指数式与对数式

1．指数、对数的运算法则；

2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．

指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算.

1．重视指数式与对数式的互化；

2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；

3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析：

例1．计算：（1）12131

6

32

4

(1243)27162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；

（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：（1）原式12

1

33(1)246

3

2

4

(113

2

28

⨯

-⨯-⨯⨯

=+-+-⨯

2133

3

2

113222

118811⨯

=++-⨯=+-=．

（2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3

(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2

=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 35

2lg 36lg 24

=⋅=．

例2．已知112

2

3x x

-

+=，求

22332

2

23

x x x x

--+-+-的值．

解：∵112

2

3x x -+=，∴112

2

2()9x x -

+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，

∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵331112

2

2

2

()(1)3(71)18x x x x x x --

-+=+⋅-+=⋅-=，

∴22332

22472

3183

3

x x x x

--

+--=

=-+-．

例3．已知35a b c ==，且11

2a b

+=，求c 的值．

解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a

=； 同理可得

1log 5c b =，∴由11

2a b

+= 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >

，∴c =．

例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >．

由2log 2log 30x y y x -+=得2

230t t

-+=，∴22320t t +-=，

∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1

log 2

x y =，∴1

2y x =，

∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．

例5．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．

（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c

a b +-+

++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82

log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值．

证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c

a b a b +++-+++-=+=⋅

2222222

2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab

+-++-+-=====；

解：（2）由4log (1)1b c a ++

=得14b c

a

++=，∴30a b c -++=……………① 由82

log ()3

a b c +-=得2

384a b c +-==………… ……………②

由①+②得2b a -=……………………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =．

（四）巩固练习：

1

2b =，则a 与b 的大小关系为 ； 2．若2lg

lg lg 2x y x y -=+

的值． 五、基本训练：

1、下列各式：（1）2

1

)(x x -=- （2）3

3

1x x -=- （3） )0()()(43

43

>=-xy x

y y x

（4）3

1

62y y = ，其中正确的是______________

2、=++-

31

021

)64

27()5(lg )972(___________, =-2lg 9lg 2

1

100_________________ 3、____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+ =+-)223(log )

12(_____________

4、设,21

3

3=+x

x 求x x 1+的值