八年级上册三角形的内角和课件
人教版八年级数学上册《三角形的内角》三角形PPT精品课件
②当∠B=90°时，∠A+∠C=90° 即x°+3x°=90° 解得 x=22.5 ∴∠A=22.5°，∠C=67.5° ∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4 ∴m=4
综上，m的 值为2或4
作业布置
3、（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处 的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是_8_5_°___。
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
新知讲解
方法三、证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB
A E
F
B
D
C
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A=∠EDF ∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°
新知讲解
测量法
600
锐角三角形
480
720
60°＋48°＋72°＝180°
新知讲解
折叠法
B
A
1
2
3
C
演示
新知讲解
C
剪
B C
A
A
B
切
C AB
CA B法Biblioteka BC新知讲解
那么，我们如何通过“数学证明”来解释三角形的内 角和一定是180°呢？
人教版数学八年级上册11.2.1.1 三角形的内角和定理课件(共28张PPT)
18世纪——法国数学家克莱多 利用辅助平行线将三角形的内角转化为一个平角
由图你能想出证明“三角
形的内角和等于180°”的
(1)
(2)
方法吗？
证明
已知：△ABC， 求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°.
A
B
C
证明：如图，过点 A 作直线 l，使l ∥ BC，
∵ l ∥ BC，
北 D
50°
A 80°
C 北 E
40°
B
∠ACB = 180° -∠ABC -∠CAB = 180° - 60° - 30° = 90°
答:从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°.
你还能想出 其他解法吗？
解法二：
北 D
50°
A 80°
你还有别的 方法吗？
讨论 请分享一下你想到的证明方法吧！
方法一 用量角器测量三角形的三个内角的度数，并相加.
60°
90°
60°
60°
50°
40°
1 1
1
方法二：折叠法
1 2
2 2
3
3
锐角三角形
1
2
3
钝角三角形
3 1
3
2
3
2
直角三角形
想一想
通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．但是， 由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全 让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方 法一一验证所有三角形的内角和等于180°.
解：在△ABC 中，∵∠A = 60°， ∴∠ABC +∠ACB = 120°． ∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC +∠PCB = 1 (∠ABC +∠ACB) = 60°．
2024版《三角形的内角和》优质ppt课件
《三角形的内角和》优质ppt课件CONTENTS•三角形基本概念与性质•三角形内角和定理推导•三角形内角和定理应用举例•拓展：多边形内角和计算方法探讨•练习题与课堂互动环节•课程小结与预习提示三角形基本概念与性质01三角形定义及分类三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类按边可分为等边三角形、等腰三角形和不属于以上两种的其他三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三角形边长与角度关系三角形边长关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角度关系三角形内角和等于180°，外角和等于360°。
三边相等，三个内角均为60°。
等边三角形等腰三角形直角三角形锐角三角形和钝角三角形有两边相等，且两底角相等；顶角的平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“三线合一”）。
有一个角为90°，斜边中线等于斜边一半；两锐角互余，且满足勾股定理。
除上述特殊三角形外，其余均为普通锐角三角形或钝角三角形，它们不具有特殊的性质。
特殊三角形性质介绍三角形内角和定理推导02直观感受法01通过测量不同类型的三角形的三个内角，并求和，观察结果是否接近或等于180度。
02利用三角形纸片的撕拼，将三个内角拼在一起，观察是否能拼成一个平角。
拼图验证法将三角形三个内角剪下，并尝试拼合，观察是否能拼成一个平角。
通过动画演示，将三角形三个内角旋转、平移拼接，直观展示三角形内角和为180度的过程。
过三角形一个顶点做对边的平行线，利用平行线的性质及平角的定义进行证明。
延长三角形的一条边，并作出与之相邻的外角，通过外角性质及平角的定义进行证明。
利用向量的加法运算及共线向量定理进行证明。
平行线性质证明外角性质证明向量法证明几何证明法三角形内角和定理应用举例03求角度问题已知三角形两个内角，求第三个内角的大小。
已知三角形一个内角及相邻两边，求另一个内角的大小。
初中数学沪科版八年级上册1.3.2三角形内角和定理课件(22张PPT)
A 41 5
l
∵ ∠1 ，∠4， ∠ 5组成平角， ∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
B2
3C
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
A
证法2：延长BC到D，过点C作CE//BA，
∴ ∠A=∠1 ，(两直线平行，内错角相等)
D．45°
解：∵在△ABC中，有∠A +∠B +∠C=180° 且∠B=90° ∴ ∠A+∠C=180°- ∠B= 180°- 90∠ C＝90°，则△ABC是一个（ B ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
解：∵在△ABC中，有∠A +∠B +∠C=180°，且∠B+∠C=90°， ∴ ∠A=180°- （∠B +∠C ）= 180°- 90°=90°
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
B
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角定义)
A
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
B
C E
1 2
CD
方法三 剪拼法
B AC
B
C
B
A
1
A
2
C
B
C
三角形内角和定理: 三角形的三个内角和等于180° 符号语言： 在△ABC 中,∠A +∠B +∠C=180°
通过添加与边BC平行的辅助线l，
利用平行线的性质和平角的定义，
A
BA C
即可证明结论．
BB
l
《三角形的内角和》优质ppt课件
45° 90°
90° 60°
1
23 锐角三角形
1
1
23
23
直角三角形 钝角三角形
所有三角形的内角 猜想：和都是180°吗？
请同学们打开课本第67页，自主学 习，并完成下面的问题：
1.画几个不同类型的三角形。量一量，算一 算，三角形三个内角的和各是多少度。
2.先把一个三角形的三个角剪下来，在拼一 拼，看一看，拼成了一个什么角。
答: ∠2的度数是15°。 Nhomakorabea一个等腰三角形的风筝，它的一 个底角是70，它的顶角是多少度？
方法一: 180°－70°－70°＝40° 方法二: 180°－70°×2＝40°
答:顶角是40°。
把下面这个三角形沿虚线剪成两个小三角形, 每个小三角形的内角和是多少度?
