2012年中考数学复习 第一章数与式 第5课二次根式及其运算课件
(2)计算： 24 －
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
解析： 27 ÷ 3 ＝ 9 ＝3.
(2)如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和 3 ，点B关于 点A的对称点为C，则点C所表示的数为( A )
A．－2－ 3 C．－2＋ 3
B．－1－ 3 D．1＋ 3
解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和 3 ， ∴OA＝|－1|＝1，OB＝| 3 |＝ 3 ，AB＝1＋ 3 ＝AC， ∴OC＝AC＋OA＝(1＋ 3 )＋1＝2＋ 3 . ∴点C所表示的数为－(2＋ 3 )＝－2－ 3 ，选A.
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
答题规范
2．注意二次根式运算中隐含条件 考题再现
2 a －1 a －2a＋1 已知：a＝ 1 ，求 － 的值． 2 a＋1 a －a 2＋ 3 a＋1a－1 － a－12 解：原式＝ a＋1 aa－1 ＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 . aa－1 a 2
题型二
二次根式的运算
【例2】 (1)下列运算正确的是( C ) A．2 3 ＋4 2 ＝6 5 B. 8 ＝4 2 C. 27÷ 3 ＝3 D. －32 ＝－3 解析： 27÷ 3 ＝ 27÷3 ＝ 9 ＝3，选C.
3＋ 1 . 2 －2 2 6 3 解：原式＝2 6 － 1 6 ＋ 1 6 － 1 6 ＝ 3 6 . 3 2 2 3
2010 10＋3)]
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2010 ＝(10－9)2010＝1
探究提高
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起， 计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1 ＝－1
知能迁移4
(1)若y＝ 3x－6 ＋ 6－3x ＋x3，则10x＋2y的 平方根为________； ±6
3x－6≥0 解析：(1)＝23＝8， ∴± 10x＋2y ＝± 10×2＋2×8 ＝± 36 ＝±6.
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
(2)(2011· 烟台)如果 2a－12 ＝1－2a，则( B ) 1 1 1 1 A．a＜ B. a≤ C．a＞ D. a≥ 2 2 2 2 1 解析：由1－2a≥0，得a≤ . 2
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1， 且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
32＝±3
解析：因为 32＝3，所以－ 32＝－3.
5．(2011· 菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则 a－42 ＋ a－112 化简后为( A )
A. 7
C．2a－15
B．－7
D．无法确定
解析：可知5<a<10，所以a－4>0，a－11<0，
原式＝ a－4＋ a－11＝(a－4)＋(11－a)＝7.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
题型分类 深度剖析
题型一 二次根式概念与性质
【例1】 (1)等式 2k－1＝ 2k－1 成立，则实数k的范围 k－3 k－3 是( D ) 1 A．k>3或k< B．0<k<3 2 C．k≥ 1 D．k>3 2 2k－1≥0， k≥ ， 1 解析：要使等式成立，必须 有 2 ∴k>3. k－3>0， k>3.
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10 ＋9) ＝－10＋6 10 .
学生作答
∴当a＝
原式＝
1 时， 2＋ 3
1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3 ∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a. a＋1a－1 1－a 1 － ＝a－1＋ . a＋1 aa－1 a ∴当a＝ 1 时， 2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 3 )＝3. 2＋ 3
数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到
根号外.
2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式． 3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．
知能迁移2
(1)(2011· 潍坊)下面计算正确的是( B ) B. 27 ÷ 3 ＝3 D.
A．3＋ 3 ＝3 3 C.
2· 3 ＝ 5
－22＝－2
3．与二次根式相关的求值问题 条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来， 因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的 方法与过程．通常是将已知式与求值式化简后，再按照求 代数式的方法进行，以简便、准确为目的．
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
3 、 ab(ab≥0)、 x＋3 (x≥－3)都是二次根式．
2．注意正确的化简及二次根式的混合运算 实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混 合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如： 运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减， 如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算 中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公 式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然 适用．
思想方法 感悟提高
方法技巧
1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合 并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，
因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式，即
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
2 2 2－1 2＋1 x －y (3)已知x＝ ，y＝ ，求 2 2 的值； x ＋y 2＋1 2－1
解：∵x＝ 2－1 ＝( 2 －1)2＝3－2 2 ， 2＋1 2＋1 ＝( 2 ＋1)2＝3＋2 2 ， 2－1 ∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1. y＝ 原式＝ x＋yx－y ＝ 6×－4 2 2 2 x＋y －2xy 6 －2×1 ＝ －24 2 ＝－ 12 2 . 34 17
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
探究提高
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可. 2.注意到(x－ 1 )2＝(x＋ 1 )2－4，可得(x－ 1 )2＝5， x x x 1 x－ ＝± 5 . x
[难点正本 疑点清源]
1．正确理解二次根式的意义 二次根式 a 定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分， 不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意 义．在具体问题中，一旦出现了二次根式 a ，就意味着 a≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：
3．(2011· 泰安)下列运算正确的是( D ) A. 25 ＝±5 C. 18 ÷ 2 ＝9 解析： 24×
3＝ 2
B．4 3 － 27 ＝1 D. · 24
3 ＝6 2
3＝ 36 ＝6. 24× 2
4．(2011· 杭州)下列各式中，正确的是( B ) A. －32 ＝－3 B．－ 32＝－3 C. ± 2 ＝±3 3 D.
