整除的数
能被2、5、整除的数
教学目的：
1、理解和掌握能被
2、5整除的数的特征，会判断一个数能否被2、5整除。
2、了解奇数、偶数的概念，培养分析、综合、抽象、概括的能力。
教学重点：理解和掌握被被2、5整除的数的特征。
教学难点：学会判断一个数能否被2、5整除。
教学过程：
一、复习旧知：
1、自由发言，举出一些整除的算式
2、(展示)下面哪些数能被2整除?哪些数能否5整除?
8、9、10、14、15、20、85、60
二、引入新课。
师：通过口算笔算，能判断一个数能否被2或5整除，如果一个较大的数，如845660，
不用笔算，能很快作出判断吗?请4个同学来考考老师，无论你报出的数多大，
只要你一报出数，老师就能判断准确。活动完后，揭秘。
三、探索规律。
1、师写出从1到20的数，要求学生判断哪些数能被2整除，找出这些数的特征。
引出偶数概念，判断一个数是不是偶数，只要看个位数字是否是偶数。
师提供几个数，让学生判断能否被2整除，学生总结出规律。
2、检验：
（1）举例说明什么是奇数、偶数?
（2）0是奇数还是偶数
（3）座号是偶数的同学请举手，座号是奇数的同学请举手；
（4）两次都没有举手的同学请站起来，你发现了什么？（自然数非奇即偶）
（5）第51页的“说一说”
四、自主学习：
15整除的数的特征
2
35整除，总结规律。
五、练习设计：
1、判断题：
（1）能同时被2和5整除的数末尾至少有一个0
（2）1是最小后奇数。
（3）一个自然数不是奇数，就是偶数。
（4）在相邻后两个自然数中，偶数比奇数大1
2
（1）能被2整除后最大两位数是( )
（2）能被5整除后最大三位数是( )
（3）107后面连续5个偶数是( )
3、用0、1、2排出能被2整除的数有( )，能被5整除的数有( )。
六、小结：你有什么收获？
作业：练习八1～6
课后小结
能被3整除的数
教学目标：
1、理解和掌握能被3整除的数的特征，会判断一个数能否被3整除。
2、培养分析、综合、抽象、概括的能力。
教学重点：理解和掌握被被3整除的数的特征。
教学难点：学会判断一个数能否被3整除。
教学过程：
师：你能用3、4、5这三个数字组成能被2整除的三位数吗？为什么这样组数？
同样用这三个数字，你们能组成被5整除的数吗？你们是怎样想的？
一、引导感知，明确问题
师：如果仍用这三个数字，你能否组成能被3整除的三位数呢？试试看。
教师根据学生组数的情况板书：453、543。
师：从这两个能被3整除的数，你可能得出怎样的结论？
生：个位上是3的倍数的数能被3整除。（引导学生提出假设）
师：大家都同意吗？（部分同学提出反对意见）生：13、23、26就不能被3整除。师：我们能从个位上找出能被 3整除的数的特征吗？
生：不能。
师：能被3整除的数有没有规律可循呢？下面我们一起来学习“能被3整除的数的特征。”（板书课题）
设置“陷阱”，引导学生提出能被3
整除的数的特征的假设，到推翻假设，
引发认知矛盾，并再次创设学生探究
的问题情境，避免了“能被2、5整除的
数的特征”思维定势的影响。
二、提出假设，参与验证
师：请同学们仍用3、4、5
看还有没有三位数能被3整除的？
学生汇报：345、354、534、435
并且发现用3、4、5这三个数字任意组成一个三位数都能被3整除。
师：观察用3、4、5任意组成的能被3
共同点？1+2=3
1+5=6
