对数函数及其性质知识点
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
高中数学重点知识总结——对数函数及对数函数图象性质知识点总结
高中数学重点知识总结对数函数及对数函数图象性质一、对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >且1a ≠），叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0,+∞。
二、对数函数的图象三、对数函数图象的性质1.图象都过定点()0,1。
定义域：()0,+∞，值域：R 。
2.01a <<时，为定义域上的减函数；.1a >时，为定义域上的增函数。
3.底数越大，在直线1x =的右侧越靠近x 轴，即“底大图低”。
四、对数函数图象的对称性由图象可得，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。
五、反函数1.互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。
2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
如3x y =与3log y x =互为反函数。
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称。
六、指、对、幂函数的增长快慢比较任给三个单调增的指数函数、对数函数、幂函数，总存在一点0x ，使得0x x >时下面两种情况同时成立。
（1）函数值的大小关系：指数>幂函数>对数函数。
（2）函数值的增长速率：指数>幂函数>对数函数。
七、高中阶段常见的考查方式1.求对数函数在某区间上的单调性、最值、值域。
2.求对数函数的复合函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等。
3.根据几个对数函数的图象判断底的大小关系。
4.根据对数函数的底，判断对应的函数图象。
5.跟据对数式值的正负找不等式关系。
如：若log 0a b >，则1,1a b >>或01,01a b <<<<。
若log 0a b <，则1,01a b ><<或01,1a b <<>。
6.给出对数函数简单变形或与其他函数复合后的解析式，选大致图象选项，或 判断奇偶性。
7.构造对数函数比较两个实数的大小，或判断两个实数的正负。
对数知识点总结
对数知识点总结一、对数的基本概念定义：对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的底和真数：对数的底必须为正实数且不等于1，真数必须为正实数。
对数的值：对数的值可以是实数，也可以是复数。
二、对数的性质对数函数为单调增函数。
常用的对数：以10为底的对数称为常用对数，记作lgN；以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数，记作lnN。
三、对数的运算规则对数的乘法规则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，其中M、N 为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的除法规则：log_a(M/N) =log_a(M) - log_a(N)，其中M、N为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的幂次规则：log_a(M^p) = p * log_a(M)，其中M为正实数，a为正实数且a≠1，p为任意实数。
对数的换底公式：log_b(M) /log_b(a) = log_a(M)，其中M为正实数，a、b为正实数且a≠1，b≠1。
四、对数的应用对数在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、金融、化学反应、数据压缩、声学和地震学、科学计量、货币贬值、人口增长、生物学、天文学、网络和社交媒体以及电路分析等。
对数可以帮助处理广泛的数据范围、计算复利、描述化学反应速率与反应物浓度的关系、压缩数据、表示声音的强度等。
以上是对数的基本知识点总结，涵盖了定义、性质、运算规则以及应用等方面。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和掌握对数知识。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。
对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。
2.对数函数的值域是实数集R。
3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。
4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。
6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。
7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。
9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。
10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。
11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。
13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。
对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。
它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。
在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。
高中对数运算知识点总结
高中对数运算知识点总结一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数是一种表示指数运算的逆运算。
当a的x次方等于b时，就称loga b等于x，表示为loga b = x。
