与对数函数y= log ax(a> 0,且 a≠ 1) 互为反函数.(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域;②互为反函数的两个函数的图象关于直线y= x 对称.(3)求已知函数的反函数,一般步骤如下:第 2 页共 10 页①由 y= f(x)解出 x,即用y 表示出x;②把 x 替换为 y, y 替换为 x;③根据 y= f(x)的值域,写出其反函数的定义域.【例 3- 1】若函数y= f(x)是函数 y= a x(a> 0,且 a≠ 1)的反函数,且 f(2)= 1,则 f(x)= ( )1A. log 2x B .2xC. log 1 x D.2x- 22解析:因为函数 y=a x(a> 0,且 a≠ 1)的反函数是f(x)= loga x,又f(2)= 1,即 log a2= 1,所以 a= 2.故 f(x)= log 2x.答案: A【例 3- 2】函数 f(x)= 3x(0< x≤ 2)的反函数的定义域为 ( )A. (0 ,+∞ ) B . (1 ,9]C. (0,1) D . [9,+∞ )解析:∵ 0< x≤ 2,∴ 1< 3x≤9,即函数 f(x)的值域为(1,9] .故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9] .答案: B【例 3- 3】若函数 y= f(x)的反函数图象过点(1,5) ,则函数 y= f(x)的图象必过点 () A. (5,1) B. (1,5) C. (1,1) D . (5,5)解析:由于原函数与反函数的图象关于直线y= x 对称,而点 (1,5) 关于直线 y= x 的对称点为(5,1),所以函数 y= f(x)的图象必经过点(5,1).答案: A4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y= log ax(a> 0,且 a≠ 1) 中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知f(m)= n 或图象过点 (m, n)等等.通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式f(x)= logax(a> 0,且 a≠ 1),利用已知条件列方程求出常数a的值.利用待定系数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如loga m= n,这时先把对数式 logam= n 化为指数式的形式a n= m,把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式m= k n(k> 0,且k≠1) ,1 1则解得 a= k> 0.还可以直接写出a m n,再利用指数幂的运算性质化简m n.例如:解方程-2 1loga 4=- 2,则 a= 4,由于4221 .又 a> 0,所以 a1,所以a.当2 21 1 11然,也可以直接写出a 4 2,再利用指数幂的运算性质,得a 4 2(22) 22 1.【例 4- 1】已知 f(e x) =x,则f(5)= ( )2A . e 5B . 5eC . ln 5D . log 5 e解析: (方法一 )令 t = e x,则 x = ln t ,所以 f(t)= lnt ,即 f(x)= ln x .所以 f(5) = ln5 .(方法二 )令 e x= 5,则 x = ln 5 ,所以 f(5) = ln5 .答案: C【例 4- 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,2 ,试求 f(3)的值.9分析: 设出函数 f(x)的解析式,利用待定系数法即可求出. 解: 设 f(x)= logax(a > 0,且 a ≠ 1),∵ 对数函数 f(x)的图象经过点 1 , 2 , ∴f 1 log a 1 2. ∴ a 2= 1.99 9 9第 3 页 共 10 页1 2 1 21 21 1x . ∴ a =3.∴ f(x)= log 19 3 31 1 ∴ f(3)=log 1 3 log 1=- 1.33 3【例 4- 3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9) ,且 f(b)= 1,试求 b的值.2解: 设 f(x)= logax(a > 0,且 a ≠ 1),则它的反函数为y = a x (a > 0,且 a ≠ 1),由条件知 a 2= 9 1 1= 32,从而 a = 3.于是 f(x)= log 3 3 ,解得 b= 3 2 3 . x ,则 f(b)= log b =25.对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0 ,+∞ ).(2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于 0,底数大于 0,且不等于 1.若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等, 在解答问题时需要保证各个方面都有意义. 一般地,判断类似于 y = loga f(x)的定义域时,应首先保证 f(x)>0.(3)求函数的定义域应满足以下原则: ①分式中分母不等于零;②偶次根式中被开方数大于或等于零; ③指数为零的幂的底数不等于零; ④对数的底数大于零且不等于 1;⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集. 