9+3=12 9+6=15 9+9=18
引导学生发现：组成的三位数的三个数字相同，所不同的是这三个数字排列的顺序不同。
师：三个数字相同，那它们的什么也相同？ 生：它们的和也相同。 师：和是多少？
生：这三个数字的和是12。
师：这三个数字的和与3存在什么关系？ 生：是3的倍数。
师：也就是说它们的和能被什么整除？ 生：它们的和能被3整除。 师：由此你想到了什么？
学生再次提出假设：一个数各位上的数的和能被3整除， 这个数就能被3整除。 师：通过同学们的观察，有的同学提出了能被3 整除的数特征的假设，但是同学们观察的仅是几个特殊的数，是否能被 3 整除的数都有这样的特征呢？要说明同学们的假设是正确的，我们需要怎么做？ 生：进行验证。
师：怎样进行验证呢？
引导学生任意举一些能被3整除的数， 看看各位上的数的和能否被3整除。（为了便于计算和研究，可让学 生任意举出100以内的自然数，然后乘以3。）
根据学生举出的数，教师完成如上的板书，并让学生计算出各个数各位上的数的和进行验证。
师：写出两个能被3 整除的数考考你的同桌。
师：通过上面的验证，说明同学们提出的能被3 整除的数特征的假设怎样？
生：是正确的。
三、问题解决，巩固运用
师：判断一个数能否能被3 整除应依据什么特征 ？（完成特征板书） 师：请同学们翻开书，看看书上是怎样概括出能被3 整除的数的特征的。你们发
现的能被 3 整除的数的特征与课本上讲的一样吗 ？对此你有什么想法？引导
学生阅读教材第53页的有关内容。 四、巩固练习
54p 7～9
五、作业54p 10，55p 11、12
质数和合数
教学目的：1、理解质数和合数的意义，知道1既不是质数，也不是合数。
2、会判断一个数是不是质数。
3、熟记20以内的全部质数。
教学重点：理解质数和合数的意义。
教学难点：正确判断一个大于1的自然数是质数还是合数。
教学过程：
一. 复习旧知，引出课题：
出示:集合图
师：自然数除了可以按能否被 2整除分为偶数和奇数,还可以有另一种分法.把自然数分成质数,合数和 1.那么什么样的数是质数?什么样的数是合数?为什么把1分成单独的一类呢?今天我们就带着这些问题来看书自学。
出示:集合图
二、看书学习，探究新知：
1、学生看书,把重点的字,词,句划出来。
2、学生交流讨论结果。
⊙什么样的数是质数?（出示质数的概念）找重点的字词理解概念。观察下表：哪些数符合质数的特征？
⊙什么样的数是合数?（出示合数的概念）找重点的字词理解概念。观察下表：哪些数符合合数的特征？
⊙为什么分成这样的三类?
3.教师小结：根据一个数的约数个数，我们可以把自然数分为1，质数和
合数三类。
三、应用知识，解决问题。
1、理解了质数和合数的概念，我们一起来判断一下27是质数还是合数？说理由。
（27是合数，因为27的约数有1，3，9 ,27） 29呢？
2、看谁的速度快？判断下列各数是质数还是合数？(手势表示）
22 31 35 40 87
说说你是怎么判断的，又正确速度又快？
3、应用这个办法，说一说20以内的自然数中有哪些是质数?其余的呢？
偶数是2，最小的质数也是2，最小的合数是4)
还发现什么特点？（奇数中质数多，偶数中只有一个质数…) 熟记20以内的质数。
4、熟记了20以内的质数，那么100以内有哪些质数呢？
出示下表,同桌讨论:可以用什么方法来找,可以做到又快又准确?