因为：三角形的内角和是180°， 所以：这个三角形沿虚线剪成两个小三角形,
每个小三角形的内角和也是180°。
课堂小结：
三角形真奇怪，有胖有瘦有高矮。 内角和是180，我们时刻牢记它。
课后准备一个长方形、一个正方形 一个四边形。
谢谢观看
三角形的内角和是180度。
三角形的内角和
3 平角：1800
平角：1800
平角：1800
活动三：
折一折 拼一拼
1 1
1
1
2
2
3
3
钝角三角形
1
1
2
2
3
3
锐角三角形
2
2
3
3
直角三角形
三角形的内角和
一、测量法
活动记录表
三角形形状
每个角的度数
三个内角和
二、撕拼法
三、折叠法
《三角形的内角和》完整版课件
《三角形的内角和》完整版课件Contents目录•三角形基本概念与性质•三角形内角和定理及其证明•三角形外角性质与计算•三角形面积计算公式推导与应用Contents目录•直角三角形中特殊角度和边长关系探讨•三角形相似与全等条件判断及证明方法•总结回顾与拓展延伸01三角形基本概念与性质三角形定义及分类三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三角形边与角关系三角形边的关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角的关系三个内角之和等于180°，外角等于与它不相邻的两个内角之和。
两腰相等，两底角相等；三线合一（底边上的中线、高线和顶角的平分线互相重合）。
等腰三角形性质三边相等，三个内角都是60°；三线合一（任意一边上的中线、高线和这边所对角的平分线互相重合）。
等边三角形性质有一个角是90°；勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。
直角三角形性质特殊三角形性质02三角形内角和定理及其证明三角形内角和定理表述01三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
02该定理是三角形的基本性质之一，也是研究三角形的重要基础。
通过作辅助线，将三角形划分为两个直角三角形，利用直角三角形的性质证明三角形内角和定理。
几何证明法代数证明法向量证明法通过三角形的角度表示和代数运算，证明三角形内角和定理。
利用向量的夹角公式和向量运算，证明三角形内角和定理。
030201多种证明方法介绍定理应用举例计算三角形中未知角度已知三角形两个角度，可利用三角形内角和定理求出第三个角度。
判断三角形的形状根据三角形内角和定理，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形等。
解决与三角形有关的问题在几何、三角学等领域中，三角形内角和定理是解决与三角形有关问题的基础。
《三角形的内角和》ppt课件
三角形内角和定理是初中数学中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维、推理能力和数学素 养具有重要意义。
02
三角形内角和的基本概念
角度与三角形的关系
三角形是由三条边和三个角组成的几何图形。 角度是描述两条射线之间的夹角大小的量度。 三角形中的角度与边长之间存在一定的关系，如正弦、余弦定理等。
基于三角形内角和定理，可以推 导出许多三角恒等式，这些恒等 式在解决三角函数问题时非常有 用。例如，正弦定理、余弦定理
等。
三角函数的应用
在物理学、工程学、天文学等领 域中，经常需要使用三角函数来 解决实际问题。而三角形内角和 定理是解决这些问题的关键之一。
在实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，经常需要使用三 角形内角和定理来计算角度、长 度等参数，以确保建筑物的稳定
性和美观性。
地图绘制
在地图绘制中，三角形内角和定理 被用来确定地图上两点之间的角度， 从而保证地图的准确性和可靠性。
导航定位
在导航定位中，三角形内角和定理 被用来计算航向、俯仰角等参数， 以确保飞机、船舶等交通工具的正 确航行方向。
05
总结与回顾
三角形内角和的总结
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
培养空间思维
学习三角形内角和定理有 助于培养学生的空间思维 能力和几何直觉。
回顾与思考
01
回顾三角形内角和定理的证明过程，加深对定 理的理解。
02
思考三角形内角和定理在现实生活中的应用， 提高解决实际问题的能力。
03
探究其他几何图形的内角和性质，拓展几何知 识面。
THANKS
内角和为180度的结论。
八年级数学三角形的内角和定理_优秀课件
21
2
31 2
3
3
213
2
12
31
3
1
3
2
2
1
21
33
2
12
1
2
3
1
3
结论:三角形的内角和是180° .