【例 5】求下列函数的定义域.(1)y = log 5(1- x); (2) y = log(2x - 1)(5x - 4);(3) y log 0.5 (4 x 3) .分析: 利用对数函数 y = log ax(a > 0,且 a ≠ 1)的定义求解. 解: (1)要使函数有意义,则 1- x > 0,解得 x < 1, 所以函数 y = log5(1 - x)的定义域是 { x|x < 1} .5x 4>0,(2)要使函数有意义,则2x 1>0, 解得 x > 4且 x ≠1,2x 1 1, 5所以函数 y = log(2x - 1)(5x -4) 的定义域是4 ,1 (1,+∞ ). 54x 3 0, 解得 3< x ≤ 1,(3)要使函数有意义,则log 0.5 (4x 3) 0, 4所以函数ylog 0.5 (4x 3)x 3的定义域是<x 1 .46.对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.(2)对于形如y= loga f(x)(a> 0,且 a≠1) 的复合函数,其值域的求解步骤如下:①分解成 y= logau, u= f(x)这两个函数;②求 f(x)的定义域;③求 u 的取值范围;④利用 y= logau 的单调性求解.(3)对于函数 y= f(log ax)(a> 0,且 a≠ 1) ,可利用换元法,设loga x= t,则函数 f(t)(t R )的值域就是函数 f(log ax)(a> 0,且 a≠1) 的值域.注意: (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母 ),要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论.第 4 页共 10 页(2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.【例 6- 1】求下列函数的值域:(1)y = log 2(x 2+ 4) ; (2) y = log 1 (3+2x - x 2) .2解: (1) ∵ x 2+ 4≥ 4, ∴ log 2(x 2+ 4)≥ log 24=2.∴ 函数 y = log 2(x 2+ 4)的值域为 [2 ,+ ∞ ).(2)设 u = 3+ 2x- x2,则 u =- (x - 1)2 + 4≤4. ∵ u >0, ∴ 0< u ≤ 4. 又 y = log 1 u 在 (0,+∞ )上为减函数,∴ log 1 u ≥-2.2 2∴函数 y = log 1 (3+2x - x 2) 的值域为 [- 2,+∞ ).2 ,求 y = [f(x)] 2 +f(x 2)的最大值及相应的【例 6- 2】已知 f(x)= 2+ log 3x , x [1,3] x 的值.分析: 先确定 y = [f (x)] 2 + f(x 2)的定义域,然后转化成关于 log3 x 的一个一元二次函数,利用一元二次函数求最值.解: ∵ f(x)= 2+ log 3 x , x[1,3] ,∴ y = [f(x)] 2 + f(x 2)= (log 3x)2+ 6log 3 x + 6 且定义域为 [1,3] .令 t = log 3x(x [1,3]) .∵ t = log3 x 在区间 [1,3] 上是增函数, ∴ 0≤t ≤ 1.从而要求 y = [f(x)] 2+ f(x 2)在区间 [1,3] 上的最大值,只需求 y = t 2+ 6t + 6 在区间 [0,1]上的最大值即可. ∵ y = t 2+ 6t + 6 在 [- 3,+ ∞ )上是增函数,∴ 当 t = 1,即 x = 3 时, y max = 1+ 6+ 6= 13.综上可知,当 x = 3 时, y = [ f(x)] 2+ f(x 2)的最大值为 13.7.对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1)过定点 (1,0) ,即对任意的 a > 0,且 a ≠ 1 都有 loga1=0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键.对于函数 y = b + kloga f(x)(k ,b 均为常数,且 k ≠ 0),令f(x)= 1,解方程得 x = m ,则该函数恒过定点 (m , b).方程 f (x) =0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数.(2)对数函数的图象变换的问题向左 (b>0)或向右 (b<0)①函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1)――------- -- -------→ 函数 y = log a(x + b)(a > 0,且 a ≠ 1)平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下 (b<0)②函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1)――------- -- ------→函数 y = loga x +b(a >0,且 a ≠ 1)平移|b|个单位长度③函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 当 x>0时,两函数图象相同函数 y = loga |x|(a > 0,且 a ≠ 1) ―------ -- --- -- ---―→当x<0时,将 x>0时的图象关于 y 轴对称④函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1)―― 保留 x 轴上方的图象--- → 函数 y = |logax|(a > 0,---------- -- ------------- --x 轴的对称变换---------- 同时将 x 轴下方的图象作关于且 a ≠ 1)【例 7- 1】若函数 y = log a(x + b)+ c(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3,2) ,则实数 b ,c的值分别为 __________ .