其中，a叫做底数，b叫做真数，x叫做对数。
2. 对数的性质（1）对数的底数不为1且不等于0。
因为对数的底数不能为1或0，否则无法对应一个唯一的真数。
（2）对数的底数不等于1且不等于0。
因为对数的底数不等于1或0，否则无法对应一个唯一的真数。
（3）对数的真数必须大于0。
因为对数的真数必须大于0，否则无法定义对数。
（4）logab = logcb / logca对数的底数不影响对数的计算，可以利用这个性质进行对数运算的计算。
（5）a^logab = b这是对数的定义的逆过程，当底数为a时，对数运算和指数运算是相互逆的。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则（1）对数的乘法法则若loga m = p，loga n = q，则loga (mn) = p+q。
两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
（2）对数的除法法则若loga m = p，loga n = q，则loga (m/n) = p-q。
两个数相除的对数等于这两个数的对数之差。
（3）对数的幂运算法则若loga m = p，则loga (m^k) = k*loga m。
一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以幂的指数。
2. 对数的换底公式在计算对数时，如果底数不同，可以使用对数的换底公式来计算。
loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为任意正数，且a≠1，b>0，c>0，c≠1。
三、对数函数1. 对数函数的定义和性质对数函数是指以某一固定的正数a为底的函数，通常表示为y=loga x。
对数函数的图像是一条连续递增的曲线。
2. 对数函数的性质（1）定义域对数函数的定义域为正实数集（x>0），因为对数函数的真数必须大于0。
（2）值域对数函数的值域为全体实数集，因为当底数大于1时，对数函数是递增函数，当底数在(0,1)之间时，对数函数是递减函数。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种重要的函数类型，广泛应用于各个科学领域。
本文将对对数函数的基本定义、性质以及应用进行总结。
1. 定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
设a是一个正实数且a≠1，b是任意正实数，则“以a为底b的对数”可以表示为logₐb。
其中底数a称为对数的底，b称为真数，logₐb称为对数。
对数函数通常用f(x) = logₐx表示。
对数函数具有以下基本性质：1）logₐ1 = 0：任何数以其本身为底的对数等于1。
2）logₐa = 1：任何数以其本身为底的对数等于1。
3）logₐaˣ = x：对数函数的一个基本性质是，以a为底的对数函数中，a的x次幂等于x。
即logₐaˣ = x。
4）logₐxy = logₐx + logₐy：对数函数中，底为a的对数函数中，两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
即logₐxy = logₐx + logₐy。
5）logₐxⁿ = nlogₐx：对数函数中，底为a的对数函数中，以x为真数n次幂的对数等于n乘以以底为a，真数为x的对数。
即logₐxⁿ = nlogₐx。
2. 常用对数和自然对数常用对数函数是以10为底的对数函数，通常用log(x)表示，即log(x) = log₁₀x。
常用对数函数的性质和定义与之前的对数函数一致。
自然对数函数是以自然常数e(约等于2.71828)为底的对数函数，通常用ln(x)表示，即ln(x) = logₑx。
自然对数函数的性质与定义也与之前的对数函数相同。
3. 对数函数的应用对数函数在实践中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1）指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长和衰减方面非常有用。
当某个变量随着时间的增加以指数形式增长或减少时，可以使用对数函数来描述其增长或减少的速度和幅度。
2）复利计算：对数函数在金融和投资领域中的应用非常重要。
例如，复利计算中，对数函数可以帮助计算利息的增长速度和总额。
对数函数及其性质知识点
对数函数及其性质1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解： （1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；(2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1；（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x前面的系数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a（x-1），y=2log a x ，y=log a x+21等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表名称 指数函数 对数函数一般形式 y=a x（a ＞0且a ≠1）y=log a x（a ＞0且a ≠1）定义域 R （0，＋∞）值域（0，＋∞）R函数值 变化 情况当1a >时，1010010x xx a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，， 当01a <<时，0101010x xx a x a x a x ⎧<<>⎪==⎨⎪><⎩，，，， 当1a >时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，，；当01a <<时，log 01log 01log 00 1.a a ax x x x x x <>⎧⎪==⎨⎪><<⎩，，，，，单调性当a ＞1时，y=a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=a x是减函数．当a ＞1时，y=log a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=log a x是减函数．图象y=a x（a ＞0且a ≠1）的图象与y=log a x（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称．当a ＞1时， 当0＜a ＜1时，补充 性质 当a ＞1时，图象向上越靠近y 轴，底数越大；0＜a ＜1时，图象向上越靠近y 轴，底数越小．当a ＞1时，图象向右越靠近x 轴，底数越大； 当0＜a ＜1时，图象向右越靠近x 轴，底数越小．3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x是自变量y的函数。