（A. 逐一查找法。B. 删除法：能被2，3，5整除的数首先删除，其次考虑能被7，11，整除的数。）
师生共同制作100以内的质数表。
师：要判断一个数是不是质数，我们还可以利用这张表来查找。
四、练习：
1、判断：
所有的奇数都是质数。（）
所有的偶数都是合数。（）
在自然数中，除了质数以外都是合数。（）
大于2的合数一定是偶数。（）
一个合数至少有3个约数。（）
五、课堂小结。
1、这节课我们学了什么内容呢？
2、你懂得了什么？（什么叫质数？什么叫合数？按照什么标准来分类的？怎么
样判断一个数是质数还是合数？）
3、我们已经学了奇数，偶数，合数，质数这些数的概念，你能用这些数的概念来
描述一下你的学号吗？（同桌互说）
六、作业：练习八 2～4
分解质因数
教学目标：使学生掌握质因数和分解质因数的概念，初步学会分解质因数的方法，培养学生的分析推理的能力。
重点难点：掌握分解质因数的方法，能熟练使用短除法，注意从小到大进行分解，每一个除数必须是质数。
教学过程：
一、复习
1、什么叫做质数？举一个例子。
2、什么叫做合数？举一个例子。
3、什么数既不是质数，也不是合数？
4、判断下列数是质数还是合数。
5、6、23、28、31、60
二、新课
1、理解什么叫做分解质因数。
板书：2、3、5、7、11
这些数能够写成两个数相乘的形式吗？（可以）可以怎样写？
板书：2=1×2 3=1×3 5=1×5 7=1×7 11=1×11
这些数能够写成比它自己小的两个数相乘的形式吗？（不可以）
什么数能够写成比它自己小的两个数相乘的形式？（所有的合数）
板书：6、42、60
这些数能够写成两个什么数相乘的形式吗？怎样写？
板书：6=2×3 42=6×7 60=2×30
还可以怎样写？板书：42=3×14
60=6×10=2×30=3×20=4×15……
教师小结：任何一个数都可以写成两个数相乘的形式，但是所有的质数都不能写成两个比自身小的数相乘的形式，所有的合数都能写成两个比自己小的数相乘的形式。
刚才我们把6写成了两个数相乘的形式，把6分成了两个因数相乘，而且这两个因数都是质数，它们叫合数6的质因数。（引导学生看2、3都是质数）我们把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
刚才对42和60的分解是分解质因数吗？（不是）为什么？（因为还没有写成几个质数相乘的形式。）你能够把它们写成几个质数相乘的形式吗？
引导学生看42=6×7，这里面还有哪个数不是质数？那么6又可以怎样分解？（2×3） 42
6 × 7
×7
那么对42完整的分解质因数是什么样子？
板书：42=2×3×7
学生独立完成对60的分解。教师巡视。
集体订正，教师板书学生的分解结果。
板书：60=2×2×3×5
你是怎样分解的？
教师板书： 60
6 × 10
2 × 3×2 × 5
我们把经过这样分解得到的每一个质数叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 为了简便，我们通常用短除法来分解质因数。
教师板书： 2 6
3
6=2×3
教师指着板书介绍：短除号、合数的位置、质因数的位置。
板书： 2 28 2 14 7 28=2×2×7
有的合数往往一步不能得到质因数，那么我们可以用短除法继续除，直至得到质因数为止。
板书： 2 60 2 30 3 15 5 60=2×2×3×5
教师小结：用短除法分解质因数的时候，我们通常先用能够整除这个合数的质数去除，而且我们往往从最小的开始除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式，得出的商如果不是质数，就按照上面的方法继续除，直到的得的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
练、58p 例4把26、105分解质因数
三、巩固练习：59p 5、7，60p 8、9 四、小结并作业59p 6，60p 10、11
分解质因数求最大公约数
教学互质数，做好铺垫。
（1）观察5和7、6和11、8和9的公约数有什么共同特点？
（2）教师归纳：像这样，公约数只有1的两个数，叫做互质数。8和9是互质数
吗？为什么？18和30呢？为什么？
（3）小结（提问）：怎样判断两个数的公约数是不是只有1，如果只有公约数1，
它们就是互质数。如果除了1以外，还有别的公约数，那就不是互质数。
（4）练习。完成练习十第4、5题。
第三层次：教学例2，掌握方法。
（1）要求学生说出18和30的最大公约数。
（2）谈话激趣：刚才我们求18和30的最大公约数，是先分别找出两个数的约数，
再找出两个数的公约数，最后找出它们的最大公约数，很麻烦。同学们想不
想学一种比较简单的方法？
（3）要求学生把18和30分解质因数。（板演的同学用短除法。）
18=2×3×3
30=2×3×5
（4）启发学生，总结规律。
⊙18和30公有的质因数有哪几个？
⊙18和30公有的质因数2和3与最大公约数6之间有什么关系？
⊙由此可见两个数的最大公约数应该是这两个数全部公有的质因数的乘积。
⊙学生阅读第63页。
⊙引导小结：我们求两个数的最大公约数只要先找出什么？然后怎么办？（5）练习。完成练习十第3题。
（6）通过自学，掌握简捷方法。
⊙用分解因数求最大公约数的方法比用找约数的方法简便了，如果用短除法那就
更简捷。下面请同学们根据问题自学这种方法。
⊙出示自学提纲：
a）先用什么数去除18和30？
b）一直除到什么时候为止？
c）最后什么数连乘起来？
⊙检查自学情况，总结方法：求两个数的最大公约数，一般先用这两个数公有的
质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起
来。
p讨论、做练一练。
（7）自学
63
三、全课总结及作业：练习十6、7、9
。
最大公约数、最小公倍数比较
教学目标：
1、能正确、熟练地掌握求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法。
2、进一步分清求最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。
3、培养学生的观察、比较、概括能力，并使学生养成良好的学习习惯。教学重点：比较求两个数的最大公约数的最小公倍数的不同点。
教学难点：求两个数的最大公约数和最小公倍数求法的区别。
教学过程：
一、复习导入
（1）求出下面每组数的最大公约数。
9和30 8和26 17和51 18和30
提出：
①什么是最大公约数？
②你是怎样求出每组数的最大公约数的？
（2）求出下面每组数的最小公倍数。
11和7 10和25 91和13 36和60
提问：
①什么是最小公倍数？
②你是怎样求出每组数的最小公倍数的？
二、新课
第一层次：出示
求28和42的最大公约数和最小公倍数。
28和42的最大公约数是： 28和42的最小公倍数是：
让全班学生尝试练习，请两名同学板演，教师巡视，及时了解情况，对存在的问题重点进行指导。
第二层次：分组讨论。
你是怎样求两个数的最大公约数的？
你是怎样求两个数的最小公倍数的？
求最大公约数和最小公倍数时，它们之间有哪些相同点和不同点？
第三层次：总结归纳。
求两个数的最大公约数，一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般）从最小的开始。一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
教师边引导边板书求最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点：
相同点和不同点。
教师提问：为什么求最小公倍数要把除数和商连乘起来？
通过讨论，使学生明确：求两个数的最小公倍数时，不仅要包含两个数公有的质因数，还要包含各自独有的质因数。因此，求两个数的最小公倍数要把除数和商连乘起来。
三、巩固练习。
p13、
（1）
71
（2）对比练习。
分别求出下面每组数的最大公约数最小公倍数。（投影显示）
9和12 10和18 13和52
72和26 15和80 8和11
p14、15