解析: ∵ 函数的图象恒过定点 (3,2) ,∴ 将 (3,2)代入 y = loga (x + b)+ c(a > 0,且 a ≠ 1),得 2= loga(3+ b)+ c . 又 ∵ 当 a > 0,且 a ≠ 1 时,log a 1= 0 恒成立,∴ c = 2. ∴ loga (3+ b)= 0.∴ b =- 2.答案: - 2,2【例 7- 2】作出函数 y = |log 2(x + 1)|+2 的图象.解: (第一步 )作函数 y = log 2x 的图象,如图 ① ;(第二步 )将函数 y = log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度, 得函数 y = log 2(x + 1)的图象,如图 ② ;(第三步 )将函数 y = log2(x + 1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换, 得函数 y = |log2 (x +1)|的图象,如图 ③ ;(第四步 )将函数 y = |log2 (x + 1)|的图象, 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度, 便得到所求函数第 5 页 共 10 页的图象,如图④ .8.利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况:(1)底数相同,真数不同.比较同底数 (是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小.要注意:明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值;明确对数函数的底数与 1的大小关系;最后根据对数函数的单调性判断大小.(2)底数不同,真数相同.若对数式的底数不同而真数相同时,可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比较,也可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)底数不同,真数也不同.对数式的底数不同且指数也不同时,常借助中间量 0,1 进行比较.(4)对于多个对数式的大小比较,应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“ 1”的大小情况,进行分组,再比较各组内的数值的大小即可.注意:对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论.【例 8- 1】比较下列各组中两个值的大小.(1)log 31.9 , log3 2;(2)log 23, log0.3 2; (3)logaπ, loga3.141 .分析: (1) 构造函数 y= log 3x,利用其单调性比较;(2) 分别比较与的大小; (3) 分类讨论底数的取值范围.解: (1)因为函数 y= log 3x 在 (0 ,+∞ )上是增函数,所以 f(1.9)< f (2).所以 log31.9 < log32.(2)因为 log 23> log21= 0, log0.32< log0.31= 0,所以 log23> log 0.32.(3)当 a> 1 时,函数 y= loga x 在定义域上是增函数,则有 logaπ> log a3.141 ;当 0< a< 1 时,函数 y= log a x 在定义域上是减函数,则有 log aπ< log a3.141 .综上所得,当 a> 1 时, log aπ> loga3.141 ;当 0< a< 1 时, log aπ< log a3.141 .【例 8- 2】若 a2> b> a> 1,试比较 log aa, logb b, logb a, log a b 的大小.b a分析:利用对数函数的单调性或图象进行判断.解:∵ b>a> 1,∴ 0<a< 1.b∴log a a< 0, loga b> log aa= 1, logb1< logb a< log bb,即 0< logba< 1.b第 6 页共 10 页由于 1< b< b , ∴ 0< log b b< 1.由 log b a- logb b= log b a 2, a a ab 2 > b > 1, ∴ a 2∵a > 1.b ∴ log b a 2log b b > 0,即 log b a > a b ∴ logab > logb a >log bb > log a a a b.. 9.