第5课 二次根式
及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a (a≥0，b>0) ． b
B．±2
C．－2
D. 2
解析： －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
解析： 27 ÷ 3 ＝ 9 ＝3.
(2)如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和 3 ，点B关于 点A的对称点为C，则点C所表示的数为( A )
A．－2－ 3 C．－2＋ 3
B．－1－ 3 D．1＋ 3
解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和 3 ， ∴OA＝|－1|＝1，OB＝| 3 |＝ 3 ，AB＝1＋ 3 ＝AC， ∴OC＝AC＋OA＝(1＋ 3 )＋1＝2＋ 3 . ∴点C所表示的数为－(2＋ 3 )＝－2－ 3 ，选A.
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
答题规范
2．注意二次根式运算中隐含条件 考题再现
2 a －1 a －2a＋1 已知：a＝ 1 ，求 － 的值． 2 a＋1 a －a 2＋ 3 a＋1a－1 － a－12 解：原式＝ a＋1 aa－1 ＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 . aa－1 a 2
题型二
二次根式的运算
【例2】 (1)下列运算正确的是( C ) A．2 3 ＋4 2 ＝6 5 B. 8 ＝4 2 C. 27÷ 3 ＝3 D. －32 ＝－3 解析： 27÷ 3 ＝ 27÷3 ＝ 9 ＝3，选C.
3＋ 1 . 2 －2 2 6 3 解：原式＝2 6 － 1 6 ＋ 1 6 － 1 6 ＝ 3 6 . 3 2 2 3
2010 10＋3)]
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2010 ＝(10－9)2010＝1
探究提高
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起， 计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1 ＝－1
知能迁移4
(1)若y＝ 3x－6 ＋ 6－3x ＋x3，则10x＋2y的 平方根为________； ±6
3x－6≥0 解析：(1)＝23＝8， ∴± 10x＋2y ＝± 10×2＋2×8 ＝± 36 ＝±6.
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
(2)(2011· 烟台)如果 2a－12 ＝1－2a，则( B ) 1 1 1 1 A．a＜ B. a≤ C．a＞ D. a≥ 2 2 2 2 1 解析：由1－2a≥0，得a≤ . 2
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1， 且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
32＝±3
解析：因为 32＝3，所以－ 32＝－3.
5．(2011· 菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则 a－42 ＋ a－112 化简后为( A )
A. 7
C．2a－15
B．－7
D．无法确定
解析：可知5<a<10，所以a－4>0，a－11<0，
原式＝ a－4＋ a－11＝(a－4)＋(11－a)＝7.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
题型分类 深度剖析
题型一 二次根式概念与性质
【例1】 (1)等式 2k－1＝ 2k－1 成立，则实数k的范围 k－3 k－3 是( D ) 1 A．k>3或k< B．0<k<3 2 C．k≥ 1 D．k>3 2 2k－1≥0， k≥ ， 1 解析：要使等式成立，必须 有 2 ∴k>3. k－3>0， k>3.
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10 ＋9) ＝－10＋6 10 .
学生作答
∴当a＝
原式＝
1 时， 2＋ 3
1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3 ∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a. a＋1a－1 1－a 1 － ＝a－1＋ . a＋1 aa－1 a ∴当a＝ 1 时， 2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 3 )＝3. 2＋ 3
数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到
根号外.
2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式． 3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．
知能迁移2
(1)(2011· 潍坊)下面计算正确的是( B ) B. 27 ÷ 3 ＝3 D.
A．3＋ 3 ＝3 3 C.