（3）
72
四、全课小结及作业
1、数的整除
数的整除 一、数的整除 1．内容要目 数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。2．基本要求 （1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。 （2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。3．重点和难点 重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。 难点是求两个正整数的最小公倍数。 一．知识梳理 1．数的整除 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，那么称a能被b整除，b能整除a 2．因数和倍数 在正整数范围内，如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b 就叫做a的因数。 一个正整数的因数是有限的，其中最小的一个因数是1，最大的一个因数是它本身 3．能被2、5整除的正整数的特征 个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除；个位数字是0或5的数都能被5整除，个位数字是0的数能同时被2和5整除 4．奇数和偶数 能被2整除的整数为偶数，不能被2整除的整数为奇数 5．素数和合数 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）； 一个正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数1既不是素数也不是合数 正整数按照含因数的个数分类，可以分为素数、合数和1 6．分解素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，
叫做分解素因数 7．公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的因数。8．两个数互素 若两个数的公因数只有1，则称这两个数互素；1和任何数都互素 9．公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数 三．例题选讲 1．填空 （1）在5和25中，能被整除，是的倍数，是的因数 （2）在15、36、45、60、135、96、120、180、570、588这十个数中，能被2整除的数是 能被5整除的数是 能同时被2和5整除的数是 （3）最小的自然数是，最大的负偶数是，最小的正奇数
五年级奥数精品讲义 第1讲 数的整除(有精讲,有分层精炼)
五年级奥数讲义 第一讲 数的整除 一、学法指导 数的整除特性： （1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。 （2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 （3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。 （4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。 （5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。 补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。 2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。 有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。我们研究整除特性有了有利的工具。 二、例题： 例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？ 例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是
多少？ 例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？ 例4、一个六位数B A1997，能被99整除，A和B各是多少？ 例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。 例6、已知45|Y X1993,求所有满足条件的六位数？ 三、练习 A卷、基本能力训练 154能被72整除，求X+Y是多少？ 1、XY 2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？ 3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。这个四位数是□□□□。 4、在 5、 6、7的公倍数中，是五位数且最小的是________。
专题02 数的整除性
专题02 数的整除性 阅读与思考 设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． 【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________； 5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、 请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。 4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。 这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。” 例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等
最新小学奥数之数的整除性(题目+答案)
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
(1)数的整除 (5)
数的整除（一） 【知识精读】 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 【分类解析】 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数, ∵75y 能被9整除, ∴y=6. ∵328＋92x ＝567, ∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X 解：∵五位数能被12整除, 必然同时能被3和4整除, 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时, x=2, 5, 8 当末两位X 4能被4整除时, X ＝0, 4, 8 ∴X ＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234, 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4, 不能被11整除, 只调整末位数仍不行 调整末两位数为30, 41, 52, 63, 均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除, 那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除, 那么X＝__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时, 5 9610能被7整除 5当n=__________时, n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________, 能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125, ②756, ③1011, ④2457, ⑤7855, ⑥8104, ⑦9152, ⑧70972中, 能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中, 能同时被2和3整除的共_____个, 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1, 2, 3, 4, 5这五个自然数, 任意调换位置而组成的五位数中, 不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除, 试求A的值。 