利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性,当 a > 0,且 a ≠ 1时,有① logaf (x)= loga g(x) f(x)=g(x)(f(x) >0, g(x)>0) ;②当 a > 1 时, logaf(x)>loga g(x) f(x)> g( x)(f(x)> 0, g(x)> 0);③当 0< a < 1 时, log af(x)> log ag(x) f(x)< g(x)(f(x)>0, g(x)> 0) .(2)常见的对数不等式有三种类型:①形如 loga f(x)> log ag(x)的不等式, 借助函数 y = log ax 的单调性求解, 如果 a 的取值不确定,需分 a > 1 与 0< a < 1 两种情况讨论.②形如 loga f(x)> b 的不等式,应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式,再借助函数 y = logax的单调性求解.③形如 loga b g(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用f(x)>log 对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集.④形如 f(log ax)> 0 的不等式,可用换元法 (令 t = log ax),先解 f( t)> 0,得到 t 的取值范围.然后再解 x 的范围.【例 9- 1】解下列不等式: (1) log1xlog 1 (4 x) ;77(2)log x(2x + 1)> logx (3- x).x>0,解: (1)由已知,得4 x>0, 解得 0< x < 2. x<4x,所以原不等式的解集是 { x|0< x < 2} . (2)当 x > 1 时,有当 0< x < 1 时,有2x 1>3 x,2x 1>0, 解得 1< x <3; 3 x>0,2x 1<3x,2x 1>0, 解得 0< x < 2.3 x>0, 3所以原不等式的解集是2 或.x 0<x<31<x<3【例 9- 2】若log a 23 2< 1,求 a 的取值范围.2 22< 1,即 loga 1 2解:∵log a< 1,∴ - 1<log a log alog aa .3 3 a 3(1)∵当 a > 1 时, y= log ax 为增函数,∴ 1 2 a .∴ a>3,结合 a> 1,可知 a>3.a 3 2 2第 7 页共 10 页1 2 (2)∵ 当 0< a < 1 时, y = loga x 为减函数, ∴ > >a .∴ a < 20< a < 1,知 0< a< 2a 3,结合 .3 3∴ a 的取值范围是a 0<a< 2,或 a> 3. 3 210.对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键: 一是看底数是否大于 1,当底数未明确给出时, 则应对底数a 是否大于 1 进行讨论; 二是运用复合法来判断其单调性; 三是注意其定义 域.(2)关于形如 y = loga f(x)一类函数的单调性,有以下结论:函数 y = logaf(x)的单调性与函数 u = f(x)(f(x)> 0)的单调性, 当 a > 1 时相同, 当 0< a < 1 时相反.例如:求函数y = log2 (3 -2x)的单调区间. 分析: 首先确定函数的定义域,函数y = log2(3- 2x)是由对数函数 y = log 2u 和一次函数 u =3 - 2x 复合而成,求其单调区间或值域时,应从函数 u = 3- 2x 的单调性、值域入手,并结合函数y = log2 u 的单调性考虑.解: 由 3- 2x > 0,解得函数 y = log2(3 - 2x)的定义域是- ∞ , 3. 2设 u = 3-2x , x3 - ∞ , 2 , ∵ u = 3- 2x 在 - ∞ , 3上是减函数,且 y = log 2u 在 (0,+ ∞ )上单调递增,2∴ 函数 y = log 2(3 - 2x)在 - ∞ , 3上是减函数.2∴ 函数 y = log2(3 - 2x)的单调减区间是- ∞ ,3.2【例 10- 1】求函数 y = log a (a - a x)的单调区间.t = a - a x递减. 解: (1)若 a > 1,则函数 y = log a t 递增,且函数又 ∵ a - a x > 0,即 a x<a ,∴ x < 1. ∴ 函数 y = log a (a - a x)在 (-∞ , 1)上递减.(2)若 0< a < 1,则函数 y = log at 递减,且函数 t = a- a x递增.又 ∵ a - a x > 0,即 a x< a ,∴x > 1.∴ 函数 y = loga(a - a x)在 (1,+ ∞ )上递减.综上所述,函数y = loga (a - a x)在其定义域上递减.析规律判断函数 y = log af(x)的单调性的方法 函数 y = log af(x)可看成是 y = logau与 u = f(x) 两个简单函数复合而成的,由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判断.需特别注意的是, 在求复合函数的单调性时,首先要考虑函数的定义域,即 “ 定义域优先 ”.【例 10- 2】已知 f(x)= log 1 (x 2- ax - a)在 , 1 上是增函数,求 a 的取值范围.22解:, 1 是函数 f(x)的递增区间,说明 , 1是函数 u = x 2- ax - a 的递减区间,2 2 由于是对数函数,还需保证真数大于0.