七年级数学乘法公式-教案

乘法公式

【知识梳理】

（一）平方差公式

1．平方差公式：()()22a b a b a b -+=-

2．平方差公式的特点：

（1） 左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数

（2） 右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）

（3） 公式中的,a b 可以是具体的数，也可是单项式或多项式

3．⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

表达式平方差公式语言叙述用于计算应用逆用公式

（二）完全平方公式

1．完全平方公式：()2

222a b a ab b +=++ ()2

222a b a ab b -=-+ 2．完全平方公式的特点：

在公式()2

222a b a ab b ±=±+中，左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式.其中有两项是左边括号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定.本公式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央.

3．公式的恒等变形及推广：

（1）()()()222

a b b a a b -+=-=-

（2）()()22a b a b --=+

4．完全平方公式的几种常见变形：

（1）()()22

2222a b a b ab a b ab +=+-=-+ （2）(

)()()()22222222a b a b a b a b ab +-+--+==- （3）()()224a b a b ab -=+-

（4）()()22

4a b a b ab +=-+

（5）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

5．其他：（拓展内容） ()()333333,,,a b a b a b a b +-+-

6． ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式完全平方公式的应用完全平方公式的变形 【典型例题分析】

（一）平方差公式

题型一：

【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式

【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？

（1）⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛

-b a b a 231312 （2）()()a b b a 3232++- （3）()()2323-+-m m 【分析】应用公式时，应首先判断能不能运用公式，必须是两个二项式相乘；这两个二项式要符合公式特征，公式中的“a ”，“b ”与位置、自身的符号无关，观察的要点是“两因式中的两对数是否有一对完全相同，另一对相反”.不能盲目套用公式.

【答案】（1）不能，若改为⎪⎭⎫

⎝⎛

--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a a b 23131

2就可以应用公式

（2）不能，若改为()()a b b a 2332++-就可以应用公式

（3）不能，若改为()()2323-+m m 就可以应用公式

【借题发挥】

1． 试判断下列两图阴影部分的面积是否相等

【答案】相等

2．下列计算中可以用平方差公式的是 （ ）

（A ）()()22--+a a （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛

-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 21

21

（C ）()()y x y x -+- （D ）()()22y x y x +-

【答案】B

题型二：平方差公式的计算及简单应用

【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+

（1）()()a a 2121+-

（2）)51)(51(y y +-

（3）)23)(23(n m n m -+

（4）⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+312131212

2x x

【答案】（1）原式=214a -；（2）原式=2125y -；（3）原式=2294m n -；（

4）原式=21149x -

【例4】类型2：()()22a b a b b a -=-+

（1）（21）（1-2）

（2）（3x-4a ）（4a+3x ）

（3）)23)(23(a a +-+

（4）)2)(2(2

332b a a b -+

【答案】（1）原式=2214x y -；（2）原式=22916x a -；（3）原式=249a -；（4）原式=644a b - 【例5】类型3：()()2

2a b b a b a -=--- （1） )52)(52(22--+-x x

（2） )32)(32(---a a

（3）（-54z ）（-54z ）

（4）()()

z y x z y x 323222+---

【答案】

（1）原式=42425x y -；（2）原式=294a -；（3）原式=2222516x y z -；（4）原式=42249x y z - 【例6】类型4：()()()22b a m b a mb ma -=-+

（）（）

【答案】原式=22xy xz -

【方法总结】为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.

如：(a + b) (a - b)= a2 － b2

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x 2

【例7】()()2

_________24.m m +=- 【借题发挥】

1． ，括号内应填入下式中的（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A