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13在十进制中, 各位数码是0或1, 并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿参考答案 1.④22×32×7×3 ⑤3×7×13×37 ⑥23×32×11×13 2. 0, 3, 6, 9 3. 0 4. 2, 7 5. 3 6. 10010, 9990 7. 9996, 9992 8. 6：B 8：F, G 9：B, D 11：G, H 9. 16；27 10.没有一个, ∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数, 与数字的位置无关 11.仿例2, a＝5
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1） 【知识梳理】 1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。 2、一些数的整除特征： ①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）； ②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数； ③被5整除的特征：数的个位上是0、5； ④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数； ⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数； ⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。 【例题精讲】 例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。 （1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）； （2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）； （3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。 分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。 解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。 （2）这个数可能是4670、4675。 （3）这个数是4670。 例2、判断47382能否被3或9整除？ 分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。 47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。 解答：47382能被3整除，不能被9整除。 例3、判断：1864能否被4整除？ 分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。 解答：1864能被4整除，29375能被125整除。 例4、29372能否被8整除？ 分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。 解答：29372不能被8整除。 【巩固练习】 1、在□里填上合数的数，使四位数7□6□能被5整除，也能被3整除。
五年级奥数-数的整除
专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
数的整除性讲解(一)(通用)
第4讲数的整除性（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步
第一讲整除问题初步 从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？ 人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科. 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 . 我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧 . X :: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数 ;论是数学的皇冠” ? 整除的定义 如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除, 也可以说b 能整除a,记作b | a . 「丁M 丄 ［EfiA I 邑 九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以 G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2. 鼻、4. $、隔一亍？ 貝侔的推列浚记件 yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停! * w
如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a. 整除的一些基本性质: 1. 尾数判断法 3.奇偶位求差法 |能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第 1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数 的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字 之和”简称为“ 偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质 . 例题1.判断下面11个数的整除性： 23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4) 哪些数能被11整除？ 【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性 判断一下. 练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除, 哪些数能被3整除，哪些数能被 11整除？ 如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可 以总结出如下规律: 和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数 a 整除，那它们的和与差也都能被 a |能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除. ||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除. 1 数字求和法 能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被 3或9整除.| (1) (2) (3) 2.