令 u(x)= x 2- ax - a , ∵ f(x)=log 1 u(x) 在, 1 上是增函数, 2 2∴ u(x)在 , 1上是减函数,且u(x)> 0 在, 1 上恒成立.22第 8 页 共 10 页a 1 , a 1, ∴ 22 即 1 a 0. u 14 a 0, 22∴- 1≤ a ≤ 1.2∴满足条件的 a 的取值范围是a 1 a 1 .211. 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是:(1) 求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数, 当定义域关于原点对称时,判断f(- x)与 f(x)或- f(x)是否相等; (2) 当 f(- x)= f(x)时,此函数是偶函数;当 f(- x)=- f(x)时,此函数是奇函数;(3) 当 f(- x)= f(x)且 f(-x)=- f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数; (4) 当 f(- x)≠ f(x)且 f(-x)≠- f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.例如,判断函数f(x)=log a ( x 2 1+ x) (x R , a > 0,且 a ≠ 1) 的奇偶性. 解: ∵ f(- x)+ f(x)== log a ( x 2 1 x) + log a ( x 21+x) )=log a (x 2 + 1- x 2)= log a 1= 0,∴f(- x)=- f(x). ∴ f(x)为奇函数.【例 11】已知函数 f(x)= 1 x loga 1 (a > 0,且 a ≠1) .x(1) 求函数 f(x)的定义域; (2) 判断函数 f(x)的奇偶性; (3) 求使 f(x)> 0 的 x 的取值范围.分析: 对于第 (2) 问,依据函数奇偶性的定义证明即可.对于第 (3) 问,利用函数的单调性去掉对数符号,解出不等式.解: (1)由 1x> 0,得- 1< x <1,1 x故函数 f(x)的定义域为 (-1,1) .1 x = 1 x=- f(x),(2)∵ f(- x)=log a 1 x loga 1 x又由 (1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称,∴ 函数 f(x)是奇函数.(3)当 a> 1 时,由log a1x> 0= loga1,得1x> 1,解得 0< x< 1;当 0< a< 1 时,1x 1 x由 log a1x> 0= loga1,得0< 1x< 1,解得- 1< x<0.1 x 1 x故当 a> 1 时, x 的取值范围是 { x|0< x< 1} ;当 0< a < 1 时, x 的取值范围是 { x|- 1<x< 0} .12.对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等,可以用对数函数模型来研究.此类题目,通常给出函数解析式模型,但是解析式中含有其他字母参数.其解决步骤是:(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,抓住关键的词和量,理顺数量关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,求出函数解析式模型中参数的值;第 9 页共 10 页(3)求模:求解函数模型,得到数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论. 由此看, 直接给定参数待定的函数模型时, 利用待定系数法的思想, 代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其他问题. 代入法、 方 程思想、对数运算性质,是解答此类问题的方法精髓.【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船,实现了中国历 史上第一次的太空漫步,令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 (其中,翟志刚完全出舱,刘伯明的头部和手部部分出舱 ).在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度 y(单位: km/s) 关于燃料重量 x(单位:吨 ) 的函数关系式为y = kln(m + x)-kln( 2m )+4ln 2( k ≠ 0),其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和. 当燃料重量为 (e - 1)m 吨时, 火箭的最大速度是 4km/s .(1)求 y =f(x);(2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 (箭体、搭载的飞行器、 航天员、 燃料 ),火箭的最大速度为 8 km/s ,求装载的燃料重量 (e = 2.7,精确到0.1) .解: (1)由题意得当 x =(e - 1)m 时, y = 4, 则 4= kln[ m + (e - 1)m]- kln( 2m )+ 4ln 2 ,解得 k= 8. 所以 y = 8ln(m + x)- 8ln(2m )+ 4ln 2 ,即 y = 8ln m x. m(2)由于 m + x = 479.8,则 m =479.8 - x ,479.8 ,解得 x ≈302.1. 令8 8ln479.8x 302.1 吨. 故火箭装载的燃料重量约为第 10 页共 10 页。