2· 3 ＝ 5
－22＝－2
3．与二次根式相关的求值问题 条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来， 因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的 方法与过程．通常是将已知式与求值式化简后，再按照求 代数式的方法进行，以简便、准确为目的．
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
3 、 ab(ab≥0)、 x＋3 (x≥－3)都是二次根式．
2．注意正确的化简及二次根式的混合运算 实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混 合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如： 运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减， 如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算 中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公 式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然 适用．
思想方法 感悟提高
方法技巧
1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合 并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，
因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式，即
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
2 2 2－1 2＋1 x －y (3)已知x＝ ，y＝ ，求 2 2 的值； x ＋y 2＋1 2－1
解：∵x＝ 2－1 ＝( 2 －1)2＝3－2 2 ， 2＋1 2＋1 ＝( 2 ＋1)2＝3＋2 2 ， 2－1 ∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1. y＝ 原式＝ x＋yx－y ＝ 6×－4 2 2 2 x＋y －2xy 6 －2×1 ＝ －24 2 ＝－ 12 2 . 34 17
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
探究提高
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可. 2.注意到(x－ 1 )2＝(x＋ 1 )2－4，可得(x－ 1 )2＝5， x x x 1 x－ ＝± 5 . x
[难点正本 疑点清源]
1．正确理解二次根式的意义 二次根式 a 定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分， 不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意 义．在具体问题中，一旦出现了二次根式 a ，就意味着 a≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：
3．(2011· 泰安)下列运算正确的是( D ) A. 25 ＝±5 C. 18 ÷ 2 ＝9 解析： 24×
3＝ 2
B．4 3 － 27 ＝1 D. · 24
3 ＝6 2
3＝ 36 ＝6. 24× 2
4．(2011· 杭州)下列各式中，正确的是( B ) A. －32 ＝－3 B．－ 32＝－3 C. ± 2 ＝±3 3 D.
第5课 二次根式
及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a (a≥0，b>0) ． b
B．±2
C．－2
D. 2
解析： －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
合集下载
中考数学 第一章 数与式 第5讲 二次根式及其运算课件
并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)，
ba＝
a(a≥0，b＞0)， b
前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即
可将其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4)二次根式乘除结果
要化为最简二次根式．
[对应训练] 2．(1)(2015·聊城)计算：( 2＋ 3)2－ 24＝__5__． (2)计算：
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于 0；(2)注意二次根
式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
[对应训练] 1．(1)(2015·随州)若代数式x－1 1＋ x有意义，则实数 x 的取值范围是( D ) A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0 且 x≠1
C．k≥12
D．k＞3
(3)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简：
（a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－c－a）2＋ （c－a－b）2. 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)
＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
①
ba＝
a，② b
a b·
ba＝1，③
ab÷
ba＝－b，其中正确的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
(3)计算： 24－ 32＋ 23－2 16；
解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6
(4)计算： 48÷ 3－ 12× 12＋ 24.
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6 【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
二次根式及其运算ppt课件
15
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
第五讲二次根式PPT课件
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
中考数学复习考点研究课件：5.第5课时 二次根式(PPT课件)
分母中不含根号
二次根式的估值ຫໍສະໝຸດ 非负性( a )2 a(a 0)
a2 | a | a
(a≥0)
③ -a (a<0)
ab ④ a· b .(a≥0,b≥0)
a b
⑤
a b
.(a≥0,b>0)
加减运算：先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式
乘除运算
a· b ⑥ ab (a≥0,b≥0) a a （a≥0,b>0） bb
2
然数之间
（B ）
A. 5和6 C. 7和8
B. 6和7 D. 8和9
解决根式估值类问题有两种方法： 1．记住常见的无理数的近似值，如 2≈1.414， 3 ≈1.732， 5≈2.236等； 2．估计无理数在哪两个整数之间，通常所采用的方法 详见“考点精讲”．
1、先对根式平方 2、找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数 3、对以上两个整数平方 4、确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间
常见的非负数：| a | 、a2、a (a 0) ，其中a 为实数
常见的非负式： | A | 、B2、C ，其中A、B、C 均为整式，
即若 | A | B2 C 0, | A |≥ 0, B2≥ 0, C≥ 0, A 0.B 0,C 0
第一章 数与式
第5课时 二次根式
考点精讲
二次
概念：一般地，式子 a（a≥0）叫做二次根式，
a叫做被开方数
根式 二次根式有意义的条件：被开方数为① 非负数 .
二
的概
二次根式值为零的条件：被开方数为：② 0 .