六年级奥数第一讲数的整除
第一讲数的整除 学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段 核心容数的整除课型一对一教学目标 1.熟记2、5、3的倍数的特征。 2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。 3.综合运用所学知识灵活解决问题。 重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。 【课首沟通】 了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况； 适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征； 引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。 【知识导图】 精准诊查
【课首小测】 1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答） 2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。（有几个写几个） 奇数： （ ） 偶数：（ ） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 既是2又是3的倍数：（ ） 【知识梳理】 能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。 能被5整除的数：个位数是0或5。 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数 导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。 （1）两个奇数的和不一定是偶数。（ ） （2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。（ ） 2.填一填。 （1）2的倍数中最小的三位数是（ ）；最大的三位数是（ ）。 （2）5的倍数中最小的两位数是（ ）；最大的两位数是（ ）。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（ ）。 奇数＋奇数＝ 偶数＋偶数＝ 奇数－奇数＝ 奇数＋偶数＝ 奇数×奇数＝ 奇数×偶数＝ 3.选择题 （1）能被5整除的数，个位上是（ ）。
(初中数学)数的整除性精选题练习及答案
（初中数学）数的整除性精选题练习及答案 阅读与思考 设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． 【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明． ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题) 【例3】已知整数13456 ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456 求出a，b的值． 【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？
四年级奥数第一讲---数的整除问题
四年级奥数第一讲---数的整除问题
第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；
5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。 如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 （２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、
第一讲 乘除法巧算教学内容
第一讲乘除法巧算
第一讲乘除法巧算 这一讲介绍的是乘法巧算和除法巧算的一些基本方法。在计算乘法时，一个数与10、100、1000这样的数相乘，很容易算出结果. 例如23×10=230,23×100=2300,23×1000=23000等。有三组乘法在巧算时也经常用到：2×5=10,4×25=100,8×125=1000. 加减法里有带符号搬家的，乘法中也有。在计算多个数相乘时，我们可以通过带符号搬家改变运算顺序，简化计算。 例题1 计算：（1）2×13×5 （2）4×11×25 【分析】仔细观察算式，如何改变一下运算顺序使其变得简单些呢？ 练习1 计算：（1）4×17×25 （2）125×10×8 例题2 计算：（1）5×32×125 （2）80×16×25 【分析】这两个小题中有25或者125，这两个数能够如何巧算呢？ 练习2 计算：（1）25×5×32 （2）56×125
带符号搬家：在只有乘除法运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号。不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变。带符号搬家依据的运算规律是： （1）乘法交换律：a×b=b×a （2）乘法结合律：a×(b×c)=(a×b)×c 例题3 计算（1）36×11÷9 （2）4000÷125 【分析】如何利用除号后面的数进行除法凑整呢？ 练习3 计算：（1）28×11÷4 （2）300÷25 在计算连续乘除法运算时，式子中经常会出现括号。在乘除法去括号时，同加减法去括号时类似，要注意变号的问题，具体来说，乘除法中去括号的法则是： 例题4 计算：（1）720÷（72×5÷13）（2）（81÷123）×（123÷3）÷（6-3）【分析】如何利用除号后面的数进行除法凑整呢？
2019数的整除性讲解(一)
2019数的整除性讲解（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 （8x99因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知， ＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
数的整除知识点
数的整除知识点 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 数的整除 1.整除——因数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a. 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
数的整除性规律
数的整除性规律 【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5 整除 【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和9整除时，这个数便能被3或9整除。 例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。 又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。 【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。 例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。 【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。 例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。 【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。 又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。 再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。 此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。 例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。
六年级奥数.数论.整除问题
数的整除 知识框架 一、整除的定义： 当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整 除； 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是
第一讲整数与整除的基本性质(一)
第一讲 整数与整除的基本性质（一） 一、整数 基本知识： 关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。 关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。 十进制整数的表示方法 正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+?,四位数1254可以写成410510210123+?+?+?,同样地用字母表示的两位数ab b a +?=10,三位数f e d def +?+?=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且 .10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++?+?=----- 经典例题： 例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401 解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B 例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ） )A 26 )B 28 )C 36 )D 38 解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3， 227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排