数学:2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)

数学:2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)

2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修(1)》(人民教育出版社)高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一,是中学数学的重点知识,研究函数的一般理论和基本方法,用函数的思想方法解决实际问题,是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质,按课标要求教学时间为3个学时,本节课为第1课时,本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数,对对数函数概念的理解,图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性,有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数,是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用,有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性,加深对函数的思想方法的理解,在教学过程中,虽然学生的认知水平有限,但只要让学生体验对数函数来源于实践,通过教师课件的演示,通过数形结合,让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中,a取不同的值时反映出不同的函数图象,让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律,进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较,以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解,同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中,通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索,引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论,探究总结出对数函数的图象与性质,使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识的产生、形成过程,通过例题的分析与练习,进一步培养学生自主探索,合作交流的学习方式,通过学生经历直观感知,观察、发现、归纳类比,抽象概括等思维过程,落实培养学生积极探索学习习惯,提高学生的数学思维能力的新课程理念。

一同步训练2.2.2_对数函数及其性质(第三课时)

一同步训练2.2.2_对数函数及其性质(第三课时)

对数函数及其性质(第三课时)1、若log a 2<1,则实数a 的取值范围是( )A .(1,2)B .(0,1)∪(2,+∞)C .(0,1)∪(1,2)D .(0,12)2、若log a 2<log b 2<0,则下列结论正确的是( )A .0<a<b<1B .0<b<a<1C .a>b>1D .b>a>13、已知函数f(x)=2log 12x 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( )A .[22,2]B .[-1,1]C .[12,2] D .(-∞,22]∪[2,+∞)4、若函数f(x)=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为() A.14 B.12 C .2 D .45、函数f(x)=log a [(a -1)x +1]在定义域上( )A .是增函数B .是减函数C .先增后减D .先减后增6、设a =lge ,b =(lg e)2,c =lg e ,则( )A .a>b>cB .a>c>bC .c>a>bD .c>b>a7、已知0<a <1,0<b <1,如果a logb(x -3)<1,则x 的取值范围是________.8、f(x)=log 21+x a -x 的图象关于原点对称,则实数a 的值为________.9、函数y =log a x 在[2,+∞)上恒有|y|>1,则a 取值范围是________.10、已知f(x)=⎩⎨⎧6-a x -4a x<1log a x x≥1是R 上的增函数,求a 的取值范围.11、解下列不等式.(1)log 2(2x +3)>log 2(5x -6);(2)log x 12>1.12、函数f(x)=log 12(3x 2-ax +5)在[-1,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围.13、求下列函数的反函数:(1)y=0.2-x +1;(2)y=log a (4-x ).14、 已知函数y=log a (1-a x )(a >0,a ≠1).(1)求函数的定义域与值域;(2)求函数的单调区间;(3)证明函数图象关于y=x 对称.15、 已知函数f (x )=(21)x (x >0)和定义在R 上的奇函数g (x ).当x >0时,g (x )=f (x ),试求g (x )的反函数.16、 探究函数y=log 3(x+2)的图象与函数y=log 3x 的图象间的关系.17、函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点(1,4),求a 的值.18、 求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域.。

2.2.2 对数函数及其性质

2.2.2   对数函数及其性质

3 y x ( x R) 的反函数,并且画出原来的函数和它 例13:求函数
的反函数的图象。
解:由y x 3,得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是: y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示: 函数
(2)在定义域上是增函数
注:函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习: 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是( D )
A.(0,) C义:
一般地,我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,) 。
注:
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ,则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质:
例2:函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地,对数函数y log a x(a 0,且a 1)的图象和性质 如下表所示:
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0),即x=1时,y=0
x f 1 ( y)
y 注:在函数 x f 1 ( y)中,表示自变量,表示函数。但在习惯上, x 我们一般用 x 表示自变量,用 y表示函数,为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y,把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ,那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。

数学:2.2.2《对数函数及其性质》课件(新人教A版必修1)

数学:2.2.2《对数函数及其性质》课件(新人教A版必修1)

(1)定义域: R (2)值域: (0,+∞) 性 (3)过定点 (0,1) (4)单调性 质
a>1时, 在R上是增函数; 0<a<1时,在R上是减函数
(1)定义域: (0,+∞) (2)值域: R (3)过定点 (1,0) (4)单调性
a>1时,在(0,+∞)是增函数; 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
(2) y | log 2 x |
(1)
(2)
已知1 x 10, 试比较(lg x) , lg x , lg(lg x)的大小.
2 2
例3:求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.
变式: (1)求函数 y=log3(x2-4x+7)的值域.
(2)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时,函数的最大值比最小值大1,
(5)奇偶性: 非奇非偶
(5)奇偶性: 非奇非偶
二.新课讲授
例1 解下列关于x的不等式:
(1) log0.5 x > log0.5 (1-x) (2) log2 (x+3) - 2 <0
变式:0<a <1,0<b<1,且a
2 (3) log x < 1 3
logb (x -3)
<1,求 x
依据:(1)若a 1, log a m log a n m n 0
例1 说明函数 y log3 ( x 2) 和 y log3 x
的图象的关系.
y log3 x 向左平移2个单位 y log3 ( x 2) y log3 x 向上平移2个单位 y log3 x 2