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对数函数及其性质
1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．
2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解：
（1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；
(2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1；
（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x
前面的系
数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a （x-1）
，y=2log a x
，y=log a x
+
2
1
等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表
名称 指数函数 对数函数
一般形式 y=a x
（a ＞0且a ≠1）
y=log a x
（a ＞0且a ≠1）
定义域 R （0，＋∞）
值域
（0，＋∞）
R
函数值 变化 情况
当1a >时，101
0010x x
x a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，， 当01a <<时，0101
010x x
x a x a x a x ⎧<<>⎪==⎨⎪><⎩
，，，， 当1a >时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>⎧⎪
==⎨⎪<<<⎩，，，，，；
当01a <<时，log 01log 01log 00 1.a a a
x x x x x x <>⎧⎪
==⎨⎪><<⎩，，，，，
单调性
当a ＞1时，y=a x
是增函数；
当0＜a ＜1时，y=a x
是减函数．
当a ＞1时，y=log a x
是增函数； 当0＜a ＜1时，y=log a x
是减函数．
图象
y=a x
（a ＞0且a ≠1）的图象与y=log a x
（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称．
当a ＞1时， 当0＜a ＜1时，
补充 性质 当a ＞1时，图象向上越靠近y 轴，底数越大； 0＜a ＜1时，图象向上越靠近y 轴，底数越小． 当a ＞1时，图象向右越靠近x 轴，底数越大； 当0＜a ＜1时，图象向右越靠近x 轴，底数越小．
3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x ，得到式子x=φ(y).如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x 在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x 是自变量y 的函数。
这样的函数x=φ(y) 叫做函数y=f(x)的反函数，记
作x=f -1(y), 即x=φ(y)=f -1
(y).
在函数式x=f -1
(y)中，y 表示自变量，x 表示函数。
但在习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，
为此，我们常常对调x=f -1(y)中的字母x,y ，把它改写成y=f -1
(x). 函数y=f(x) 反函数的反函数正好是它的本身。
函数y=f(x)的定义域正好是它反函数y=f -1(x)的值域；反之，函数y=f(x)的值域也是它反函数y=f -1
(x)的定义域。
4.一个函数存在反函数的充要条件是：变量x 、y 之间具有一一对应关系
可从以下两个角度研究：（1）方程解的个数上，由y=f （x ）出发，所得的x 仅有一个解；（2）图像交点个数上，与直线y=y 0（y 0∈A ）有且只有一个交点.
5.（1）函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f －1
(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）若函数y=f(x)的图像上有一点（a ，b ），则（b ，a ）必在其反函数的图像上，反之，若（b ，a ）必在反函数的图像上，则（a ，b ）必在原函数图像上； （3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性. 6.函数y=x 2
的定义域是R ，值域是[0,+∞).由y=x 2
解出x=y ±
,对于y 在[0,+∞)上任一个值，
通过式子x=y ±，x 在R 上有两个值和它对应，故x 不是y 的函数。
这表明函数y=x 2
没有反函数，所以并非所有的函数都有反函数！
7.求反函数的步骤：（1）先求y=f （x ）的值域；（2）由y=f(x)解出x=f -1（y ）；（3）把x=f -1（y ）改写成y=f -1
（x ），并写出定义域（即原函数的值域）. 8.求下列函数的反函数
(1)y=3x-1(x ∈R)(2)y=x +1(x ≥0)（3）y=x +1(x ≥1)（4）y=x 2
+1(x ≤0)
解: (1)由y=3x-1,解得x=31+y ，所以,函数y=3x-1(x ∈R)的反函数是y=31
+y （x ∈R ）； （2）由y=x +1,解得x=(y-1)2, 函数y=x +1(x ≥0)的反函数是y=(x-1)2
(x ≥1)；
（3）y=x +1(x ≥1)○1解：x =y-1，x=（y-1）2,所以y=（x-1）2
（x ≥2）；
（4）y=x 2
+1，x=)1(1≥--
y y ，所以反函数y=)1(1≥--y y。