探 究 步 骤 STEP
不等边
等边
等腰
• 验证：三角形的三个内角和C
：如图，△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180° 证明：过点A作EF∥BC
∵ EF∥BC
A
E
1
2
3
B
C
与欧几里得的证明相同
A
D
1
2
3
B
C
E
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
A
F E
B
D
C
图1
A
S
N
Q
P R
B
MT
C
… … 图3
E
A
F
12 3 4
B
D
C
图2
SN P
Q
A R
M
B
C
T
图4
：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个 内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 ° 2、通过思考、探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现 要证明三角形三个内角的和等于180 °需转化为：平角或两直 线平行同旁内角和等于180°。 3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平 行线来移动角。
当堂测评
三角形内角和定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
?
(三角形高的定义）
B
C
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
∴∠DBC＝180
这节课你有那些收获?
小结
1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180° 2、由三角形内角和等于180°，可得出
(1)一个三角形最多有一个直角或钝角； (2)任意一个三角形中，最多有三个锐角， 最少有两个锐角； (3)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
何春婷
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们 三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴， 发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大， 我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这 是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
（2）一个三角形中最多有 1 个钝角？为什么？ （3）一个三角形中至少有 2 个锐角？为什么？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至 少为 60° .
比一比，赛一赛
看谁做得又对又快！
（1）在△ABC中，∠A=35°， ∠ B=43 °，则∠ C=＿＿＿10＿2 °
(2) 在△ABC中，∠C=90°，∠B=50 °
从刚才拼角的过程你能
返回
已知△ＡＢＣ，求证： ∠A+∠B+∠C=180°
Ｅ
Ａ
Ｆ
A
Ｂ
Ｃ
B
C
证法１：过A作EF∥BC，
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错E角相等) A
F
2
1
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180° B
C
证法２：延长BC到D，过C作 Ａ
数学思想
数形结合，转化，整体思想， 隐含条件,方程思想
作业
P48 1 ，P49 7
凭
向
勤
效
奋
率
出
要
成
质
果
量
（1）3°， 150°， 27°（是 ） （2）3°， 150°， 100°（ 不是） （3）90°， 10°， 90°（ 不是） （4）90°， 40°， 50° （是 ） （5）60°， 60°，60° （是 ） （6）50°， 50°， 50°（ 不是）
（1）一个三角形中最多有 1 个直角？为什么？
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
Ｂ
(两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
Ｅ
ＣＤ
E
1
2
CD
Ｅ
Ａ
E
A
Ｂ
Ｃ
B
C
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁 内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
三角形的内角
三角形两边的夹角叫做三角形的内角
我们已经知道,任意一个三角形的 内角和等于180°.怎么验证这个结 论呢? • 方法一：度量法通过具体的度量， 验证三角形的内角和为180°.
方法二 ：拼合法 把三个角拼在一 起试试看？
方法三 ：推理证明法
三角形的三个内角和是180°.
——可以用拼合的办法来验证。
则∠A＝＿＿40＿°＿。
隐含条件思想
(3)在△ABC中, ∠A=40 ° ∠A=2∠B， 则∠C＝＿12＿0°＿＿。
你真行！
整体思想，隐含条件思想， 方程思想
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度 数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求A，∠B， ∠C的度数.
解 设∠B为x。则∠A为（3x ）。，∠C为（x ＋ 15）。，
三角形内角和定理:
• 三角形的内角和等于1800.
在这里，为了证明的需要，在原来 的图形上添画的线叫做辅助线。在平面 几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,通 过画图，转化为一个平角或同旁内 角互补,数形结合思想、转化思想 是常用的数学思想.
巩固练习
(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180.
解之得 x ＝ 33.
3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
考考自己?
已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的 度数。
解：设三个内角度数分别为：x°、3x°、5x°.
由题意得： x+3x+5x=180 x=20
答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
例题讲解
A
已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A , BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x
∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理） 解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720