2.2.2对数函数及其性质(三)

2.2.2对数函数及其性质(三)
C. 原点对称
B. x轴对称
D. 直线y=x对称
学案与测评:P48页,7

y log4
的值域 . x( x 16)
1,求函数 y log3 ( x 4x 5) 的和值域.
2
已知集合 A {x 2 x } ,定义在集 合A上的函数 y loga x 的最大值 比最小值大1,求a的值.
x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).
x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈(0, +∞),
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).
x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈(0, +∞),值域
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).
x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈(0, +∞),值域x∈R.
典型示例
6、反函数的概念
y2
应变 量 自变 量 自变 量
x

x log 2 y
2.2.2对数函数 及其性质
2.
y= a x
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数,
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域
2.
y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

对数函数及其性质第3课时

对数函数及其性质第3课时

对数函数及其性质
学习目标:
1. 要求学生理解对数函数的定义,会画对数函数的图像.
2. 要求学生能通过对数函数的图像总结归纳对数函数的性质培养
3. 学生从特殊到一般的数学归纳的思想和数形结合的思想.
重点:
对数函数的定义
难点:
对数函数的图象和性质
自学指导:5458P P
自主探究:
通过图像归纳出函数的性质
时间:10分钟
知识点:
1.对数函数的定义: 1.2.3.1⎧⎪⎨⎪⎩
真数是自变量底数是常数系数是;
2.图象与性质(对比指数函数);
3.反函数:log x x a y a y ==与互为反函数,图象关于y x =对称;
4. 根据图象比较a,b,c,d,0,1的大小.
课堂检测:
课本58页练习1、2、3;
名师伴你行第二章学案5预习自查。