次
念及
被开方数中不含能开得尽方
根 式
性质
初三复习5-二次根式课件
初三复习5-二次根式 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
a,a<0 • ab a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
2012年长沙市中考数学总复习 专题一 数与式之二次根式课件
”甲、乙两人的解答不同． 乙两人的解答不同． 甲的解答是： 甲的解答是：
1 1 1 1 1 1 2 49 2 2 + + a − 2 = + ( − a) = + − a = − a = 2 a a a a a a a 5
乙的解答是： 乙的解答是：
1 1 1 2 + +a −2 = + 2 a a a 1 1 1 1 2 ( − a) = + a − = a = a a a 5
2b A. x + 1 B . 2 x + 1 C . 4
2
D . 0 .1 y
26 （ 2） 在 二 次 根 式 12、 0.5 y、 、 m ＋ n 2）n （ a 121 a 2＋ b 2） ， 最 简 二 次 根 式 的 个 数 是 （ ） （ 中 A、 2 B、 3 C、 4 D、 5
x 4－ y 4 、
2 ⋅ 6=2 3
) B. 2 + 3 = 2 3 D. )
8 −2 2 =0
5 −1 = 2
3.下列运算正确的是( 3.下列运算正确的是( 下列运算正确的是
A. 1.52 − 0.52 = 1.5 − 0.5 = 1 B. ( x − 5) 2 = x − 5 2 C.2 0.5 = 2 × 0.5 = 1 D. − x = − 2x x
3.已知 x = 2 + 3 , y = 2 − 3 ， 已知 求 x +y
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的值. 的值
二次根式
复习要点
1.二次根式的定义: 1.二次根式的定义:式子 二次根式的定义 a≥0)叫做二次根式. 叫做二次根式 a (a≥0)叫做二次根式. 2.二次根式的性质: 2.二次根式的性质: (1)( a ) 2 = a(a ≥ 0) 二次根式的性质
1 1 1 1 1 1 2 49 2 2 + + a − 2 = + ( − a) = + − a = − a = 2 a a a a a a a 5
乙的解答是： 乙的解答是：
1 1 1 2 + +a −2 = + 2 a a a 1 1 1 1 2 ( − a) = + a − = a = a a a 5
2b A. x + 1 B . 2 x + 1 C . 4
2
D . 0 .1 y
26 （ 2） 在 二 次 根 式 12、 0.5 y、 、 m ＋ n 2）n （ a 121 a 2＋ b 2） ， 最 简 二 次 根 式 的 个 数 是 （ ） （ 中 A、 2 B、 3 C、 4 D、 5
x 4－ y 4 、
2 ⋅ 6=2 3
) B. 2 + 3 = 2 3 D. )
8 −2 2 =0
5 −1 = 2
3.下列运算正确的是( 3.下列运算正确的是( 下列运算正确的是
A. 1.52 − 0.52 = 1.5 − 0.5 = 1 B. ( x − 5) 2 = x − 5 2 C.2 0.5 = 2 × 0.5 = 1 D. − x = − 2x x
3.已知 x = 2 + 3 , y = 2 − 3 ， 已知 求 x +y
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的值. 的值
二次根式
复习要点
1.二次根式的定义: 1.二次根式的定义:式子 二次根式的定义 a≥0)叫做二次根式. 叫做二次根式 a (a≥0)叫做二次根式. 2.二次根式的性质: 2.二次根式的性质: (1)( a ) 2 = a(a ≥ 0) 二次根式的性质
中考数学总复习 第一章 数与式 第5课 二次根式课件精品
易错警示 易错易混点：忽略被开方式的非负性 【例题】 小莉在学习了 a ＝ b a b后，认为 a a ＝ 也成立，因此她认 b b
为一个化简题过程：
－20 －20 －5×4 －5· 4 ＝ ＝ ＝ ＝ 4＝2 是正确 －5 －5 －5 －5
的．你认为她的化简对吗？说说你的理由．
【错因分析】 忽略了二次根式的被开方数是非负数这一重要条件．
8．(2015· 扬州)下列二次根式中，是最简二次根式的是( A )
9．将 32×8化简，正确的结果是( C ) A. 3 8 C. 6 2 A. 5 C. 9 B. ± 3 8 D. ± 6 2 B. 7 D. 11
•最新中小学课件 •5
10．已知 a，b 为两个连续整数，且 a＜ 7＜b，则 a＋b＝( A )
2 3 5．已知等边三角形的边长为 4 cm，它的高线长等于_____cm.
6．下列等式一定成立的是( B ) A. C. 9－ 4＝ 5 9＝± 3 B. 3× 5＝ 15
－92 ＝9
D. －
•最新中小学课件
•4
7. 2的相反数是( A ) A. － 2 2 C. － 2 A. C. 30 8 B. 2 2 D. 2 B. D. 12 1 2
0
1－1 ＋ . 2
解析
原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义
化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算， 最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
2 答案 原式＝－2 2＋ 2＋2× 2 ＋1＋2＝3.
•最新中小学课件
•10
题型三
(2)
a（a>0）， |a| ＝ a2＝____ 0（a＝0）， －a（a<0）.
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如