课堂小结:
通过本节课,我们学习了对数函数的图象和性质,通过图像来理解函数的性质。

作业:
1. 第74页习题
2.2A组第7题
2.名师伴你行第二章学案5 教后反思:。

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作业
• 完成练习册2.2.2两课时的练习 • 预习2.3幂函数
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨,起早贪黑, 上课认真,笔记认真, 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩, 上课没事儿还调皮气老师, 笔记有时让人看不懂, 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七:美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定:通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1:我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内! TIP2:很多我们觉得比较容易背的古诗词,大多不超过七个字,很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内(每一组不代表只有一个字哦,这7组中的每一组容量可适当加大)。 TIP3:比 如我们记忆一个手机号码18820568803,如果一个一组的记忆,我 们就要记11组,而如果我们拆解一下,按照188-2056-8803,我们就只需要 记忆3 组就可以了,记忆效率也会大大提高。
∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1).
∵f(x)是定义在 R 上的偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增,
∴-1≤log2a≤1,即12≤a≤2.
3、对数运算性质:
loga(M·N)=logaM+logaN logaMN =logaM-logaN
logan
bm
m n
loga
b
logaMn=nlogaM(n∈R)
=(2+log3x)2+2+2log3x =(log3x)2+6log3x+6 =(log3x+3)2-3. ∵函数 f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数 y=[f(x)]2+f(x2)有意义,
必须满足11≤ ≤xx2≤≤99,, 即 1≤x≤3.
∴0≤log3x≤1.∴6≤y=(log3x+3)2-3≤13. 当 log3x=1,即 x=3 时,y=13. ∴当 x=3 时,函数 y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值 13.
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂,但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 (利用现有知识 解决问题)
学习知识的能力 (学习新知识 速度、质量等)
所以当 t=-1,即 x=4 时,y 有最大值 8; 当 t=-12,即 x=2 时,y 有最小值245.
P85 12.已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以 及 y 取最大值时 x 的值. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
3、大小比较问题:
(1)同底对数值比较大小:利用对数函数单调性比较
若底数不确定,则分类讨论
(2)底数不同, 真数不同对数比较大小:
借助中间量“1”( loga a),或“0”( loga 1)
练习、已知a
log4
5,
b
(
1 2
)2.5
,
c
log
3
0.4,
A 则a, b, c的大小关系为( )
A.a b c
所以 loga4-loga2=1,即 loga42=1,所以 a=2. (2)当 0<a<1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是减函数,
所以 loga2-loga4=1,即 loga24=1,所以 a=12. 由(1)(2),知 a=2 或 a=12.
【警示】在解决底数中包含字母的对数函数问题时,要注意对底数进 行分类讨论,一般考虑 a>1 与 0<a<1 两种情况.忽略底数 a 对函数 y =logax(a>0 且 a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.
log 1
1 2
2
x
y
y= 2x
8
7
y=x
y =( 1) x
2
8
y 关于直线y x对称
7
y=x
6
6
5 4
y=log2x
5 4
3
3
2
2
1
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
-2 关于直线y x对称
-3 -2 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 -1
y= log 1 x
=2
三、例题讲解
例9、溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为 pH= - lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单 位是摩尔/升。
(1)根据对数函数的性质及上述pH的计算公式, 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化 关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升, 计算纯净水的pH.
长久坚持的能力 (自律性等)
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1:听懂看到≈认知获取;
换底公式:logab=llooggccba(a>0,且 a≠1,c>0,且 c≠1,b>0) 【对数运算性质】P84 11.设函数 f(x)= logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2…x2016)=8,则 f(x21)+f(x22)+…+f(x22 016)的值等于________.
【解析】∵f(x21)+f(x22)+f(x23)+…+f(x22 016) =logax21+logax22+logax23+…+logax22016
1、探究底数大小
y y1
y loga x y logb x
O
c
da
x
y logc x
b y logd x
y=b x y
y=cx y=d x
y=a x
c
d a b
O
x =1
2、定点问题:与底数变化无关的点 (1)函数y 2loga (x 2)+3(a 0, a 1)图象恒过定点_(_3_,_3_)__
2.2.2 对数函数及其性质 (第3课时)
二、新课讲解
1、反函数的概念
对数函数y loga x和指数函数y ax互为反函数 (其中a 0,且a 1)
化成对数式
y 2x
x log2 y
x和y互换
y log2 x
互为反函数
y 2x的反函数是y log2 x
y
1 2
x
的反函数是y
反函数的图象经过点
2,Biblioteka 1 2,求a的值。二、新课讲解
2、若函数y f ( x)与y
且f
(
x0
)
1 2
, 则x0
(
1 4
x
图象关于直线y
)
x对称,
1
A. 2 B. 1 C.2 D.
2
提示:f ( x) log1 x,
4
故f
( x0 )
log 1
4
x0 =
1, 2
x0
=(
1 4
)
1 2
-2
2
-3
-3
二、新课讲解
1、反函数的概念
对数函数y loga x和指数函数y ax互为反函数 (其中a 0,且a 1)
2、互为反函数的两个函数图象关于直线 y=x 对称
对数函数y loga x和指数函数y a x图象关于直线y x对称
化成对数式
y 2x
x log2 y
x和y互换
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆 规律
TIP3:另外,还有研究表明,记忆在我们的睡眠过程中也并未停止,我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以,睡前的这段时间可是 非常 宝贵的,不要全部用来玩手机哦~
TIP4:早晨起床后,由于不受前摄抑制的影响,我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容,那么会让你记忆犹新。
y log1 t, 0 t 4
2
函数y log1 t在(0, 4]上单调递减;
2
log1 4 log1 t,即log1 t 2,
2
2
2
即原函数的值域为[2, ).
P48【示例】函数 y=logax(a>0 且 a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的 差是 1,求 a 的值. 【正解】(1)当 a>1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是增函数,
∴65≤a<6. ∴a 的取值范围为65,6.
P85 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数且在区间[0,+∞)上单调 递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是
2
A.[1,2] B.0,12 C.12,2 D.(0,2]
【解析】∵f(log1 a)=f(-log2a)=f(log2a), 2
loga 1 0
(2)函数y 2 ax2 3(a 0且a 1)图象恒过定点_(_2_,_5_)_
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